Fungsi phi Euler
Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Fungsi phi Euler di en.wiki-indonesia.club. Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan. (Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula: panduan penerjemahan artikel) |
Fungsi Phi Euler φ(m) atau ⍉(m) menyatakan kardinal himpunan bilangan asli dimana fpb(m,n) = 1.
Dikemukakan oleh Leonhard Euler (L. 15 April 1707, Swiss. w. 18 September 1783, Rusia). Pada kisaran tahun 1750-an. Lalu, Notasi φ(m) atau ⍉(m) ditulis pertama kali oleh Gauss pada tahun
Contoh
Bilangan bulat positif yang < 9 adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Diantara bilangan-bilangan tersebut yang saling prima terhadap 9 adalah 1, 2, 4, 5, 7, 8, maka banyaknya bilangan yang saling prima terhadap 9 adalah sebanyak 6 sehingga φ(9) = 6.
Identitas
artikel ini perlu dirapikan agar memenuhi standar Wikipedia. Masalah khususnya adalah: Halaman yang isinya berantakan dengan bagian kalimat yang tidak diterjemahkan |
φ(1) = 0
φ(2) = 1
φ(P) = P - 1 untuk P prima
φ(mn) = φ(m)φ(n) jika fpb(m,n)=1
φ(Pⁿ) = Pⁿ⁻¹ (P-1)
φ(P₁×P₂×...×Pₙ) = (P₁-1)(P₂-1)(P₃-1)...(Pₙ-1)
- φ(m,n) = Φ(m).φ(n) .
- Note the special cases
- Compare this to the formula
- (See least common multiple.)
- φ(n) is even for n ≥ 3. Moreover, if n has r distinct odd prime factors, 2r | φ(n)
- For any a > 1 and n > 6 such that 4 ∤ n there exists an l ≥ 2n such that l | φ(an − 1).
- where rad(n) is the radical of n.
- (where γ is the Euler–Mascheroni constant).
- where m > 1 is a positive integer and ω(m) is the number of distinct prime factors of m.[6]
Beberapa bilangan
100 nilai pertama (barisan A000010 pada OEIS) ditampilkan pada tabel dan grafik di bawah ini:
φ(n) untuk 1 ≤ n ≤ 100 + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 10 4 12 6 8 8 16 6 18 8 20 12 10 22 8 20 12 18 12 28 8 30 30 16 20 16 24 12 36 18 24 16 40 40 12 42 20 24 22 46 16 42 20 50 32 24 52 18 40 24 36 28 58 16 60 60 30 36 32 48 20 66 32 44 24 70 70 24 72 36 40 36 60 24 78 32 80 54 40 82 24 64 42 56 40 88 24 90 72 44 60 46 72 32 96 42 60 40
Dalam grafik di kanan atas baris y = n − 1 adalah batas atas valid untuk semua n selain satu, dan dicapai jika dan hanya jika n adalah bilangan prima. Batas bawah sederhana adalah , yang agak longgar: sebenarnya, lower limit dari grafik sebanding dengan nlog log n.[7]
Fungsi pembangkit
Deret Dirichlet untuk φ(n) dapat ditulis dalam istilah fungsi Riemann zeta sebagai:[8]
Fungsi pembangkit deret Lambert adalah[9]
adalah |q| < 1.
Keduanya dibuktikan dengan manipulasi deret dasar dan rumus untuk φ(n).
Rasio bilangan berurutan
Pada tahun 1950 Somayajulu terbukti[10][11]
Pada tahun 1954 Schinzel dan Sierpiński memperkuat ini, membuktikan[10][11] that the set
adalah padat dalam bilangan riil positif. Mereka pun membuktikannya[10] bahwa himpunan
padat dalam interval (0,1).
Lihat pula
- Fungsi Carmichael
- Konjektur Duffin–Schaeffer
- Generalisasi teorema kecil Fermat
- Bilangan komposit tinggi
- Grup perkalian bilangan bulat modulo n
- Jumlah Ramanujan
- Fungsi penjumlahan total
Catatan
- ^ "Euler's totient function". Khan Academy. Diakses tanggal 2016-02-26.
- ^ Dineva (in external refs), prop. 1
- ^ a b Walfisz, Arnold (1963). Weylsche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie. Mathematische Forschungsberichte (dalam bahasa German). 16. Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften. Zbl 0146.06003.
- ^ Lomadse, G., "The scientific work of Arnold Walfisz" (PDF), Acta Arithmetica, 10 (3): 227–237
- ^ a b Sitaramachandrarao, R. (1985). "On an error term of Landau II". Rocky Mountain J. Math. 15: 579–588.
- ^ Bordellès in the external links
- ^ Kesalahan pengutipan: Tag
<ref>
tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernamahw328
- ^ Hardy & Wright 1979, thm. 288
- ^ Hardy & Wright 1979, thm. 309
- ^ a b c Ribenboim, p.38
- ^ a b Sándor, Mitrinović & Crstici (2006) p.16
Referensi
Disquisitiones Arithmeticae telah diterjemahkan dari bahasa Latin ke dalam bahasa Inggris dan Jerman. Edisi Jerman mencakup semua makalah Gauss tentang teori bilangan: semua bukti timbal balik kuadrat, penentuan tanda jumlah Gauss, penyelidikan timbal balik biquadratic, dan catatan yang tidak diterbitkan.
Referensi ke Disquisitiones adalah dari bentuk Gauss, DA, art. nnn.
- Abramowitz, M.; Stegun, I. A. (1964), Handbook of Mathematical Functions, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-61272-4. See paragraph 24.3.2.
- Bach, Eric; Shallit, Jeffrey (1996), Algorithmic Number Theory (Vol I: Efficient Algorithms), MIT Press Series in the Foundations of Computing, Cambridge, MA: The MIT Press, ISBN 0-262-02405-5, Zbl 0873.11070
- Dickson, Leonard Eugene, "History Of The Theory Of Numbers", vol 1, chapter 5 "Euler's Function, Generalizations; Farey Series", Chelsea Publishing 1952
- Ford, Kevin (1999), "The number of solutions of φ(x) = m", Annals of Mathematics, 150 (1): 283–311, doi:10.2307/121103, ISSN 0003-486X, JSTOR 121103, MR 1715326, Zbl 0978.11053.
- Gauss, Carl Friedrich; Clarke, Arthur A. (translator into English) (1986), Disquisitiones Arithmeticae (Second, corrected edition), New York: Springer, ISBN 0-387-96254-9
- Gauss, Carl Friedrich; Maser, H. (translator into German) (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae & other papers on number theory) (Second edition), New York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8
- Graham, Ronald; Knuth, Donald; Patashnik, Oren (1994), Concrete Mathematics: a foundation for computer science (edisi ke-2nd), Reading, MA: Addison-Wesley, ISBN 0-201-55802-5, Zbl 0836.00001
- Guy, Richard K. (2004), Unsolved Problems in Number Theory, Problem Books in Mathematics (edisi ke-3rd), New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 0-387-20860-7, Zbl 1058.11001
- Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1979), An Introduction to the Theory of Numbers (edisi ke-Fifth), Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853171-5
- Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (edisi ke-2nd), Lexington: D. C. Heath and Company, LCCN 77-171950
- Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, LCCN 77-81766
- Ribenboim, Paulo (1996), The New Book of Prime Number Records (edisi ke-3rd), New York: Springer, ISBN 0-387-94457-5, Zbl 0856.11001
- Sandifer, Charles (2007), The early mathematics of Leonhard Euler, MAA, ISBN 0-88385-559-3
- Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, ed. (2006), Handbook of number theory I, Dordrecht: Springer-Verlag, hlm. 9–36, ISBN 1-4020-4215-9, Zbl 1151.11300
- Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Handbook of number theory II. Dordrecht: Kluwer Academic. hlm. 179–327. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001.
- Schramm, Wolfgang (2008), "The Fourier transform of functions of the greatest common divisor", Electronic Journal of Combinatorial Number Theory, A50 (8(1)).
Pranala luar
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Totient function", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
- Euler's Phi Function and the Chinese Remainder Theorem — proof that φ(n) is multiplicative
- Euler's totient function calculator in JavaScript — up to 20 digits
- Dineva, Rosica, The Euler Totient, the Möbius, and the Divisor Functions
- Plytage, Loomis, Polhill Summing Up The Euler Phi Function