Bilangan riil

Simbol yang sering digunakan untuk menyatakan himpunan bilangan riil

Bilangan riil atau bilangan real dalam matematika menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3,25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan ${\sqrt {2}}$. Bilangan riil juga dapat dilambangkan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.

Definisi popular dari bilangan real meliputi klas ekuivalen dari deret Cauchy rasional, irisan Dedekind, dan deret Archimides.

Bilangan riil ini berbeda dengan bilangan kompleks yang termasuk di dalamnya adalah bilangan imajiner.

Bilangan riil dapat dipahami sebagai titik-titik garis bilangan yang panjangnya tak terhingga.

Pemerian bilangan riil tersebut tidak cukup ketat menurut ukuran modern matematika murni. Penemuan suatu definisi bilangan riil yang cukup ketat - dengan realisasi bahwa dibutuhkan definisi yang lebih baik - merupakan salah satu perkembangan matematika terpenting pada abad ke-19. Definisi aksiomatik standar yang ada sekarang menyatakan bahwa bilangan riil membentuk bidang Archimedes unik yang keseluruhannya teratur lengkap (R ; + ; · ; <), sampai ke suatu isomorfisma, sedangkan definisi konstruktif populer dari bilangan riil meliputi pernyataan sebagai kelas-kelas ekuivalen dari deret Cauchy untuk bilangan rasional, irisan Dedekind, atau "lambang desimal" tak terhingga tertentu, bersama-sama dengan penafsiran tepat untuk operasi aritmetika dan relasi penataan. Definisi-definisi ini ekuivalen dalam dunia matematika klasik

Real-nya adalah terhitung; yaitu: meskipun himpunan dari semua bilangan asli dan himpunan semua bilangan real adalah himpunan tak hingga, tidak ada fungsi satu-ke-satu mondar-mandir: kardinalitas dari himpunan semua bilangan real (dilambangkan ${\mathfrak {c}}$ dan disebut kardinalitas kontinum) secara ketat lebih besar dari kardinalitas himpunan semua bilangan asli (dilambangkan $\aleph _{0}$). Pernyataan bahwa tidak ada subset real dengan kardinalitas yang lebih besar dari $\aleph _{0}$ dan lebih kecil dari ${\mathfrak {c}}$ dikenal sebagai hipotesis kontinum. Hal ini diketahui tidak dapat dibuktikan atau disangkal menggunakan aksioma teori himpunan Zermelo–Fraenkel, dasar standar matematika modern, asalkan teori himpunan ZF adalah konsistensi.

Sejarah

Koleksi Yale Babilonia 7289 SM lempeng tanah liat dibuat antara 1800 SM dan 1600 SM, menunjukkan √2 dan √2/2 = 1/√2 masing-masing sebagai 1; 24,51,10 dan 0; 42,25,35 sebagai basis 60 angka pada kotak yang dilintasi oleh dua diagonal. (1; 24,51,10) basis 60 sesuai dengan 1,41421296, yang merupakan nilai yang benar untuk 5 koma desimal (1,41421356...).

Papirus Matematika Rhind adalah salinan dari tahun 1650 SM dari Papirus Berlin sebelumnya dan teks lainnya – mungkin Papirus Kahun – yang menunjukkan bagaimana orang Mesir.

Dalam India Kuno, pengetahuan tentang aspek teoritis dan terapan akar kuadrat dan akar kuadrat setidaknya setua Sutra Sulba, tertanggal sekitar 800–500 SM (mungkin jauh lebih awal). Metode untuk menemukan pendekatan yang sangat baik ke akar kuadrat dari 2 dan 3 diberikan pada Baudhayana Sulba Sutra. Aryabhata, pada Aryabhatiya (bagian 2.4), telah diberikan metode untuk mencari akar kuadrat dari bilangan yang memiliki banyak digit.

Diketahui oleh orang Yunani kuno bahwa akar kuadrat dari bilangan bulat positif yang bukan kuadrat sempurna selalu bilangan irasional: angka tidak dapat diekspresikan sebagai rasio dari dua bilangan bulat (yaitu, tidak dapat ditulis persis seperti m/n , di mana m dan n adalah bilangan bulat). Ini adalah teorema Euclid X, 9 , hampir pasti karena Theaetetus yang berasal dari sekitar 380 SM. Kasus tertentu √2 diasumsikan berasal lebih awal dari Pythagoras, dan secara tradisional dikaitkan dengan Hippasus. Ini persis dengan panjang diagonal dari sebuah persegi dengan panjang sisi 1.

Dalam karya matematika Cina Writings on Reckoning , ditulis antara 202 SM dan 186 SM selama awal Dinasti Han, akar kuadrat didekati dengan menggunakan metode "kelebihan dan kekurangan", yaitu "...gabungkan kelebihan dan kekurangan sebagai pembagi; (mengambil) pembilang defisiensi dikalikan dengan penyebut berlebih dan pembilang berlebih dikalikan penyebut defisiensi, gabungkan mereka sebagai dividen."

Simbol untuk akar kuadrat, ditulis sebagai R yang rumit, ditemukan oleh Regiomontanus (1436-1476). Sebuah R juga digunakan untuk radix untuk menunjukkan akar kuadrat di Gerolamo Cardano Ars Magna.

Menurut sejarawan matematika D.E. Smith, metode Aryabhata untuk menemukan akar kuadrat pertama kali diperkenalkan di Eropa oleh Cataneo pada tahun 1546.

Menurut Jeffrey A. Oaks, orang Arab menggunakan surat itu jīm/ĝīm (ج), huruf pertama dari kata tersebut “جذر” (dengan berbagai cara ditransliterasikan sebagai jaḏr, jiḏr, ǧaḏr atau ǧiḏr, “akar”), ditempatkan dalam bentuk awalnya (ﺟ) di atas angka untuk menunjukkan akar kuadratnya. Huruf jīm menyerupai bentuk akar kuadrat saat ini. Penggunaannya bahkan sampai akhir abad kedua belas dalam karya matematikawan Maroko Ibn al-Yasamin.

Simbol '√' untuk akar kuadrat pertama kali digunakan dalam cetakan pada tahun 1525 oleh Christoph Rudolff 'Coss'.

Properti dan kegunaan

Grafik fungsi f(x) = √x, terdiri dari setengah parabola dengan vertikal directrix

Fungsi akar kuadrat utama f(x) = √x (biasanya hanya disebut sebagai "fungsi akar kuadrat") adalah fungsi yang memetakan himpunan dari bilangan real nonnegatif ke dirinya sendiri. Dalam istilah geometri, fungsi akar kuadrat memetakan luas persegi ke panjang sisinya.

Akar kuadrat dari x adalah rasional jika dan hanya jika x adalah bilangan rasional yang dapat direpresentasikan sebagai rasio dua kuadrat sempurna. (Lihat akar kuadrat dari 2 untuk bukti bahwa ini adalah bilangan irasional, dan irasional kuadrat untuk bukti semua bilangan asli bukan kuadrat.) Fungsi akar kuadrat memetakan bilangan rasional menjadi bilangan aljabar, s, yang terakhir adalah superset dari bilangan rasional).

Untuk semua bilangan riil x,

${\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|={\begin{cases}x,&{\mbox{if }}x\geq 0\\-x,&{\mbox{if }}x<0.\end{cases}}$ (lihat nilai absolut)

Untuk semua bilangan riil nonnegatif x dan y ,

${\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}$

dan

${\sqrt {x}}=x^{1/2}.$

Fungsi akar kuadrat adalah kontinu untuk semua nonnegatif x , dan turunan untuk semua positif x. Bila f menunjukkan fungsi akar kuadrat, yang turunannya diberikan oleh:

$f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.$

Deret Taylor dari √1 + x mengenai x = 0 untuk konvergensi $\left|x\right|\leq 1$, dirumuskan

${\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\cdots ,$

Akar kuadrat dari bilangan nonnegatif digunakan dalam definisi norma Euklides (dan jarak), serta dalam generalisasi seperti ruang Hilbert. Ini mendefinisikan konsep penting dari deviasi standar yang digunakan dalam teori probabilitas dan statistik. Ini memiliki kegunaan utama dalam rumus untuk akar dari sebuah persamaan kuadrat; bidang kuadrat dan gelanggang bilangan bulat kuadrat, yang didasarkan pada akar kuadrat, penting dalam aljabar dan digunakan dalam geometri. Akar kuadrat sering muncul dalam rumus matematika di tempat lain, serta di banyak hukum fisika.

Akar kuadrat dari bilangan bulat positif

Bilangan positif memiliki dua akar kuadrat, satu positif, dan satu negatif, yang berlawanan satu sama lain. Ketika berbicara tentang akar kuadrat dari bilangan bulat positif, biasanya yang dimaksud adalah akar kuadrat positif.

Akar kuadrat dari bilangan bulat adalah bilangan bulat aljabar, lebih spesifik dari bilangan bulat kuadrat.

Akar kuadrat dari bilangan bulat positif adalah hasil kali dari akar faktor dari bilangan prima, karena akar kuadrat dari suatu hasil kali adalah hasil kali dari akar kuadrat faktor. Karena √p^2k = p^k, hanya akar dari bilangan prima yang memiliki pangkat ganjil di faktorisasi yang diperlukan. Lebih tepatnya, akar kuadrat dari faktorisasi prima adalah

${\sqrt {p_{1}^{2e_{1}+1}\cdots p_{k}^{2e_{k}+1}p_{k+1}^{2e_{k+1}}\dots p_{n}^{2e_{n}}}}=p_{1}^{e_{1}}\dots p_{n}^{e_{n}}{\sqrt {p_{1}\dots p_{k}}}.$

Sebagai ekspansi desimal

Akar kuadrat dari kuadrat sempurna (misalnya, 0, 1, 4, 9, 16) adalah bilangan bulat. Dalam semua kasus lainnya, akar kuadrat dari bilangan bulat positif adalah bilangan irasional, dan karenanya memiliki non-desimal berulang dalam representasi desimal mereka. Perkiraan desimal dari akar kuadrat dari beberapa bilangan asli pertama diberikan dalam tabel berikut.

n	√n, dipotong menjadi 50 tempat desimal
0	0
1	1
2	1.41421356237309504880168872420969807856967187537694
3	1.73205080756887729352744634150587236694280525381038
4	2
5	2.23606797749978969640917366873127623544061835961152
6	2.44948974278317809819728407470589139196594748065667
7	2.64575131106459059050161575363926042571025918308245
8	2.82842712474619009760337744841939615713934375075389
9	3
10	3.16227766016837933199889354443271853371955513932521

Sebagai perluasan dalam sistem angka lainnya

Seperti sebelumnya, akar kuadrat dari kuadrat sempurna (misalnya, 1, 4, 9, 16) adalah bilangan bulat. Dalam semua kasus lainnya, akar kuadrat dari bilangan bulat positif adalah bilangan irasional, dan oleh karena itu memiliki digit yang tidak berulang dalam sistem notasi posisi standar.

Akar kuadrat dari bilangan bulat kecil digunakan di kedua desain fungsi hash SHA-1 dan SHA-2 untuk memberikan tidak ada nomor lengan saya.

Sebagai pecahan lanjutan periodik

Salah satu hasil yang paling menarik dari studi bilangan irasional sebagai pecahan lanjutan diperoleh oleh Joseph Louis Lagrange ca 1780. Lagrange menemukan bahwa representasi dari akar kuadrat dari bilangan bulat positif bukan kuadrat sebagai pecahan lanjutan adalah berkala.

√2	= [1; 2, 2, ...]
√3	= [1; 1, 2, 1, 2, ...]
√4	= [2]
√5	= [2; 4, 4, ...]
√6	= [2; 2, 4, 2, 4, ...]
√7	= [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, ...]
√8	= [2; 1, 4, 1, 4, ...]
√9	= [3]
√10	= [3; 6, 6, ...]
√11	= [3; 3, 6, 3, 6, ...]
√12	= [3; 2, 6, 2, 6, ...]
√13	= [3; 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, ...]
√14	= [3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, ...]
√15	= [3; 1, 6, 1, 6, ...]
√16	= [4]
√17	= [4; 8, 8, ...]
√18	= [4; 4, 8, 4, 8, ...]
√19	= [4; 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1, 2, 8, ...]
√20	= [4; 2, 8, 2, 8, ...]

Notasi kurung siku yang digunakan di atas adalah singkatan dari pecahan lanjutan. Ditulis dalam bentuk aljabar yang lebih sugestif, pecahan lanjutan sederhana untuk akar kuadrat 11, [3; 3, 6, 3, 6, ...], looks like this:

${\sqrt {11}}=3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+\ddots }}}}}}}}}}$

di mana pola dua digit {3, 6} berulang lagi dan lagi pada penyebut parsial. Karena 11 = 3² + 2, di atas juga identik dengan pecahan lanjutan umum:

${\sqrt {11}}=3+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {6}{20-1-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-\ddots }}}}}}}}}}.$

Sifat-sifat

Aksioma medan

Bilangan riil, beserta operasi penjumlahan dan perkalian, memenuhi aksioma berikut. Misalkan x,y dan z merupakan anggota himpunan bilangan riil R, dan operasi x+y merupakan penjumlahan, serta xy merupakan perkalian. Maka:

• Aksioma 1 (hukum komutatif): x+y = y+x, dan xy = yx
• Aksioma 2 (hukum asosiatif): x+(y+z) = (x+y)+z dan x(yz) = (xy)z
• Aksioma 3 (hukum distributif): x(y+z) = (xy + xz)
• Aksioma 4: Eksistensi unsur identitas. Terdapat dua bilangan riil berbeda, yang dilambangkan sebagai 0 dan 1, sehingga untuk setiap bilangan riil x kita mendapatkan 0+x=x dan 1.x=x.
• Aksioma 5: Eksistensi negatif, atau invers terhadap penjumlahan. Untuk setiap bilangan riil x, terdapat bilangan riil y sehingga x+y=0. Kita dapat juga melambangkan y sebagai -x.
• Aksioma 6: Eksistensi resiprokal, atau invers terhadap perkalian. Untuk setiap bilangan riil x tidak sama dengan 0, terdapat bilangan riil y sehingga xy=1. Kita dapat melambangkan y sebagai 1/x.

Himpunan yang memenuhi sifat-sifat ini disebut sebagai medan, dan karena hal itu aksioma di atas dinamakan sebagai aksioma medan.

Aksioma urutan

Kita akan mengasumsikan terdapat himpunan R+, yang disebut sebagai bilangan positif yang merupakan himpunan bagian dari R. Misalkan juga x dan y adalah anggota R+. Himpunan bagian ini memenuhi aksioma urutan berikut ini:

• Aksioma 7: x+y dan xy merupakan anggota R+
• Aksioma 8: Untuk setiap x yang tidak sama dengan 0, x anggota R+ atau -x anggota R+, tetapi tidak mungkin keduanya sekaligus
• Aksioma 9: 0 bukan anggota R+.

Garis bilangan tak terhingga yang menggambarkan bilangan riil

Aksioma kelengkapan

• Aksioma 10: Setiap himpunan bilangan riil S yang memiliki batas atas memiliki supremum, yakni ada suatu bilangan riil B sehingga B=sup(S).

Lihat pula

• Bilangan asli
• Bilangan bulat
• Bilangan cacah
• Bilangan imajiner
• Bilangan kompleks
• Bilangan rasional
• Bilangan irasional
• Bilangan prima
• Bilangan komposit
• Pecahan

Pranala luar

• (Inggris)The real numbers: Pythagoras to Stevin Diarsipkan 2007-02-12 di Wayback Machine.
• (Inggris)The real numbers: Stevin to Hilbert Diarsipkan 2007-03-22 di Wayback Machine.
• (Inggris)The real numbers: Attempts to understand Diarsipkan 2007-02-12 di Wayback Machine.
• (Indonesia)Diktat Analisis Real Jurusan Matematika ITB