Daftar identitas logaritma
Logaritma | |
---|---|
![]() | |
Domain dan Citra | |
Domain dari fungsi | |
Daerah hasil fungsi | |
Nilai-nilai spesifik | |
Nilai di | |
Nilai maksimum | Tidak ada |
Nilai minimum | Tidak ada |
Sifat khusus | |
Akar | |
Invers | |
Turunan | |
Antiturunan |
Identitas logaritma atau dikenal sebagai hukum logaritma, ialah kumpulan rumus-rumus yang melibatkan logaritma dan bertujuan untuk mempermudah kalkulasi pada bentuk-bentuk yang cukup rumit.
Fungsi logaritma dapat didefinisikan sebagai
- .
dimana adalah adalah basis atau bilangan pokok[1] dari logaritma, dengan syarat atau , adalah bilangan yang dilogaritmakan yang disebut dengan numerus[2], dan bilangan positif adalah hasil dari logaritma[1][2] yang disebut dengan antilogaritma.[butuh rujukan]
Sebagai catatan, notasi logaritma yang dipakai dalam halaman ini tetap memiliki makna yang sama dengan , kendatipun notasinya berbeda.
Berikut adalah daftar identitas logaritma beserta dengan pembuktian-pembuktiannya, antara lain:
Sifat dasar
[sunting | sunting sumber]Sifat trivial
[sunting | sunting sumber]Salah satu yang paling mendasar dalam identitas logaritma, ialah , karena . Terdapat sifat dasar lain, yaitu
- , karena .
- .
Sebagai pengecualian, logaritma dengan tidak memiliki nilai. Hasil limit dari ketika . Untuk memahami lebih lanjut mengenai konsep ini, lihat buktinya di sini.
Perkalian dan pembagian
[sunting | sunting sumber]Klik 'tampil' untuk melihat bukti |
---|
Misalkan dan . Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen diperoleh dan . Maka,
Ambil logaritma basis pada kedua ruas sehingga |
Sifat ini dapat diperumum ke kasus dengan numerus merupakan hasil perkalian banyak suku,
- .
Klik 'tampil' untuk melihat bukti |
---|
Misalkan dan . Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen diperoleh dan . Maka, Ambil logaritma basis pada kedua ruas sehingga |
Penambahan dan pengurangan
[sunting | sunting sumber]Lebih umumnya lagi,
- .
Perubahan basis
[sunting | sunting sumber]Perubahan basis dapat dirumuskan sebagai
dengan syarat dan dan , dengan mengikuti definisi logaritma.[4]
Klik 'tampil' untuk melihat bukti |
---|
Misal . Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen, kita memperoleh . Maka, kita tuliskan sebagai
Dengan menggunakan sifat sebelumnya, maka Substitusi kembali sehingga didapati
|
Perkalian dan pembagian dalam basis logaritma
[sunting | sunting sumber]Pertukaran basis
[sunting | sunting sumber]Pertukaran basis pada logaritma dapat dirumuskan sebagai
- .
Klik 'tampil' untuk melihat bukti |
---|
Dengan menggunakan sifat perubahan basis, maka kita dapat memisalkan akan memperoleh
|
Logaritma dalam eksponen
[sunting | sunting sumber]- atau
Klik 'tampil' untuk melihat bukti |
---|
Menggunakan sifat perubahan basis, akan memperoleh
|
Membatalkan eksponen
[sunting | sunting sumber]Sama halnya dengan penambahan dan pengurangan, maupun perkalian dan pembagian, logaritma dapat membatalkan eksponen karena kedua operasi tersebut saling invers. Secara matematis ini mengartikan,
- karena ; dan
- karena .[5]
Perhatikan bahwa sifat logaritma di atas dapat kita pakai untuk membuktikan bahwa .
Logaritma dengan basis lain
[sunting | sunting sumber]Logaritma natural
[sunting | sunting sumber]Logaritma dalam kalkulus
[sunting | sunting sumber]Limit
[sunting | sunting sumber]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e0/Logarithms.png/360px-Logarithms.png)
Untuk membuktikan limit tersebut, perhatikan grafik fungsi logaritma basis sembarang (untuk ). Sebagai catatan, untuk ,
Pembuktian yang serupa terhadap limit dari fungsi logaritma alami.
Sebagai tambahan, berikut adalah identitas logaritma dalam limit.
- jika
- jika
Turunan
[sunting | sunting sumber]Turunan logaritma dalam kalkulus dapat dirumuskan sebagai
- , dengan , , dan .
Klik 'tampil' untuk melihat bukti |
---|
Perhatikan bahwa
maka kita memperoleh
Dengan substitusi kembali, diperoleh
Jika kita turunkan, maka kita mendapatkan |
Turunan dalam basis lain, antara lain
Integral
[sunting | sunting sumber]Integral logaritma dalam kalkulus dapat dirumuskan sebagai
Integral dalam basis lain, antara lain
Klik 'tampil' untuk melihat bukti |
---|
Buktinya dapat kita pakai identitas integral terhadap logaritma, dengan memisalkan . Ada bukti lain, ialah integrasi parsial. Dengan memisalkan , , dan , maka
|
Sebagai catatan, halaman ini hanya menjelaskan dasar-dasarnya saja. Lihat Daftar integral dari fungsi logaritmik sebagai identitas adisionalnya.
Deret
[sunting | sunting sumber]Pendekatan logaritma
[sunting | sunting sumber]Bentuk pecahan berlanjut
[sunting | sunting sumber]Logaritma alami
[sunting | sunting sumber]Lihat pula
[sunting | sunting sumber]Rujukan
[sunting | sunting sumber]- ^ a b Archangelia Maria Lelu, Desain Pembelajaran Pada Materi Fungsi Logaritma Menggunakan Pendekatan Pembelajaran Berbasis Masalah dan Hasil Pembelajaran Ditinjau dari Kemampuan Komunikasi Matematis Siswa Kelas X MIPA Diarsipkan 2021-10-22 di Wayback Machine., hlm. 15.
- ^ a b Entis Sutisna, S.Pd, Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma Matematika Peminatan Kelas X Diarsipkan 2021-10-21 di Wayback Machine., hlm. 29.
- ^ a b c d Kanginan, Marthen; Nurdiansyah, Hadi; Akhmad, Ghany (2016). Matematika Untuk Siswa SMA/MA Kelas X. Yrama Widya. hlm. 74. ISBN 978-602-374-554-8.
- ^ Referensinya (pada bagian definisi) mencakup di sini.
- ^ "Antilogarithm". Wolfram MathWorld.
- ^ Dale Varberg, Edward Purcell, Steve Rigdon (2006). Kalkulus Edisi Kesembilan, Jilid 1. hlm. 336. (Penerjemah: I Nyoman Susila, Ph. D, Penerbit Erlangga)
- ^ "Logarithm Rules". RapidTables.
- ^ a b "approximation of the log function". planetmath.org. Diakses tanggal 2013-03-22 15:18:38.