Limas persegi

Limas persegi
Limas persegi
Jenis	Johnson; J92 – J1 – J2
Muka	4 buah kongruen segitiga; 1 buah persegi
Rusuk	8
titik sudut	5
Konfigurasi titik sudut	4 (32.4); (34)
Simbol Schläfli	( ) ∨ {4}
Grup simetri	C4v, [4], (*44)
Grup rotasi	C4, [4]+, (44)
Volume
Polihedron dual	dual-diri
Sifat-sifat	cembung
Jaring

Dalam geometri, limas persegi atau limas segiempat atau piramida^[2] (bahasa Inggris: square pyramid) adalah limas yang terdiri atas empat buah segitiga yang kongruen dan memiliki satu buah persegi sebagai alasnya. Limas memiliki macam-macam bentuk, salah satunya ada yang titik puncaknya tepat berada di atas pusat persegi. Limas jenis ini, bila semua rusuknya sama panjang, merupakan bangun ruang Johnson pertama, dilambangkan ( $J_{1}$ ).

Limas persegi sudah ditemukan melalui riwayat arsitektur. Contoh bangunan itu adalah piramida yang dibangun oleh Mesir pada zaman kuno, dan beberapa jenis bangunan lain yang menyerupainya. Selain itu, limas persegi juga digunakan dalam struktur molekul piramidal persegi, serta digunakan untuk mengonstruksikan sebuah polihedron dengan menggunakan polihedron yang lain. Banyak matematikawan sebelumnya sudah menemukan rumus menghitung volumenya dengan cara yang berbeda.

Sifat

Jenis-jenis limas persegi

Limas persegi mempunyai lima buah titik sudut, delapan buah rusuk, dan lima bidang muka. Salah satu muka tersebut adalah alas limas yang berbentuk persegi, sisanya berbentuk segitiga.^[3] Keempat rusuk itu membentuk persegi dengan menghubungkan keempat titik sudutnya, sedangkan empat rusuk lainnya yang disebut "rusuk tegak" (lateral edges) yang bertemu di titik sudut kelima yang dikenal dengan sebutan titik puncak.^[4]^[5] Ada limas yang titik puncaknya berada pada garis yang tepat di pusat alas persegi itu, dengan mukanya berupa segitiga sama kaki, dan ada pula jenis limas yang tidak memiliki dua atau lebih muka segitiga yang tidak sama kaki.^[6]

Jenis lainnya adalah semua rusuk pada limas persegi itu memiliki panjang yang sama, yang membentuk muka dari limas itu menjadi segitiga sama kaki, sehingga muka dari limas secara keseluruhan adalah poligon beraturan.^[7] Sudut dihedral di antara dua buah segitiga yang berdampingan bernilai $\arccos \left(-1/3\right)\approx 109.47^{\circ }$ , dan sudut di antara alas persegi dan masing-masing segitiga bernilai, $\arctan {\sqrt {2}}\approx 54.735^{\circ }$ .^[8] Sebuah polihedron cembung yang hanya memiliki poligon beraturan sebagai mukanya disebut bangun ruang Johnson, dan jenis limas itu dikategorikan sebagai bangun ruang Johnson pertama, dilambangkan $J_{1}$ .^[9] Sama seperti limas yang lain dengan poligon beraturan sebagai alasnya, limas persegi ini memiliki simetri piramidal. Limas persegi memiliki simetri dari grup siklik $C_{4v}$ , yang berarti limas dapat diputar sekali, dua kali, dan tiga kali putaran penuh di sekitar sumbu simetri, garis yang menghubungkan titik puncak hingga ke pusat alas; limas ini memiliki simetri cermin yang relatif dengan setiap bidang yang tegak lurus, yang melalui garis pembagi alas.^[8] Limas ini dapat direpresentasikan graf roda $W_{4}$ ; lebih umumnya, graf roda $W_{n}$ merepresentasikan kerangka dari sebuah limas dengan $n$ sisi alas.^[10]

Luas permukaan dan volume

Sisi miring (slant height) $s$ dari sebuah limas persegi didefinisikan sebagai tinggi dari salah satu segitiga sama kaki. Sisi ini didapatkan menggunakan teorema Pythagoras: $s={\sqrt {b^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}}},$ dengan $l$ adalah panjang dari alas segitiga, sekaligus salah satu dari rusuk pada alas persegi, dan $b$ adalah panjang dari kaki segitiga, sekaligus merupakan sisi tegak dari limas.^[11]^[12] Tinggi $h$ dari sebuah limas persegi didapatkan dengan cara yang serupa, yang kemudian jika mensubstitusikan rumus dari sisi miring, menghasilkan:^[11] $h={\sqrt {s^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}}}={\sqrt {b^{2}-{\frac {l^{2}}{2}}}}.$ Luas permukaan dari sebuah polihedron (bidang banyak) dihitung dengan menjumlahkan luas dari semua mukanya. Oleh karena itu, luas permukaan dari sebuah limas persegi $A$ dapat dinyatakan sebagai $A=4T+S$ , dengan $T$ dan $S$ masing-masing merepresentasikan luas dari salah satu muka segitiga dan alas perseginya. Luas segitiga adalah setengah dari hasil kali alas dan kaki, sedangkan luas dari persegi adalah sisinya yang dikuadratkan. Jadi, luasnya dirumuskan sebagai:^[13] $A=4\left({\frac {1}{2}}ls\right)+l^{2}=2ls+l^{2}.$ Secara umum, volume dari sebuah limas $V$ sama dengan sepertiganya hasil kali luas dari alas dengan tinggi.^[14] Untuk limas persegi, rumusnya adalah:^[15] $V={\frac {1}{3}}l^{2}h.$

Rumus menghitung volume dari limas persegi sebelumnya sudah ditemukan oleh beberapa matematikawan kuno. Dalam Papirus Matematika Moskwa, bangsa Mesir menemukan rumus untuk menghitung volume dari frustum dengan alasnya yang berupa persegi. Hal ini dapat disimpulkan bahwa mereka sudah mengetahui volume dari sebuah limas persegi, tetapi permasalahannya adalah masih belum diketahui bagaimana cara mereka membuktikannya. Selain penemuan volume dari sebuah limas persegi, permasalahan untuk mencari kemiringan dan tinggi dari limas persegi dapat dijejak pada Papirus Matematika Rhind.^[16] Bangsa Babilonia juga menemukan volume dari frustum tersebut, tetapi rumus yang didapatkan itu tidak benar.^[17] Salah satu matematikawan asal Tiongkok, Liu Hui, menemukan volume tersebut dengan memotong sebuah bangun ruang berbentuk kotak menjadi beberapa bagian.^[18]

Penerapan

Piramida Mesir adalah contoh bangunan yang berbentuk limas persegi

Salah satu bangunan piramida Mesoamerika yang mirip seperti bangunan piramida Mesir mempunyai ujung atas yang datar dan tangga pada mukanya.

Dalam arsitektur, piramida yang dibangun di Mesir pada zaman kuno adalah contoh-contoh bangun yang bentuknya mirip seperti limas persegi.^[3] Beberapa ahli piramodologi mengemukakan beberapa pendapat untuk desain bangunan piramida Giza, di antaranya teori yang melibatkan segitiga Kepler dan rasio emas. Akan tetapi, banyak ahli modern lebih mendeskripsikannya dengan menggunakan perbandingan bilangan bulat supaya lebih konsisten dengan pengetahuan matematika dan proporsi Mesir pada masa itu.^[19]^[20]^[21]^[22]. Piramida Mesoamerika juga merupakan bangun kuno yang mirip seperti dengan milik Mesir, tetapi yang membedakannya adalah bahwa piramida Mesoamerika memiliki ujung atasnya yang datar serta terdapat tangga pada mukanya.^[23]^[24] Selain itu, terdapat bangun modern yang menyerupai piramida Mesir, yakni Louvre Pyramid dan hotel Luxor Las Vegas.^[25]^[26]

Dalam stereokimia, kluster atom dapat memiliki bentuk molekul geometri berupa limas persegi. Molekul dengan bentuk ini memiliki unsur golongan utama yang terdiri atas satu pasangan elektron sunyi aktif, yang digambarkan oleh sebuah model yang memprediksi geometri molekul, teori VSEPR.^[27] Contoh-contoh molekul dengan struktur itu adalah pentafluorida klorin, pentafluorida bromin, and dan pentafluorida iodin.^[28]

Konstruksi dari polihedron ini melibatkan penempelan limas persegi

Alas limas persegi dapat ditempelkan ke muka persegi dari sebuah polihedron, sehingga membangun polihedron yang baru. Contoh proses konstruksi ini disebut augmentation. Contohnya seperti polihedron (pada gambar) yang dapat dikonstruksi dengan menempelkan alas limas persegi ke masing-masing muka dari sebuah kubus.^[29] Menempelkan prisma dan antiprisma [en] ke alas limas persegi masing-masing dikenal dengan sebutan elongation atau gyroelongation.^[30] Beberapa bangun ruang Johnson dapat dikonstruksikan dengan menempelkan alas limas persegi, atau menempelkan bangun ruang lain dengan limas persegi, di antaranya adalah: limas persegi elongasi [en] $J_{8}$ , limas persegi giroelongasi [en] $J_{10}$ , bipiramida persegi elongasi [en] $J_{15}$ , bipiramida persegi giroelongasi [en] $J_{17}$ , prisma segitiga augmentasi [en] $J_{49}$ , prisma segitiga biaugmentasi [en] $J_{50}$ , prisma segitiga triaugmentasi [en] $J_{51}$ , prisma pentagonal augmentasi [en] $J_{52}$ , prisma pentagonal biaugmentasi [en] $J_{53}$ , prisma heksagonal augmentasi [en] $J_{54}$ , prisma heksagonal parabiaugmentasi [en] $J_{55}$ , prisma heksagonal metabiaugmentasi [en] $J_{56}$ , prisma heksagonal triaugmentasi [en] $J_{57}$ , dan sfenokorona augmentasi [en] $J_{87}$ .^[31]

Referensi

^ Wohlleben, Eva (2019). "Duality in Non-Polyhedral Bodies Part I: Polyliner". Dalam Cocchiarella, Luigi. ICGG 2018 - Proceedings of the 18th International Conference on Geometry and Graphics: 40th Anniversary - Milan, Italy, August 3-7, 2018. International Conference on Geometry and Graphics. Springer. doi:10.1007/978-3-319-95588-9. ISBN 978-3-319-95588-9.
^ Izzudin, Muhammad; Supriyanto; Rismaningsih, Febri; Sulistyani, Umi; Malik, Yulianti; Saka, Bergita Gela M; Putranti, Anisa Budi; Anggraeni, Erwinda Fenty; Tambunan, Nurma; Hartati, Leny; Sudirman; Setiawan, Jan; Malik, Rena Fadilah; Hidayat, Rochmat (2022). Geometri Datar dan Ruang. Media Sains Indonesia. hlm. 160. ISBN 978-623-362-742-9.
^ ^a ^b Kinsey, L. Christine; Moore, Teresa E.; Prassidis, Efstratios (2011). Geometry and Symmetry. John Wiley & Sons. hlm. 371. ISBN 978-0-470-49949-8.
^ O'Keeffe, Michael; Hyde, Bruce G. (2020). Crystal Structures: Patterns and Symmetry. Dover Publications. hlm. 141. ISBN 9780486836546.
^ Smith, James T. (2000). Methods of Geometry. John Wiley & Sons. hlm. 98. ISBN 0-471-25183-6.
^ Freitag (2014), hlm. 598.
^ Hocevar, Franx (1903). Solid Geometry. A. & C. Black. hlm. 44.
^ ^a ^b Johnson, Norman W. (1966). "Convex polyhedra with regular faces". Canadian Journal of Mathematics. 18: 169–200. doi:10.4153/cjm-1966-021-8 . MR 0185507. Zbl 0132.14603. Lihat tabel III, baris 1.
^ Uehara, Ryuhei (2020). Introduction to Computational Origami: The World of New Computational Geometry. Springer. hlm. 62. doi:10.1007/978-981-15-4470-5. ISBN 978-981-15-4470-5.
^ Pisanski, Tomaž; Servatius, Brigitte (2013). Configuration from a Graphical Viewpoint. Springer. hlm. 20–21. doi:10.1007/978-0-8176-8364-1. ISBN 978-0-8176-8363-4.
^ ^a ^b Larcombe (1929), hlm. 177.
^ Perry, O. W.; Perry, J. (1981). Mathematics. Springer. hlm. 145–146. doi:10.1007/978-1-349-05230-1. ISBN 978-1-349-05230-1.
^ Freitag (2014), hlm. 798.
^ Alexander, Daniel C.; Koeberlin, Geralyn M. (2014). Elementary Geometry for College Students (edisi ke-6th). Cengage Learning. hlm. 403. ISBN 978-1-285-19569-8.
^ Larcombe (1929), hlm. 178.
^ Cromwell, Peter R. (1997). Polyhedra. Cambridge University Press. hlm. 20–22.
^ Eves, Howard (1997). Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics (edisi ke-3rd). Dover Publications. hlm. 2. ISBN 978-0-486-69609-6.
^ Wagner, Donald Blackmore (1979). "An early Chinese derivation of the volume of a pyramid: Liu Hui, third century A.D.". Historia Mathematics. 6 (2): 164–188. doi:10.1016/0315-0860(79)90076-4.
^ Herz-Fischler, Roger (2000). The Shape of the Great Pyramid. Wilfrid Laurier University Press. ISBN 0-88920-324-5. Buku ini secara keseluruhan menjelaskan banyak teori-teori alternatif mengenai bentuk piramid ini. Lihat Bab 11, "Kepler triangle theory", hlm. 80–91 untuk penjelasan lebih lanjut mengenai segitiga Kepler, dan hlm. 166 untuk kesimpulan bahwa teori segitiga Kepler dapat dieliminasi melalui prinsip yang berbunyi "A theory must correspond to a level of mathematics consistent with what was known to the ancient Egyptians." [Sebuah teori harus disesuaikan dengan pengetahuan matematika yang semestinya diketahui oleh bangsa Mesir kuno.] Lihat catatan 3, hlm. 229 untuk riwayat mengenai karya Kepler dengan segitiga tersebut.
^ Rossi, Corinna (2004). Architecture and Mathematics in Ancient Egypt. Cambridge University Press. hlm. 67–68. there is no direct evidence in any ancient Egyptian written mathematical source of any arithmetic calculation or geometrical construction which could be classified as the Golden Section ... convergence to $\varphi$ , and $\varphi$ itself as a number, do not fit with the extant Middle Kingdom mathematical sources [tidak ada bukti langsung dalam sumber matematika bangsa Mesir mengenai perhitungan aritmetika atau konstruksi geometris yang dapat digolongkan sebagai Golden Section ... yang konvergensi menuju $\varphi$ , dan $\varphi$ itu sendiri sebagai bilangan, tidak ada kaitannya dengan sumber matematika Kerajaan pada Abad Pertengahan yang masih ada] ; lihat pula pembahasan lebih lanjut mengenai banyaknya teori-teori alternatif tentang bentuk bangunan dan arsitektur bangsa Mesir, hlm. 7–56
^ Rossi, Corinna; Tout, Christopher A. (2002). "Were the Fibonacci series and the Golden Section known in ancient Egypt?". Historia Mathematica. 29 (2): 101–113. doi:10.1006/hmat.2001.2334. hdl:11311/997099 .
^ Markowsky, George (1992). "Misconceptions about the Golden Ratio" (PDF). The College Mathematics Journal. Mathematical Association of America. 23 (1): 2–19. doi:10.2307/2686193. JSTOR 2686193. Diakses tanggal 2012-06-29. It does not appear that the Egyptians even knew of the existence of $\varphi$ much less incorporated it in their buildings [Tidak dijelaskan bahwa bangsa Mesir mengetahui keberadaan $\varphi$ , yang tidak ada keterkaitannya dengan bangunan itu.]
^ Feder, Kenneth L. (2010). Encyclopedia of Dubious Archaeology: From Atlantis to the Walam Olum: From Atlantis to the Walam Olum. ABC-CLIO. hlm. 34. ISBN 9780313379192.
^ Takacs, Sarolta Anna; Cline, Eric H. (2015). The Ancient World. Routledge. hlm. 16. ISBN 9781317458395.
^ Jarvis, Daniel; Naested, Irene (2012). Exploring the Math and Art Connection: Teaching and Learning Between the Lines. Brush Education. hlm. 172. ISBN 978-1-55059-398-3.
^ Simonson, Shai (2011). Rediscovering Mathematics: You Do the Math. Mathematical Association of America. hlm. 154. ISBN 978-0-88385-912-4.
^ Petrucci, Ralph H.; Harwood, William S.; Herring, F. Geoffrey (2002). General Chemistry: Principles and Modern Applications. 1. Prentice Hall. hlm. 414. ISBN 9780130143297.
^ Emeléus, H. J. (1969). The Chemistry of Fluorine and Its Compounds. Academic Press. hlm. 13. ISBN 9781483273044.
^ Demey, Lorenz; Smessaert, Hans (2017). "Logical and Geometrical Distance in Polyhedral Aristotelian Diagrams in Knowledge Representation". Symmetry. 9 (10): 204. doi:10.3390/sym9100204 .
^ Slobodan, Mišić; Obradović, Marija; Ðukanović, Gordana (2015). "Composite Concave Cupolae as Geometric and Architectural Forms" (PDF). Journal for Geometry and Graphics. 19 (1): 79–91.
^ Rajwade, A. R. (2001). Convex Polyhedra with Regularity Conditions and Hilbert's Third Problem. Texts and Readings in Mathematics. Hindustan Book Agency. hlm. 84–88. doi:10.1007/978-93-86279-06-4. ISBN 978-93-86279-06-4. Lihat Tabel 12.3. Lambang $P_{n}$ merepresentasikan prisma segi- $n$ dan $A_{n}$ merepresentasikan antiprisma segi- $n$ .

Sumber

Freitag, Mark A. (2014). Mathematics for Elementary School Teachers: A Process Approach. Brooks/Cole. ISBN 978-0-618-61008-2.
Larcombe, H. J. (1929). Cambridge Intermediate Mathematics: Geometry Part II. Cambridge University Press.

Pranala luar

Weisstein, Eric W., "Square pyramid" ("Johnson solid") at MathWorld.
(Inggris) Weisstein, Eric W. "Wheel graph". MathWorld.
Square Pyramid – Interactive Polyhedron Model
Virtual Reality Polyhedra georgehart.com: The Encyclopedia of Polyhedra (VRML model)

[wohlleben-1] Wohlleben, Eva (2019). "Duality in Non-Polyhedral Bodies Part I: Polyliner". Dalam Cocchiarella, Luigi. ICGG 2018 - Proceedings of the 18th International Conference on Geometry and Graphics: 40th Anniversary - Milan, Italy, August 3-7, 2018. International Conference on Geometry and Graphics. Springer. doi:10.1007/978-3-319-95588-9. ISBN 978-3-319-95588-9.

[piramida-2] Izzudin, Muhammad; Supriyanto; Rismaningsih, Febri; Sulistyani, Umi; Malik, Yulianti; Saka, Bergita Gela M; Putranti, Anisa Budi; Anggraeni, Erwinda Fenty; Tambunan, Nurma; Hartati, Leny; Sudirman; Setiawan, Jan; Malik, Rena Fadilah; Hidayat, Rochmat (2022). Geometri Datar dan Ruang. Media Sains Indonesia. hlm. 160. ISBN 978-623-362-742-9.

[kmp-3] Kinsey, L. Christine; Moore, Teresa E.; Prassidis, Efstratios (2011). Geometry and Symmetry. John Wiley & Sons. hlm. 371. ISBN 978-0-470-49949-8.

[o-bruce-4] O'Keeffe, Michael; Hyde, Bruce G. (2020). Crystal Structures: Patterns and Symmetry. Dover Publications. hlm. 141. ISBN 9780486836546.

[smith-5] Smith, James T. (2000). Methods of Geometry. John Wiley & Sons. hlm. 98. ISBN 0-471-25183-6.

[FOOTNOTEFreitag2014598-6] Freitag (2014), hlm. 598.

[hocevar-7] Hocevar, Franx (1903). Solid Geometry. A. & C. Black. hlm. 44.

[johnson-8] Johnson, Norman W. (1966). "Convex polyhedra with regular faces". Canadian Journal of Mathematics. 18: 169–200. doi:10.4153/cjm-1966-021-8 . MR 0185507. Zbl 0132.14603. Lihat tabel III, baris 1.

[uehara-9] Uehara, Ryuhei (2020). Introduction to Computational Origami: The World of New Computational Geometry. Springer. hlm. 62. doi:10.1007/978-981-15-4470-5. ISBN 978-981-15-4470-5.

[pisanski-10] Pisanski, Tomaž; Servatius, Brigitte (2013). Configuration from a Graphical Viewpoint. Springer. hlm. 20–21. doi:10.1007/978-0-8176-8364-1. ISBN 978-0-8176-8363-4.

[FOOTNOTELarcombe1929177-11] Larcombe (1929), hlm. 177.

[perry-12] Perry, O. W.; Perry, J. (1981). Mathematics. Springer. hlm. 145–146. doi:10.1007/978-1-349-05230-1. ISBN 978-1-349-05230-1.

[FOOTNOTEFreitag2014[https://books.google.com/books?id=GYsWAAAAQBAJ&pg=PA798_798]-13] Freitag (2014), hlm. 798.

[ak-14] Alexander, Daniel C.; Koeberlin, Geralyn M. (2014). Elementary Geometry for College Students (edisi ke-6th). Cengage Learning. hlm. 403. ISBN 978-1-285-19569-8.

[FOOTNOTELarcombe1929[https://books.google.com/books?id=SAE9AAAAIAAJ&pg=PA178_178]-15] Larcombe (1929), hlm. 178.

[cromwell-16] Cromwell, Peter R. (1997). Polyhedra. Cambridge University Press. hlm. 20–22.

[eves-17] Eves, Howard (1997). Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics (edisi ke-3rd). Dover Publications. hlm. 2. ISBN 978-0-486-69609-6.

[wagner-18] Wagner, Donald Blackmore (1979). "An early Chinese derivation of the volume of a pyramid: Liu Hui, third century A.D.". Historia Mathematics. 6 (2): 164–188. doi:10.1016/0315-0860(79)90076-4.

[herz-fischler-19] Herz-Fischler, Roger (2000). The Shape of the Great Pyramid. Wilfrid Laurier University Press. ISBN 0-88920-324-5. Buku ini secara keseluruhan menjelaskan banyak teori-teori alternatif mengenai bentuk piramid ini. Lihat Bab 11, "Kepler triangle theory", hlm. 80–91 untuk penjelasan lebih lanjut mengenai segitiga Kepler, dan hlm. 166 untuk kesimpulan bahwa teori segitiga Kepler dapat dieliminasi melalui prinsip yang berbunyi "A theory must correspond to a level of mathematics consistent with what was known to the ancient Egyptians." [Sebuah teori harus disesuaikan dengan pengetahuan matematika yang semestinya diketahui oleh bangsa Mesir kuno.] Lihat catatan 3, hlm. 229 untuk riwayat mengenai karya Kepler dengan segitiga tersebut.

[rossi-20] Rossi, Corinna (2004). Architecture and Mathematics in Ancient Egypt. Cambridge University Press. hlm. 67–68. there is no direct evidence in any ancient Egyptian written mathematical source of any arithmetic calculation or geometrical construction which could be classified as the Golden Section ... convergence to $\varphi$ , and $\varphi$ itself as a number, do not fit with the extant Middle Kingdom mathematical sources [tidak ada bukti langsung dalam sumber matematika bangsa Mesir mengenai perhitungan aritmetika atau konstruksi geometris yang dapat digolongkan sebagai Golden Section ... yang konvergensi menuju $\varphi$ , dan $\varphi$ itu sendiri sebagai bilangan, tidak ada kaitannya dengan sumber matematika Kerajaan pada Abad Pertengahan yang masih ada] ; lihat pula pembahasan lebih lanjut mengenai banyaknya teori-teori alternatif tentang bentuk bangunan dan arsitektur bangsa Mesir, hlm. 7–56

[rt-21] Rossi, Corinna; Tout, Christopher A. (2002). "Were the Fibonacci series and the Golden Section known in ancient Egypt?". Historia Mathematica. 29 (2): 101–113. doi:10.1006/hmat.2001.2334. hdl:11311/997099 .

[markowsky-22] Markowsky, George (1992). "Misconceptions about the Golden Ratio" (PDF). The College Mathematics Journal. Mathematical Association of America. 23 (1): 2–19. doi:10.2307/2686193. JSTOR 2686193. Diakses tanggal 2012-06-29. It does not appear that the Egyptians even knew of the existence of $\varphi$ much less incorporated it in their buildings [Tidak dijelaskan bahwa bangsa Mesir mengetahui keberadaan $\varphi$ , yang tidak ada keterkaitannya dengan bangunan itu.]

[feder-23] Feder, Kenneth L. (2010). Encyclopedia of Dubious Archaeology: From Atlantis to the Walam Olum: From Atlantis to the Walam Olum. ABC-CLIO. hlm. 34. ISBN 9780313379192.

[tc-24] Takacs, Sarolta Anna; Cline, Eric H. (2015). The Ancient World. Routledge. hlm. 16. ISBN 9781317458395.

[jn-25] Jarvis, Daniel; Naested, Irene (2012). Exploring the Math and Art Connection: Teaching and Learning Between the Lines. Brush Education. hlm. 172. ISBN 978-1-55059-398-3.

[simonson-26] Simonson, Shai (2011). Rediscovering Mathematics: You Do the Math. Mathematical Association of America. hlm. 154. ISBN 978-0-88385-912-4.

[phh-27] Petrucci, Ralph H.; Harwood, William S.; Herring, F. Geoffrey (2002). General Chemistry: Principles and Modern Applications. 1. Prentice Hall. hlm. 414. ISBN 9780130143297.

[emeleus-28] Emeléus, H. J. (1969). The Chemistry of Fluorine and Its Compounds. Academic Press. hlm. 13. ISBN 9781483273044.

[ds-29] Demey, Lorenz; Smessaert, Hans (2017). "Logical and Geometrical Distance in Polyhedral Aristotelian Diagrams in Knowledge Representation". Symmetry. 9 (10): 204. doi:10.3390/sym9100204 .

[smg-30] Slobodan, Mišić; Obradović, Marija; Ðukanović, Gordana (2015). "Composite Concave Cupolae as Geometric and Architectural Forms" (PDF). Journal for Geometry and Graphics. 19 (1): 79–91.

[rajwade-31] Rajwade, A. R. (2001). Convex Polyhedra with Regularity Conditions and Hilbert's Third Problem. Texts and Readings in Mathematics. Hindustan Book Agency. hlm. 84–88. doi:10.1007/978-93-86279-06-4. ISBN 978-93-86279-06-4. Lihat Tabel 12.3. Lambang $P_{n}$ merepresentasikan prisma segi- $n$ dan $A_{n}$ merepresentasikan antiprisma segi- $n$ .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]