Bilangan rasional

Himpunan bilangan rasional terdiri dari himpunan bilangan bulat.

Bilangan rasional (bahasa Inggris: Rational number) adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai perbandingan dua bilangan bulat $a$ dan $b$, dengan $b\neq 0$. Himpunan bilangan rasional dapat dilambangkan sebagai $\mathbb {Q}$. Untuk himpunan bilangan rasional dapat kita rumuskan

$\mathbb {Q} =\left\{\left.{\frac {a}{b}}\right|a,b,\in \mathbb {Z} ,b\neq 0\right\}$.

Dengan memisalkan $b=1$ dan $a\in \mathbb {Z}$, maka bentuknya dapat dinyatakan sebagai ${\frac {a}{1}}$. Akibatnya, semua bilangan bulat merupakan bilangan rasional, maka himpunan bilangan bulat.

$\mathbb {Z} \subset \mathbb {Q}$.

Representasi bilangan desimal

Bilangan rasional merupakan bilangan desimal yang berulang atau berhenti. Sebagai contoh, ${\frac {1}{2}}$ merupakan bilangan rasional. Kita dapat mengkonversinya dalam bentuk desimal, yaitu $0.5$. Bilangan lain, seperti ${\frac {1}{3}}$ merupakan bilangan rasional dapat dikonversi dalam bentuk desimal $0.333\dots$ atau $0.{\bar {3}}$. Representasi desimal ${\frac {a}{b}}$ dapat dikatakan berhenti jika dan hanya jika terdapat bilangan asli $n$ dan $c_{i}\in \{0,\dots ,9\}$, dengan $c_{n}\neq 0$ sehingga

${\frac {a}{b}}=0.c_{1}c_{2}c_{3}\dots c_{n}000$.

Sedangkan, representasi desimal ${\frac {a}{b}}$ dapat dikatakan berulang jika dan hanya jika terdapat bilangan asli $n$ dan $N$ sehingga

${\frac {a}{b}}=0.c_{1}\dots c_{N}c_{N+1}\dots c_{N+b}c_{N+b+1}\dots$.

Teorema Midy

Artikel utama: Teorema Midy

Teorema Midy, dinamai dari E. Midy, adalah pernyataan mengenai ekspansi desimal berulang (dengan periode genap) dari pecahan ${\frac {a}{p}}$, dimana $a$ adalah bilangan bulat dan $p$ adalah bilangan prima sehingga

${\frac {a}{p}}=0.{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{n}\dots a_{2n}}}$.

Sifat bilangan rasional

Sifat bilangan rasional, antara lain:

• Tertutup, dimana penjumlahan dan perkalian antara bilangan rasional juga menghasilkan bilangan rasional. Untuk sebarang $a$, $b$, $c$, $d$ bilangan bulat, berlaku

${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}$ dan ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}$ adalah bilangan rasional.

• Komutatif, dimana penjumlahan dan perkalian antara bilangan rasional dapat bertukar sehingga menghasilkan nilai yang sama. Untuk sebarang $a$, $b$, $c$, $d$ bilangan bulat, berlaku

${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {c}{d}}+{\frac {a}{b}}$ dan ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {d}{c}}\cdot {\frac {a}{b}}$.

• Asosiatif, dimana penjumlahan dan perkalian antara bilangan rasional dapat dikelompokkan. Untuk sebarang $a$, $b$, $c$, $d$, $p$, $q$ bilangan bulat, berlaku

$\left({\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}\right)+{\frac {p}{q}}={\frac {a}{b}}+\left({\frac {c}{d}}+{\frac {p}{q}}\right)$ dan ${\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}\cdot {\frac {p}{q}}\right)=\left({\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}\right)\cdot {\frac {p}{q}}$.

• Distributif, dimana untuk sebarang $a$, $b$, $c$, $d$, $p$, $q$ bilangan bulat, berlaku

${\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}+{\frac {p}{q}}\right)={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}+{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {p}{q}}$.

• Memiliki elemen identitas, dimana pada penjumlahan dan perkalian memiliki identitas, yaitu ditambah $0$ dan dikali $1$. Untuk sebarang $a$, $b$ bilangan bulat, berlaku

${\frac {a}{b}}+{\frac {0}{1}}={\frac {a}{b}}$ dan ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {1}{1}}={\frac {a}{b}}$.

• Memiliki invers, dimana setiap penjumlahan dan perkalian memiliki invers, yaitu $-{\frac {a}{b}}$ dan ${\frac {b}{a}}$, dengan sebarang $a$, $b$ bilangan bulat. Ini berlaku

${\frac {a}{b}}+\left(-{\frac {a}{b}}\right)=0$ dan ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{a}}=1$.

Lihat juga

• Bilangan bulat
• Bilangan irasional
• Pecahan