Minor (aljabar linear): Perbedaan antara revisi

Konten dihapus Konten ditambahkan

Sebaris

Revisi terkini sejak 23 Maret 2024 03.10

Dalam aljabar linear, minor dari matriks $\mathbf {A}$ adalah determinan dari beberapa matriks persegi kecil, yang dibentuk dengan menghapus satu atau lebih baris-dan-kolom matriks $\mathbf {A}$ . Minor yang diperoleh dengan hanya menghapus satu baris dan satu kolom dari matriks persegi (disebut dengan minor pertama) diperlukan untuk menghitung matriks kofaktor, yang pada gilirannya berguna untuk menghitung determinan dan invers dari matriks persegi.

Definisi[sunting | sunting sumber]

Minor pertama[sunting | sunting sumber]

Jika $\mathbf {A}$ adalah sebuah matriks persegi, maka minor dari entri baris ke- $i$ dan kolom ke- $j$ matriks tersebut, adalah determinan dari submatriks yang dibentuk dengan menghapus baris ke- $i$ dan kolom ke- $j$ . Determinan ini juga disebut dengan minor $(i,j)$ , atau minor pertama^[1]. Bilangan ini seringkali dilambangkan $M_{i,j}$ . Bilangan lain yang disebut kofaktor $C_{i,j}$ , diperoleh dengan mengalikan minor tersebut oleh $(-1)^{i+j}$ .

Untuk mengilustrasikan definisi-definisi tersebut, tinjau matriks $3\times 3$ berikut,

{\begin{bmatrix}\,\,\,1&4&7\\\,\,\,3&0&5\\-1&9&\!11\\\end{bmatrix}}

Minor

M_{2,3}

didapatkan dari menghitung determinan dari matriks yang baris ke-2 dan kolom ke-3-nya telah dihapus:

M_{2,3}=\det {\begin{bmatrix}\,\,1&4&\Box \,\\\,\Box &\Box &\Box \,\\-1&9&\Box \,\\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}\,\,\,1&4\,\\-1&9\,\\\end{bmatrix}}=(9-(-4))=13,

dan kofaktor

C_{2,3}

adalah

C_{2,3}=(-1)^{2+3}(M_{2,3})=-13.

Definisi umum[sunting | sunting sumber]

Misalkan $\mathbf {A}$ adalah matriks berukuran $m\times n$ dan $k$ adalah bilangan bulat dengan $0<k\leq m$ , dan $k\leq n$ . Minor $k\times k$ dari $\mathbf {A}$ adalah determinan dari suatu matriks berukuran $k\times k$ yang diperoleh dengan menghapus $m-k$ baris dan $n-k$ kolom dari $\mathbf {A}$ . Determinan ini juga disebut sebagai determinan minor orde- $k$ dari $\mathbf {A}$ , atau ketika $m=n$ , disebut dengan determinan minor ke- $(n-k)$ dari $\mathbf {A}$ .^{[note 1]} Untuk matriks $\mathbf {A}$ tersebut, terdapat sebanyak ${\textstyle {m \choose k}\cdot {n \choose k}}$ minor berukuran $k\times k$ . Minor orde-nol sering didefinisikan bernilai $1$ . Pada kasus matriks persegi, minor ke-nol sama saja dengan determinan dari matriks.^[2]^[3]

Misalkan $1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq m$ dan $1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq n$ adalah barisan dari indeks,^{[note 2]} sebut mereka masing-masing sebagai $I$ dan $J$ . Terdapat beberapa notasi untuk menyebut minor

\det \left((\mathbf {A} _{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}\right)

yang berkorespondensi dengan pilihan-pilihan indeks ini. Tergantung pada sumber yang digunakan, notasi untuk minor dapat berupa

{\textstyle \det _{I,J}\mathbf {A} }

,

{\textstyle [\mathbf {A} ]_{I,J}}

,

{\textstyle M_{I,J}}

,

{\textstyle M_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k},j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}}

, atau

M_{(i),(j)}

(dengan

(i)

melambangkan barisan indeks

I

, dst.). Lebih lanjut, terdapat dua gaya notasi digunakan dalam literaturː beberapa penulis^[4] menganggap minor dengan indeks

I

dan

J

, merujuk pada determinan dari submatriks sesuai definisi di atas, yang anggota-anggotanya berasal dari matriks asli, dengan indeks barisnya ada di

I

dan indeks kolomnya ada di

J

. Sedangkan beberapa penulis lainnya, merujuk pada submatriks yang dihasilkan dari menghapus baris-baris di

I

dan menghapus kolom-kolom di

J

.^[2] Pilihan notasi yang digunakan perlu dipastikan dari sumber yang digunakan. Pengecualian untuk kedua gaya notasi yang berbeda ini adalah kasus minor-

(i,\,j)

; definisi

M_{i,j}=\det \left(\left(\mathbf {A} _{p,q}\right)_{p\neq i,q\neq j}\right)

telah menjadi standar dimanapun, dan dipakai dalam artikel ini.

Penerapan minor dan kofaktor[sunting | sunting sumber]

Ekspansi kofaktor dari determinan[sunting | sunting sumber]

Konsep kofaktor sangat berperan dalam rumus ekspansi Laplace, yakni suatu metode untuk menghitung determinan matriks berukuran besar menggunakan determinan matriks-matriks yang berukuran lebih kecil. Untuk sebarang matriks $A=(a_{ij})$ berukuran $n\times n$ , determinan $\mathbf {A}$ yang dilambangkan dengan $\det {(\mathbf {A} )}$ , dapat dituliskan sebagai penjumlahan dari perkalian kofaktor-kofaktor setiap baris (maupun setiap kolom) matriks dengan entri-entri matriks yang menghasilkan kofaktor-kofaktor tersebut. Secara lebih matematis, dengan menuliskan $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ , ekspansi kofaktor sepanjang baris ke- $i$ dapat dituliskan sebagai

\ \det(\mathbf {A} )=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+\cdots +a_{in}C_{in}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}.

Ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-

j

dapat dituliskan

\det(\mathbf {A} )=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+\cdots +a_{in}C_{in}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}.

Invers dari matriks[sunting | sunting sumber]

Invers dari matriks terbalikkan dapat dihitung dari kofaktor-kofaktornya dengan menggunakan aturan Cramer, seperti berikut. Misalkan $\mathbf {C}$ adalah matriks yang dibentuk oleh semua dari kofaktor-kofaktor dari sebuah matriks persegi $\mathbf {A}$ . Matriks ini disebut matriks kofaktor memiliki bentuk matematis

\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}.

Invers dari

\mathbf {A}

selanjutnya dapat dinyatakan sebagai transpos dari matriks kofaktor dikali kebalikan dari determinan

\mathbf {A}

ː

\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} (\mathbf {A} )}}\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.

Transpos dari matriks kofaktor juga dikenal sebagai matriks adjoin dari

\mathbf {A}

.

Rumus di atas dapat diperumum sebagai berikut. Misalkan $\mathbf {A}$ adalah sebarang matriks persegi $n\times n$ , dan $1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n$ dan $1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}\leq n$ adalah barisan (dengan urutan menaik) dari indeks-indeks $\mathbf {A}$ . Berlaku hubungan^[5]

[\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}=\pm {\frac {[\mathbf {A} ]_{J',I'}}{\det \mathbf {A} }},

dengan $I'$ dan $J'$ melambangkan barisan urutan dari indeks (juga dengan urutan menaik), yang komplementer dengan $I$ , $J$ . Artinya setiap indeks $1,\dots ,n$ muncul tepat sekali di salah satu $I$ atau $I'$ , tapi tidak di keduanya (demikian pula untuk $J$ dan $J'$ ). Simbol $[\mathbf {A} ]_{I,J}$ melambangkan determinan dari submatriks $\mathbf {A}$ dibentuk dengan memilih baris dari himpunan indeks $I$ dan kolom dari himpunan indeks $J$ ; secara matematis,

[\mathbf {A} ]_{I,J}=\det \left((A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}\right).

Penerapan lainnya[sunting | sunting sumber]

Untuk sebarang matriks $m\times n$ dengan entri bilangan riil (atau entri dari sebarang lapangan lainnya) dan rank $r$ , terdapat setidaknya satu minor $r\times r$ yang tak-nol, sedangkan semua minor-minor yang lebih besar bernilai nol.

Kita akan menggunakan notasi berikut untuk minor. Misalkan $\mathbf {A}$ adalah matriks berukuran $m\times n$ , $I$ adalah subset dari $\{1,\dots ,m\}$ dengan $k$ anggota, dan $J$ adalah subset dari $\{1,\dots ,n\}$ dengan $k$ anggota. Notasi $\left[\mathbf {A} \right]_{I,J}$ untuk minor $k\times k$ dari $\mathbf {A}$ , dihasilkan dari mengambil elemen-elemen matriks $\mathbf {A}$ , yang indeks barisnya ada di $I$ dan indeks kolomnya ada di $J$ .

Jika $I=J$ , maka $\left[\mathbf {A} \right]_{I,J}$ disebut minor utama (principal minor).
Jika matriks yang berkorespodensi dengan minor utama adalah submatriks yang terletak di bagian atas-kiri dari matriks yang besar (artinya, matriks tersebut beranggotakan elemen yang baris-dan-kolomnya memiliki indeks dari $1$ hingga $k$ ), maka minor utama disebut minor utama terdepan (leading principal minor).^[3] Untuk matriks persegi $n\times n$ , ada sebanyak $n$ minor utama terdepan.
Untuk matriks Hermite, minor utama terdepan dapat digunakan untuk menguji sifat ketentuan positif (positive definiteness) dan minor utama dapat digunakan untuk menguji sifat kesemitentuan positif (semidefiniteness positive). Lihat kriteria Sylvester untuk detail lebih lanjut.

Baik rumus untuk perkalian matriks biasa maupun rumus Cauchy–Binet untuk determinan dari perkalian dua matriks, adalah kasus khusus dari pernyataan umum berikut terkait minor-minor dari perkalian dua matriks. Misalkan $\mathbf {A}$ adalah matriks ukuran $m\times n$ , $\mathbf {B}$ adalah matriks ukuran $n\times p$ , $I$ adalah subset dari $\{1,\dots ,m\}$ dengan $k$ anggota, dan $J$ adalah subset dari $\{1,\dots ,p\}$ dengan $k$ anggota. Terdapat hubungan

[\mathbf {AB} ]_{I,J}=\sum _{K}[\mathbf {A} ]_{I,K}[\mathbf {B} ]_{K,J}\,

dengan penjumlahan dilakukan atas semua subset

K

yang mungkin dari himpunan

\{1,\dots ,n\}

dengan

k

anggota. Rumus ini merupakan sebuah perumuman langsung dari rumus Cauchy–Binet.

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Submatriks

Catatan kaki[sunting | sunting sumber]

^ Kata "determinan" seringkali dihilangkan, dan kata "derajat" terkadang digunakan sebagai pengganti "orde".
^ Dengan urutan alami, asumsi yang umum digunakan ketika berbicara tentang minor, kecuali dinyatakan lain.

Referensi[sunting | sunting sumber]

^ Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form.
^ ^a ^b Elementary Matrix Algebra (Third edition), Franz E. Hohn, The Macmillan Company, 1973, ISBN 978-0-02-355950-1
^ ^a ^b "Minor". Encyclopedia of Mathematics.
^ Linear Algebra and Geometry, Igor R. Shafarevich, Alexey O. Remizov, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, ISBN 978-3-642-30993-9
^ Viktor Vasil_evich Prasolov (13 June 1994). Problems and Theorems in Linear Algebra. American Mathematical Soc. hlm. 15–. ISBN 978-0-8218-0236-6.

Pranala luar[sunting | sunting sumber]

MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors at Google Video, from MIT OpenCourseWare
PlanetMath entry of Cofactors Diarsipkan 2012-04-08 di Wayback Machine.
Springer Encyclopedia of Mathematics entry for Minor

[2] Kata "determinan" seringkali dihilangkan, dan kata "derajat" terkadang digunakan sebagai pengganti "orde".

[5] Dengan urutan alami, asumsi yang umum digunakan ketika berbicara tentang minor, kecuali dinyatakan lain.

[1] Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form.

[Hohn22-3] Elementary Matrix Algebra (Third edition), Franz E. Hohn, The Macmillan Company, 1973, ISBN 978-0-02-355950-1

[Encyclopedia_of_Mathematics32-4] "Minor". Encyclopedia of Mathematics.

[6] Linear Algebra and Geometry, Igor R. Shafarevich, Alexey O. Remizov, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, ISBN 978-3-642-30993-9

[Prasolov19942-7] Viktor Vasil_evich Prasolov (13 June 1994). Problems and Theorems in Linear Algebra. American Mathematical Soc. hlm. 15–. ISBN 978-0-8218-0236-6.

[1]

[note 1]

[2]

[3]

[note 2]

[4]

[5]

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
+{{Short description|Determinan dari suatu subbagian dari matriks persegi}}
-Dalam [[aljabar linear]], sebuah '''minor''' dari matriks <math>\mathbf{A}</math> adalah [[determinan]] dari beberapa [[matriks persegi]] kecil, yang dibentuk dengan menghapus satu atau lebih baris dan kolom matriks <math>\mathbf{A}</math>. Minor yang diperoleh dengan hanya menghapus satu baris dan satu kolom dari matriks persegi ('''minor pertama''') diperlukan untuk menghitung matriks '''kofaktor''', yang pada gilirannya berguna untuk menghitung determinan dan [[Matriks yang dapat dibalik|invers]] dari matriks persegi.
+{{About|konsep dalam aljabar linear|konsep ''minor'' dalam teori graf|Graf minor}}
-== Definisi dan ilustrasi ==
+Dalam [[aljabar linear]], '''minor''' dari matriks <math>\mathbf{A}</math> adalah [[determinan]] dari beberapa [[matriks persegi]] kecil, yang dibentuk dengan menghapus satu atau lebih baris-dan-kolom matriks <math>\mathbf{A}</math>. Minor yang diperoleh dengan hanya menghapus satu baris dan satu kolom dari matriks persegi (disebut dengan '''minor pertama''') diperlukan untuk menghitung matriks '''kofaktor''', yang pada gilirannya berguna untuk menghitung determinan dan [[Matriks terbalikkan|invers]] dari matriks persegi.
-=== Minor pertama ===
-Jika <math>\mathbf{A}</math> adalah sebuah matriks persegi, maka ''minor'' dari entri dalam baris ke-<math>i</math> dan kolom ke-<math>j</math>  adalah [[determinan]] dari [[Matriks (matematika)#Submatriks|submatriks]] dibentuk dengan menghapus baris ke-<math>i</math> dan kolom ke-<math>j</math>. Determinan ini juga disebut dengan ''minor'' <math>(i,j)</math>, atau sebuah ''minor pertama<ref>Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) ''[https://books.google.com/books?id=BhgPAAAAIAAJ&pg=PA239 Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form]''.</ref>''. Bilangan ini seringkali dilambangkan <math>M_{i,j}</math>. ''Kofaktor'' <math>(i,j)</math> diperoleh dengan mengalikan minor oleh <math>(-1)^{i+j}</math>.
+== Definisi ==
-Untuk mengilustrasikan definisi-definisi ini, tinjau matriks 3 kali 3 berikut,
+=== Minor pertama ===
+Jika <math>\mathbf{A}</math> adalah sebuah matriks persegi, maka ''minor'' dari entri baris ke-<math>i</math> dan kolom ke-<math>j</math> matriks tersebut, adalah [[determinan]] dari [[Matriks (matematika)#Submatriks|submatriks]] yang dibentuk dengan menghapus baris ke-<math>i</math> dan kolom ke-<math>j</math>. Determinan ini juga disebut dengan ''minor'' <math>(i,j)</math>, atau ''minor pertama<ref>Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) ''[https://books.google.com/books?id=BhgPAAAAIAAJ&pg=PA239 Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form]''.</ref>''. Bilangan ini seringkali dilambangkan <math>M_{i,j}</math>. Bilangan lain yang disebut ''kofaktor'' <math>C_{i,j}</math>, diperoleh dengan mengalikan minor tersebut oleh <math>(-1)^{i+j}</math>.
+Untuk mengilustrasikan definisi-definisi tersebut, tinjau matriks <math>3\times3</math> berikut,<math display="block">\begin{bmatrix}
-: <math>\begin{bmatrix}
 \,\,\,1 & 4 & 7 \\
 \,\,\,3 & 0 & 5 \\
 -1 & 9 & \!11 \\
+\end{bmatrix}</math>Minor <math>M_{2,3}</math> didapatkan dari menghitung determinan dari matriks yang baris ke-2 dan kolom ke-3-nya telah dihapus:<math display="block"> M_{2,3} = \det \begin{bmatrix}
-\end{bmatrix}</math>
-Untuk menghitung minor <math>M_{2,3}</math> dan kofaktor <math>C_{2,3}</math>, kita perlu menemukan determinan dari matriks yang baris ke-2 dan kolom ke-3-nya telah dihapus.
-: <math> M_{2,3} = \det \begin{bmatrix}
 \,\,1 & 4 & \Box\, \\
 \,\Box & \Box & \Box\, \\
@@ Baris 23: / Baris 21: @@
 \,\,\,1 & 4\, \\
 -1 & 9\, \\
-\end{bmatrix} = (9-(-4)) = 13</math>
+\end{bmatrix} = (9-(-4)) = 13,</math>dan kofaktor <math>C_{2,3}</math> adalah<math display="block">C_{2,3} = (-1)^{2+3}(M_{2,3}) = -13.</math>
-Jadi kofaktor dari entri <math>(2,3)</math> adalah
-: <math>\ C_{2,3} = (-1)^{2+3}(M_{2,3}) = -13.</math>
 === Definisi umum ===
-Misalkan <math>\mathbf{A}</math> adalah sebuah matriks berukuran <math>m\times n</math> dan <math>k</math> adalah sebuah [[bilangan bulat]] dengan <math>0 < k \leq m</math>, dan <math>k \leq n</math>. Sebuah ''minor'' <math>k \times k</math> dari <math>\mathbf{A}</math> adalah determinan dari sebuah matriks berukuran <math>k \times k</math> yang diperoleh dengan menghapus <math>(m-k)</math> baris dan <math>(n-k)</math> kolom dari ''<math>\mathbf{A}</math>''. Determinan ini juga disebut ''determinan minor dengan orde <math>k</math> dari <math>\mathbf{A}</math>'', atau jika <math>m = n</math>, disebut dengan ''determinan minor ke-''<math>(n-k)</math> dari ''<math>\mathbf{A}</math>'' (kata "determinan" seringkali dihilangkan, dan kata "derajat" terkadang digunakan sebagai pengganti "orde"). Terkadang istilah ini digunakan untuk merujuk ke matriks <math>k \times k</math> yang diperoleh dari ''<math>\mathbf{A}</math>'' dengan cara di atas (yakni dengan menghapus <math>(m-k)</math> baris dan <math>(n-k)</math> kolom), tetapi matriks ini harus dirujuk ke determinan dari matriks ini<!-- Terjemahan kalimat ini membingungkan --Kekavigi -->.
+Misalkan <math>\mathbf{A}</math> adalah matriks berukuran <math>m\times n</math> dan <math>k</math> adalah [[bilangan bulat]] dengan <math>0 < k \leq m</math>, dan <math>k \leq n</math>. ''Minor'' <math>k \times k</math> dari <math>\mathbf{A}</math> adalah determinan dari suatu matriks berukuran <math>k \times k</math> yang diperoleh dengan menghapus <math>m-k</math> baris dan <math>n-k</math> kolom dari ''<math>\mathbf{A}</math>''. Determinan ini juga disebut sebagai ''determinan minor orde-<math>k</math> dari <math>\mathbf{A}</math>'', atau ketika <math>m = n</math>, disebut dengan ''determinan minor ke-''<math>(n-k)</math> dari ''<math>\mathbf{A}</math>''.<ref group="note">Kata "determinan" seringkali dihilangkan, dan kata "derajat" terkadang digunakan sebagai pengganti "orde".</ref> Untuk matriks ''<math>\mathbf{A}</math>'' tersebut, terdapat sebanyak <math display="inline">{m \choose k} \cdot {n \choose k}</math> minor berukuran <math>k \times k</math>. ''Minor orde-nol'' sering didefinisikan bernilai <math>1</math>. Pada kasus matriks persegi, ''minor ke-nol'' sama saja dengan determinan dari matriks.<ref name="Hohn22">Elementary Matrix Algebra (Third edition), Franz E. Hohn, The Macmillan Company, 1973, {{isbn|978-0-02-355950-1}}</ref><ref name="Encyclopedia of Mathematics32">{{cite book|url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Minor&oldid=30176|title=Encyclopedia of Mathematics|chapter=Minor}}</ref>
+Misalkan <math>1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le m</math> dan <math>1 \le j_1 < j_2 < \cdots < j_k \le n</math> adalah [[barisan]] dari indeks,<ref group="note">Dengan urutan alami, asumsi yang umum digunakan ketika berbicara tentang minor, kecuali dinyatakan lain.</ref> sebut mereka masing-masing sebagai <math>I </math> dan <math>J</math>. Terdapat beberapa notasi untuk menyebut minor<math display="block">\det \left( (\mathbf A_{i_p, j_q})_{p,q = 1, \ldots, k} \right)</math>yang berkorespondensi dengan pilihan-pilihan indeks ini. Tergantung pada sumber yang digunakan, notasi untuk minor dapat berupa <math display="inline">\det_{I,J} \mathbf A</math>,  <math display="inline">[\mathbf A]_{I,J}</math>, <math display="inline">M_{I,J}</math>, <math display="inline">M_{i_1, i_2, \ldots, i_k, j_1, j_2, \ldots, j_k}</math>, atau <math>M_{(i),(j)}</math> (dengan <math>(i)</math> melambangkan barisan indeks <math>I </math>, dst.). Lebih lanjut, terdapat dua gaya notasi digunakan dalam literaturː beberapa penulis<ref>Linear Algebra and Geometry, Igor R. Shafarevich,  Alexey O. Remizov, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, {{isbn|978-3-642-30993-9}}</ref> menganggap minor dengan indeks <math>I </math> dan <math>J</math>, merujuk pada determinan dari submatriks sesuai definisi di atas, yang anggota-anggotanya berasal dari matriks asli, dengan indeks barisnya ada di <math>I </math> dan indeks kolomnya ada di <math>J</math>. Sedangkan beberapa penulis lainnya, merujuk pada submatriks yang dihasilkan dari menghapus baris-baris di <math>I </math> dan menghapus kolom-kolom di <math>J</math>.<ref name="Hohn22" /> Pilihan notasi yang digunakan perlu dipastikan dari sumber yang digunakan. Pengecualian untuk kedua gaya notasi yang berbeda ini adalah kasus minor-<math>(i,\,j)</math>; definisi<math display="block">M_{i,j} = \det \left( \left( \mathbf A_{p,q} \right)_{p \neq i, q \neq j} \right)</math>telah menjadi standar dimanapun, dan dipakai dalam artikel ini.
-Untuk matriks ''<math>\mathbf{A}</math>'' di atas, terdapat <math>{m \choose k} \cdot {n \choose k}</math> minor berukuran <math>k \times k</math>. ''Minor dengan orde nol'' sering didefinisikan bernilai <math>1</math>. Pada kasus matriks persegi, ''minor ke-nol'' hanyalah determinan dari matriks.<ref name="Hohn2">Elementary Matrix Algebra (Third edition), Franz E. Hohn, The Macmillan Company, 1973, {{isbn|978-0-02-355950-1}}</ref><ref name="Encyclopedia of Mathematics3">{{cite book|url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Minor&oldid=30176|title=Encyclopedia of Mathematics|chapter=Minor}}</ref>
-Misalkan <math>1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le m</math> dan <math>1 \le j_1 < j_2 < \cdots < j_k \le n</math> adalah suatu barisan terurut<ref>dengan urutan alami, asumsi yang umum digunakan ketika berbicara tentang minor, kecuali dinyatakan lain.</ref> dari indeks, sebut mereka masing-masing sebagai <math>I </math> dan <math>J</math>. Terdapat beberapa notasi untuk menyebut minor <math display="block">\det \left( (A_{i_p, j_q})_{p,q = 1, \ldots, k} \right)</math>yang berkorespondensi dengan pilihan-pilihan dari indeks ini. Tergantung pada sumber yang digunakan, notasi untuk minor tersebut adalah <math>\det_{I,J} A</math>,  <math>[A]_{I,J}</math>, <math>M_{I,J}</math>, <math>M_{i_1, i_2, \ldots, i_k, j_1, j_2, \ldots, j_k}</math>, atau <math>M_{(i),(j)}</math> (dengan <math>(i)</math> melambangkan barisan indeks <math>I </math>, dan seterusnya). Juga, terdapat dua tipe dari denotasi-denotasi digunakan dalam literaturː dengan minor dikaitkan ke barisan yang diurutkan dari indeks <math>I </math> dan <math>J</math>, beberapa penulis<ref>Linear Algebra and Geometry, Igor R. Shafarevich,  Alexey O. Remizov, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, {{isbn|978-3-642-30993-9}}</ref> bermaksud determinan dari matriks yang dibentuk seperti di atas, dengan mengambil anggota-anggota dari matriks asli dari baris yang indeksnya ada di <math>I </math> dan kolom yang indeksnya ada di <math>J</math>, sedangkan beberapa penulis lainnya bermaksud dengan sebuah minor dikaitkan ke <math>I </math> dan <math>J</math> determinan dari matriks dibentuk dari matriks asli dengan menghapuskan baris dalam <math>I </math> dan kolom dalam <math>J</math>.<ref name="Hohn2" /> Yang notasinya digunakan seharusnya selalui diperiksa dari sumber dalam pertanyaan. Dalam artikel ini, kita menggunakan definisi yang inklusif dalam memilih anggota-anggota dari baris <math>I </math> dan kolom <math>J</math>. Kasus luar biasanya adalah kasus dari minor pertama atau minor ke-<math>(i,j)</math> dijelaskan di atas; dalam kasus itu, notasi yang eksklusif <math>M_{i,j} = \det \left( \left( A_{p,q} \right)_{p \neq i, q \neq j} \right)</math> standar di mana-mana di literatur dan digunakan dalam artikel ini juga.
-=== Komplemen ===
-Komplemen, <math>B_{ijk\dots,pqr\dots}</math>, dari sebuah minor <math>M_{ijk\dots,pqr\dots}</math>, dari sebuah matriks persegi, <math>\mathbf{A} </math>, dibentuk oleh determinan dari matriks <math>\mathbf{A} </math> dari mana semua baris <math>(ijk\dots)</math> dan kolom <math>(pqr\dots)</math> dikaitkan dengan <math>M_{ijk\dots,pqr\dots}</math> telah dihapus. Komplemen dari minor pertama dari sebuah anggota <math>a_{ij}</math> hanyalah anggota itu.<ref>Bertha Jeffreys, [https://books.google.co.uk/books?id=Qs-xdYBQ_5wC&pg=PA135 ''Methods of Mathematical Physics''], p.135, Cambridge University Press, 1999 {{isbn|0-521-66402-0}}.</ref>
 == Penerapan minor dan kofaktor ==
 === Ekspansi kofaktor dari determinan ===
+{{main|Ekspansi Laplace}}
-Fitur kofaktor secara mencolok dalam [[Ekspansi Laplace|rumus Laplace]] untuk ekspansi dari determinan-determinan, yang sebuah metode dari penghitungan determinan lebih besar dalam hal yang lebih kecil. Diberikan sebuah matriks <math>n \times n</math> yaitu <math>A = (a_{ij})</math>, determinan <math>A</math>, dilambangkan <math>\det{(A)}</math>, bisa ditulis sebagai penjumlahan dari kofaktor-kofaktor dari setiap baris dan kolom dari matriks dikalikan dengan entri-entri yang dihasilkan mereka. Dengan kata lain, mendefinisikan <math>C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}</math> maka ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-<math>j </math> memberikanː
+Konsep kofaktor sangat berperan dalam rumus [[ekspansi Laplace]], yakni suatu metode untuk menghitung determinan matriks berukuran besar menggunakan determinan matriks-matriks yang berukuran lebih kecil. Untuk sebarang matriks <math>A = (a_{ij})</math> berukuran <math>n \times n</math>, determinan <math>\mathbf A</math> yang dilambangkan dengan <math>\det{(\mathbf A)}</math>, dapat dituliskan sebagai penjumlahan dari perkalian kofaktor-kofaktor setiap baris (maupun setiap kolom) matriks dengan entri-entri matriks yang menghasilkan kofaktor-kofaktor tersebut. Secara lebih matematis, dengan menuliskan <math>C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}</math>, ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-<math>i</math> dapat dituliskan sebagai<math display="block">\ \det(\mathbf A) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + a_{i3}C_{i3} + \cdots + a_{in}C_{in} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij} =\sum_{j=1}^{n} a_{ij} (-1)^{i+j} M_{ij}. </math>Ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-<math>j </math> dapat dituliskan<math display="block">\det(\mathbf A) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + a_{i3}C_{i3} + \cdots + a_{in}C_{in} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij} =\sum_{j=1}^{n} a_{ij} (-1)^{i+j} M_{ij}. </math>
-Ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-<math>i </math> memberikanː
-: <math>\ \det(\mathbf A) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + a_{i3}C_{i3} + \cdots + a_{in}C_{in} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij} =\sum_{j=1}^{n} a_{ij} (-1)^{i+j} M_{ij} </math>
-=== Invers dari sebuah matriks ===
-Salah satunya bisa menuliskan invers dari [[Matriks yang dapat dibalik|matriks invertible]] dengan menghitung kofaktor-kofaktor dengan menggunakan [[aturan Cramer]], seperti berikut. Matriks dibentuk oleh semua dari kofaktor-kofaktor dari sebuah matriks persegi <math>\mathbf{A} </math> disebut ''matriks kofaktor'' (juga disebut ''matriks dari kofaktor atau komatriks'')ː
+=== Invers dari matriks ===
-: <math>\mathbf C=\begin{bmatrix}
+{{main|Matriks terbalikkan}}
+Invers dari [[matriks terbalikkan]] dapat dihitung dari kofaktor-kofaktornya dengan menggunakan [[aturan Cramer]], seperti berikut. Misalkan <math>\mathbf C</math> adalah matriks yang dibentuk oleh semua dari kofaktor-kofaktor dari sebuah matriks persegi <math>\mathbf{A} </math>. Matriks ini disebut ''matriks kofaktor'' memiliki bentuk matematis<math display="block">\mathbf C=\begin{bmatrix}
     C_{11}  & C_{12} & \cdots &   C_{1n}   \\
     C_{21}  & C_{22} & \cdots &   C_{2n}   \\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
     C_{n1}  & C_{n2} & \cdots &  C_{nn}
+\end{bmatrix}. </math>Invers dari <math>\mathbf{A} </math> selanjutnya dapat dinyatakan sebagai [[transpos]] dari matriks kofaktor dikali kebalikan dari determinan <math>\mathbf{A} </math>ː<math display="block">\mathbf A^{-1} = \frac{1}{\operatorname{det}(\mathbf A)} \mathbf C^\mathsf{T}.</math>Transpos dari matriks kofaktor juga dikenal sebagai ''matriks adjoin'' dari <math>\mathbf{A}    </math>.
-\end{bmatrix} </math>
+Rumus di atas dapat diperumum sebagai berikut. Misalkan <math>\mathbf{A}    </math> adalah sebarang matriks persegi <math>n \times n </math>, dan <math>1 \le i_1 < i_2 < \ldots < i_k \le n</math> dan <math>1 \le j_1 < j_2 < \ldots < j_k \le n</math> adalah [[barisan]] (dengan urutan menaik) dari indeks-indeks <math>\mathbf{A}    </math>. Berlaku hubungan<ref name="Prasolov19942">{{cite book|author=Viktor Vasil_evich Prasolov|date=13 June 1994|url=https://books.google.com/books?id=b4yKAwAAQBAJ&pg=PR15|title=Problems and Theorems in Linear Algebra|publisher=American Mathematical Soc.|isbn=978-0-8218-0236-6|pages=15–}}</ref>
-Maka invers dari <math>\mathbf{A} </math> transpose dari matriks kofaktor dikali kebalikan dari determinan <math>A</math>ː
-: <math>\mathbf A^{-1} = \frac{1}{\operatorname{det}(\mathbf A)} \mathbf C^\mathsf{T}.</math>
-Transpose dari matriks kofaktor disebut matriks [[adjugat]] (juga disebut ''adjoin klasik'') dari <math>\mathbf{A}    </math>.
-Rumus di atas bisa dihaislkan sebagai berikut. Misalkan <math>1 \le i_1 < i_2 < \ldots < i_k \le n</math> dan menjadi <math>1 \le j_1 < j_2 < \ldots < j_k \le n</math> barisan urutan (dalam urutan alami) dari indeks (disini <math>\mathbf{A}    </math> adalah sebuat matriks <math>n \times n </math>). Maka<ref name="Prasolov1994">{{cite book|author=Viktor Vasil_evich Prasolov|date=13 June 1994|url=https://books.google.com/books?id=b4yKAwAAQBAJ&pg=PR15|title=Problems and Theorems in Linear Algebra|publisher=American Mathematical Soc.|isbn=978-0-8218-0236-6|pages=15–}}</ref>
 : <math>[\mathbf A^{-1}]_{I,J} = \pm\frac{[\mathbf A]_{J',I'}}{\det \mathbf A},</math>
-di mana <math>I'</math> dan <math>J'</math> melambangkan barisan urutan dari indeks (indeks dalam urutan besar yang wajar, seperti di atas) melengkapi <math>I</math>, <math>J  </math>, sehingga setiap indeks <math>1,\dots,n </math> muncul tepat sekali di salah satu <math>I</math> atau <math>I'</math>, tapi tidak di keduanya (demikian pula untuk <math>J </math> dan <math>J'</math>) dan <math>[\mathbf A]_{I,J}</math> melambangkan determinan dari submatriks <math>\mathbf{A}    </math> dibentuk dengan memilih baris dari himpunan indeks <math>I</math> dan kolom dari himpunan indeks <math>J  </math>. Juga <math>[\mathbf A]_{I,J} = \det \left( (A_{i_p, j_q})_{p,q = 1, \ldots, k} \right)</math>. Sebuah bukti sederhana bisa diberikan menggunakan produk wedge. Tentunya,
+dengan <math>I'</math> dan <math>J'</math> melambangkan barisan urutan dari indeks (juga dengan urutan menaik), yang komplementer dengan <math>I</math>, <math>J  </math>. Artinya setiap indeks <math>1,\dots,n </math> muncul tepat sekali di salah satu <math>I</math> atau <math>I'</math>, tapi tidak di keduanya (demikian pula untuk <math>J </math> dan <math>J'</math>). Simbol <math>[\mathbf A]_{I,J}</math> melambangkan determinan dari submatriks <math>\mathbf{A}    </math> dibentuk dengan memilih baris dari himpunan indeks <math>I</math> dan kolom dari himpunan indeks <math>J  </math>; secara matematis,<math display="block">[\mathbf A]_{I,J} = \det \left( (A_{i_p, j_q})_{p,q = 1, \ldots, k} \right).</math>
-: <math>[\mathbf A^{-1}]_{I,J}(e_1\wedge\ldots \wedge e_n) = \pm(\mathbf A^{-1}e_{j_1})\wedge \ldots \wedge(\mathbf A^{-1}e_{j_k})\wedge e_{i'_1}\wedge\ldots \wedge e_{i'_{n-k}}, </math>
-di mana <math>e_1,\dots,e_n</math> adalah vektor basis. Tindakan oleh <math>\mathbf{A}     </math> ada kedua sisi, salah satunya mendapatkan
-: <math>[\mathbf A^{-1}]_{I,J}\det \mathbf A (e_1\wedge\ldots \wedge e_n) = \pm (e_{j_1})\wedge \ldots \wedge(e_{j_k})\wedge (\mathbf A e_{i'_1})\wedge\ldots \wedge (\mathbf A e_{i'_{n-k}})=\pm [\mathbf A]_{J',I'}(e_1\wedge\ldots \wedge e_n). </math>
-Tandanya bisa berhasil menjadi <math>(-1)^{ \sum_{s=1}^{k} i_s - \sum_{s=1}^{k} j_s}</math>, jadi tandanya dideterminasikan oleh penjumlahan-penjumlahan pada anggota-anggota di <math>I     </math> dan <math>J   </math>.
 === Penerapan lainnya ===
-Diberikan sebuah matriks <math>m \times n</math> dengan entri-entri [[Bilangan riil|real]] (atau entri-entri dari setiap [[Medan (matematika)|bidang]] lainnya) dan [[Rank (teori matriks)|rank]] <math>r</math>, maka terdapat setidaknya satu minor <math>r \times r</math> tak nol, sementara semua minor-minor yang besar adalah nol.
+Untuk sebarang matriks <math>m \times n</math> dengan entri [[bilangan riil]] (atau entri dari sebarang [[Lapangan (matematika)|lapangan]] lainnya) dan [[Rank (aljabar linear)|rank]] <math>r</math>, terdapat setidaknya satu minor <math>r \times r</math> yang tak-nol, sedangkan semua minor-minor yang lebih besar bernilai nol.
-Kita akan menggunakan notasi berikut untuk minor. Jika <math>\mathbf{A}     </math>adalah sebuah matriks <math>m \times n</math>, <math>I  </math> adalah [[himpunan bagian]] dari <math>\{1,\dots,m\}</math> dengan anggota <math>k </math>, dan <math>J   </math> adalah himpunan bagian dari <math>\{1,\dots,n\}</math> dengan anggota <math>k </math>, maka kita menulis <math>\left[A\right]_{I,J}</math> untuk minor <math>k \times k </math> pada <math>\mathbf{A}     </math> yang sesuai dengan baris dengan indeks dalam <math>I  </math> dan kolom dengan indeks dalam <math>J   </math>.
+Kita akan menggunakan notasi berikut untuk minor. Misalkan <math>\mathbf{A}     </math> adalah matriks berukuran <math>m \times n</math>, <math>I  </math> adalah [[Himpunan bagian|subset]] dari <math>\{1,\dots,m\}</math> dengan <math>k </math> anggota, dan <math>J   </math> adalah subset dari <math>\{1,\dots,n\}</math> dengan <math>k </math> anggota. Notasi <math>\left[\mathbf A\right]_{I,J}</math> untuk minor <math>k \times k </math> dari <math>\mathbf{A}     </math>, dihasilkan dari mengambil elemen-elemen matriks <math>\mathbf{A}     </math>, yang indeks barisnya ada di <math>I  </math> dan indeks kolomnya ada di <math>J   </math>.
-* Jika <math>I = J</math>, maka <math>\left[A\right]_{I,J}</math> disebut ''minor utama''.
+* Jika <math>I = J</math>, maka <math>\left[\mathbf A\right]_{I,J}</math> disebut ''minor utama'' (''principal minor'').
-* Jika matriks yang sesuai dengan minor utama adalah kuadrat bagian atas-kiri dari matriks yang besar (yaitu, itu terdiri dari anggota-anggota matriks dalam baris-baris dan kolom-kolom dari <math>1  </math> hingga <math>k </math>), maka minor utama disebut sebuah ''minor utama terkemuka (dari urutan <math>k </math>) atau minor sudut (utama) (dari urutan <math>k </math>)''.<ref name="Encyclopedia of Mathematics3"/> Untuk sebuah matriks persegi <math>n \times n  </math>, terdapat minor utama terkemuka <math>n</math>.
+* Jika matriks yang berkorespodensi dengan minor utama adalah submatriks yang terletak di bagian atas-kiri dari matriks yang besar (artinya, matriks tersebut beranggotakan elemen yang baris-dan-kolomnya memiliki indeks dari <math>1  </math> hingga <math>k </math>), maka minor utama disebut ''minor utama terdepan'' (''leading principal minor'').<ref name="Encyclopedia of Mathematics32" /> Untuk matriks persegi <math>n \times n  </math>, ada sebanyak <math>n</math> minor utama terdepan.
+* Untuk [[matriks Hermite]], minor utama terdepan dapat digunakan untuk menguji sifat [[Matriks tentu|ketentuan positif]] (''positive definiteness'') dan minor utama dapat digunakan untuk menguji sifat [[Matriks tentu|kesemitentuan positif]] (''semidefiniteness positive''). Lihat [[kriteria Sylvester]] untuk detail lebih lanjut.
-* Sebuah ''minor dasar'' dari sebuah matriks adalah determinan dari sebuah submatriks persegi yang dari ukuran maksimal dengan determinan tidak nol.<ref name="Encyclopedia of Mathematics3"/>
-* Untuk [[matriks Hermite]], minor utama terkemuka bisa digunakan untuk menguji [[Matriks positif-tentu|ketentuan positif]] dan minor utama bisa digunakan untuk menguji [[Matriks positif-kesemitentuan|kesemitentuan positif]]. Lihat [[kriteria Sylvester]] untuk detail lebih lanjut.
-Kedua rumus untuk [[perkalian matriks]] biasa dan [[rumus Cauchy–Binet]] untuk determinan dari produk dua matriks adalah kasus spesial dari pernyataan umum berikut tentang minor-minor dari sebuah produk dua matriks. Andaikan <math>\mathbf{A}     </math> adalah sebuah matriks <math>m \times n</math>, <math>\mathbf{B} </math> adalah sebuah matriks <math>n \times p</math>, <math>I  </math> adalah [[himpunan bagian]] dari <math>\{1,\dots,m\}</math> dengan anggota <math>k </math> dan <math>J   </math> adalah himpunan bagian dari <math>\{1,\dots,p\}</math> dengan anggota <math>k </math>. Maka
-: <math>[\mathbf{AB}]_{I,J} = \sum_{K} [\mathbf{A}]_{I,K} [\mathbf{B}]_{K,J}\,</math>
-di mana penjumlahan meluas ke semua himpunan bagian <math>K</math> dari <math>\{1,\dots,n\}</math> dengan anggota <math>k </math>. Rumus ini merupakan sebuah ekstensi langsung dari rumus Cauchy–Binet.
-== Pendekatan aljabar multilinear ==
-Lebih sistematis, perlakuan aljabar dari minor-minor diberikan dalam [[aljabar multilinear]], menggunakan [[Aljabar eksterior|produk wedge]], minor-<math>k </math> dari sebuah matriks adalah entri-entri dalam pemetaan [[Aljabar eksterior|pangkat eksterior]] ke-<math>k </math>.
-Jika kolom-kolom dari sebuah matriks terjepit bersama <math>k </math> pada satu waktu, minor <math>k \times k </math> muncul sebagai komponen-komponen dari hasil vektor <math>k </math>. Sebagai contoh, minor <math>2 \times 2</math> dari matriks
-: <math>\begin{pmatrix}
-& 4 \\
-& \!\!-1 \\
-& 1 \\
-\end{pmatrix}</math>
-adalah <math>-13</math> (dari dua baris pertama), <math>-7</math> (dari baris pertama dan terakhir), dan <math>5</math> (dari dua baris terakhir). Sekarang tinjau produk wedge
-: <math>(\mathbf{e}_1 + 3\mathbf{e}_2 +2\mathbf{e}_3)\wedge(4\mathbf{e}_1-\mathbf{e}_2+\mathbf{e}_3)</math>
-di mana kedua ekspresi sesuai dengan dua kolom dari matriks kita. Menggunakan sifat-sifat dari produk wedge, yaitu [[Pemetaan bilinear|bilinear]] dan [[Pemetaan multilinear bergantian|bergantian]],
-: <math>\mathbf{e}_i\wedge \mathbf{e}_i = 0,</math>
-dan [[Sifat antikomutatif|antisimteris]]
-: <math>\mathbf{e}_i\wedge \mathbf{e}_j = - \mathbf{e}_j\wedge \mathbf{e}_i,</math>
-kita bisa menyederhanakan ekspresi ini menjadi
-: <math> -13 \mathbf{e}_1\wedge \mathbf{e}_2 -7 \mathbf{e}_1\wedge \mathbf{e}_3 +5 \mathbf{e}_2\wedge \mathbf{e}_3</math>
-di mana koefisien sesuai dengan minor-minor yang ditung sebelumnya.
-== Sebuah komentar tentang notasi yang berbeda ==
-Dalam beberapa buku, daripada ''kofaktor'' , istilah ''adjunct'' digunakan.<ref>[[Felix Gantmacher]], ''Theory of matrices'' (1st ed., original language is Russian), Moscow: State Publishing House of technical and theoretical literature, 1953, p.491,</ref> Bahkan, ini dilambangkan sebagai <math>\mathbf{A}_{ij}</math> dan didefiniskan dalam cara yang sama sebagai kofaktorː
-:: <math>\mathbf{A}_{ij} = (-1)^{i+j} \mathbf{M}_{ij}</math>
-Menggunaan notasi ini, invers matriks ditulis dengan cara ini.
-: <math>\mathbf{M}^{-1} = \frac{1}{\det(M)}\begin{bmatrix}
-    A_{11}  & A_{21} & \cdots &   A_{n1}   \\
-    A_{12}  & A_{22} & \cdots &   A_{n2}   \\
-  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
-    A_{1n}  & A_{2n} & \cdots &  A_{nn}
-\end{bmatrix} </math>
-Ingat bahwa ''adjunct'' bukanlah [[adjugat]] atau [[Adjugat|adjoin]]. Dalam termonologi modern, "adjoin" dari sebuah matriks paling sering mengacu pada yang sesuai, [[Adjoin Hermitian|operator adjoin]].
+Baik rumus untuk [[perkalian matriks]] biasa maupun [[rumus Cauchy–Binet]] untuk determinan dari perkalian dua matriks, adalah kasus khusus dari pernyataan umum berikut terkait minor-minor dari perkalian dua matriks. Misalkan <math>\mathbf{A}     </math> adalah matriks ukuran <math>m \times n</math>, <math>\mathbf{B} </math> adalah matriks ukuran <math>n \times p</math>, <math>I  </math> adalah [[Himpunan bagian|subset]] dari <math>\{1,\dots,m\}</math> dengan <math>k </math> anggota, dan <math>J   </math> adalah subset dari <math>\{1,\dots,p\}</math> dengan <math>k </math> anggota. Terdapat hubungan<math display="block">[\mathbf{AB}]_{I,J} = \sum_{K} [\mathbf{A}]_{I,K} [\mathbf{B}]_{K,J}\,</math>dengan penjumlahan dilakukan atas semua subset <math>K</math> yang mungkin dari himpunan <math>\{1,\dots,n\}</math> dengan <math>k </math> anggota. Rumus ini merupakan sebuah perumuman langsung dari rumus Cauchy–Binet.
 == Lihat pula ==
 * [[Matriks (matematika)#Submatriks|Submatriks]]
+== Catatan kaki ==
+<references group="note" />
 == Referensi ==
+<references responsive="1"></references>
-{{reflist}}
 == Pranala luar ==
 * [http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/video-lectures/lecture-19-determinant-formulas-and-cofactors/ MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors] at Google Video, from MIT OpenCourseWare
-* [http://planetmath.org/encyclopedia/Cofactor.html PlanetMath entry of ''Cofactors''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120408004640/http://planetmath.org/encyclopedia/Cofactor.html |date=2012-04-08 }}
+* [http://planetmath.org/encyclopedia/Cofactor.html PlanetMath entry of ''Cofactors''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120408004640/http://planetmath.org/encyclopedia/Cofactor.html|date=2012-04-08}}
 * [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Minor Springer Encyclopedia of Mathematics entry for ''Minor'']
+{{Aljabar linear}}
 [[Kategori:Teori matriks]]
 [[Kategori:Faktor penentu]]

l b s Aljabar linear
Konsep dasar	Skalar Vektor Ruang vektor Perkalian skalar Proyeksi vektor Rentang linear Peta linear Proyeksi linear Kebebasan linear Kombinasi linear Basis Vektor kolom dan baris Ruang kolom dan baris Keortogonalan Kernel Nilai eigen dan vektor eigen Hasil kali luar Ruang hasil kali dalam Hasil kali titik Transpos Proses Gram–Schmidt Persamaan linear
Aljabar vektor	Hasil kali silang Hasil kali tripel Hasil kali silang tujuh dimensi
Aljabar multilinear	Aljabar geometri Aljabar eksterior Bivektor Multivektor Tensor Morfisme luar
Matriks	Blok Penguraian Dapat dibalik Minor Perkalian Rank Transformasi Aturan Cramer Eliminasi Gauss Determinan
Konstruksi aljabar	Dual Hasil kali tensor Jumlah langsung Kuosien Ruang fungsi Subruang
Numerik	Floating-point Stabilitas numerik Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS) Matriks rongga Perbandingan pustaka aljabar linear Perbandingan perangkat lunak analisis numerik
Kategori Garis besar Portal matematika Wikibuku