Modul (matematika)

Dalam matematika, modul adalah suatu struktur aljabar dasar yang digunakan dalam aljabar abstrak. Modul diatas gelanggang meru generalisasi dari gagasan ruang vektor diatas medan, dimana skalar sesuai apabila elemen dari gelanggang yang diberikan secara sembarang (dengan identitas) dan perkalian (di kiri dan/atau di kanan) didefinisikan antara elemen gelanggang dan elemen modul. Modul mengambil skalar dari gelanggang R disebut modul-R.

Jadi, modul sebagai ruang vektor, adalah aditif grup abelian; produk didefinisikan antara elemen gelanggang dan elemen modul distributif selama operasi penambahan setiap parameter dan kompatibel dengan perkalian gelanggang.

Modul sangat erat kaitannya dengan teori wakilan dari grup. Dan juga merupakan salah satu pengertian sentral aljabar komutatif dan aljabar homologis, dan digunakan secara luas dalam geometri aljabar dan topologi aljabar.

Pendahuluan dan definisi

Motivasi

Dalam ruang vektor, himpunan skalar adalah medan dan bekerja pada vektor dengan perkalian skalar, apabila aksioma tertentu seperti hukum distributif. Dalam modul, skalar digunakan gelanggang, jadi konsep modul mewakilan generalisasi yang signifikan. Dalam aljabar komutatif, ideal dan gelanggang hasil bagi adalah modul, sehingga banyak argumen tentang ideal atau gelanggang hasil bagi yang menggabungkan satu argumen tentang modul. Dalam aljabar non-komutatif, perbedaan antara ideal kiri, ideal, dan modul menjadi lebih jelas, meskipun beberapa kondisi teori gelanggang apabila diekspresikan baik tentang ideal kiri atau modul kiri.

Sebagian besar teori modul terdiri dari perluasan sebanyak mungkin properti ruang vektor yang diinginkan ke ranah modul melalui gelanggang, seperti prinsip ideal. Namun, modul bisa sedikit lebih rumit daripada ruang vektor; misalnya, tidak semua modul memiliki basis, dan bahkan yang memiliki, modul bebas, tidak perlu memiliki peringkat unik jika gelanggang yang mendasarinya tidak memenuhi kondisi bilangan basis invarian, tidak seperti ruang vektor, yang selalu memiliki basis (mungkin tak hingga) yang kardinalitasnya kemudian unik. Dua pernyataan terakhir ini membutuhkan aksioma pilihan secara umum, tetapi tidak dalam kasus ruang berdimensi hingga, atau ruang berdimensi tak hingga tertentu yang berperilaku baik seperti Ruang L^p.

Definisi formal

Misalkan R adalah gelanggang dan 1 adalah identitas perkaliannya. Modul kiri-R pada M yang terdiri dari grup abelian (M, +) dan operasi ⋅ : R × M → M maka r, s di R dan x, y di M, memiliki:

1. $r\cdot (x+y)=r\cdot x+r\cdot y$
2. $(r+s)\cdot x=r\cdot x+s\cdot x$
3. $(rs)\cdot x=r\cdot (s\cdot x)$
4. $1\cdot x=x.$

Pengoperasian gelanggang pada M disebut perkalian skalar, dan biasanya ditulis dengan penjajaran, yaitu sebagai rx untuk r pada R dan x pada M, meskipun dilambangkan sebagai r ⋅ x untuk membedakannya dari operasi perkalian gelanggang, yang dilambangkan dengan penjajaran. Notasi _RM menunjukkan modul kiri-R pada M. Sebuah modul kanan-R pada M atau M_R didefinisikan serupa, kecuali bahwa gelanggang itu bekerja di sebelah kanan; yaitu, perkalian skalar mengambil bentuk ⋅ : M × R → M, dan aksioma atas ditulis dengan skalar r dan s sebelah kanan x dan y.

Penulis yang tidak memerlukan gelanggang menjadi unital untuk menghilangkan ketentuan 4 atas dalam definisi modul R, dan apabila struktur yang didefinisikan atas "unital kiri R". Dalam artikel ini, sesuai dengan glosarium teori gelanggang, semua gelanggang dan modul dianggap tidak sama.

Contoh

• Jika K adalah medan, maka ruang vektor-K (ruang vektor atas K) dan modul identik-K.
• Jika K adalah medan, dan K[x] univariat gelanggang polinomial, maka modul-K[x] M adalah modul K dengan aksi tambahan x pada M pada komutatif dengan tindakan K di M. Dengan kata lain, modul K[x] adalah ruang vektor K pada M yang dikombinasikan dengan peta linear dari M ke M. Menerapkan Teorema struktur untuk modul yang dihasilkan hingga pada domain ideal utama pada contoh ini menunjukkan keberadaan rasional dan bentuk kanonik Yordania.
• Konsep modul Z menyetujui dengan gagasan grup abelian. Artinya, setiap grup abelian adalah modul di atas gelanggang bilangan bulat Z dengan unik. Untuk n > 0, misal n ⋅ x = x + x + ... + x (n), 0 ⋅ x = 0, dan (−n) ⋅ x = −(n ⋅ x). Modul tersebut tidak perlu memiliki basis—grup yang berisi elemen torsi. Misalnya, dalam grup bilangan bulat modulo 3, apabila tidak menemukan satu elemenpun yang memenuhi definisi himpunan bebas linear karena ketika sebuah bilangan bulat seperti 3 atau 6 mengalikan sebuah elemen, hasilnya adalah 0. Namun, jika medan hingga sebagai modul atas medan hingga yang sama diambil sebagai gelanggang adalah ruang vektor dan memiliki basis.
• Pecahan desimal (termasuk yang negatif) dalam bentuk modul atas bilangan bulat. Hanya tunggal yang merupakan himpunan bebas linear, tetapi tidak ada tunggal yang dapat digunakan sebagai basis, jadi modul tidak memiliki dasar dan tidak memiliki peringkat.
• Jika R adalah gelanggang sembarang dan n sebuah bilangan asli, maka produk Kartesius Rⁿ adalah modul kiri-R dan kanan atas R jika kita menggunakan komponen-operasi. Oleh karena itu ketika n = 1, R adalah modul R, dimana perkalian skalar hanyalah perkalian gelanggang. Kasus n = 0 menghasilkan modul R-{0} yang hanya terdiri dari elemen identitas. Modul jenis ini disebut bebas dan jika R memiliki bilangan basis invarian (misalnya gelanggang atau medan komutatif) bilangan n kemudian menjadi peringkat modul bebas.
• Jika M_n(R) adalah gelanggang n × n matriks atas gelanggang R, M adalah modul-M_n(R), dan e_i adalah matriks n × n dengan 1 entri (i, i) (dan nol di tempat), maka e_iM adalah modul-R, karena re_im = e_irm ∈ e_iM. Jadi M dipecah sebagai jumlah langsung dari modul R, M = e₁M ⊕ ... ⊕ e_nM. Sebaliknya, diberikan modul-R pada M₀, maka M₀^⊕n adalah modul-M_n(R). Sebenarnya, kategori modul-R dan kategori dari modul-M_n( R) adalah ekuivalen. Kasus khusus adalah bahwa modul M apabila R sebagai modul atasnya, maka Rⁿ adalah modul-M_n(R).
• Jika S adalah himpunan tak kosong, M adalah modul kiri-R, dan M^S adalah himpunan semua fungsi f : S → M, maka dengan penjumlahan dan perkalian skalar dalam M^S didefinisikan titik demi titik oleh (f + g)(s) = f(s) + g(s) dan (rf)(s) = rf(s), M^S adalah modul kiri-R. Kasus modul-R yang tepat adalah analog. Khususnya, jika R komutatif maka himpunan homomorfisme modul-R h : M → N (lihat di bawah) adalah modul-R (dan sebenarnya adalah submodul dari N^M).
• Jika X adalah lipatan mulus, maka fungsi mulus dari X ke bilangan riil dalam bentuk gelanggang C^∞(X). Himpunan semua medan vektor mulus yang didefinisikan pada X dalam bentuk modul atas C^∞(X), dan begitu juga medan tensor dan bentuk diferensial pada X. Lebih umum, bagian dari bundel vektor dalam bentuk modul proyektif atas C^∞(X), dan dengan teorema Swan, setiap modul proyektif adalah isomorfik pada modul bagian dari beberapa bundel; kategori dari modul C^∞(X) dan kategori bundel vektor atas X adalah ekuivalen.
• Jika R adalah sembarang gelanggang dan I adalah ideal kiri di R, maka I adalah modul kiri-R, dan ideal kanan secara analog dalam R adalah modul kanan-R.
• Jika R adalah sebuah gelanggang, apabi5 didefinisikan gelanggang berlawanan R^op yang memiliki himpunan dasar yang sama dan operasi penjumlahan yang sama, namun perkalian inversnya: jika ab = c pada R, maka ba = c pada R^op. Setiap modul kiri-R pada M maka dilihat sebagai modul kanan atas R^op, dan modul kanan atas-R sebagai modul kiri atas R^op.
• Modu atas aljabar Lie adalah modul (aljabar asosiatif) di atas aljabar pembungkus universal.
• Jika R dan S adalah gelanggang dengan gelanggang homomorfisme φ : R → S, maka setiap modul-S pada M adalah modul R dengan mendefinisikan rm = φ(r)m. Secara khusus, S sendiri adalah modul-R.

Submodul dan homomorfisme

Misalkan M adalah modul-R kiri dan N adalah subgrup dari M. Maka N adalah submodul (atau lebih eksplisit R) apabila n pada N dan r pada R, produk r ⋅ n adalah N (atau n ⋅ r untuk modul-R.

Jika X adalah himpunan bagian dari modul-R, maka submodul yang direntang oleh X didefinisikan sebagai ${\textstyle \langle X\rangle =\,\bigcap _{N\supseteq X}N}$, dimana N submodul atas dari M yang berisi X, atau secara eksplisit ${\textstyle \left\{\sum _{i=1}^{k}r_{i}x_{i}\mid r_{i}\in R,x_{i}\in X\right\}}$, yang terpenting dalam definisi adalah produk tensor.

Himpunan submodul dari modul tertentu M, bersama dengan dua operasi biner + dan ∩, dalam bentuk sebuah kekisi yang memenuhi hukum modular: Diberikan submodul U, N₁, N₂ dari M sedemikian rupa sehingga N₁ ⊂ N₂, maka dua submodul berikut ini: (N₁ + U) ∩ N₂ = N₁ + (U ∩ N₂).

Jika M dan N misal modul R, maka sebuah peta f : M → N adalah homomorfisme dari modul-R jika untuk setiap m, n dalam M dan r, s dalam R,

$f(r\cdot m+s\cdot n)=r\cdot f(m)+s\cdot f(n)$.

Homomorfisme ini objek matematika lainnya, hanyalah pemetaan dengan mempertahankan struktur objek. Nama lain untuk homomorfisme modul R adalah peta linear-R.

Sebuah bijektif modul homomorfisme f : M → N disebut modul isomorfisme, dan dua modul M dan N disebut isomorfik. Dua modul isomorfik identik untuk semua tujuan praktis, hanya berbeda dalam notasi untuk elemennya.

Kernel dari modul homomorfisme f : M → N adalah submodul dari M yang terdiri dari semua elemen urutan ke nol oleh f, dan citra dari f adalah submodul dari N yang terdiri dari nilai f(m) untuk semua elemen m dari M. Teorema isomorfisme yang familiar dari grup dan ruang vektor valid untuk modul-R.

Diberikan gelanggang-R, himpunan semua modul kiri-R bersama dengan homomorfisme modul dalam bentuk kategori abelian, dilambangkan dengan Mod-R(lihat kategori modul).

Jenis modul

Terbangkit hingga

Sebuah modul-R pada M adalah dihasilkan secara terbatas apabila jika terdapat elemen x₁, ..., x_n dalam M sedemikian rupa sehingga setiap elemen M adalah kombinasi linear elemen tersebut dengan koefisien dari gelanggang R.

Siklik

Sebuah modul disebut modul siklik jika dihasilkan oleh satu elemen.

Bebas

modul-R bebas adalah modul yang memiliki basis, atau ekuivalen diantara isomorfik ke jumlah langsung dari salinan gelanggang R. Ini adalah modul perilaku yang mirip dengan ruang vektor.

Proyektif

Modul proyektif adalah jumlah langsung modul bebas dan berbagi banyak sifat yang diinginkan.

Injektif

Modul injektif didefinisikan secara ganda untuk modul proyektif.

Rata

Sebuah modul disebut rata jika mengambil produk tensor dari modul tersebut dengan urutan tepat dari modul R pertahanan ketepatan.

Tanpa torsi

Sebuah modul disebut tanpa torsi jika disematkan ke dual aljabarnya.

Sederhana

Sebuah modul sederhana S adalah modul yang bukan {0} dan submodulnya {0} dan S. Modul sederhana terkadang disebut takreduksi.

Semisederhana

modul semisederhana adalah penjumlahan langsung (hingga atau tidak) dari modul sederhana. Secara historis modul ini juga disebut "komplekmen ireduksi".

Takdekomposisi

modul takdekomposisi adalah modul bukan nol yang tidak tertulis sebagai jumlah langsung dari dua submodul bukan nol. Setiap modul sederhana takdekomposisi, tetapi apabila modul takdekomposisi tak sederhana (mis. modul seragam).

Kesesuaian

Sebuah modul sesuai M adalah salah satu dimana tindakan setiap r ≠ 0 dalam R atas M non-trivial (yaitu r ⋅ x ≠ 0 untuk beberapa x dalam M). Secara ekuivalen, annihilator dari M adalah ideal nol.

Bebas torsi

modul bebas torsi adalah modul atas gelanggang sehingga 0 adalah satu-satunya elemen annihilator oleh elemen reguler (non pembagi nol) dari gelanggang, secara ekuivalen $rm=0$ mengartikan $r=0$ atau $m=0$.

Noetherian

Modul Noetherian adalah modul yang memenuhi kondisi kaidah naik pada submodul, yaitu, setiap kaidah submodul ditingkatkan sebagai stasioner setelah banyak langkah. Secara ekuivalen, setiap submodul dibangkitkan secara hingga.

Artinian

Modul Artinian adalah modul yang memenuhi kondisi kaidah turun pada submodul, yaitu, setiap kaidah submodul turun sebagai stasioner setelah banyak langkah.

Gradasi

Sebuah modul bergradasi adalah modul dengan dekomposisi sebagai jumlah langsung M = ⨁_x M_x Gelanggang bertingkat atas R = ⨁_x R_x sedemikian rupa sehingga R_xM_y ⊂ M_x+y untuk semua x dan y.

Seragam

Sebuah modul seragam adalah modul dimana semua pasangan submodul bukan nol memiliki persimpangan bukan nol.

Modul atas aljabar asosiatif

Jika $R$ adalah gelanggang komutatif dan $A$ adalah aljabar asosiatif-R, maka adalah modul kiri-$A$ dengan modul-$R$ pada $M$ bersama dengan modul homomorfisme-$R$

$A\otimes _{R}M\to M,\quad a\otimes m\mapsto am,$

dirumuskan sebagai

$a_{1}(a_{2}m)=(a_{1}a_{2})m$ untuk $a_{1},a_{2}\in A,m\in M$

gilt.

Modul kanan-$A$ adalah modul-$R$ pada $M$ bersama dengan modul homomorfisme-$R$

$M\otimes _{R}A\to M,\quad m\otimes a\mapsto ma,$

dirumuskan sebagai

$(ma_{1})a_{2}=m(a_{1}a_{2})$ für $a_{1},a_{2}\in A,m\in M$

gilt.

Modul gabungan dan bimodul didefinisikan secara analogi dengan kasus gelanggang.

Lihat pula

• Grup gelanggang
• Aljabar (teori gelanggang)
• Modul (teori model)
• Spektrum modul
• Annihilator

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Module", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Why is it a good idea to study the modules of a ring ? on MathOverflow
• module di nLab