Pengguna:Kekavigi/bak pasir

Halaman ini berisi artikel tentang konsep dalam aljabar linear. Untuk konsep minor dalam teori graf, lihat Graf minor.

Dalam aljabar linear, minor dari matriks $\mathbf {A}$ adalah determinan dari beberapa matriks persegi kecil, yang dibentuk dengan menghapus satu atau lebih baris-dan-kolom matriks $\mathbf {A}$. Minor yang diperoleh dengan hanya menghapus satu baris dan satu kolom dari matriks persegi (disebut dengan minor pertama) diperlukan untuk menghitung matriks kofaktor, yang pada gilirannya berguna untuk menghitung determinan dan invers dari matriks persegi.

Definisi dan ilustrasi

Minor pertama

Jika $\mathbf {A}$ adalah sebuah matriks persegi, maka minor dari entri baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$ matriks tersebut, adalah determinan dari submatriks yang dibentuk dengan menghapus baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$. Determinan ini juga disebut dengan minor $(i,j)$, atau minor pertama. Bilangan ini seringkali dilambangkan $M_{i,j}$. Bilangan lain yang disebut kofaktor $(i,j)$ diperoleh dengan mengalikan minor tersebut oleh $(-1)^{i+j}$.

Untuk mengilustrasikan definisi-definisi tersebut, tinjau matriks $3\times 3$ berikut,

$${\begin{bmatrix}\,\,\,1&4&7\\\,\,\,3&0&5\\-1&9&\!11\\\end{bmatrix}}$$

Minor $M_{2,3}$ didapatkan dari menghitung determinan dari matriks yang baris ke-2 dan kolom ke-3-nya telah dihapus:

$$M_{2,3}=\det {\begin{bmatrix}\,\,1&4&\Box \,\\\,\Box &\Box &\Box \,\\-1&9&\Box \,\\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}\,\,\,1&4\,\\-1&9\,\\\end{bmatrix}}=(9-(-4))=13,$$

dan kofaktor $C_{2,3}$ adalah

$$\ C_{2,3}=(-1)^{2+3}(M_{2,3})=-13.$$

Definisi umum

Misalkan $\mathbf {A}$ adalah matriks berukuran $m\times n$ dan $k$ adalah bilangan bulat dengan $0<k\leq m$, dan $k\leq n$. Minor $k\times k$ dari $\mathbf {A}$ adalah determinan dari suatu matriks berukuran $k\times k$ yang diperoleh dengan menghapus $m-k$ baris dan $n-k$ kolom dari $\mathbf {A}$. Determinan ini juga disebut sebagai determinan minor orde-$k$ dari $\mathbf {A}$, atau ketika $m=n$, disebut dengan determinan minor ke-$(n-k)$ dari $\mathbf {A}$. Untuk matriks $\mathbf {A}$ tersebut, terdapat sebanyak ${\textstyle {m \choose k}\cdot {n \choose k}}$ minor berukuran $k\times k$. Minor orde-nol sering didefinisikan bernilai $1$. Pada kasus matriks persegi, minor ke-nol sama saja dengan determinan dari matriks.

Misalkan $1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq m$ dan $1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq n$ adalah barisan dari indeks, sebut mereka masing-masing sebagai $I$ dan $J$. Terdapat beberapa notasi untuk menyebut minor

$$\det \left((A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}\right)$$

yang berkorespondensi dengan pilihan-pilihan indeks ini. Tergantung pada sumber yang digunakan, notasi untuk minor dapat berupa ${\textstyle \det _{I,J}A}$, ${\textstyle [A]_{I,J}}$, ${\textstyle M_{I,J}}$, ${\textstyle M_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k},j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}}$, atau $M_{(i),(j)}$ (dengan $(i)$ melambangkan barisan indeks $I$, dst.). Lebih lanjut, terdapat dua gaya notasi digunakan dalam literaturː beberapa penulis menganggap minor dengan indeks $I$ dan $J$, merujuk pada determinan dari submatriks sesuai definisi di atas, yang anggota-anggotanya berasal dari matriks asli, dengan indeks barisnya ada di $I$ dan indeks kolomnya ada di $J$. Sedangkan beberapa penulis lainnya, merujuk pada submatriks yang dihasilkan dari menghapus baris-baris di $I$ dan menghapus kolom-kolom di $J$. Pilihan notasi yang digunakan perlu dipastikan dari sumber yang digunakan. Artikel ini menggunakan definisi standar

$$M_{i,j}=\det \left(\left(A_{p,q}\right)_{p\neq i,q\neq j}\right).$$

---

Komplemen

Komplemen, $B_{ijk\dots ,pqr\dots }$, dari sebuah minor $M_{ijk\dots ,pqr\dots }$, dari sebuah matriks persegi, $\mathbf {A}$, dibentuk oleh determinan dari matriks $\mathbf {A}$ dari mana semua baris $(ijk\dots )$ dan kolom $(pqr\dots )$ dikaitkan dengan $M_{ijk\dots ,pqr\dots }$ telah dihapus. Komplemen dari minor pertama dari sebuah anggota $a_{ij}$ hanyalah anggota itu.

The complement, B_{ijk...,pqr...}, of a minor, M_{ijk...,pqr...}, of a square matrix, A, is formed by the determinant of the matrix A from which all the rows (ijk...) and columns (pqr...) associated with M_{ijk...,pqr...} have been removed. The complement of the first minor of an element a_ij is merely that element.

Penerapan minor dan kofaktor

Ekspansi kofaktor dari determinan

Fitur kofaktor secara mencolok dalam rumus Laplace untuk ekspansi dari determinan-determinan, yang sebuah metode dari penghitungan determinan lebih besar dalam hal yang lebih kecil. Diberikan sebuah matriks $n\times n$ yaitu $A=(a_{ij})$, determinan $A$, dilambangkan $\det {(A)}$, bisa ditulis sebagai penjumlahan dari kofaktor-kofaktor dari setiap baris dan kolom dari matriks dikalikan dengan entri-entri yang dihasilkan mereka. Dengan kata lain, mendefinisikan $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ maka ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-$j$ memberikanː

Ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-$i$ memberikanː

$\ \det(\mathbf {A} )=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+\cdots +a_{in}C_{in}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}$

Invers dari sebuah matriks

Salah satunya bisa menuliskan invers dari matriks invertible dengan menghitung kofaktor-kofaktor dengan menggunakan aturan Cramer, seperti berikut. Matriks dibentuk oleh semua dari kofaktor-kofaktor dari sebuah matriks persegi $\mathbf {A}$ disebut matriks kofaktor (juga disebut matriks dari kofaktor atau komatriks)ː

$\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}$

Maka invers dari $\mathbf {A}$ transpose dari matriks kofaktor dikali kebalikan dari determinan $A$ː

$\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} (\mathbf {A} )}}\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.$

Transpose dari matriks kofaktor disebut matriks adjugat (juga disebut adjoin klasik) dari $\mathbf {A}$.

Rumus di atas bisa dihaislkan sebagai berikut. Misalkan $1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n$ dan menjadi $1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}\leq n$ barisan urutan (dalam urutan alami) dari indeks (disini $\mathbf {A}$ adalah sebuat matriks $n\times n$). Maka

$[\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}=\pm {\frac {[\mathbf {A} ]_{J',I'}}{\det \mathbf {A} }},$

di mana $I'$ dan $J'$ melambangkan barisan urutan dari indeks (indeks dalam urutan besar yang wajar, seperti di atas) melengkapi $I$, $J$, sehingga setiap indeks $1,\dots ,n$ muncul tepat sekali di salah satu $I$ atau $I'$, tapi tidak di keduanya (demikian pula untuk $J$ dan $J'$) dan $[\mathbf {A} ]_{I,J}$ melambangkan determinan dari submatriks $\mathbf {A}$ dibentuk dengan memilih baris dari himpunan indeks $I$ dan kolom dari himpunan indeks $J$. Juga $[\mathbf {A} ]_{I,J}=\det \left((A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}\right)$. Sebuah bukti sederhana bisa diberikan menggunakan produk wedge. Tentunya,

$[\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{k}})\wedge e_{i'_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{i'_{n-k}},$

di mana $e_{1},\dots ,e_{n}$ adalah vektor basis. Tindakan oleh $\mathbf {A}$ ada kedua sisi, salah satunya mendapatkan

$[\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}\det \mathbf {A} (e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (e_{j_{k}})\wedge (\mathbf {A} e_{i'_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} e_{i'_{n-k}})=\pm [\mathbf {A} ]_{J',I'}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}).$

Tandanya bisa berhasil menjadi $(-1)^{\sum _{s=1}^{k}i_{s}-\sum _{s=1}^{k}j_{s}}$, jadi tandanya dideterminasikan oleh penjumlahan-penjumlahan pada anggota-anggota di $I$ dan $J$.

Penerapan lainnya

Diberikan sebuah matriks $m\times n$ dengan entri-entri real (atau entri-entri dari setiap bidang lainnya) dan rank $r$, maka terdapat setidaknya satu minor $r\times r$ tak nol, sementara semua minor-minor yang besar adalah nol.

Kita akan menggunakan notasi berikut untuk minor. Jika $\mathbf {A}$ adalah sebuah matriks $m\times n$, $I$ adalah himpunan bagian dari $\{1,\dots ,m\}$ dengan anggota $k$, dan $J$ adalah himpunan bagian dari $\{1,\dots ,n\}$ dengan anggota $k$, maka kita menulis $\left[A\right]_{I,J}$ untuk minor $k\times k$ pada $\mathbf {A}$ yang sesuai dengan baris dengan indeks dalam $I$ dan kolom dengan indeks dalam $J$.

• Jika $I=J$, maka $\left[A\right]_{I,J}$ disebut minor utama.
• Jika matriks yang sesuai dengan minor utama adalah kuadrat bagian atas-kiri dari matriks yang besar (yaitu, itu terdiri dari anggota-anggota matriks dalam baris-baris dan kolom-kolom dari $1$ hingga $k$), maka minor utama disebut sebuah minor utama terkemuka (dari urutan $k$) atau minor sudut (utama) (dari urutan $k$). Untuk sebuah matriks persegi $n\times n$, terdapat minor utama terkemuka $n$.
• Sebuah minor dasar dari sebuah matriks adalah determinan dari sebuah submatriks persegi yang dari ukuran maksimal dengan determinan tidak nol.
• Untuk matriks Hermite, minor utama terkemuka bisa digunakan untuk menguji ketentuan positif dan minor utama bisa digunakan untuk menguji kesemitentuan positif. Lihat kriteria Sylvester untuk detail lebih lanjut.

Kedua rumus untuk perkalian matriks biasa dan rumus Cauchy–Binet untuk determinan dari produk dua matriks adalah kasus spesial dari pernyataan umum berikut tentang minor-minor dari sebuah produk dua matriks. Andaikan $\mathbf {A}$ adalah sebuah matriks $m\times n$, $\mathbf {B}$ adalah sebuah matriks $n\times p$, $I$ adalah himpunan bagian dari $\{1,\dots ,m\}$ dengan anggota $k$ dan $J$ adalah himpunan bagian dari $\{1,\dots ,p\}$ dengan anggota $k$. Maka

$[\mathbf {AB} ]_{I,J}=\sum _{K}[\mathbf {A} ]_{I,K}[\mathbf {B} ]_{K,J}\,$

di mana penjumlahan meluas ke semua himpunan bagian $K$ dari $\{1,\dots ,n\}$ dengan anggota $k$. Rumus ini merupakan sebuah ekstensi langsung dari rumus Cauchy–Binet.

Pendekatan aljabar multilinear

Lebih sistematis, perlakuan aljabar dari minor-minor diberikan dalam aljabar multilinear, menggunakan produk wedge, minor-$k$ dari sebuah matriks adalah entri-entri dalam pemetaan pangkat eksterior ke-$k$.

Jika kolom-kolom dari sebuah matriks terjepit bersama $k$ pada satu waktu, minor $k\times k$ muncul sebagai komponen-komponen dari hasil vektor $k$. Sebagai contoh, minor $2\times 2$ dari matriks

${\begin{pmatrix}1&4\\3&\!\!-1\\2&1\\\end{pmatrix}}$

adalah $-13$ (dari dua baris pertama), $-7$ (dari baris pertama dan terakhir), dan $5$ (dari dua baris terakhir). Sekarang tinjau produk wedge

$(\mathbf {e} _{1}+3\mathbf {e} _{2}+2\mathbf {e} _{3})\wedge (4\mathbf {e} _{1}-\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})$

di mana kedua ekspresi sesuai dengan dua kolom dari matriks kita. Menggunakan sifat-sifat dari produk wedge, yaitu bilinear dan bergantian,

$\mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{i}=0,$

dan antisimteris

$\mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\wedge \mathbf {e} _{i},$

kita bisa menyederhanakan ekspresi ini menjadi

$-13\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}-7\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}+5\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}$

di mana koefisien sesuai dengan minor-minor yang ditung sebelumnya.

Sebuah komentar tentang notasi yang berbeda

Dalam beberapa buku, daripada kofaktor , istilah adjunct digunakan. Bahkan, ini dilambangkan sebagai $\mathbf {A} _{ij}$ dan didefiniskan dalam cara yang sama sebagai kofaktorː

$\mathbf {A} _{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}$

Menggunaan notasi ini, invers matriks ditulis dengan cara ini.

$\mathbf {M} ^{-1}={\frac {1}{\det(M)}}{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots &A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots &A_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1n}&A_{2n}&\cdots &A_{nn}\end{bmatrix}}$

Ingat bahwa adjunct bukanlah adjugat atau adjoin. Dalam termonologi modern, "adjoin" dari sebuah matriks paling sering mengacu pada yang sesuai, operator adjoin.

Lihat pula

• Submatriks

Pranala luar

• MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors at Google Video, from MIT OpenCourseWare
• PlanetMath entry of Cofactors Diarsipkan 2012-04-08 di Wayback Machine.
• Springer Encyclopedia of Mathematics entry for Minor

Applications of minors and cofactors

Cofactor expansion of the determinant

Artikel utama: Laplace expansion

The cofactors feature prominently in Laplace's formula for the expansion of determinants, which is a method of computing larger determinants in terms of smaller ones. Given an n × n matrix $A=(a_{ij})$, the determinant of A, denoted det(A), can be written as the sum of the cofactors of any row or column of the matrix multiplied by the entries that generated them. In other words, defining $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ then the cofactor expansion along the jth column gives:

$\ \det(\mathbf {A} )=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+a_{3j}C_{3j}+\cdots +a_{nj}C_{nj}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}C_{ij}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}$

The cofactor expansion along the ith row gives:

$\ \det(\mathbf {A} )=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+\cdots +a_{in}C_{in}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}$

Inverse of a matrix

Artikel utama: Invertible matrix

One can write down the inverse of an invertible matrix by computing its cofactors by using Cramer's rule, as follows. The matrix formed by all of the cofactors of a square matrix A is called the cofactor matrix (also called the matrix of cofactors or, sometimes, comatrix):

$\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}$

Then the inverse of A is the transpose of the cofactor matrix times the reciprocal of the determinant of A:

$\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} (\mathbf {A} )}}\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.$

The transpose of the cofactor matrix is called the adjugate matrix (also called the classical adjoint) of A.

The above formula can be generalized as follows: Let $1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n$ and $1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}\leq n$ be ordered sequences (in natural order) of indexes (here A is an n × n matrix). Then

$[\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}=\pm {\frac {[\mathbf {A} ]_{J',I'}}{\det \mathbf {A} }},$

where I′, J′ denote the ordered sequences of indices (the indices are in natural order of magnitude, as above) complementary to I, J, so that every index 1, ..., n appears exactly once in either I or I′, but not in both (similarly for the J and J′) and $[\mathbf {A} ]_{I,J}$ denotes the determinant of the submatrix of A formed by choosing the rows of the index set I and columns of index set J. Also, $[\mathbf {A} ]_{I,J}=\det \left((A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}\right)$. A simple proof can be given using wedge product. Indeed,

$[\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{k}})\wedge e_{i'_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{i'_{n-k}},$

where $e_{1},\ldots ,e_{n}$ are the basis vectors. Acting by A on both sides, one gets

$[\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}\det \mathbf {A} (e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (e_{j_{k}})\wedge (\mathbf {A} e_{i'_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} e_{i'_{n-k}})=\pm [\mathbf {A} ]_{J',I'}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}).$

The sign can be worked out to be $(-1)^{\sum _{s=1}^{k}i_{s}-\sum _{s=1}^{k}j_{s}}$, so the sign is determined by the sums of elements in I and J.

Other applications

Given an m × n matrix with real entries (or entries from any other field) and rank r, then there exists at least one non-zero r × r minor, while all larger minors are zero.

We will use the following notation for minors: if A is an m × n matrix, I is a subset of {1,...,m} with k elements, and J is a subset of {1,...,n} with k elements, then we write [A]_I,J for the k × k minor of A that corresponds to the rows with index in I and the columns with index in J.

• If I = J, then [A]_I,J is called a principal minor.
• If the matrix that corresponds to a principal minor is a square upper-left submatrix of the larger matrix (i.e., it consists of matrix elements in rows and columns from 1 to k, also known as a leading principal submatrix), then the principal minor is called a leading principal minor (of order k) or corner (principal) minor (of order k). For an n × n square matrix, there are n leading principal minors.
• A basic minor of a matrix is the determinant of a square submatrix that is of maximal size with nonzero determinant.
• For Hermitian matrices, the leading principal minors can be used to test for positive definiteness and the principal minors can be used to test for positive semidefiniteness. See Sylvester's criterion for more details.

Both the formula for ordinary matrix multiplication and the Cauchy–Binet formula for the determinant of the product of two matrices are special cases of the following general statement about the minors of a product of two matrices. Suppose that A is an m × n matrix, B is an n × p matrix, I is a subset of {1,...,m} with k elements and J is a subset of {1,...,p} with k elements. Then

$[\mathbf {AB} ]_{I,J}=\sum _{K}[\mathbf {A} ]_{I,K}[\mathbf {B} ]_{K,J}\,$

where the sum extends over all subsets K of {1,...,n} with k elements. This formula is a straightforward extension of the Cauchy–Binet formula.

Multilinear algebra approach

A more systematic, algebraic treatment of minors is given in multilinear algebra, using the wedge product: the k-minors of a matrix are the entries in the kth exterior power map.

If the columns of a matrix are wedged together k at a time, the k × k minors appear as the components of the resulting k-vectors. For example, the 2 × 2 minors of the matrix

${\begin{pmatrix}1&4\\3&\!\!-1\\2&1\\\end{pmatrix}}$

are −13 (from the first two rows), −7 (from the first and last row), and 5 (from the last two rows). Now consider the wedge product

$(\mathbf {e} _{1}+3\mathbf {e} _{2}+2\mathbf {e} _{3})\wedge (4\mathbf {e} _{1}-\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})$

where the two expressions correspond to the two columns of our matrix. Using the properties of the wedge product, namely that it is bilinear and alternating,

$\mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{i}=0,$

and antisymmetric,

$\mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\wedge \mathbf {e} _{i},$

we can simplify this expression to

$-13\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}-7\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}+5\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}$

where the coefficients agree with the minors computed earlier.

A remark about different notation

In some books, instead of cofactor the term adjunct is used. Moreover, it is denoted as A_ij and defined in the same way as cofactor:

$\mathbf {A} _{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}$

Using this notation the inverse matrix is written this way:

$\mathbf {M} ^{-1}={\frac {1}{\det(M)}}{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots &A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots &A_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1n}&A_{2n}&\cdots &A_{nn}\end{bmatrix}}$

Keep in mind that adjunct is not adjugate or adjoint. In modern terminology, the "adjoint" of a matrix most often refers to the corresponding adjoint operator.