1 + 2 + 3 + 4 + ⋯

A graph depicting the series with layered boxes and a parabola that dips just below the y-axis — Empat jumlah parsial pertama dari deret 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯. Pada grafik, kurva parabola adalah asimptot yang mulus, dan perpotongan sumbu- $y$ adalah $-1/12$ .^[1]

1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ adalah deret tak terhingga dengan suku-sukunya merupakan bilangan asli, dan hasil deret tersebut adalah divergen. Jumlah parsial ke- $n$ dari deret tersebut sama dengan bilangan segitiga. $\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}.$ Hasil tersebut akan menaik tanpa adanya batas ketika $n$ semakin menuju ke tak terhingga. Akibatnya, deret tersebut tidak memiliki hasil penjumlahan sebab barisan dari jumlah parsial gagal konvergen menuju ke bilangan terhingga.

Walaupun deret ini sama sekali tidak tampak memiliki nilai, deret ini dapat dimanipulasi sehingga menghasilkan suatu bilangan dengan nilai yang menarik. Sebagai contoh, banyak metode penjumlahan dipakai dalam matematika untuk memberikan nilai secara numerik, khususnya untuk deret divergen. Metode seperti regularisasi fungsi zeta dan penjumlahan Riemann khususnya memberikan deret tersebut suatu nilai, yaitu $-1/12$ , dan rumus terkenal itu ditulis sebagai^[2] $1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}}.$ Pada rumus di atas, ekspresi di ruas kiri harus dipandang sebagai nilai yang didapatkan dengan menggunakan metode penjumlahan yang telah disebutkan sebelumnya dan bukanlah deret tak terhingga biasa. Metode-metode tersebut mempunyai penerapan di bidang-bidang lainnya, seperti analisis kompleks, teori medan kuantum, dan teori dawai (string theory).^[3]

Dalam suatu monograf tentang teori moonshine, seorang matematikawan di universitas Alberta yang bernama Terry Gannon menyebutkan bahwa persamaan ini merupakan "salah satu rumus yang sangat luar biasa dalam sains".^[4]

Jumlah parsial

Jumlah parsial dari deret 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ⋯ adalah 1, 3, 6, 10, 15, dst. Jumlah parsial ke- $n$ dituliskan dengan rumus sederhana: $\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}.$ Persamaan ini diketahui para pengikut Pythagoras di awal abad keenam SM.^[5] Bilangan-bilangan dengan bentuk tersebut dinamakan bilangan segitiga, sebab bilangan-bilangan tersebut dapat disusun seperti suatu segitiga sama sisi.

Barisan tak terhingga dari bilangan segitiga divergen menuju $+\infty$ , sehingga berdasarkan definisi, deret tak terhingga 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ juga divergen menuju ke $+\infty$ . Divergensinya merupakan akibat sederhana dari bentuk deret tersebut sebab suku-sukunya tidak mendekati nol; karena itu, deret disebut divergen berdasarkan uji suku.

Rujukan

^ Tao, Terence (10 April 2010). "The Euler–Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation".
^ Lepowsky, J. (1999). "Vertex operator algebras and the zeta function". Dalam Naihuan Jing and Kailash C. Misra. Recent Developments in Quantum Affine Algebras and Related Topics. Contemporary Mathematics. 248. hlm. 327–340. arXiv:math/9909178 . Bibcode:1999math......9178L. .
^ Tong, David (23 Februari 2012). "String Theory". pp. 28–48. arΧiv:0908.0333 [hep-th].
^ Gannon, Terry (April 2010), Moonshine Beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics, Cambridge University Press, hlm. 140, ISBN 978-0521141888 .
^ Pengelley, David J. (2002). "The bridge between the continuous and the discrete via original sources". Dalam Otto Bekken; et al. Study the Masters: The Abel-Fauvel Conference. National Center for Mathematics Education, University of Gothenburg, Sweden. hlm. 3. ISBN 978-9185143009. .

[1] Tao, Terence (10 April 2010). "The Euler–Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation".

[2] Lepowsky, J. (1999). "Vertex operator algebras and the zeta function". Dalam Naihuan Jing and Kailash C. Misra. Recent Developments in Quantum Affine Algebras and Related Topics. Contemporary Mathematics. 248. hlm. 327–340. arXiv:math/9909178 . Bibcode:1999math......9178L. .

[3] Tong, David (23 Februari 2012). "String Theory". pp. 28–48. arΧiv:0908.0333 [hep-th].

[4] Gannon, Terry (April 2010), Moonshine Beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics, Cambridge University Press, hlm. 140, ISBN 978-0521141888 .

[5] Pengelley, David J. (2002). "The bridge between the continuous and the discrete via original sources". Dalam Otto Bekken; et al. Study the Masters: The Abel-Fauvel Conference. National Center for Mathematics Education, University of Gothenburg, Sweden. hlm. 3. ISBN 978-9185143009. .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]