Lompat ke isi

Integral Dirichlet

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas


Dalam matematika, ada beberapa integral yang dikenal sebagai Integral Dirichlet, setelah ahli matematika Jerman Peter Gustav Lejeune Dirichlet, salah satunya adalah integral tak wajar dari fungsi sinc di atas garis nyata positif:

Integral ini bukanlah absolut konvergen, artinya bukan Lebesgue-integrable, sehingga integral Dirichlet tidak terdefinisi dalam arti integral Lebesgue. Hal ini, bagaimanapun, didefinisikan dalam arti integral Riemann yang tidak tepat atau Riemann yang digeneralisasikan atau integral Henstock–Kurzweil.[1][2] Nilai integral (dalam pengertian Riemann atau Henstock) dapat diturunkan dengan berbagai cara, termasuk transformasi Laplace, integrasi ganda, membedakan di bawah tanda integral, integrasi kontur, dan kernel Dirichlet.

Transformasi Laplace

[sunting | sunting sumber]

Maka menjadi fungsi yang dapat didefinisikan . Maka Transformasi Laplace diberikan oleh

bila integral itu ada.[3]

Properti dari Transformasi laplace berguna untuk mengevaluasi integral tak wajar adalah

asalkan .

Seseorang dapat menggunakan properti ini untuk mengevaluasi integral Dirichet sebagai berikut:

lantaran adalah transformasi Laplace dari fungsi tersebut . (Lihat bagian 'Membedakan di bawah tanda integral' untuk penurunan.)

Integrasi ganda

[sunting | sunting sumber]

Mengevaluasi integral Dirichlet menggunakan transformasi Laplace setara dengan mencoba mengevaluasi integral pasti ganda yang sama dalam dua cara berbeda, dengan pembalikan urutan integral, yaitu:

Diferensiasi di bawah tanda integral (trik Feynman)

[sunting | sunting sumber]

Pertama, tulis ulang integral sebagai fungsi dari variabel tambahan . Maka

Untuk mengevaluasi integral Dirichlet, kita perlu menentukan.

Diferensialkan sehubungan dengan dan terapkan hukum Leibniz untuk membedakan di bawah tanda integral untuk mendapatkan

Sekarang, gunakan rumus Euler sinusoid dapat dinyatakan dalam fungsi eksponensial kompleks. Jadi kami punya

oleh karena itu,

Integrasi sehubungan dengan memberikan

dimana adalah konstanta integrasi yang akan ditentukan. Karena menggunakan nilai pokok. Maka ini berarti

Akhirnya, untuk , kita punya , seperti sebelumnya.

Integrasi kompleks

[sunting | sunting sumber]

Hasil yang sama dapat diperoleh dengan integrasi kompleks. Mempertimbangkan

Sebagai fungsi dari variabel kompleks , ia memiliki kutub sederhana di asalnya, yang mencegah penerapan lemma Jordan, yang hipotesis lainnya terpenuhi.

Tentukan kemudian fungsi baru[4]

Kutub telah dipindahkan dari sumbu sebenarnya, sehingga dapat diintegrasikan sepanjang setengah lingkaran radius yang berpusat di dan ditutup pada sumbu nyata. Seseorang kemudian limitnya .

Integral kompleks adalah nol menurut teorema residu, karena tidak ada kutub di dalam jalur integrasi

Istilah kedua lenyap saat pergi ke tak terhingga. Adapun integral pertama, seseorang dapat menggunakan satu versi teorema Sokhotski–Plemelj untuk integral di atas garis nyata: untuk fungsi bernilai kompleks f yang ditentukan dan dapat terus terdiferensiasi pada garis nyata dan konstanta nyata dan with seseorang menemukan

dimana menunjukkan nilai pokok Cauchy. Kembali ke kalkulasi awal di atas, seseorang dapat menulis

Dengan mengambil bagian imajiner di kedua sisi dan mencatat fungsinya bahkan, kita dapatkan

Akhirnya,

Atau, pilih sebagai kontur integrasi untuk gabungan jari-jari setengah lingkaran bidang atas dan bersama dengan dua segmen dari garis nyata yang menghubungkannya. Di satu sisi, integral kontur adalah nol, terlepas dari dan ; di sisi lain, sebagai dan bagian imajiner integral menyatu (maka adalah cabang dari logaritma pada setengah bidang atas), yang mengarah ke .

Kernel Dirichlet

[sunting | sunting sumber]

Maka

menjadi kernel Dirichlet.[5]

Segera setelah itu

menjelaskan

Jelasnya, adalah kontinu jika , untuk melihat keberlanjutannya di 0 terapkan Aturan L'Hopital:

Karenanya, memenuhi persyaratan Riemann-Lebesgue Lemma. Ini berarti

(Bentuk Lemma Riemann-Lebesgue yang digunakan di sini dibuktikan dalam artikel yang dikutip.)

Pilih batasan and . Maka kami ingin mengatakan

In order to do so, however, we must justify switching the real limit in to the integral limit in . This is in fact justified if we can show the limit does exist, which we do now.

Using integration by parts, we have:

Now, as and the term on the left converges with no problem. See the list of limits of trigonometric functions. We now show that is absolutely integrable, which implies that the limit exists.[6]

First, we seek to bound the integral near the origin. Using the Taylor-series expansion of the cosine about zero,

Therefore,

Splitting the integral into pieces, we have

for some constant . This shows that the integral is absolutely integrable, which implies the original integral exists, and switching from to was in fact justified, and the proof is complete.

Lihat pula

[sunting | sunting sumber]
  1. ^ Bartle, Robert G. (10 June 1996). "Return to the Riemann Integral" (PDF). The American Mathematical Monthly. 103 (8): 625–632. doi:10.2307/2974874. JSTOR 2974874. [pranala nonaktif permanen]
  2. ^ Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2011). "Chapter 10: The Generalized Riemann Integral". Introduction to Real AnalysisAkses gratis dibatasi (uji coba), biasanya perlu berlangganan. John Wiley & Sons. hlm. 311. ISBN 978-0-471-43331-6. 
  3. ^ Zill, Dennis G.; Wright, Warren S. (2013). "Chapter 7: The Laplace Transform". Differential Equations with Boundary-Value ProblemsAkses gratis dibatasi (uji coba), biasanya perlu berlangganan. Cengage Learning. hlm. 274-5. ISBN 978-1-111-82706-9. 
  4. ^ Appel, Walter. Mathematics for Physics and Physicists. Princeton University Press, 2007, p. 226. ISBN 978-0-691-13102-3.
  5. ^ Chen, Guo (26 June 2009). A Treatment of the Dirichlet Integral Via the Methods of Real Analysis (PDF) (Laporan). Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2020-11-25. Diakses tanggal 2020-09-26. 
  6. ^ R.C. Daileda. Improper Integrals (PDF) (Laporan). 

Pranala luar

[sunting | sunting sumber]

Templat:Integral