Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 05/2

Bilangan π (dibaca pi) adalah konstanta matematika yang nilainya kira-kira sama dengan 3,14159. Bilangan ini juga merupakan perbandingan antara keliling lingkaran dengan diameter. Bilangan ini ditemukan dalam banyak rumus-rumus di bidang matematika dan fisika. π adalah bilangan irasional, yang berarti bahwa π tidak dapat dinyatakan sebagai bentuk pecahan, meskipun 227 seringkali dipakai untuk mendekati nilainya. Akibatnya, representasi bilangan desimal π tidak pernah berakhir dan polanya tidak pernah berulang. Bilangan π juga merupakan bilangan transendental, yang berarti bahwa bilangan yang bukan merupakan akar suatu suku banyak dengan koefisien bilangan rasional. Transendensi π menyiratkan bahwa mustahil untuk menyelesaikan tantangan kuno seperti mempersegikan lingkaran dengan jangka sorong dan penggaris. Digit desimal (atau basis lain) π tersebar secara acak, sayangnya bukti konjektur tersebut masih belum ditemukan.

Selama beribu-ribu tahun, para matematikawan mencoba untuk memperluas pemahamannya akan bilangan π, terkadang dengan menghitung nilainya menjadi sangat akurat. Peradaban kuno seperti Mesir dan Babilonia, memerlukan pendekatan yang sangat akurat dalam menghitung nilai π. Sekitar 250 BC, matematikawan Yunani, Archimedes, menciptakan algoritma untuk menghitung pendekatan π dengan akurasi sembarang. Pada abad ke-5 AD, matematika Tiongkok menghitung pendekatan π sampai tujuh digit dengan metode geometris, sedangkan matematika India mehghitung pendekatan sampai lima digit dengan metode yang serupa. Rumus menghitung nilai π pertama kali didasari dengan deret takhingga, ditemukan seribu tahun kemudian, ketika mazhab astronomi dan matematika Kerala menemukan deret Madhava–Leibniz yang dicatat di Yuktibhāṣā sekitar tahun 1530.

Penemuan kalkulus segera mengakibatkan perhitungan ratusan digit π, yang diperlukan untuk semua perhitungan ilmiah. Namun pada abad ke-20 dan ke-21, para ahli matematika dan ilmu komputer melanjutkan pendekatan baru yang apabila digabungkan dengan daya perhitungan tinggi, akan mampu memperluas representasi desimal π hingga triliunan digit. Alasan utama penghitungan ini adalah mengembangkan algoritma yang efisien untuk menghitung rangkaian bilangan yang panjang, sekaligus memecahkan rekor. Perhitungan ekstensif ini juga digunakan untuk menguji kemampuan superkomputer dan algoritma perkalian presisi tinggi.

Karena π merupakan definisi paling dasar yang berhubungan dengan lingkaran, π ditemukan dalam banyak rumus-rumus trigonometri dan geometri, terutama melibatkan lingkaran, elips, dan bola. Dalam analisis matematika yang lebih modern, π bahkan didefinisikan sebagai eigennilai atau periode dengan menggunakan sifat-sifat spektral dari sistem bilangan real tanpa mengacu pada geometri. π juga muncul dalam cabang matematika dan sains yang sedikit melibatkan lingkaran dalam geometri, seperti teori bilangan dan statistika, dan hampir semua cabang fisika. Keberadaan π yang sangat umum menjadi salah satu konstanta matematika yang terkenal di dalam dan di luar komunitas ilmiah. Beberapa buku yang menyediakan nilai π telah diterbitkan dan perhitungan rekor digit dari π seringkali terlihat di pokok berita.

Fundamental

Nama

Penggunaan simbol π oleh para matematikawan yang mewakili perbandingan antara keliling lingkaran dengan diameter berasal dari huruf kecil Yunani π (terkadan dieja pi), dan simbol ini berasal dari huruf pertama dari kata Yunani perimetros, yang artinya keliling lingkaran. Dalam matematika, penggunaan huruf kecil π berbeda dengan huruf kapital Π, yang melambangkan hasil kali barisan. Penggunaan huruf kapital ini mirip dengan Σ, yang melambangkan penjumlahan.

Definisi

Keliling lingkaran kurang lebih tiga kalinya panjang diameter. Nilai dari perbandingan eksak adalah π.

π biasanya didefinisikan sebagai perbandingan antara keliling lingkaran C dengan diameter lingkaran d:

$\pi ={\frac {C}{d}}.$

Perbandingan C/d bernilai konstanta, tidak peduli seberapa besar ukuran lingkaran. Sebagai contoh, jika sebuah lingkaran memiliki dua kali diameter dari lingkaran lain, maka lingkaran tersebut juga memiliki dua kali kelilingnya, tetapi mempertahankan perbandingan C/d. Definisi π secara tidak langsung menggunakan geometri (Euklides) datar; walaupun gagasan suatu lingkaran dapat diperluas untuk setiap geometri (takEuklides) kurva, tetapi lingkaran-lingkaran baru tersebut tidak akan memenuhi rumus π = C/d.

Keliling lingkaran merupakan panjang busur di sekitar keliling lingkaran, dengan jumlah yang dapat didefinisikan geometri secara terpisah melalui sebuah konsep dalam kalkulus, limit. Sebagai contoh, kelilingnya dapat menghitung panjang busur di bagian atas lingkaran satuan secara langsung, dinyatakan dalam koordinat Cartesius melalui persamaan x² + y² = 1, sebagai integral:

$\pi =\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}.$

Karl Weierstrass mendefinisikan π secara langsung melalui integral pada 1841. Akan tetapi, Remmert 2012 menjelaskan bahwa pengintegralan tersebut tidak lagi dipakai dalam definisi analitik pertama, karena kalkulus diferensial dalam kurikum universitas biasanya mendahului kalkulus integral, jadi sangat diperlukan untuk memperoleh definisi dari π tanpa bergantung pada definisi sebelumnya. Definisi yang dinyatakan Richard Baltzer, yang kemudian dipopulerkan oleh Edmund Landau, mengatakan bahwa π adalah dua kali bilangan positif terkecil saat nilai dari fungsi kosinus sama dengan 0. π juga merupakan bilangan positif terkecil saat nilai dari fungsi sinus sama dengan nol, serta merupakan selisih antara akar-akar fungsi yang berurutan dari fungsi sinus. Dalam geometri, fungsi kosinus dan sinus dapat didefinisikan secara terpisah sebagai deret kuasa, atau sebagai penyelesaian dari persamaan diferensial.

Pada gagasan yang serupa, π dapat didefinisikan melalui sifat dari eksponensial kompleks, katakanlah exp z, dari variabel bilangan kompleks z. Sama halnya dengan kosinus, eksponensial kompleks dapat didefinisikan melalui beberapa cara. Salah satunya adalah himpunan kompleks di exp z yang sama dengannya merupakan barisan aritmetika (imajiner), yang ditulis dalam bentuk:

$\{\dots ,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,\dots \}=\{2\pi ki\mid k\in \mathbb {Z} \}$

dan terdapat bilangan real positif tunggal π dengan sifat-sifat tersebut.

Ada berbagai gagasan serupa yang menggunakan konsep matematika seperti topologi dan aljabar, yang dijelaskan melalui teorema berikut: there is a unique (up to automorphism) continuous isomorphism from the group R/Z of real numbers under addition modulo integers (the circle group), onto the multiplicative group of complex numbers of absolute value one. The number π is then defined as half the magnitude of the derivative of this homomorphism.

Irasionalitas dan normalitas

π adalah bilangan irasional, dalam artian bahwa π tak dapat ditulis sebagai perbandingan antara dua bilangan bulat. Pecahan seperti 227 dan 355113 umumnya dipakai untuk mengaproksimasi π, tetapi pecahan biasa (perbandingan dari bilangan cacah) tak dapat dijadikan sebagai nilai eksak. Karena π irasional, ia mempunyai jumlah digit yang tak terhingga dalam representasi desimal, dan mempunyai jumlah digit tak terhingga dengan polanya tidak berulang. Terdapat beberapa bukti bahwa π adalah irasional, yang secara umum membutuhkan kalkulus dan bergantung pada teknik reductio ad absurdum. The degree to which π can be approximated by rational numbers (called the irrationality measure) is not precisely known; estimates have established that the irrationality measure is larger than the measure of e or ln 2 but smaller than the measure of Liouville numbers.

The digits of π have no apparent pattern and have passed tests for statistical randomness, including tests for normality; a number of infinite length is called normal when all possible sequences of digits (of any given length) appear equally often. The conjecture that π is normal has not been proven or disproven.

Since the advent of computers, a large number of digits of π have been available on which to perform statistical analysis. Yasumasa Kanada has performed detailed statistical analyses on the decimal digits of π, and found them consistent with normality; for example, the frequencies of the ten digits 0 to 9 were subjected to statistical significance tests, and no evidence of a pattern was found. Any random sequence of digits contains arbitrarily long subsequences that appear non-random, by the infinite monkey theorem. Thus, because the sequence of π's digits passes statistical tests for randomness, it contains some sequences of digits that may appear non-random, such as a sequence of six consecutive 9s that begins at the 762nd decimal place of the decimal representation of π. This is also called the "Feynman point" in mathematical folklore, after Richard Feynman, although no connection to Feynman is known.

Rujukan

Sumber

• Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999). Special Functions. Cambridge: University Press. ISBN 978-0-521-78988-2. 
• Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2006). Pi Unleashed. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-66572-4. Diakses tanggal 5 June 2013.  English translation by Catriona and David Lischka.
• Ayers, Frank (1964). Calculus. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-002653-7. 
• Bailey, David H.; Plouffe, Simon M.; Borwein, Peter B.; Borwein, Jonathan M. (1997). "The quest for PI". The Mathematical Intelligencer. 19 (1): 50–56. CiteSeerX 10.1.1.138.7085 . doi:10.1007/BF03024340. ISSN 0343-6993. 
• Beckmann, Peter (1989) [1974]. History of Pi. St. Martin's Press. ISBN 978-0-88029-418-8. 
• Berggren, Lennart; Borwein, Jonathan; Borwein, Peter (1997). Pi: a Source Book. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-20571-7. 
• Boeing, Niels (14 March 2016). "Die Welt ist Pi" [The World is Pi]. Zeit Online (dalam bahasa Jerman). Diarsipkan dari versi asli tanggal 17 March 2016. Die Ludolphsche Zahl oder Kreiszahl erhielt nun auch das Symbol, unter dem wir es heute kennen: William Jones schlug 1706 den griechischen Buchstaben π vor, in Anlehnung an perimetros, griechisch für Umfang. Leonhard Euler etablierte π schließlich in seinen mathematischen Schriften. [The Ludolphian number or circle number now also received the symbol under which we know it today: William Jones proposed in 1706 the Greek letter π, based on perimetros [περίμετρος], Greek for perimeter. Leonhard Euler firmly established π in his mathematical writings.] 
• Borwein, Jonathan; Borwein, Peter (1987). Pi and the AGM: a Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. Wiley. ISBN 978-0-471-31515-5. 
• Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (1991). A History of Mathematics (edisi ke-2). Wiley. ISBN 978-0-471-54397-8. 
• Bronshteĭn, Ilia; Semendiaev, K.A. (1971). A Guide Book to Mathematics. Verlag Harri Deutsch. ISBN 978-3-87144-095-3. 
• Eymard, Pierre; Lafon, Jean Pierre (1999). The Number Pi. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3246-2. , English translation by Stephen Wilson.
• Gupta, R.C. (1992). "On the remainder term in the Madhava–Leibniz's series". Ganita Bharati. 14 (1–4): 68–71. 
• Howe, Roger (1980), "On the role of the Heisenberg group in harmonic analysis", Bulletin of the American Mathematical Society, 3 (2): 821–844, doi:10.1090/S0273-0979-1980-14825-9 , MR 0578375 .
• Joseph, George Gheverghese (1991). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-13526-7. Diakses tanggal 5 June 2013. 
• Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2004). Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number. Prometheus Books. ISBN 978-1-59102-200-8. 
• Reitwiesner, George (1950). "An ENIAC Determination of pi and e to 2000 Decimal Places". Mathematical Tables and Other Aids to Computation. 4 (29): 11–15. doi:10.2307/2002695. JSTOR 2002695. 
• Remmert, Reinhold (2012). "Ch. 5 What is π?". Dalam Heinz-Dieter Ebbinghaus; Hans Hermes; Friedrich Hirzebruch; Max Koecher; Klaus Mainzer; Jürgen Neukirch; Alexander Prestel; Reinhold Remmert. Numbers. Springer. ISBN 978-1-4612-1005-4. 
• Rossi, Corinna (2004). Architecture and Mathematics in Ancient Egypt. Cambridge: University Press. ISBN 978-1-107-32051-2. 
• Roy, Ranjan (1990). "The Discovery of the Series Formula for pi by Leibniz, Gregory, and Nilakantha". Mathematics Magazine. 63 (5): 291–306. doi:10.2307/2690896. JSTOR 2690896. 
• Schepler, H.C. (1950). "The Chronology of Pi". Mathematics Magazine. 23 (3): 165–170 (Jan/Feb), 216–228 (Mar/Apr), and 279–283 (May/Jun). doi:10.2307/3029284. JSTOR 3029284. . issue 3 Jan/Feb, issue 4 Mar/Apr, issue 5 May/Jun
• Thompson, William (1894), "Isoperimetrical problems", Nature Series: Popular Lectures and Addresses, II: 571–592 

Bacaan lebih lanjut

• Blatner, David (1999). The Joy of Pi. Walker & Company. ISBN 978-0-8027-7562-7. 
• Borwein, Jonathan; Borwein, Peter (1984). "The Arithmetic-Geometric Mean and Fast Computation of Elementary Functions" (PDF). SIAM Review. 26 (3): 351–365. CiteSeerX 10.1.1.218.8260 . doi:10.1137/1026073. 
• Borwein, Jonathan; Borwein, Peter; Bailey, David H. (1989). "Ramanujan, Modular Equations, and Approximations to Pi or How to Compute One Billion Digits of Pi". The American Mathematical Monthly (Submitted manuscript). 96 (3): 201–219. doi:10.2307/2325206. JSTOR 2325206. 
• Chudnovsky, David V. and Chudnovsky, Gregory V., "Approximations and Complex Multiplication According to Ramanujan", in Ramanujan Revisited (G.E. Andrews et al. Eds), Academic Press, 1988, pp. 375–396, 468–472
• Cox, David A. (1984). "The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss". L'Enseignement Mathématique. 30: 275–330. 
• Delahaye, Jean-Paul (1997). Le Fascinant Nombre Pi. Paris: Bibliothèque Pour la Science. ISBN 2-902918-25-9. 
• Engels, Hermann (1977). "Quadrature of the Circle in Ancient Egypt". Historia Mathematica. 4 (2): 137–140. doi:10.1016/0315-0860(77)90104-5 . 
• Euler, Leonhard, "On the Use of the Discovered Fractions to Sum Infinite Series", in Introduction to Analysis of the Infinite. Book I, translated from the Latin by J.D. Blanton, Springer-Verlag, 1964, pp. 137–153
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2000). An Introduction to the Theory of Numbers (edisi ke-fifth). Oxford, UK: Clarendon Press. 
• Heath, T.L., The Works of Archimedes, Cambridge, 1897; reprinted in The Works of Archimedes with The Method of Archimedes, Dover, 1953, pp. 91–98
• Huygens, Christiaan, "De Circuli Magnitudine Inventa", Christiani Hugenii Opera Varia I, Leiden 1724, pp. 384–388
• Lay-Yong, Lam; Tian-Se, Ang (1986). "Circle Measurements in Ancient China". Historia Mathematica. 13 (4): 325–340. doi:10.1016/0315-0860(86)90055-8 . 
• Lindemann, Ferdinand (1882). "Ueber die Zahl pi". Mathematische Annalen. 20 (2): 213–225. doi:10.1007/bf01446522. Diarsipkan dari versi asli tanggal 22 January 2015. 
• Matar, K. Mukunda; Rajagonal, C. (1944). "On the Hindu Quadrature of the Circle" (Appendix by K. Balagangadharan)". Journal of the Bombay Branch of the Royal Asiatic Society. 20: 77–82. 
• Niven, Ivan (July 1947). "A Simple Proof that pi Is Irrational". Bulletin of the American Mathematical Society. 53 (7): 507. doi:10.1090/S0002-9904-1947-08821-2 . 
• Ramanujan, Srinivasa (1914). "Modular Equations and Approximations to π". Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics. XLV: 350–372.  Reprinted in Ramanujan, Srinivasa (2015) [1927]. Hardy, G. H.; Seshu Aiyar, P. V.; Wilson, B. M., ed. Srinivasa Ramanujan: Collected Papers. Cambridge University Press. hlm. 23–29. ISBN 978-1-107-53651-7. 
• Shanks, William, Contributions to Mathematics Comprising Chiefly of the Rectification of the Circle to 607 Places of Decimals, 1853, pp. i–xvi, 10
• Shanks, Daniel; Wrench, John William (1962). "Calculation of pi to 100,000 Decimals". Mathematics of Computation. 16 (77): 76–99. doi:10.1090/s0025-5718-1962-0136051-9 . 
• Tropfke, Johannes (1906). Geschichte Der Elementar-Mathematik in Systematischer Darstellung [The history of elementary mathematics] (dalam bahasa Jerman). Leipzig: Verlag Von Veit. 
• Viete, Francois, Variorum de Rebus Mathematicis Reponsorum Liber VII. F. Viete, Opera Mathematica (reprint), Georg Olms Verlag, 1970, pp. 398–401, 436–446
• Wagon, Stan (1985). "Is Pi Normal?". The Mathematical Intelligencer. 7 (3): 65–67. doi:10.1007/BF03025811. 
• Wallis, John (1655–1656). Arithmetica Infinitorum, sive Nova Methodus Inquirendi in Curvilineorum Quadratum, aliaque difficiliora Matheseos Problemata (dalam bahasa Latin). Oxford.  Reprinted in Opera Mathematica. 1. Oxford: E Theatro Sheldoniano. 1695. hlm. 357–478. 
• Zebrowski, Ernest (1999). A History of the Circle: Mathematical Reasoning and the Physical Universe. Rutgers University Press. ISBN 978-0-8135-2898-4. 

External links

• 10 million decimal places
• "Pi" at Wolfram Mathworld
• Representations of Pi at Wolfram Alpha
• Demonstration by Lambert (1761) of irrationality of π, online and analysed BibNum (PDF).
• π Search Engine 2 billion searchable digits of π, e and √2