Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 08

Klasifikasi bilangan

"Sistem bilangan" beralih ke halaman ini. Untuk Sistem yang membentuk bilangan, lihat Sistem bilangan.

Lihat pula: Daftar jenis bilangan

Sistem bilangan Bilangan kompleks $:\;\mathbb {C}$ Bilangan real $:\;\mathbb {R}$ Bilangan rasional $:\;\mathbb {Q}$ Bilangan bulat $:\;\mathbb {Z}$ Bilangan asli $:\;\mathbb {N}$ Nol: 0 Satu: 1 Bilangan prima Bilangan komposit Bilangan bulat negatif Pecahan Desimal terhingga Diadik (biner terhingga) Desimal berulang Bilangan irasional Bilangan irasional aljabar Bilangan transendental Bilangan imajiner

Bilangan dapat digolongkan menjadi himpunan, yang disebut sebagai sistem bilangan. Tabel berikut memuat kategori bilangan yang penting.

Sistem bilangan yang penting

$\mathbb {N}$	Bilangan asli	0, 1, 2, 3, 4, 5, ... atau 1, 2, 3, 4, 5, ... $\mathbb {N} _{0}$ atau $\mathbb {N} _{1}$ terkadang dipakai.
$\mathbb {Z}$	Bilangan bulat	..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
$\mathbb {Q}$	Bilangan rasional	ab, dengan a dan b adalah bilangan bulat, dan b tidak sama dengan 0
$\mathbb {R}$	Bilangan real	Limit dari barisan konvergen dari bilangan rasional
$\mathbb {C}$	Bilangan kompleks	a + bi, dengan a dan b bilangan real dan i adalah akar kuadrat  −1

There is generally no problem in identifying each number system with a proper subset of the next one (by abuse of notation), because each of these number systems is canonically isomorphic to a proper subset of the next one. The resulting hierarchy allows, for example, to talk, formally correctly, about real numbers that are rational numbers, and is expressed symbolically by writing

$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$.

Bilangan asli

Artikel utama: Bilangan asli

Bilangan asli yang dimulai dari 1

Bilangan yang paling terkenal adalah bilangan asli, yang dimulai dari 1, 2, 3, dst. Barisan dari bilangan asli biasanya dimulai dari 1 (0 bahkan tidak dianggap sebagai bilangan menurut bangsa Yunani Kuno.) Akan tetapi pada abad ke-19, para ahli teori himpunan dan matematikawan memulainya dari 0 (sebagai kardinalitas dari himpunan kosong, yaitu 0 anggota, dengan 0 menunjukkan bilangan kardinal terkecil) dalam himpunan bilangan asli. Saat ini, para matematikawan lain menggunakan istilah tersebut untuk menjelaskan kedua himpunan, yaitu himpunan yang mengandung 0 atau tidak. Simbol matematika untuk himpunan bilangan asli adalah $\mathbb {N}$. Terkadang dilambangkan sebagai $\mathbb {N} _{0}$ ketika diperlukan untuk menunjukkan himpunan dimulai dari 0. Hal yang serupa untuk $\mathbb {N} _{1}$, yang menunjukkan himpunan dimulai dari 1.

Dalam sistem bilangan berbasis 10 dan hampir semua pemakaian umum mengenai operasi matematika, simbol bilangan asli ditulis menggunakan sepuluh angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Radiks merupakan bilangan dari angka numerik tunggal, yang melibatkan angka nol. Radiks merupakan sistem bilangan yang dipakai untuk mewakili bilangan (untuk sistem desimal, radiksnya adalah 10). Dalam sistem bilangan berbasis 10, angka dari bilangan asli yang diletakkan paling di sebelah kanan mempunyai nilai letak dari 1, dan masing-masing angka lainnya mempunyai nilai letak sepuluh kali letak nilai dari angka yang terletak di paling kanan.

Dalam teori himpunan, cabang matematika yang dipakai sebagai dasar aksiomatik matematika modern, bilangan asli dapat diwakili melalui kelas dari himpunan yang ekuivalen. Sebagai contoh, bilangan 3 dapat dinyatakan sebagai kelas dari semua himpunan yang mempunyai setidaknya ada tiga anggota. Selain itu, bilangan 3 dalam aksioma Peano dinyatakan sebagai sss0, yang berarti 3 merupakan penerus ketiga dari 0. Ada banyak representasi yang dapat dilakukan, tetapi yang perlu diformalkan untuk mewakili bilangan 3 adalah menuliskan simbol-simbol tertentu atau pola-pola simbol sebanyak tiga kali.

Bilangan bulat

Artikel utama: Bilangan bulat

Negatif dari bilangan bulat positif didefinisikan sebagai bilangan yang menghasilkan 0 ketika ditambahkan dengan bilangan bulat positif yang sama nilainya. Bilangan bualt negatif biasanya ditulis dengan sebuah tanda negatif (umumnya disebut tanda minus). Sebagai contoh, negatif 7 ditulis −7, dan 7 + (−7) = 0. Ketika himpunan dari bilangan negatif digabungkan dengan himpunan dari bilangan asli (yang mengandung 0), maka hasilnya didefinisikan sebagai himpunan dari bilangan bulat, yang dinyatakan sebagai $\mathbb {Z}$. Hurud Z diambil dari bahasa Jerman Zahl, berarti "bilangan". Himpunan dari bilangan bulat membentuk gelanggang dengan operasi penambahan dan perkalian.

Himpunan dari bilangan asli membentuk subhimpunan dari bilangan bulat. Karena tidak ada standar yang sama terkait inklusi dari nol atau tidak, bilangan asli tanpa mengandung nol biasanya disebut bilangan bulat positif, dan bilangan asli yang mengandung nol disebut bilangan bulat taknegatif.

Bilangan rasional

Artikel utama: Bilangan rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dinyatakan sebagai pecahan, dengan pembilangnya bilangan bulat dan penyebutnya bilangan bulat positif. Penyebut diperbolehkan sebagai bilangan negatif, tetapi biasanya diabaikan, sebab setiap bilangan rasional sama dengan pecahan dengan penyebutnya bilangan positif. Pecahan ditulis sebagai dua bilangan bulat yang terdapat pada pembilang dan penyebut, dengan ada sebuah batang di antaranya. Pecahan mn mewakili m bagian secara menyeluruh yang dibagi menjadi n bagian yang sama. Dua pecahan yang berbeda dapat disamakan dengan bilangan rasional yang sama. Sebagai contoh, 12 dan 24 bernilai sama, ditulis:

${1 \over 2}={2 \over 4}.$

Secara umum,

${a \over b}={c \over d}$ jika dan hanya jika ${a\times d}={c\times b}.$

Jika nilai mutlak dari m lebih besar dari n (anggap nilainya positif), maka nilai mutlak dari pecahan lebih besar dari 1. Pecahan dapat lebih besar, lebih kecil atau sama dengan 1, dan juga dapat bernilai positif, negatif, atau 0. Himpunan dari semua bilangan rasional melibatkan bilangan bulat karena setiap bilangan bulat dapat ditulis sebagai pecahan dengan penyebut bernilai 1. Sebagai contoh,  −7 dapat ditulis −71. Bilangan rasional dilambangkan sebagai $\mathbb {Q}$, yang diambil dari kata quotient (bahasa Indonesia: hasil bagi).

Bilangan real

Artikel utama: Real number

Bilangan real, yang dilambangkan sebagai $\mathbb {R}$, melibatkan semua bilangan karena setiap bilangan real berkorespondensi dengan titik pada garis bilangan. Hampir semua bilangan real dapat dihampiri (atau diaproksimasi) melalui bilangan desimal, in which a decimal point is placed to the right of the digit with place value 1. Each digit to the right of the decimal point has a place value one-tenth of the place value of the digit to its left. For example, 123.456 represents 1234561000, or, in words, one hundred, two tens, three ones, four tenths, five hundredths, and six thousandths. A real number can be expressed by a finite number of decimal digits only if it is rational and its fractional part has a denominator whose prime factors are 2 or 5 or both, because these are the prime factors of 10, the base of the decimal system. Thus, for example, one half is 0.5, one fifth is 0.2, one-tenth is 0.1, and one fiftieth is 0.02. Representing other real numbers as decimals would require an infinite sequence of digits to the right of the decimal point. If this infinite sequence of digits follows a pattern, it can be written with an ellipsis or another notation that indicates the repeating pattern. Such a decimal is called a repeating decimal. Thus 13 can be written as 0.333..., with an ellipsis to indicate that the pattern continues. Forever repeating 3s are also written as 0.3.

It turns out that these repeating decimals (including the repetition of zeroes) denote exactly the rational numbers, i.e., all rational numbers are also real numbers, but it is not the case that every real number is rational. A real number that is not rational is called irrational. A famous irrational real number is the π, the ratio of the circumference of any circle to its diameter. When pi is written as

$\pi =3.14159265358979\dots ,$

as it sometimes is, the ellipsis does not mean that the decimals repeat (they do not), but rather that there is no end to them. It has been proved that π is irrational. Another well-known number, proven to be an irrational real number, is

${\sqrt {2}}=1.41421356237\dots ,$

the square root of 2, that is, the unique positive real number whose square is 2. Both these numbers have been approximated (by computer) to trillions ( 1 trillion = 10¹² = 1,000,000,000,000 ) of digits.

Not only these prominent examples but almost all real numbers are irrational and therefore have no repeating patterns and hence no corresponding decimal numeral. They can only be approximated by decimal numerals, denoting rounded or truncated real numbers. Any rounded or truncated number is necessarily a rational number, of which there are only countably many. All measurements are, by their nature, approximations, and always have a margin of error. Thus 123.456 is considered an approximation of any real number greater or equal to 123455510000 and strictly less than 123456510000 (rounding to 3 decimals), or of any real number greater or equal to 1234561000 and strictly less than 1234571000 (truncation after the 3. decimal). Digits that suggest a greater accuracy than the measurement itself does, should be removed. The remaining digits are then called significant digits. For example, measurements with a ruler can seldom be made without a margin of error of at least 0.001 m. If the sides of a rectangle are measured as 1.23 m and 4.56 m, then multiplication gives an area for the rectangle between 5.614591 m² and 5.603011 m². Since not even the second digit after the decimal place is preserved, the following digits are not significant. Therefore, the result is usually rounded to 5.61.

Just as the same fraction can be written in more than one way, the same real number may have more than one decimal representation. For example, 0.999..., 1.0, 1.00, 1.000, ..., all represent the natural number 1. A given real number has only the following decimal representations: an approximation to some finite number of decimal places, an approximation in which a pattern is established that continues for an unlimited number of decimal places or an exact value with only finitely many decimal places. In this last case, the last non-zero digit may be replaced by the digit one smaller followed by an unlimited number of 9's, or the last non-zero digit may be followed by an unlimited number of zeros. Thus the exact real number 3.74 can also be written 3.7399999999... and 3.74000000000.... Similarly, a decimal numeral with an unlimited number of 0's can be rewritten by dropping the 0's to the right of the decimal place, and a decimal numeral with an unlimited number of 9's can be rewritten by increasing the rightmost -9 digit by one, changing all the 9's to the right of that digit to 0's. Finally, an unlimited sequence of 0's to the right of the decimal place can be dropped. For example, 6.849999999999... = 6.85 and 6.850000000000... = 6.85. Finally, if all of the digits in a numeral are 0, the number is 0, and if all of the digits in a numeral are an unending string of 9's, you can drop the nines to the right of the decimal place, and add one to the string of 9s to the left of the decimal place. For example, 99.999... = 100.

The real numbers also have an important but highly technical property called the least upper bound property.

It can be shown that any ordered field, which is also complete, is isomorphic to the real numbers. The real numbers are not, however, an algebraically closed field, because they do not include a solution (often called a square root of minus one) to the algebraic equation $x^{2}+1=0$.

Complex numbers

Artikel utama: Complex number

Moving to a greater level of abstraction, the real numbers can be extended to the complex numbers. This set of numbers arose historically from trying to find closed formulas for the roots of cubic and quadratic polynomials. This led to expressions involving the square roots of negative numbers, and eventually to the definition of a new number: a square root of −1, denoted by i, a symbol assigned by Leonhard Euler, and called the imaginary unit. The complex numbers consist of all numbers of the form

$\,a+bi$

where a and b are real numbers. Because of this, complex numbers correspond to points on the complex plane, a vector space of two real dimensions. In the expression a + bi, the real number a is called the real part and b is called the imaginary part. If the real part of a complex number is 0, then the number is called an imaginary number or is referred to as purely imaginary; if the imaginary part is 0, then the number is a real number. Thus the real numbers are a subset of the complex numbers. If the real and imaginary parts of a complex number are both integers, then the number is called a Gaussian integer. The symbol for the complex numbers is C or $\mathbb {C}$.

The fundamental theorem of algebra asserts that the complex numbers form an algebraically closed field, meaning that every polynomial with complex coefficients has a root in the complex numbers. Like the reals, the complex numbers form a field, which is complete, but unlike the real numbers, it is not ordered. That is, there is no consistent meaning assignable to saying that i is greater than 1, nor is there any meaning in saying that i is less than 1. In technical terms, the complex numbers lack a total order that is compatible with field operations.