Lompat ke isi

Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 14

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas


Sebuah operasi dikatakan komutatif jika dan hanya jika untuk setiap dan . Gambar berikut mengilustrasikan sifat komutatif melalui konsep suatu operasi yang disebut sebagai "mesin perhitungan". Urutan argumen yang dimulai dari menghasilkan nilai keluar atau sebaliknya. Tidak masalah bila urutannya tertukar, yang penting hasil nilai keluarannya sama.

Dalam matematika, sebuah operasi biner disebut komutatif jika urutan operan ditukar, maka hasil perhitungannya tidak berubah. Sifat ini merupakan sebuah sifat dasar yang terdapat dalam banyaknya operasi biner, dan sifat ini dipakai dalam banyak bukti-bukti dalam matematika.

Selama bertahun-tahun, ada gagasan yang tidak memandang secara langsung bahwa operasi sederhana seperti perkalian dan penambahan dikatakan komutatif. Jadi, sifat ini tidak dinamai hingga ketika para matematikawan menamainya secara resmi pada abad ke-19.[1][2]

Sifat komutatif seringkali dijelaskan namanya melalui contoh seperti "3 + 4 = 4 + 3" atau "2 × 5 = 5 × 2", namun sifat komutatif juga dapat dipakai dalam penerapan tingkat lanjut lainnya. Namanya diperlukan karena ada operasi seperti pembagian dan pengurangan yang tidak mempunyai sifat tersebut (sebagai contoh, "3 − 5 ≠ 5 − 3"), sehingga operasi tersebut bukan komutatif, melainkan disebut sebagai operasi nonkomutatif.

Misalkan dan adalah elemen di himpunan , dan adalah operasi biner di pula. Operasi dikatakan komutatif jikauntuk semua dan di .[3]. Operasi disebut komutatif jika setiap pasangan elemen bersifat komutatif. Dengan kata lain, elemen komutatif dengan atau dan komutatif terhadap operasi jika . Adapun fungsi simetri merupakan fungsi yang didefinisikan sebagai berikut: fungsi biner dikatakan komutatif jika untuk semua dan di .[4][5]

Sejarah dan etimologi

[sunting | sunting sumber]
Istilah commutatives pertama kali dipakai dalam French Journal yang diterbitikan pada tahun 1814.

Sejarah mencatat pemakaian sifat komutatif dimulai dari sejak zaman kuno. Orang-orang Mesir menggunakan sifat komutatif dari perkalian untuk menghitung hasil kali dengan mudah.[6][7] Euklides telah mengasumsi sifat komutatif dari perkalian dalam karyanya Elemen.[8] Pemakaian sifat komutatif yang formal muncul sejak akhir abad ke-18 dan awal abad ke-19, ketika para matematikawan mulai mengerjakan teori fungsi. Sifat komutatif yang merupakan sifat dasar yang terkenal, dipakai dalam hampir semua cabang matematika saat ini.

Pemakaian istilah komutatif pertama kali tercatat dalam sebuah memoar milik François Servois pada tahun 1814,[1][9] yang menggunakan kata commutatives saat menjelaskan fungsi yang saat ini dikenal sebagai sifat komutatif. Kata tersebut merupakan gabungan dari kata Perancis, commuter, yang berarti "menukar" dan akhir kata -ative dalam bahasa Inggris, yang berarti "bersifat". Jadi, kata tersebut berarti "bersifat menukar". Kata ini terdapat di dalam artikel berjudul On the real nature of symbolical algebra milik Duncan Gregory, yang diterbitkan pada tahun 1840 di Transactions of the Royal Society of Edinburgh.[10]

Penambahan dari vektor bersifat komutatif, karena .

Dalam matematika, sifat komutatif pada operasi biner dapat dijelaskan melalui contoh berikut:

  • Operasi penambahan dari bilangan real bersifat komutatif, karena , untuk semua dan di himpunan bilangan real. Contohnya seperti, 4 + 5 = 5 + 4 bersifat komutatif karena kedua ekspresi tersebut sama-sama bernilai 9. Hal yang serupa untuk perkalian dari bilangan real bersifat komutatif, karena , untuk semua dan di himpunan bilangan real. Contohnya seperti, 3 × 5 = 5 × 3, karena kedua ekspresi tersebut sama-sama bernilai 15.
  • Ada beberapa fungsi kebenaran biner juga mempunyai sifat komutatif, karena tabel kebenaran untuk fungsi adalah sama ketika urutan operand diubah. Contohnya seperti fungsi bikondisional logika yang ekuivalen dengan , atau juga ditulis sebagai p IFF q, pq, atau Epq.[11]
  • Contoh lebih lanjut yang melibatkan operasi biner yang bersifat komutatif adalah operasi penambahan dan perkalian dari bilangan kompleks, penambahan dan perkalian skalar dari vektor, serta irisan dan gabungan dari himpunan.

Operasi biner juga mempunyai sifat yang tidak komutatif. Operasi tersebut di antaranya:

  • Operasi pengurangan karena setiap bilangan yang dihitung tidaklah sama, sebagai contoh, 3 − 5 ≠ 5 − 3, karena kedua ekspresi tersebut tidak bernilai sama, Hal yang serupa untuk pembagian dan eksponensiasi.
ABA ⇒ BB ⇒ A
FFTT
FTTF
TFFT
TTTT
  • Ada beberapa fungsi tabel yang bersifat takkomutatif, karena tabel kebenaran untuk fungsi tersebut tidak sama ketika urutan operand diubah. Contoh tabel fungsi untuk (A ⇒ B) = (¬A ∨ B) dan (B ⇒ A) = (A ∨ ¬B) dapat dilihat pada tabel.
  • Hampir semua komposisi fungsi dari fungsi linear yang dipetakan dari bilangan real ke bilangan real adalah takkomutatif. Sebagai contoh, misalkan dan , maka dan . Mirip dengan sebelumnya, linear dan transformasi afin dari ruang vektor ke dirinya sendiri adalah takkomutatif. Contohnya seperti pada perkalian matriks dari matriks persegi berikut:
  • Dalam ruang tiga dimensi, hasil kali vektor (atau darab bintik) dari dua vektor didefinisikan sebagai vektor yang tegak lurus dengan bidang dan tanda pada vektor berubah saat ditukar. Karena itu, ia merupakan antikomutatif.[12]

Komutatif dalam berbagai bidang

[sunting | sunting sumber]

Logika proposisional

[sunting | sunting sumber]

Dalam logika proposisional fungsional kebenaran, komutasi,[13][14] atau komutatitivitas[15] mengacu pada kaidah penggantian yang valid. Dalam pembuktian logika, kaidah-kaidah tersebut dimungkinkan untuk mentranspos variabel proposisional dalam bentuk ekspresi logika, yang mengatakan dan, dengan "" adalah simbol metalogika yang menyatakan "sesuatu yang dapat digantikan dalam pembuktian dengan...".

Komutativitas dalam perangkai fungsional kebenaran
Komutativitas dari konjungsi
Komutativitas dari disjungsi
Komutativitas dari implikasi
Komutativitas dari ekuivalensi

Dalam perangkai fungsional kebenaran, komutativitas merupakan sifat yang terdapat pada perangkai logika dari logika proposisional fungsional kebenaran. ekuvalensi logika yang menjelaskan bahwa komutativitas merupakan sifat dari perangkai khusus dapat dilihat pada tabel.

Lain-lain

[sunting | sunting sumber]

Dalam grup dan teori himpunan, banyak struktur aljabar disebut komutatif saat operan-operan memenuhi sifat komutatif. Dalam cabang matematika tingkat tinggi seperti analisis dan aljabar linear, komutativitas dari operasi yang terkenal seperti penambahan dan perkalian pada bilangan real dan kompleks seringkali dipakai atau diasumsi secara implisit dalam pembuktian.[16][17][18]

Dalam aljabar abstrak, komutativitas dapat ditemukan pada struktur aljabar lain. Contohnya seperti, semigrup gelanggang, struktur matematika yang menjelaskan bahwa himpunan yang mempunyai operasi yang bersifat asosiatif dan komutatif. Monoid komutatif, struktur aljabar monoid yang dikatakan bersifat komutatif jika operasi tambahan mempunyai elemen identitas. Grup Abel (atau grup komutatif) mempunyai operasi grup yang bersifat komutatif.[17] Gelanggang komutatif merupakan gelanggang yang mempunyai operasi penambahan dan perkalian yang bersifat komutatif.[19] Penambahan dan perkalian dalam medan mempunyai sifat komutatif.[20]

Sifat yang berkaitan

[sunting | sunting sumber]

Sifat komutatif berkaitan dengan sifat yang lain. Sifat asosiatif adalah salah satu sifat yang sangat terkait erat dengan sifat komutatif, dengan sifat dari ekspresi yang mempunyai dua kejadian atau lebih dari operator yang sama mengatakan bahwa perhitungan pada urutan operasi tidak mengubah hasil akhir, asalkan tidak ada perubahan pada urutan suku. Sifat komutatif mengatakan sebaliknya, bahwa urutan suku tidak mengubah hasil akhir.[21]

Sifat komutatif juga berkaitan dengan sifat distributif, sebuah sifat yang mengalikan suku ke penjumlahan suku yang terdapat di dalam tanda kurung.

Graph showing the symmetry of the addition function

Ada beberapa bentuk yang simetri dapat dikaitkan langsung ke komutativitas. Ketika operasi komutatif ditulis sebagai sebuah fungsi biner , maka fungsi ini disebut fungsi simetrik, dan grafiknya dalam ruang dimensi tiga simetrik di sekitar bidang . Sebagai contoh, jika fungsi didefinisikan sebagai , maka adalah fungsi simetrik.

For relations, a symmetric relation is analogous to a commutative operation, in that if a relation R is symmetric, then .

Operator yang tidak komutatif dalam mekanika kuantum

[sunting | sunting sumber]

In quantum mechanics as formulated by Schrödinger, physical variables are represented by linear operators such as (meaning multiply by ), and . These two operators do not commute as may be seen by considering the effect of their compositions and (also called products of operators) on a one-dimensional wave function :

According to the uncertainty principle of Heisenberg, if the two operators representing a pair of variables do not commute, then that pair of variables are mutually complementary, which means they cannot be simultaneously measured or known precisely. For example, the position and the linear momentum in the -direction of a particle are represented by the operators and , respectively (where is the reduced Planck constant). This is the same example except for the constant , so again the operators do not commute and the physical meaning is that the position and linear momentum in a given direction are complementary.

Lihat pula

[sunting | sunting sumber]
  1. ^ a b Cabillón & Miller, Commutative and Distributive
  2. ^ Flood, Raymond; Rice, Adrian; Wilson, Robin, ed. (2011). Mathematics in Victorian Britain. Oxford University Press. hlm. 4. ISBN 9780191627941. 
  3. ^ Templat:Harvb, bagian 3.7
  4. ^ Pal, hlm. 29
  5. ^ Bodirisky, hlm. 188
  6. ^ Lumpkin 1997, hlm. 11
  7. ^ Gay & Shute 1987
  8. ^ O'Conner & Robertson Real Numbers
  9. ^ O'Conner & Robertson, Servois
  10. ^ Gregory, D. F. (1840). "On the real nature of symbolical algebra". Transactions of the Royal Society of Edinburgh. 14: 208–216. 
  11. ^ Notasi terakhir yang disebut notasi Polish, merupakan sebuah contoh notasi yang paling singkat.
  12. ^ Baylis, hlm. 111
  13. ^ Moore and Parker
  14. ^ Copi & Cohen 2005
  15. ^ Hurley & Watson 2016
  16. ^ Axler 1997, hlm. 2
  17. ^ a b Gallian 2006, hlm. 34
  18. ^ Gallian 2006, hlm. 26,87
  19. ^ Gallian 2006, hlm. 236
  20. ^ Gallian 2006, hlm. 250
  21. ^ Oshitokunbo, Oshisanya, 'lai (2020-01-02). An Almanac of Contemporary and Comparative Judicial Restatements (ACCJR Supp. ii Public Law): ACCJR Supplement ii (dalam bahasa Inggris). Almanac Foundation. hlm. 645. ISBN 978-978-51200-5-9. 

Referensi

[sunting | sunting sumber]

Sumber daring

[sunting | sunting sumber]