Pengguna:Hadithfajri/Limit barisan

Limit barisan bilangan

Misalkan $(x_{n})$ suatu barisan tak hingga dari bilangan (riil atau kompleks). Suatu bilangan $L$ adalah limit dari $(x_{n})$ apabila suku-suku barisan $(x_{n})$ semakin mendekati $L$ saat $n$ membesar tanpa batas. Jika $L$ adalah limit dari barisan $(x_{n})$ maka barisan tersebut dikatakan konvergen ke $L$ atau mempunyai limit $L$ atau memusat pada bilangan $L$. Barisan yang tidak mempunyai limit dikatakan divergen.

Secara lebih tepat, suatu bilangan $L$ adalah limit dari barisan bilangan tak hingga $(x_{n})$ apabila berlaku

$\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} (n>N\Rightarrow |x_{n}-L|<\varepsilon ),$

yakni, untuk sebarang bilangan positif $\varepsilon$, dapat ditentukan $N$ yang bergantung pada $\varepsilon$ sedemikian rupa, sehingga untuk semua bilangan bulat positif $n>N$ berlaku $\mid x_{n}-L\mid <\varepsilon$, dengan $\mid \cdot \mid$ melambangkan nilai mutlak untuk bilangan riil dan nilai modulus untuk bilangan kompleks.

Notasi untuk barisan $(x_{n})$ yang konvergen menuju $L$ ditulis sebagai $\lim _{n\to \infty }x_{n}=L$. Terkadang juga ditulis $x_{n}\to L$.

• 
  Contoh barisan yang konvergen ke $a$.
• 
  Untuk sebarang $\varepsilon >0$ yang dipilih, terdapat bilangan bulat $N_{0}$sedemikian sehingga seluruh nilai barisan dari suku ke-$N_{0}$ sampai seterusnya berada di lingkungan $(a-\varepsilon ,a+\varepsilon )$.
• 
  Untuk nilai, $\epsilon _{1}>0$ yang lain, akan terdapat pula bilangan bulat $N_{1}$, bersesuaian dengan nilai $\epsilon _{1}$ tersebut, sedemikian sehingga barisan dari suku ke-$N_{1}$ sampai seterusnya itu berada di dalam lingkungan $(a-\varepsilon _{1},a+\varepsilon _{1})$.
• 
  Untuk setiap $\varepsilon >0$, hanya terdapat sebanyak hingga anggota barisan di luar lingkungan $(a-\varepsilon ,a+\varepsilon )$.

Limit tak sebenarnya

Suatu barisan $(x_{n})$ dikatakan mendekati takhingga, ditulis $x_{n}\to \infty$ atau ${\textstyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty }$, jika untuk setiap bilangan real $K$, terdapat suatu bilangan bulat $N$ sedemikian sehingga untuk setiap $n\geq N$, $x_{n}>K$; yaitu, suku barisan pada akhirnya akan lebih besar daripada sembarang $K$ yang dipilih. Dengan cara yang serupa, $x_{n}\to -\infty$ jika untuk setiap $K$, terdapat suatu $N$ sehingga untuk setiap $n\geq N$, $x_{n}<K$.

Jika suatu barisan cenderung ke takhingga atau negatif takhingga, maka barisan tersebut adalah divergen. Namun, suatu barisan divergen bukanlah syarat perlu untuk suatu barisan mendekati takhingga atau negatif takhingga, seperti barisan tanda $x_{n}=(-1)^{n}$. Perilaku limit barisan divergen yang terbatas dapat ditelaah dengan memperhatikan barisan bagiannya, limit superior dan inferior, serta titik limit.

Contoh-contoh

• Jika $x_{n}=c$ untuk suatu konstanta c, maka $x_{n}\to c$.
• Jika $x_{n}=1/{n}$, maka $x_{n}\to 0$.
• Jika $x_{n}=1/n$ untuk $n$ genap, dan ${\textstyle x_{n}=1/{n^{2}}}$ untuk $n$ ganjil, maka $x_{n}\to 0$. (Kenyataan bahwa $x_{n+1}>x_{n}$ apabila $n$ ganjil tidak penting.)
• Diberikan sebarang bilangan real; suatu barisan yang konvergen menuju suatu bilangan dapat dengan mudah dibangun dengan mengambil hampiran desimal. Misal, barisan $0.3,0.33,0.333,0.3333,...$ konvergen menuju $1/3$. Perhatikan bahwa representasi desimal $0.3333...$ adalah limit dari barisan sebelumnya, yang ditentukan oleh ${\textstyle 0.3333...\triangleq \lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {3}{10^{i}}}}$.

• Limit suatu barisan tidak selalu dapat ditemukan dengan mudah. Dua contohnya adalah ${\textstyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$ (limitnya adalah bilangan e) dan purata aritmetika–geometrik (limitnya 13,458...). Teorema apit sering kali berguna dalam pencarian limit barisan yang sebegini.

Sifat-sifat

• Limit suatu barisan, apabila ada, adalah tunggal.
• Misal diketahui dua barisan konvergen $x_{n}\to L$ dan $y_{n}\to M$,
  • barisan hasil jumlah atau hasil pengurangan kedua barisan tersebut adalah konvergen pula, dan berturut-turut limitnya adalah jumlah atau selilsish limit dua barisan yang diketahui.

  $(x_{n}\pm y_{n})\to L\pm M$

  • barisan hasil kali kedua barisan tersebut adalah konvergen pula, dan limitnya adalah perkalian limit dua barisan yang diketahui.

  $(x_{n}y_{n})\to LM$

  • apabila $M\neq 0$, barisan hasil bagi kedua barisan tersebut adalah konvergen pula, dan limitnya adalah perkalian limit dua barisan yang diketahui.

  $\left({\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right)\to {\frac {L}{M}}$

• Jika $a_{n}\leq b_{n}$ untuk semua $n$ lebih besar dari suatu $N$, maka ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}}$.
• Jika $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}$ untuk semua $n>N$, dan ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L}$, maka ${\textstyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=L}$. (teorema apit)
• Jika suatu barisan mempunyai limit, maka barisan itu terbatas.
• Jika suatu barisan terbatas dan monoton, maka barisan itu mempunyai limit (teorema kekonvergenan barisan monoton).
• Suatu barisan adalah konvergen jika dan hanya jika setiap barisan bagiannya konvergen.