Pengguna:Klasüo/bak pasir/Arsip 43

Dalam matematika, sebuah aljabar Bose–Mesner adalah himpunan khusus matriks yang muncul dari struktur kombinatorial yang dikenal sebagai skema asosiasi, bersama-sama dengan seperangkat kaidah yang biasa untuk menggabungkan (membentuk produk dari) matriks tersebut, sehingga membentuk aljabar asosiatif atau lebih tepatnya, aljabar komutatif kesatuan. Diantara kaidah tersebut adalah:

• hasil dari suatu produk juga dalam himpunan matriks,
• ada matriks identitas dalam himpunan, dan
• mengambil produk yang merupakan komutatif.

Aljabar Bose–Mesner memiliki aplikasi dalam fisika hingga model spin dan dalam statistika hingga desain eksperimen. Penamaan tersebut diberikan untuk R. C. Bose dan Dale Marsh Mesner.

Definisi

Maka X menjadi satu himpunan elemen v. Pertimbangkan partisi dari himpunan bagian 2 elemen dari X menjadi himpunan bagian tak kosong n, R₁, ..., R_n sehingga:

• diberikan $x\in X$, jumlah $y\in X$ sehingga $\{x,y\}\in R_{i}$ hanya bergantung pada saya i (dan bukan pada x). Bilangan ini akan dilambangkan dengan v_i, dan
• diberikan $x,y\in X$ dengan $\{x,y\}\in R_{k}$, bilangan $z\in X$ sehingga $\{x,z\}\in R_{i}$ dan $\{z,y\}\in R_{j}$ hanya bergantung pada i, j dan k (dan bukan pada x dan y). Bilangan ini akan dilambangkan dengan $p_{in}^{k}$.

Struktur ini ditingkatkan dengan menambahkan semua pasangan elemen berulang X dan mengumpulkannya dalam himpunan bagian R₀. Peningkatan ini memungkinkan parameter i, j, dan k untuk mengambil nilai nol, dan membiarkan beberapa x,y atau z menjadi sama.

Himpunan dengan partisi yang ditingkatkan tersebut biasanya adalah skema asosiasi. Seseorang dapat melihat skema asosiasi sebagai partisi dari tepi graf lengkap (dengan himpunan simpul X) ke dalam kelas-n yang biasanya dianggap sebagai kelas warna. Dalam representasi ini, terdapat gelung pada setiap simpul dan semua gelung menerima warna ke-0 yang sama.

Skema asosiasi juga dapat direpresentasikan secara aljabar. Pertimbangkan matriks D_i yang didefinisikan oleh:

$(D_{i})_{x,y}={\begin{cases}1,&{\text{jika }}\left(x,y\right)\in R_{i},\\0,&{\text{jika tidak.}}\end{cases}}\qquad (1)$

Tentukan ${\mathcal {A}}$ menjadi ruang vektor yang terdiri dari semua matriks $\sideset {}{_{i=0}^{n}}\sum a_{i}D_{i}$ dengan kompleks $a_{i}$.

Definisi dari skema asosiasi sama dengan ekuivalen yang menyatakan bahwa $D_{i}$ adalah v × v pada matriks-(0,1) yang memenuhi

1. $D_{i}$ merupakan seimtris,
2. $\sum _{i=0}^{n}D_{i}=J$ (matriks semua-satuan),
3. $D_{0}=I,$
4. $D_{i}D_{j}=\sum _{k=0}^{n}p_{ij}^{k}D_{k}=D_{j}D_{i},\qquad i,j=0,\ldots ,n.$

Entri ke-(x,y) dari ruas kiri 4 adalah jumlah dua jalur berwarna dengan panjang dua yang menghubungkan x dan y (menggunakan "warna" i dan j) dalam graf. Perhatikan bahwa baris dan kolom $D_{i}$ berisi $v_{i}$:

$D_{i}J=JD_{i}=v_{i}J.\qquad (2)$

Dari 1. Matriks ini adalah simetris. Dari 2. $D_{0},\ldots ,D_{n}$ adalah bebas linear, dan dimensi ${\mathcal {A}}$ adalah $n+1$. Dari 4. ${\mathcal {A}}$ ditutup dengan perkalian dan perkalian tetap asosiatif. aljabar komutatif asosiatif ${\mathcal {A}}$ disebut juga sebagai aljabar Bose–Mesner dari skema asosiasi. Karena matriks pada ${\mathcal {A}}$ adalah simetris dan merubah satu sama lain, ia dapat didiagonalisasi secara bersamaan. Artinya ada matriks $S$ sedemikian rupa sehingga untuk setiap $A\in {\mathcal {A}}$ ada matriks diagonal $\Lambda _{A}$ dengan $S^{-1}AS=\Lambda _{A}$. Ini berarti bahwa ${\mathcal {A}}$ adalah semi-sederhana dan memiliki basis unik dari idempoten primitif $J_{0},\ldots ,J_{n}$. Ini adalah kompleks matriks n × n, yaitu

$J_{i}^{2}=J_{i},i=0,\ldots ,n,\qquad (3)$

$J_{i}J_{k}=0,i\neq k,\qquad (4)$

$\sum _{i=0}^{n}J_{i}=I.\qquad (5)$

Aljabar Bose–Mesner memiliki dua basis yang berbeda, yaitu basis yang terdiri dari matriks idempoten $D_{i}$, dan basis tersebut terdiri dari matriks idempoten $E_{k}$ yang tidak bisa direduksi. Menurut definisi, ada bilangan kompleks yang terdefinisi dengan baik, sehingga

$D_{i}=\sum _{k=0}^{n}p_{i}(k)E_{k},\qquad (6)$

dan

$|X|E_{k}=\sum _{i=0}^{n}q_{k}\left(i\right)D_{i}.\qquad (7)$

Bilangan-p $p_{i}(k)$ dan bilangan-q $q_{k}(i)$ memainkan peran penting dalam teori. Mereka memenuhi hubungan ortogonalitas yang terdefinisi dengan baik. Bilangan-p adalah nilai eigen dari matriks kedampingan $D_{i}$.

Teorema

Nilai eigen dari $p_{i}(k)$ dan $q_{k}(i)$, memenuhi kondisi ortogonalitas:

$\sum _{k=0}^{n}\mu _{i}p_{i}(k)p_{\ell }(k)=vv_{i}\delta _{i\ell },\quad (8)$

$\sum _{k=0}^{n}\mu _{i}q_{k}(i)q_{\ell }(i)=v\mu _{k}\delta _{k\ell }.\quad (9)$

Juga

$\mu _{j}p_{i}(j)=v_{i}q_{j}(i),\quad i,j=0,\ldots ,n.\quad (10)$

Dalam notasi matriks, ini adalah

$P^{T}\Delta _{\mu }P=v\Delta _{v},\quad (11)$

$Q^{T}\Delta _{v}Q=v\Delta _{\mu },\quad (12)$

dimana $\Delta _{v}=\operatorname {diag} \{v_{0},v_{1},\ldots ,v_{n}\},\qquad \Delta _{\mu }=\operatorname {diag} \{\mu _{0},\mu _{1},\ldots ,\mu _{n}\}.$

Bukti teorema

Nilai eigen dari $D_{i}D_{\ell }$ adalah $p_{i}(k)p_{\ell }(k)$ dengan multiplisitas $\mu _{k}$. Ini menyiratkan bahwa

$vv_{i}\delta _{i\ell }=\operatorname {teras} D_{i}D_{\ell }=\sum _{k=0}^{n}\mu _{i}p_{i}(k)p_{\ell }(k),\quad (13)$

yang membuktikan Persamaan $\left(8\right)$ dan Persamaan $\left(11\right)$,

$Q=vP^{-1}=\Delta _{v}^{-1}P^{T}\Delta _{\mu },\quad (14)$

yang memberikan Persamaan $(9)$, $(10)$ dan $(12)$.$\Box$

Ada analogi antara ekstensi skema asosiasis dan ekstensi dari Medan berhingga. Kasus yang paling menarik bagi kami adalah kasus dimana skema yang diperluas didefinisikan pada kuasa Kartesius ke-$n$ $X={\mathcal {F}}^{n}$ dari satu himpunan ${\mathcal {F}}$ dimana skema asosiasi $\left({\mathcal {F}},K\right)$ dasar didefinisikan. skema asosiasi pertama yang didefinisikan pada $X={\mathcal {F}}^{n}$ disebut kuasa Kronecker ke-$n$ $\left({\mathcal {F}},K\right)_{\otimes }^{n}$ pada $\left({\mathcal {F}},K\right)$. Selanjutnya ekstensi didefinisikan pada himpunan yang sama $X={\mathcal {F}}^{n}$ dengan mengumpulkan kelas $\left({\mathcal {F}},K\right)_{\otimes }^{n}$. Kuasa Kronecker sesuai dengan gelanggang polinomial $F\left[X\right]$ yang pertama kali didefinisikan pada medan $\mathbb {F}$, sedangkan skema ekstensi sesuai dengan medan ekstensi yang diperoleh sebagai hasil bagi. Contoh skema yang diperluas adalah skema Hamming.

Skema asosiasi dapat digabungkan, tetapi menggabungkan mereka mengarah ke skema asosiasi non-simetris, sedangkan semua kode biasa adalah subgrup dalam simetris skema Abelian.

Lihat pula

• Skema asosiasi

Referensi

• Bailey, Rosemary A. (2004), Association schemes: Designed experiments, algebra and combinatorics, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 84, Cambridge University Press, hlm. 387, ISBN 978-0-521-82446-0, MR 2047311 
• Bannai, Eiichi; Ito, Tatsuro (1984), Algebraic combinatorics I: Association schemes, Menlo Park, CA: The Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., hlm. xxiv+425, ISBN 0-8053-0490-8, MR 0882540 
• Bannai, Etsuko (2001), "Bose–Mesner algebras associated with four-weight spin models", Graphs and Combinatorics, 17 (4): 589–598, doi:10.1007/PL00007251 
• Bose, R. C.; Mesner, D. M. (1959), "On linear associative algebras corresponding to association schemes of partially balanced designs", Annals of Mathematical Statistics, 30 (1): 21–38, doi:10.1214/aoms/1177706356 , JSTOR 2237117, MR 0102157 
• Cameron, P. J.; van Lint, J. H. (1991), Designs, Graphs, Codes and their Links, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-42385-6 
• Camion, P. (1998), "Codes and association schemes: Basic properties of association schemes relevant to coding", dalam Pless, V. S.; Huffman, W. C., Handbook of coding theory, The Netherlands: Elsevier 
• Delsarte, P.; Levenshtein, V. I. (1998), "Association schemes and coding theory", IEEE Transactions on Information Theory, 44 (6): 2477–2504, doi:10.1109/18.720545 
• MacWilliams, F. J.; Sloane, N. J. A. (1978), The theory of error-correcting codes, New York: Elsevier 
• Nomura, K. (1997), "An algebra associated with a spin model", Journal of Algebraic Combinatorics, 6 (1): 53–58, doi:10.1023/A:1008644201287