Pengguna:Pengeong/Fungsi komposisi

Dalam matematika, komposisi fungsi adalah fungsi yang dihasilkan dengan menggabungkan dua fungsi. Pada fungsi komposisi (dari dua fungsi), hasil dari salah satu fungsi dimasukkan sebagai masukan fungsi yang lain. Sebagai contoh, fungsi $f:X\rightarrow Y$ dan $g:Y\rightarrow Z$ bisa dikomposisi, menghasilkan fungsi yang memetakan x di X ke g(f(x)) di Z. Fungsi tersebut dinotasikan $g\circ f:X\rightarrow Z$ , dan didefinisikan sebagai berikut: g o f(x) = g(f(x)). Notasi $g\circ f:X\rightarrow Z$ dibaca sebagai "g bundaran f" atau "g komposisi f". Secara intuitif, mengkomposisi dua fungsi bisa dilihat sebagai merantaikan dua fungsi tersebut, di mana hasil fungsi dalam (dalam contoh tersebut yaitu f) menjadi masukan (input) fungsi luar (dalam contoh tersebut yaitu g).

Komposisi fungsi adalah kasus khusus dari komposisi relasi, sehingga semua sifat komposisi relasi juga berlaku untuk komposisi fungsi.^[1] Di samping sifat-sifat tersebut, komposisi fungsi memiliki beberapa sifat tambahan.

Contoh[sunting | sunting sumber]

g ∘ f, **komposisi** dari f dan g. Sebagai contoh, (g ∘ f )(c) = #.

Komposisi fungsi pada himpunan berhingga: Jika f = {(1, 3), (2, 1), (3, 4), (4, 6)}, dan g = {(1, 5), (2, 3), (3, 4), (4, 1), (5, 3), (6, 2), maka g ∘ f = {(1, 4), (2, 5), (3, 1), (4, 2)}.
Komposisi fungsi pada himpunan tak hingga: Jika f: ℝ → ℝ (di mana ℝ adalah himpunan semua bilangan real) didefinisikan f(x) = 2x + 4 dan g: ℝ → ℝ didefinisikan g(x) = x³, maka:

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x³) = 2x³ + 4, dan

(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 4) = (2x + 4)³.

Jika ketinggian sebuah pesawat terbang pada waktu t adalah h(t), dan konsentrasi oksigen di ketinggian x adalah c(x), maka (c ∘ h)(t) adalah konsentrasi oksigen sekitar pesawat pada waktu t.

Sifat-sifat komposisi fungsi[sunting | sunting sumber]

Komposisi dari fungsi-fungsi selalu asosiatif—properti diwariskan dari komposisi hubungan. Artinya, jika f, g

Dalam arti sempit, komposisi g ∘ f dapat dibangun hanya jika f

Fungsi g dan f

Komposisi dari satu-ke-satu fungsi yang selalu satu-ke-satu. Demikian pula, komposisi dari dua ke fungsi adalah selalu ke. Ini mengikuti bahwa komposisi dua bijections juga bijection. Yang invers fungsi komposisi (diasumsikan invertible) memiliki properti bahwa (f ∘ g)⁻¹ = ( g⁻¹ ∘ f ⁻¹).^[2]

Turunan dari komposisi yang melibatkan differentiable fungsi dapat ditemukan dengan menggunakan aturan rantai. Lebih tinggi turunan dari fungsi-fungsi tersebut diberikan oleh Faa di Bruno formula.

Komposisi monoids[sunting | sunting sumber]

Misalkan seseorang memiliki dua (atau lebih) fungsi f: X → X, g: X → X

Jika transformasi yang bijektif (dan dengan demikian invertible), maka himpunan semua kemungkinan kombinasi dari fungsi-fungsi ini bentuk transformasi kelompok; dan satu mengatakan bahwa kelompok ini dihasilkan oleh fungsi-fungsi ini. Mendasar hasil dalam teori grup, teorema Cayley, pada dasarnya mengatakan bahwa kelompok ini sebenarnya hanya sebuah subgrup dari suatu grup permutasi (up to isomorphism).Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah atau memiliki nama yang salah.

Himpunan semua bijektif fungsi f: X → X (disebut permutasi) membentuk kelompok sehubungan dengan komposisi operator. Ini adalah grup simetris, kadang-kadang juga disebut komposisi kelompok.

Dalam simetris semigroup (dari semua transformasi) juga menemukan lemah, non-unik pengertian invers (disebut pseudoinverse) karena simetris semigroup adalah biasa semigroup.Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah atau memiliki nama yang salah.

Fungsional kekuatan[sunting | sunting sumber]

Jika Y ⊆ X, maka $f : X \to Y$ dapat menulis dengan dirinya sendiri; ini kadang-kadang dinyatakan sebagai $f 2$ . Yaitu:

(f ∘ f)(x) = f(f(x)) = f ²(x)

(f ∘ f ∘ f)(x) = f(f(f(x))) = f ³(x)

(f ∘ f ∘ f ∘ f)(x) = f(f(f(f(x)))) = f ⁴(x)

Lebih umumnya, untuk setiap nomor alam n ≥ 2, n

th fungsional daya dapat didefinisikan induktif dengan $f n = f \circ f n -1 = f n -1 \circ f$ . Berulang-ulang komposisi dari fungsi tersebut dengan dirinya sendiri disebut iterated function.

Dengan konvensi, f ⁰ didefinisikan sebagai identitas peta pada $f$ 's domain, $id X$ .
Bahkan jika $Y = X$ dan $f : X \to X$ mengakui sebuah invers fungsi $f -1$ , negatif fungsional kekuatan $f - n$ yang didefinisikan untuk $n > 0$ sebagai menegasikan kekuatan invers fungsi: $f - n = (f -1) n$ .

Catatan: Jika f mengambil nilai-nilai dalam cincin (khususnya untuk real atau kompleks nilai- f

), ada risiko kebingungan, karena $f n$ bisa juga berdiri untuk $n$ -lipat produk dari $f$ , misalnya $f 2 (x) = f (x) \cdot f (x)$ . Untuk fungsi trigonometri, biasanya yang terakhir ini berarti, setidaknya untuk eksponen positif. Misalnya, dalam trigonometri, ini superscript notasi merupakan standar eksponensial bila digunakan dengan fungsi trigonometri:

$sin 2 (x) = sin(x) \cdot sin(x)$ . Namun, bagi eksponen negatif (terutama −1), namun hal ini biasanya mengacu pada invers fungsi, misalnya, $tan -1 = arctan \neq 1/tan$ .

Dalam beberapa kasus, ketika, untuk diberikan fungsi f, persamaan g ∘ g = f memiliki solusi unik $g$ , fungsi yang dapat didefinisikan sebagai fungsional akar kuadrat dari $f$ , maka ditulis sebagai $g = f 1/2$ .

Lebih umumnya, ketika gⁿ = f memiliki solusi yang unik untuk beberapa nomor alam n > 0, maka f ^m/n

dapat didefinisikan sebagai $g m$ .

Di bawah batasan-batasan tambahan, ide ini dapat digeneralisasikan sehingga jumlah iterasi menjadi terus-menerus parameter; dalam hal ini, sistem seperti ini disebut aliran, yang ditentukan melalui solusi Schröder persamaan. Iterasi fungsi dan arus yang terjadi secara alami dalam studi fraktal dan sistem dinamis.

Untuk menghindari ambiguitas, beberapa matematikawan memilih untuk menulis f °ⁿ untuk n-th iterate dari fungsi f.

Alternatif notasi[sunting | sunting sumber]

Banyak yang hebat matematika, khususnya dalam teori grup, menghilangkan komposisi simbol, tulisan gf untuk g ∘ f.^[3]

Di pertengahan abad ke-20, beberapa matematikawan memutuskan bahwa tulisan "g ∘ f " berarti "pertama berlaku f, lalu oleskan g" terlalu membingungkan dan memutuskan untuk mengubah notasi. Mereka menulis "xf

" untuk " $f (x)$ " dan " $(xf) g$ " untuk " $g (f (x))$ ".^[4] hal Ini dapat menjadi lebih alami dan tampak lebih sederhana dari penulisan fungsi di sebelah kiri di beberapa daerah – dalam aljabar linear, misalnya, ketika $x$ adalah vektor baris dan $f$ dan $g$ menunjukkan matrik dan komposisi adalah dengan perkalian matriks. Ini alternatif notasi ini disebut notasi postfix. Urutan ini penting karena fungsi komposisi tidak selalu komutatif (e.g perkalian matriks). Berturut-turut transformasi menerapkan dan menyusun ke kanan setuju dengan kiri-ke-kanan membaca urutan.

Hebat matematika yang menggunakan notasi postfix dapat menulis "fg", yang berarti pertama berlaku f dan kemudian menerapkan g, sesuai dengan urutan simbol-simbol yang terjadi dalam notasi postfix, sehingga membuat notasi "fg" ambigu. Ilmuwan komputer dapat menulis " $f; g$ " untuk ini,^[5] sehingga disambiguating urutan komposisi. Untuk membedakan kiri komposisi operator dari sebuah teks koma, di Z notasi yang ⨾ karakter ini digunakan untuk meninggalkan hubungan komposisi.^[6] Karena semua fungsi biner hubungan, itu adalah benar untuk menggunakan [fat] titik koma untuk fungsi komposisi serta (lihat artikel pada komposisi hubungan untuk rincian lebih lanjut tentang notasi ini).

Komposisi operator[sunting | sunting sumber]

Diberikan fungsi g, komposisi operator C_g didefinisikan sebagai operator yang memetakan fungsi untuk fungsi-fungsi sebagai

Dalam bahasa pemrograman[sunting | sunting sumber]

Fungsi komposisi muncul dalam satu bentuk atau lain dalam berbagai bahasa pemrograman.

Multivariat fungsi[sunting | sunting sumber]

Sebagian komposisi adalah mungkin untuk multivariat fungsi. Fungsi yang dihasilkan ketika beberapa argumen x_i dari fungsi f

Bila g adalah sederhana konstan b

Secara umum, komposisi fungsi multivariat dapat melibatkan beberapa fungsi lain sebagai argumen, seperti dalam definisi primitif fungsi rekursif. Diberikan f, n

.

Hal ini kadang-kadang disebut generalized komposit dari f dengan g₁, ..., g_n.^[7] sebagian komposisi dalam hanya satu argumen yang disebutkan sebelumnya dapat diturunkan dari ini lebih umum skema pengaturan semua argumen fungsi kecuali satu yang akan dipilih sesuai proyeksi fungsi. Perhatikan juga bahwa g₁, ..., g_n

Satu set finitary operasi pada beberapa basis set X disebut klon jika ini berisi semua perkiraan dan ditutup di bawah umum komposisi. Perhatikan bahwa klon umumnya berisi operasi-operasi dari berbagai arities.Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah atau memiliki nama yang salah. gagasan pergantian juga menemukan aplikasi yang menarik generalisasi dalam kasus multivariat; suatu fungsi f dari tual membaca, keakraban n dikatakan bolak-balik dengan fungsi g dari tual membaca, keakraban m jika f adalah sebuah homomorphism melestarikan g, dan sebaliknya yaitu:Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah atau memiliki nama yang salah.

.

Sebuah operasi unary selalu kemacetan dengan sendirinya, tapi ini tidak selalu terjadi untuk biner (atau lebih tinggi tual membaca, keakraban) operasi. Biner (atau lebih tinggi tual membaca, keakraban) operasi yang pulang-pergi dengan dirinya sendiri disebut medial atau entropis.

Generalisasi[sunting | sunting sumber]

Komposisi dapat digeneralisasi untuk sewenang-wenang relasi binary. Jika R ⊆ X × Y dan S ⊆ Y × Z

Komposisi didefinisikan dengan cara yang sama untuk sebagian fungsi dan teorema Cayley memiliki analog yang disebut Wagner-Preston teorema.Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah atau memiliki nama yang salah.

Dalam kategori set dengan fungsi sebagai morphisms adalah prototipe kategori. Aksioma kategori sebenarnya terinspirasi dari sifat (dan juga definisi) dari fungsi komposisi.^[8] struktur yang diberikan oleh komposisi axiomatized dan umum dalam kategori teori dengan konsep morphism sebagai kategori-teori penggantian fungsi. Terbalik urutan komposisi dalam rumus (f ∘ g)⁻¹ = (g⁻¹ ∘ f ⁻¹) berlaku untuk komposisi hubungan menggunakan converse hubungan, dan dengan demikian dalam teori grup. Struktur ini membentuk kategori belati.

Tipografi[sunting | sunting sumber]

Komposisi simbol ∘ dikodekan sebagai U+2218 ∘ ring operator∘ ring operator; melihat simbol Derajat artikel untuk sama-muncul karakter Unicode. Di TeX, tertulis \circ.

Lihat juga[sunting | sunting sumber]

Combinatory logika
Fungsi komposisi (ilmu komputer)
Dekomposisi fungsional
Iterated function
Komposisi yang tak terbatas dari analisis fungsi
Aliran (matematika)
Tinggi-fungsi order
Sarang laba-laba plot – teknik grafis untuk fungsional komposisi
Kalkulus Lambda
Fungsional akar kuadrat
Komposisi cincin, formal axiomatization komposisi operasi
Fungsi dari variabel random, distribusi fungsi variabel acak

Catatan[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]

^ Daniel J. Velleman (2006). How to Prove It: A Structured Approach. Cambridge University Press. hlm. 232. ISBN 978-1-139-45097-3.
^ Nancy Rodgers (2000). Learning to Reason: An Introduction to Logic, Sets, and Relations. John Wiley & Sons. hlm. 359–362. ISBN 978-0-471-37122-9.
^ Oleg A. Ivanov (1 January 2009). Making Mathematics Come to Life: A Guide for Teachers and Students. American Mathematical Soc. hlm. 217–. ISBN 978-0-8218-4808-1.
^ Jean Gallier (2011). Discrete Mathematics. Springer. hlm. 118. ISBN 978-1-4419-8047-2.
^ Michael Barr; Charles Wells (1998). Category Theory for Computing Science (PDF). hlm. 6. This is the updated and free version of book originally published by Prentice Hall in 1990 as ISBN 978-0-13-120486-7.
^ ISO/IEC 13568:2002(E), p. 23
^ Clifford Bergman (2011). Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics. CRC Press. hlm. 79–80. ISBN 978-1-4398-5129-6.
^ Peter Hilton; Yel-Chiang Wu (1989). A Course in Modern Algebra. John Wiley & Sons. hlm. 65. ISBN 978-0-471-50405-4.

Link eksternal[sunting | sunting sumber]

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Composite function", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
"Komposisi Fungsi" oleh Bruce Atwood, Wolfram Demonstrasi Proyek, 2007.

[[Kategori:Operasi biner]] [[Kategori:Fungsi matematika]]

[Velleman2006-1] Daniel J. Velleman (2006). How to Prove It: A Structured Approach. Cambridge University Press. hlm. 232. ISBN 978-1-139-45097-3.

[Rodgers2000-2] Nancy Rodgers (2000). Learning to Reason: An Introduction to Logic, Sets, and Relations. John Wiley & Sons. hlm. 359–362. ISBN 978-0-471-37122-9.

[Ivanov2009-3] Oleg A. Ivanov (1 January 2009). Making Mathematics Come to Life: A Guide for Teachers and Students. American Mathematical Soc. hlm. 217–. ISBN 978-0-8218-4808-1.

[Gallier2011-4] Jean Gallier (2011). Discrete Mathematics. Springer. hlm. 118. ISBN 978-1-4419-8047-2.

[BarrWells1990-5] Michael Barr; Charles Wells (1998). Category Theory for Computing Science (PDF). hlm. 6. This is the updated and free version of book originally published by Prentice Hall in 1990 as ISBN 978-0-13-120486-7.

[6] ISO/IEC 13568:2002(E), p. 23

[Bergman2011-7] Clifford Bergman (2011). Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics. CRC Press. hlm. 79–80. ISBN 978-1-4398-5129-6.

[HiltonWu1989-8] Peter Hilton; Yel-Chiang Wu (1989). A Course in Modern Algebra. John Wiley & Sons. hlm. 65. ISBN 978-0-471-50405-4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]