Lompat ke isi

Teori roda

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Sebuah roda merupakan tipe aljabar, dalam arti aljabar universal, dimana pembagian selalu terdefinisi. Khususnya, pembagian oleh nol menjadi berarti. Bilangan real dapat dijabarkan menjadi sebuah roda, seperti halnya gelanggang komutatif.

Istilah roda terinspirasi oleh gambar topologis dari garis proyektif bersama dengan titik tambahan .[1]

Sebuah roda merupakan sebuah strukur aljabar , di mana

  • merupakan sebuah himpunan,
  • dan merupakan elemen dari himpunan tersebut,
  • dan merupakan operator biner,
  • merupakan sebuah operator uner,

dan memenuhi sebagai berikut:

  • Penjumlahan dan perkalian adalah komutatif dan asosiatif, dengan dan sebagai masing-masing identitasnya.
  • ( adalah involusi)
  • ( adalah perkalian)

Aljabar roda

[sunting | sunting sumber]

Roda menggantikan pembagian biasa sebagai operator biner dengan perkalian, dengan sebuah operator uner diterapkan ke satu argumen mirip (tapi tak identis) dengan invers perkalian , sehingga menjadi tulisan cepat untuk , tetapi bukan baik maupun umumnya, dan memodifikasi aturan aljabar sehingga

  • dalam kasus umum
  • dalam kasus umum
  • dalam kasus umum, karena tidak sama dengan invers perkalian dari .

Jika terdapat sebuah elemen sehingga , maka kita dapat mendefinisikan negasi dengan dan .

Identitas lainnya yang dapat diturunkan ialah

Dan, untuk dengan dan kita mendapatkan yang biasa

Jika negasi dapat didefinisikan seperti di atas, maka subhimpunan merupakan sebuah gelanggang komutatif, dan setiap gelanggang komutatif seperti sebuah subhimpunan dari sebuah roda. Jika adalah sebuah elemen terbalikkan dari teori gelanggang, maka . Dengan demikian, setiap kali masuk akal, ini sama dengan , tetapi yang terakhir selalu didefinisikan, bahkan ketika .

Roda pecahan

[sunting | sunting sumber]

Misalkan menjadi sebuah gelanggang komutatif, dan misalkan menjadi sebuah submonoid perkalian dari . Mendefinisikan relasi kekongruenan pada melalui

berarti bahwa terdapat suatu sehingga .

Mendefinisikan roda pecahan dari yang terhadap sebagai kuosien (dan melambangkan kelas kesetaraan berisi sebagai dengan operasi

          (identitas tambahan)

           (identitas perkalian)

          (operasi timbal-balik)

           (operasi penambahan)

          (operasi perkalian)

Garis proyektif dan bola Riemann

[sunting | sunting sumber]

Kasus khusus di atas dimulai dengan sebuah medan menghasilkan sebuah garis proyektif diperpanjang menjadi sebuah roda dengan berdampingan sebuah elemen , dimana . Garis proyektif merupakan sendirinya sebagai ekstensi dari medan asli oleh sebuah unsur , dimana untuk setiap elemen dalam medan. Namun, masih takterdefinisi pada garis proyektif, tetapi terdefinisi dalam ekstensinya menjadi sebuah roda.

Dimulai dengan bilangan real, "garis" proyektif padanan secara geometris sebuah lingkaran, dan kemudian titik tambahan memberikan bentuk yang merupakan sumber dari istilah "roda". Atau dimulai dengan bilangan kompleks sebagai gantinya, "garis" proyektif padanan merupakan sebuah bola (bola Riemann), dan kemudian titik tambahan memberikan sebuah versi 3 dimensi dari sebuah roda.

Referensi

[sunting | sunting sumber]