Logaritma alami: Perbedaan antara revisi

Konten dihapus Konten ditambahkan

Sebaris

Revisi terkini sejak 7 Februari 2022 20.20

Logaritma alami atau logaritma natural (bahasa Inggris: natural logarithm) adalah suatu logaritma yang berbasis e, di mana

e\approx 2.718281828459045\dots

.^[1]

Logaritma alami terdefinisikan untuk semua bilangan real (riil) positif $x$ dan dapat juga didefinisikan untuk bilangan kompleks yang bukan $0$ .^{[butuh rujukan]}

Grafik logaritma alami $y=\ln x$ dengan $x>0$

Fungsi logaritma alami merupakan invers atau kebalikan dari fungsi eksponensial.

\ e^{\ln(x)}=x\,\!

untuk semua

x

yang positif dan

\ln(e^{x})=x\,\!

untuk semua

x

yang real.

Logaritma dapat didefinisikan untuk basis lainnya, asal positif, tidak hanya e, dan biasanya berguna untuk memecahkan persamaan yang variabel tidak diketahuinya merupakan pangkat dari variabel lain.

Sejarah[sunting | sunting sumber]

Notasi logaritma alami[sunting | sunting sumber]

Dalam matematika, para matematikawan biasanya menggunakan $\ln(x)$ atau $\log(x)$ untuk menotasikan $\log _{e}(x)$ . Begitu juga dengan para insinyur, ahli biologi dan bidang-bidang yang lain. Dalam alat hitung, yakni kalkulator, tombol ln diartikan sebagai logaritma alami.^{[butuh rujukan]}

Definisi[sunting | sunting sumber]

Secara formal, ln(a) dapat didefinisikan sebagai luas di bawah grafik (integral) dari 1/x dihitung dari 1 ke a, atau,

\ln(a)=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.

Definisi tersebut mendefinisikan suatu logaritma, karena memenuhi sifat fundamental dari logaritma, yaitu:

\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\,\!

Ini dapat ditunjukkan dengan mendefinisikan $\phi (t)=at$ dan dengan menggunakan rumus substitusi:

{\begin{aligned}\ln(ab)&=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x\\&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x\\&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t\\&=\ln(a)+\ln(b)\end{aligned}}

Bilangan e, selanjutnya dapat didefinisikan sebagai bilangan real (riil) yang unik yaitu a di mana $\ln(a)=1$ .

Sifat[sunting | sunting sumber]

Beberapa sifat logaritma alami berkaitan dengan logaritma biasa (lihat Sifat Logaritma), di antaranya.

$\ln 1=0$
$\ln e=1$
$\ln ab=\ln a+\ln b$
$\ln {\frac {a}{b}}=\ln a-\ln b$

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Logaritma natural dari 2

Referensi[sunting | sunting sumber]

^ "What is a Logarithm?". www.mclph.umn.edu. Diakses tanggal 2020-08-21.

[1] "What is a Logarithm?". www.mclph.umn.edu. Diakses tanggal 2020-08-21.

[1]

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
+{{Tanpa referensi|date=Oktober 2021}}
-[[Berkas:Log.svg|thumb|Grafik logaritma natural]]
+{{E (konstanta matematika)}}
-'''Logaritma natural''' adalah [[logaritma]] yang berbasis ''[[e (konstanta matematika)|e]]'', di mana ''e'' adalah 2.718281828459... (dan seterusnya). Logaritma natural terdefinisikan untuk semua [[bilangan real]] positif ''x'' dan dapat juga didefinisikan untuk [[bilangan kompleks]] yang bukan 0.
+'''Logaritma alami''' atau '''logaritma natural''' ({{Lang-en|natural logarithm}}) adalah suatu [[logaritma]] yang berbasis ''[[e (konstanta matematika)|e]]'', di mana
+:<math>e \approx 2.718281828459045\dots</math>.<ref>{{Cite web|title=What is a Logarithm?|url=http://www.mclph.umn.edu/mathrefresh/logs2.html|website=www.mclph.umn.edu|access-date=2020-08-21}}</ref>
-* Ahli matematika biasanya menggunakan "ln(''x'')" atau "log(''x'')" untuk menotasikan log<sub>e</sub>(''x''), atau logaritma natural dari ''x'', dan menggunakan "log<sub>10</sub>(''x'')" untuk menotasikan logaritma berbasis 10 dari ''x''.
+Logaritma alami [[Definisi|terdefinisikan]] untuk semua [[bilangan real|bilangan real (riil)]] positif <math>x</math> dan dapat juga didefinisikan untuk [[bilangan kompleks]] yang bukan <math>0</math>.{{Butuh rujukan}}[[Berkas:Log.svg|jmpl|Grafik logaritma alami <math>y = \ln x</math> dengan <math>x > 0</math>]]Fungsi logaritma alami merupakan invers atau kebalikan dari [[fungsi eksponensial]].
-* Insinyur, ahli biologi, dan orang dalam bidang-bidang lain, hanya menggunakan "ln(''x'')" atau kadang-kadang (untuk supaya lebih jelas) "log<sub>e</sub>(''x'')" untuk menotasikan logaritma natural dari ''x'', dan "log(''x'')" digunakan untuk logaritma berbasis 10, [[logaritma|log<sub>10</sub>]](''x'') atau, dalam konteks teknik [[komputer]], [[logaritma biner|log<sub>2</sub>]](''x'').
+:<math>\ e^{\ln(x)} = x \,\!</math> untuk semua <math>x</math> yang positif dan
+:<math>\ln(e^x) = x \,\! </math> untuk semua <math>x</math> yang real.
-* Kebanyakan bahasa komputer, termasuk [[C]], [[C++]], [[Fortran]], dan [[BASIC]], "log" atau "LOG" berarti logaritma natural.
-* Pada [[kalkulator]], tombol '''ln''' berarti logaritma natural, sedangkan tombol '''log''' adalah untuk logaritma berbasis 10.
-Lihat juga [[logaritma]].
-== Ln sebagai invers fungsi eksponensial natural ==
-Fungsi ln adalah invers dari [[fungsi eksponensial]]:
-:<math>\ e^{\ln(x)} = x \,\!</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; untuk semua ''x'' yang positif dan
-:<math>\ ln(e^x) = x \,\! </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; untuk semua ''x'' yang real.
 Logaritma dapat didefinisikan untuk basis lainnya, asal positif, tidak hanya ''e'', dan biasanya berguna untuk memecahkan persamaan yang variabel tidak diketahuinya merupakan pangkat dari variabel lain.
+== Sejarah ==
-== Mengapa disebut "natural" ==
+{{Main|Sejarah logaritma}}
+== Notasi logaritma alami ==
-Sekilas, tampaknya yang lebih "natural" tentunya adalah logaritma yang berbasis 10, karena basis angka yang digunakan umumnya juga 10. Namun, ada dua alasan mengapa ln(''x'') disebut logaritma natural: pertama, persamaan-persamaan yang variable tak diketahuinya merupakan pangkat dari ''e'' jauh lebih sering dijumpai dibanding yang merupakan pangkat dari 10 (karena sifat-sifat "natural" dari [[fungsi eksponensial]] yang dapat menggambarkan ''growth''/pertumbuhan dan ''decay''/penurunan), dan kedua, karena logaritma natural dapat didefinisikan dengan mudah menggunakan integral yang dasar atau [[Deret Taylor]] (lihat penjelasan di bawah), dan logaritma berbasis lainnya tidak dapat didefinisikan seperti ini.
+Dalam matematika, para matematikawan biasanya menggunakan <math>\ln(x)</math> atau <math>\log(x)</math> untuk menotasikan <math>\log_e (x)</math>. Begitu juga dengan para [[insinyur]], ahli [[biologi]] dan bidang-bidang yang lain. Dalam alat hitung, yakni [[kalkulator]], tombol '''ln''' diartikan sebagai logaritma alami.{{Butuh rujukan}}
+== Definisi ==
-Sebagai contoh, lihat turunan di bawah ini:
-:<math>\frac{d}{dx}\log_b(x) =\frac{1}{x \cdot \ln b} </math>
-Jika basis b adalah ''e'' maka turunan yang didapat adalah 1/x dan jika x=1, kemiringan kurva adalah 1.
-== Definisi ==
 Secara formal, ln(''a'') dapat didefinisikan sebagai luas di bawah grafik ([[integral]]) dari 1/''x'' dihitung dari 1 ke ''a'', atau,
-:<math>\ ln(a)=\int_1^a \frac{1}{x}\,dx.</math>
+:<math>\ln(a)=\int_1^a \frac{1}{x}\,dx.</math>
-Definisi tersebut mendefinisikan suatu logaritma, karena memenuhi sifat fundamental logaritma, yaitu:
+Definisi tersebut mendefinisikan suatu logaritma, karena memenuhi sifat fundamental dari logaritma, yaitu:
-:<math>\ ln(ab)=\ln(a)+\ln(b) \,\!</math>
+:<math>\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b) \,\!</math>
 Ini dapat ditunjukkan dengan mendefinisikan <math>\phi(t)=at</math> dan dengan menggunakan [[rumus substitusi]]:
 :<math>
+\begin{align}
-\ln (ab)
-= \int_1^{ab} \frac{1}{x} \; dx
+\ln (ab) &= \int_1^{ab} \frac{1}{x} \, \mathrm dx \\
-= \int_1^a \frac{1}{x} \; dx \; + \int_a^{ab} \frac{1}{x} \; dx
+&= \int_1^a \frac{1}{x} \, \mathrm dx + \int_a^{ab} \frac{1}{x} \, \mathrm dx \\
-=\int_1^{a} \frac{1}{x} \; dx \; + \int_1^{b} \frac{1}{t} \; dt
+&= \int_1^{a} \frac{1}{x} \, \mathrm dx + \int_1^{b} \frac{1}{t} \, \mathrm dt \\
-= \ln (a) + \ln (b)
+&= \ln (a) + \ln (b)
+\end{align}
 </math>
-Bilangan ''e'', selanjutnya dapat didefinisikan sebagai bilangan real yang unik ''a'' di mana <math>\ln(a) = 1</math>.
+Bilangan ''e'', selanjutnya dapat didefinisikan sebagai bilangan real (riil) yang unik yaitu ''a'' di mana <math>\ln(a) = 1</math>.
+== Sifat ==
-[[Kategori:Matematika]]
+Beberapa sifat logaritma alami berkaitan dengan logaritma biasa (lihat [[Logaritma#Sifat|Sifat Logaritma]]), di antaranya.
+* <math>\ln 1 = 0</math>
+* <math>\ln e = 1</math>
+* <math>\ln ab = \ln a + \ln b</math>
+* <math>\ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b</math>
+== Lihat pula ==
+* [[Logaritma natural dari 2]]
+== Referensi ==
+{{reflist}}
+{{Daftar fungsi matematika}}
+{{Authority control}}
+[[Kategori:Matematika]]
-[[de:Logarithmus#Natürlicher Logarithmus]]

l b s Daftar fungsi matematika
Fungsi polinomial	Fungsi konstan (0) Fungsi linear (1) Fungsi kuadrat (2) Fungsi kubik (3) Fungsi kuartik (4) Fungsi kuintik (5)
Fungsi aljabar	Fungsi rasional Fungsi eksponensial Lambert W Superakar Fungsi hiperbolik Fungsi logaritma Berdasarkan basis 2 $e$ 10 teriterasi Superlogaritma
Fungsi dalam teori bilangan	Fungsi Möbius Fungsi partisi Fungsi perhitungan bilangan prima Fungsi phi Euler Fungsi sigma
Fungsi trigonometri	Sinus Kosinus Tangen Sekan Kosekan Kotangen Versinus Koversinus Verkosinus Koverkosinus Ekssekan Ekskosekan Haversinus Hakoversinus Haverkosinus Hakoverkosinus Gudermann sinc
Fungsi berdasarkan huruf Yunani	Fungsi beta Dirichlet taklengkap Fungsi chi Legendre Fungsi delta Fungsi delta Dirac Fungsi delta Kronecker potensial delta Fungsi eta Dirichlet Fungsi gamma Fungsi digamma Barnes Meijer banyak eliptik Hadamard multivariabel p-adik q taklengkap Fungsi poligamma Fungsi trigamma Fungsi lambda Dirchlet modular von Mangoldt Fungsi mu Möbius Fungsi phi Euler Fungsi pi Fungsi sigma Weierstrass Fungsi theta Fungsi zeta Hurwitz Riemann Weierstrass
Fungsi berdasarkan nama matematikawan	Airy Ackermann Bessel Bessel–Clifford Bottcher Chebyshev Clausen Dawson Dirichlet beta eta L lambda Faddeeva Fermi–Dirac lengkap taklengkap Fresnel Fox Gudermann Hermite Fungsi Jacob eliptik Jacobi Kelvin Fungsi Kummer Fungsi Lambert W Lamé Laguerre Legendre chi iring Liouville Mathieu Meijer Mittag-Leffler Painlevé Riemann xi zeta Riesz Scorer Spence von Mangoldt Weierstrass eliptik eta sigma zeta
Fungsi khusus	Fungsi bagian bilangan bulat Fungsi bilangan bulat terbesar Fungsi bilangan bulat terkecil Fungsi gergaji Fungsi indikator Fungsi nilai mutlak Fungsi persegi Fungsi segitiga Fungsi tanda Fungsi tangga Fungsi tangga Heaviside
Fungsi lainnya	Aritmetik-geometrik eliptik Fungsi hiperbolik konfluen K sinkrotron tabung parabolik tanda tanya Minkowski Pentasi Student Tetrasi