Logaritma alami: Perbedaan antara revisi

Konten dihapus Konten ditambahkan

Sebaris

Revisi terkini sejak 7 Februari 2022 20.20

Logaritma alami atau logaritma natural (bahasa Inggris: natural logarithm) adalah suatu logaritma yang berbasis e, di mana

e\approx 2.718281828459045\dots

.^[1]

Logaritma alami terdefinisikan untuk semua bilangan real (riil) positif $x$ dan dapat juga didefinisikan untuk bilangan kompleks yang bukan $0$ .^{[butuh rujukan]}

Grafik logaritma alami $y=\ln x$ dengan $x>0$

Fungsi logaritma alami merupakan invers atau kebalikan dari fungsi eksponensial.

\ e^{\ln(x)}=x\,\!

untuk semua

x

yang positif dan

\ln(e^{x})=x\,\!

untuk semua

x

yang real.

Logaritma dapat didefinisikan untuk basis lainnya, asal positif, tidak hanya e, dan biasanya berguna untuk memecahkan persamaan yang variabel tidak diketahuinya merupakan pangkat dari variabel lain.

Sejarah[sunting | sunting sumber]

Notasi logaritma alami[sunting | sunting sumber]

Dalam matematika, para matematikawan biasanya menggunakan $\ln(x)$ atau $\log(x)$ untuk menotasikan $\log _{e}(x)$ . Begitu juga dengan para insinyur, ahli biologi dan bidang-bidang yang lain. Dalam alat hitung, yakni kalkulator, tombol ln diartikan sebagai logaritma alami.^{[butuh rujukan]}

Definisi[sunting | sunting sumber]

Secara formal, ln(a) dapat didefinisikan sebagai luas di bawah grafik (integral) dari 1/x dihitung dari 1 ke a, atau,

\ln(a)=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.

Definisi tersebut mendefinisikan suatu logaritma, karena memenuhi sifat fundamental dari logaritma, yaitu:

\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\,\!

Ini dapat ditunjukkan dengan mendefinisikan $\phi (t)=at$ dan dengan menggunakan rumus substitusi:

{\begin{aligned}\ln(ab)&=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x\\&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x\\&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t\\&=\ln(a)+\ln(b)\end{aligned}}

Bilangan e, selanjutnya dapat didefinisikan sebagai bilangan real (riil) yang unik yaitu a di mana $\ln(a)=1$ .

Sifat[sunting | sunting sumber]

Beberapa sifat logaritma alami berkaitan dengan logaritma biasa (lihat Sifat Logaritma), di antaranya.

$\ln 1=0$
$\ln e=1$
$\ln ab=\ln a+\ln b$
$\ln {\frac {a}{b}}=\ln a-\ln b$

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Logaritma natural dari 2

Referensi[sunting | sunting sumber]

^ "What is a Logarithm?". www.mclph.umn.edu. Diakses tanggal 2020-08-21.

[1] "What is a Logarithm?". www.mclph.umn.edu. Diakses tanggal 2020-08-21.

[1]

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
+{{Tanpa referensi|date=Oktober 2021}}
-{{Konstanta matematika|e-2}}
+{{E (konstanta matematika)}}
-[[Berkas:Log.svg|jmpl|Grafik logaritma alami]]
-'''Logaritma alami''' atau '''logaritma natural''' adalah suatu [[logaritma]] yang berbasis ''[[e (konstanta matematika)|e]]'', di mana ''e'' tersebut adalah '''2,718281828459...''' (dan seterusnya). Logaritma alami [[Definisi|terdefinisikan]] untuk semua [[bilangan real|bilangan real (riil)]] positif ''x'' dan dapat juga didefinisikan untuk [[bilangan kompleks]] yang bukan '''0'''.
+'''Logaritma alami''' atau '''logaritma natural''' ({{Lang-en|natural logarithm}}) adalah suatu [[logaritma]] yang berbasis ''[[e (konstanta matematika)|e]]'', di mana
+:<math>e \approx 2.718281828459045\dots</math>.<ref>{{Cite web|title=What is a Logarithm?|url=http://www.mclph.umn.edu/mathrefresh/logs2.html|website=www.mclph.umn.edu|access-date=2020-08-21}}</ref>
-* Ahli matematika biasanya menggunakan "ln (''x'')" atau "log (''x'')" untuk menotasikan log<sub>e</sub>(''x''), atau yang disebut sebagai logaritma alami dari ''x'', dan menggunakan "log<sub>10</sub>(''x'')" untuk menotasikan logaritma berbasis '''10''' dari ''x''.
+Logaritma alami [[Definisi|terdefinisikan]] untuk semua [[bilangan real|bilangan real (riil)]] positif <math>x</math> dan dapat juga didefinisikan untuk [[bilangan kompleks]] yang bukan <math>0</math>.{{Butuh rujukan}}[[Berkas:Log.svg|jmpl|Grafik logaritma alami <math>y = \ln x</math> dengan <math>x > 0</math>]]Fungsi logaritma alami merupakan invers atau kebalikan dari [[fungsi eksponensial]].
-* [[Insinyur]], ahli [[biologi]], dan orang dalam bidang-bidang yang lain, hanya menggunakan "ln (''x'')" (Agar supaya lebih jelas) atau "log<sub>e</sub>(''x'')" untuk menotasikan suatu logaritma alami dari ''x'', dan "log(''x'')" digunakan untuk logaritma berbasis '''10''', [[logaritma|log<sub>10</sub>]](''x'') atau, dalam konteks teknik [[komputer]], [[logaritma biner|log<sub>2</sub>]](''x'').
+:<math>\ e^{\ln(x)} = x \,\!</math> untuk semua <math>x</math> yang positif dan
+:<math>\ln(e^x) = x \,\! </math> untuk semua <math>x</math> yang real.
-* Kebanyakan dari bahasa komputer mengandung logaritma ini, termasuk beberapa diantaranya ialah: [[C]], [[C++]], [[Fortran]], dan juga [[BASIC]], "log" atau "LOG" berarti logaritma alami.
-* Pada [[kalkulator]], tombol '''ln''' artinya '''Logaritma alami''', sedangkan tombol '''Log''' adalah untuk logaritma yang berbasis '''10'''.
-Logaritma Alami termasuk kedalam [[Logaritma]].<ref>https://ilmusofa.blogspot.com/2012/11/turunan-ln-x.html</ref>
-== Ln sebagai invers fungsi eksponensial alami ==
-Fungsi ln adalah invers dari [[fungsi eksponensial]]:
-:<math>\ e^{\ln(x)} = x \,\!</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; untuk semua ''x'' yang positif dan
-:<math>\ ln(e^x) = x \,\! </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; untuk semua ''x'' yang real.
 Logaritma dapat didefinisikan untuk basis lainnya, asal positif, tidak hanya ''e'', dan biasanya berguna untuk memecahkan persamaan yang variabel tidak diketahuinya merupakan pangkat dari variabel lain.
-== Mengapa disebut "alami" ==
+== Sejarah ==
+{{Main|Sejarah logaritma}}
+== Notasi logaritma alami ==
-Sekilas, tampaknya yang lebih pantas disebut "alami" tentunya adalah logaritma yang berbasis 10, karena basis angka yang digunakan pada umumnya juga adalah 10.
+Dalam matematika, para matematikawan biasanya menggunakan <math>\ln(x)</math> atau <math>\log(x)</math> untuk menotasikan <math>\log_e (x)</math>. Begitu juga dengan para [[insinyur]], ahli [[biologi]] dan bidang-bidang yang lain. Dalam alat hitung, yakni [[kalkulator]], tombol '''ln''' diartikan sebagai logaritma alami.{{Butuh rujukan}}
-Namun begitu, ada dua alasan mengapa '''Ln (''x'')''' disebut sebagai logaritma alami:
-* 1. Persamaan-persamaan yang variabelnya tanpa diketahui merupakan pangkat dari ''e'' jauh lebih sering ditemui dibandingkan yang merupakan pangkat dari 10 (ini karena sifat-sifat "alami" dari [[fungsi eksponensial]] yang dapat menggambarkan pertumbuhan dan peluruhan).
-* 2. karena logaritma alami dapat didefinisikan dengan mudah menggunakan integral yang dasar atau [[deret Taylor]],
-Sebagai contohnya bisa dilihat pada turunan di bawah ini:
- <math>\frac{d}{dx}\log_b(x) =\frac{1}{x \cdot \ln b} </math>
-Jika basis "b" adalah "e" maka turunan yang didapat dari situ adalah "1/x" dan jika "x=1", maka kemiringan [[kurva|Kurva-nya]] adalah 1.
-dan logaritma berbasis lainnya tidak dapat didefinisikan seperti ini.
 == Definisi ==
 Secara formal, ln(''a'') dapat didefinisikan sebagai luas di bawah grafik ([[integral]]) dari 1/''x'' dihitung dari 1 ke ''a'', atau,
-:<math>\ ln(a)=\int_1^a \frac{1}{x}\,dx.</math>
+:<math>\ln(a)=\int_1^a \frac{1}{x}\,dx.</math>
 Definisi tersebut mendefinisikan suatu logaritma, karena memenuhi sifat fundamental dari logaritma, yaitu:
-:<math>\ ln(ab)=\ln(a)+\ln(b) \,\!</math>
+:<math>\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b) \,\!</math>
 Ini dapat ditunjukkan dengan mendefinisikan <math>\phi(t)=at</math> dan dengan menggunakan [[rumus substitusi]]:
 :<math>
+\begin{align}
-\ln (ab)
-= \int_1^{ab} \frac{1}{x} \; dx
+\ln (ab) &= \int_1^{ab} \frac{1}{x} \, \mathrm dx \\
-= \int_1^a \frac{1}{x} \; dx \; + \int_a^{ab} \frac{1}{x} \; dx
+&= \int_1^a \frac{1}{x} \, \mathrm dx + \int_a^{ab} \frac{1}{x} \, \mathrm dx \\
-=\int_1^{a} \frac{1}{x} \; dx \; + \int_1^{b} \frac{1}{t} \; dt
+&= \int_1^{a} \frac{1}{x} \, \mathrm dx + \int_1^{b} \frac{1}{t} \, \mathrm dt \\
-= \ln (a) + \ln (b)
+&= \ln (a) + \ln (b)
+\end{align}
 </math>
 Bilangan ''e'', selanjutnya dapat didefinisikan sebagai bilangan real (riil) yang unik yaitu ''a'' di mana <math>\ln(a) = 1</math>.
+== Sifat ==
+Beberapa sifat logaritma alami berkaitan dengan logaritma biasa (lihat [[Logaritma#Sifat|Sifat Logaritma]]), di antaranya.
+* <math>\ln 1 = 0</math>
+* <math>\ln e = 1</math>
+* <math>\ln ab = \ln a + \ln b</math>
+* <math>\ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b</math>
+== Lihat pula ==
+* [[Logaritma natural dari 2]]
 == Referensi ==
 {{reflist}}
+{{Daftar fungsi matematika}}
+{{Authority control}}
 [[Kategori:Matematika]]

l b s Daftar fungsi matematika
Fungsi polinomial	Fungsi konstan (0) Fungsi linear (1) Fungsi kuadrat (2) Fungsi kubik (3) Fungsi kuartik (4) Fungsi kuintik (5)
Fungsi aljabar	Fungsi rasional Fungsi eksponensial Lambert W Superakar Fungsi hiperbolik Fungsi logaritma Berdasarkan basis 2 $e$ 10 teriterasi Superlogaritma
Fungsi dalam teori bilangan	Fungsi Möbius Fungsi partisi Fungsi perhitungan bilangan prima Fungsi phi Euler Fungsi sigma
Fungsi trigonometri	Sinus Kosinus Tangen Sekan Kosekan Kotangen Versinus Koversinus Verkosinus Koverkosinus Ekssekan Ekskosekan Haversinus Hakoversinus Haverkosinus Hakoverkosinus Gudermann sinc
Fungsi berdasarkan huruf Yunani	Fungsi beta Dirichlet taklengkap Fungsi chi Legendre Fungsi delta Fungsi delta Dirac Fungsi delta Kronecker potensial delta Fungsi eta Dirichlet Fungsi gamma Fungsi digamma Barnes Meijer banyak eliptik Hadamard multivariabel p-adik q taklengkap Fungsi poligamma Fungsi trigamma Fungsi lambda Dirchlet modular von Mangoldt Fungsi mu Möbius Fungsi phi Euler Fungsi pi Fungsi sigma Weierstrass Fungsi theta Fungsi zeta Hurwitz Riemann Weierstrass
Fungsi berdasarkan nama matematikawan	Airy Ackermann Bessel Bessel–Clifford Bottcher Chebyshev Clausen Dawson Dirichlet beta eta L lambda Faddeeva Fermi–Dirac lengkap taklengkap Fresnel Fox Gudermann Hermite Fungsi Jacob eliptik Jacobi Kelvin Fungsi Kummer Fungsi Lambert W Lamé Laguerre Legendre chi iring Liouville Mathieu Meijer Mittag-Leffler Painlevé Riemann xi zeta Riesz Scorer Spence von Mangoldt Weierstrass eliptik eta sigma zeta
Fungsi khusus	Fungsi bagian bilangan bulat Fungsi bilangan bulat terbesar Fungsi bilangan bulat terkecil Fungsi gergaji Fungsi indikator Fungsi nilai mutlak Fungsi persegi Fungsi segitiga Fungsi tanda Fungsi tangga Fungsi tangga Heaviside
Fungsi lainnya	Aritmetik-geometrik eliptik Fungsi hiperbolik konfluen K sinkrotron tabung parabolik tanda tanya Minkowski Pentasi Student Tetrasi