Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 01/16: Perbedaan antara revisi

Penambahan (+)
Pengurangan (−)
Perkalian (×)
Pembagian (÷), (/)
Eksponensiasi (^)
Penarikan akar (√)
Logaritma (log)

Jelajahi riwayat secara interaktif

← Revisi sebelumnya Revisi selanjutnya →

Konten dihapus Konten ditambahkan

VisualTeks wiki

Sebaris

Revisi per 30 April 2022 06.29

Dalam matematika, logaritma merupakan fungsi invers dari eksponensiasi. Dengan kata lain, logaritma suatu nilai $x$ merupakan eksponen dengan bilangan pokok $b$ yang dipangkatkan dengan bilangan sesuatu agar memperoleh nilai $x$ . Kasus sederhana dalam logaritma menghitung jumlah munculnya faktor yang sama dalam perkalian berulang. Sebagai contoh, $1000 = 10 \times 10 \times 10 = 10 3$ dibaca, "logaritma 1000 dengan bilangan pokok 10 sama dengan 3" atau dinotasikan sebagai $10 log (1000) = 3$ . Logaritma dari $x$ dengan bilangan pokok $b$ dilambangkan $b log x$ . Terkadang logaritma dilambangkan sebagai $log b (x)$ atau tanpa menggunakan tanda kurung. $log b x$ , atau bahkan tanpa menggunakan bilangan pokok, $log x$ .

Ada tiga bilangan pokok logaritma yang umum beserta kegunaannya. Logaritma bilangan pokok $10$ ( $b = 10$ ) disebut sebagai logaritma umum, yang biasanya dipakai dalam ilmu sains dan rekayasa. Adapun logaritma alami dengan bilangan pokok bilangan $e$ ( $b \approx 2.718$ ), yang dipakai dengan luas dalam matematika dan fisika karena dapat mempermudah perhitungan integral dan turunan. Adapula logaritma biner menggunakan bilangan pokok $2$ ( $b = 2$ ), yang seringkali dipakai dalam ilmu komputer.

Logaritma diperkenalkan oleh John Napier pada tahun 1614 sebagai alat yang menyederhanakan perhitungan.^[1] Logaritma dipakai lebih cepat dalam navigator, ilmu sains, rekayasa, ilmu ukur wilayah, dan bidang lainnya untuk lebih mempermudah perhitungan nilai yang sangat akurat. Dengan menggunakan tabel logaritma, cara yang membosankan dalam mengalikan digit yang banyak dapat digantikan dengan melihat tabel dan penjumlahan yang lebih mudah. Ini dapat dilakukan karena bahwa logaritma dari hasil kali bilangan merupakan logaritma dari jumlah faktor bilangan:

^{b}\!\log(xy)=\,^{b}\!\log x+\,^{b}\!\log y,

asalkan bahwa $b$ , $x$ dan $y$ bilangan positif dan $b \neq 1$ . Mistar hitung yang juga berasal dari logaritma dapat mempermudah perhitungan tanpa menggunakan tabel, namun perhitungannya kurang akurat. Leonhard Euler mengaitkan gagasan logaritma saat ini dengan fungsi eksponensial pada abad ke-18, dan juga memperkenalkan huruf $e$ sebagia bilangan pokok logaritma alami.^[2]

Skala logaritma mengurangi jumlah luas ke lingkup yang lebih kecil. Misalnya, desibel (dB) adalah satuan yang digunakan untuk menyatakan rasio sebagai logaritma, sebagian besar untuk kekuatan sinyal dan amplitudo (contoh umumnya pada tekanan suara). Dalam kimia, pH mengukur keasaman dari larutan berair melalui logaritma. Logaritma biasa dalam rumus ilmiah, dan dalam pengukuran kompleksitas algoritma dan objek geometris yang disebut fraktal. Logaritma juga membantu untuk menjelaskan frekuensi rasio interval musik, muncul dalam rumus yang menghitung bilangan prima atau hampiran faktorial, memberikan gambaran dalam psikofisika, dan dapat membantu perhitungan akuntansi forensik.

Konsep logaritma sebagai invers dari eksponensiasi juga memperluas ke struktur matematika lain. Namun pada umumnya, logaritma cenderung merupakan fungsi bernilai banyak. Sebagai contoh, logaritma kompleks merupakan invers dari fungsi eksponensial pada bilangan kompleks. Mirip contoh lain, logaritma diskret dalam grup hingga, merupakan invers fungsi eksponensial bernilai banyak yang memiliki kegunaan dalam kriptografi kunci publik.

Alasan

Operasi aritmetika yang paling dasar adalah penambahan, perkalian, dan eksponen. Kebalikan dari penambahan adalah pengurangan, dan kebalikan dari perkalian adalah pembagian. Mirip contoh sebelumnya, logaritma merupakan kebalikan dari operasi eksponesiasi. Eksponensiasi adalah sebuah bilangan bilangan pokok $b$ yang ketika dipangkatkan dengan $y$ memberikan nilai $x$ . Ini dirumuskan sebagai

b^{y}=x.

Sebagai contoh, $2$ pangkat $3$ memberikan nilai $8$ . Secara matematis, $2^{3}=8$ .

Logaritma dengan bilangan pokok $b$ merupakan operasi invers yang menyediakan nilai keluar $y$ dari nilai masukan $x$ . Dalam artian, $y=\,^{b}\!\log x$ ekuivalen dengan $x=b^{y}$ , jika $b$ bilangan real positif. (Jika $b$ bukanlah bilangan real positif, eksponensiasi dan logaritma dapat didefinisikan, namun memberikan beberapa nilai, sehingga definisi darinya semakin rumit.)

Salah satu alasan bersejarah utamanya dalam memperkenalkan logaritma adalah rumus

^{b}\!\log(xy)=\,^{b}\!\log x+\,^{b}\!\log y,

yang dapat mempermudah perhitungan nilai perkalian dan pembagian dengan penjumlahan, pengurangan, dan melihat tabel logaritma. Perhitungan ini ditemukan sebelum adanya penemuan komputer.

Definisi

Logaritma suatu bilangan real positif $x$ terhadap bilangan pokok $b$ ^{[nb 1]} merupakan eksponen dengan bilangan pokok $b$ yang dipangkatkan suatu bilangan agar memperoleh nilai $x$ . Dengan kata lain, logaritma bilangan pokok $b$ dari $x$ merupakan bilangan real $y$ sehingga $b^{y}=x$ .^[3] Logaritma dilambangkan sebagai $b log x$ (dibaca "logaritma $x$ dengan bilangan pokok $b$ "). Adapun definisi yang setara dan lebih ringkasnya mengatakan bahwa fungsi $b log$ invers dengan fungsi $x\mapsto b^{x}$ .

Sebagai contoh, $2 log 16 = 4$ , karena $24 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ . Logaritma juga berupakan nilai negatif, sebagai contoh ${\textstyle ^{2}\!\log \!{\frac {1}{2}}=-1}$ , karena ${\textstyle 2^{-1}={\frac {1}{2^{1}}}={\frac {1}{2}}}$ . Logaritma juga berupa nilai desimal, sebagai contoh $10 log 150$ kira-kira sama dengan 2.176, karena terletak di antara 2 dan 3, begitu pula 150 terletak antara $102 = 100$ dan $103 = 1000$ . Adapun sifat logaritma bahwa untuk setiap $b$ , $b log b = 1$ karena $b 1 = b$ , dan $b log 1 = 0$ karena $b 0 = 1$ .

Identitas logaritma

Ada beberapa rumus penting, terkadang disebut identitas logaritma, mengaitkan logaritma dengan yang lainnya.^[4]

Hasil kali, hasil bagi, pangkat, dan akar

Logaritma suatu hasil kali merupakan jumlah logaritma dari bliangan yang dikalikan dan logaritma hasil bagi dari dua bilangan merupakan selisih logaritma. Logaritma dari bilangan pangkat ke- $p$ sama dengan $p$ dikali logaritma itu sendiri dan logaritma bilangan akar ke- $p$ sama dengan logaritma dibagi dengan $p$ . Berikut adalah tabel yang memuat daftar sifat-sifat logaritma tersebut beserta conohtnya. Masing-masing identitas ini berasal dari hasil substitusi dari definisi logaritma $x=b^{\,^{b}\!\log x}$ atau $y=b^{\,^{b}\!\log y}$ pada ruas kiri.

	Rumus	Contoh
Hasil kali	${\textstyle ^{b}\!\log(xy)=\,^{b}\!\log x+\,^{b}\!\log y}$	${\textstyle ^{3}\!\log 243=\,^{3}\!\log(9\cdot 27)=^{3}\!\log 9+\,^{3}\!\log 27=2+3=5}$
Hasil bagi	${\textstyle ^{b}\!\log \!{\frac {x}{y}}=\,^{b}\!\log x-\,^{b}\!\log y}$	${\textstyle ^{2}\!\log 16=\,^{2}\!\log \!{\frac {64}{4}}=\,^{2}\!\log 64-\,^{2}\!\log 4=6-2=4}$
Pangkat	${\textstyle ^{b}\!\log \left(x^{p}\right)=p\,^{b}\!\log x}$	${\textstyle ^{2}\!\log 64=\,^{2}\!\log \left(2^{6}\right)=6\cdot \,^{2}\!\log 2=6}$
Akar	${\textstyle ^{b}\!\log {\sqrt[{p}]{x}}={\frac {^{b}\!\log x}{p}}}$	${\textstyle ^{10}\!\log {\sqrt {1000}}=\,{\frac {1}{2}}\cdot \,^{10}\!\log 1000={\frac {3}{2}}=1.5}$

Mengubah bilangan pokok

Logaritma $b log x$ dapat dihitung sebagai hasil bagi logaritma $x$ dengan logaritma $b$ terhadap bilangan pokok sembarang $k$ . Secara matematis dirumuskan sebagai:

^{b}\!\log x={\frac {^{k}\!\log x}{^{k}\!\log b}}.\,

Bukti konversi antara logaritma suatu bilangan pokok sembarang

Pada identitas

x=b^{^{b}\!\log x}

dapat menerapkan $k log$ pada kedua ruas sehingga memperoleh

^{k}\!\log x=\,^{k}\!\log \left(b^{^{b}\!\log x}\right)=\,^{b}\!\log x\cdot \,^{k}\!\log b

.

Mencari solusi untuk $^{b}\!\log x$ menghasilkan persamaan:

^{b}\!\log x={\frac {^{k}\!\log x}{^{k}\!\log b}}

.

Hal ini memperlihatkan faktor konversi dari nilai

^{k}\!\log

ke nilai

^{b}\!\log

yang berpadanan dengannya agar memperoleh bentuk

{\tfrac {1}{^{k}\!\log b}}

|}

Adapun kalkulator ilmiah yang menghitung logaritma dengan bilangan pokok 10 dan $e$ .^[5] Logaritma terhadap setiap bilangan pokok $b$ dapat ditentukan menggunakan menggunakan kedua logaritma tersebut melalui rumus sebelumnya:

^{b}\!\log x={\frac {^{10}\!\log x}{^{10}\!\log b}}={\frac {^{e}\!\log x}{^{e}\!\log b}}.

Diberikan suatu bilangan $x$ dan logaritma $y = log b x$ , dengan $b$ adalah bilangan pokok yang tidak diketahui. Bilangan pokok logaritma dapat dirumuskan sebagai

b=x^{\frac {1}{y}},

Rumus tersebut dapat diperlihatkan dengan mengambil persamaan yang mendefinisikan $x=b^{^{b}\!\log x}=b^{y}$ , lalu dipangkatkan dengan ${\tfrac {1}{y}}.$

Bilangan pokok khusus

Grafik logaritma dengan bilangan pokok 0,5; 2; dan $e$

Terdapat tiga bilangan pokok yang umum, di antara semua pilihan bilangan pokok pada logaritma. Ketiga bilangan pokok tersebut adalah $b = 10$ , $b = e$ (konstanta bilangan irasional yang kira-kira sama dengan 2.71828), dan $b = 2$ (logaritma biner). Dalam analisis matematika, logaritma dengan bilangan pokok $e$ tersebar karena sifat analitik yang dijelaskan di bawah. Di sisi lain, logaritma dengan bilangan pokok 10 mudah dipakai dalam perhitungan manual dalam sistem bilangan desimal:^[6]

^{10}\!\log(10x)=\,^{10}\!\log 10+\,^{10}\!\log x=1+\,^{10}\!\log x.\

Jadi, $10 log x$ berkaitan dengan jumlah digit desimal suatu bilangan bulat positif $x$ : jumlah digitnya merupakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari $10 log x$ .^[7] Sebagai contoh, $10 log 1430$ kira-kira sama dengan 3,15. Bilangan berikutnya merupakan jumlah digit dari 1430, yaitu 4. Dalam teori informasi, logaritma alami dipakai dalam nat dan logaritma dengan bilangan pokok 2 dipakai dalam bit sebagai satuan dasar informasi.^[8] Logaritma biner juga dipakai dalam sistem biner ada yang dimana-mana dalam ilmu komputer. Dalam teori musik, rasio tinggi nada kedua (yaitu oktaf) ada di mana-mana dan jumlah sen antara setiap dua tinggi nada dirumuskan sebagai konstanta 1200 dikali logaritma dari rasio (yaitu, 100 sen per setengah nada dengan temperamen yang sama). Dalam fotografi, logaritma dengan bilangan pokok dua dipakai untuk mengukur nilai eksposur, tingkatan cahaya, waktu eksposur, tingkap, dan kecepatan film dalam "stop".^[9]

Tabel berikut memuat notasi-notasi umum mengenai bilangan pokok beserta bidang yang dipakai. Ada beberapa mata pelajaran yang menulis $log x$ daripada $log b x$ , dan adapula notasi $b log x$ yang juga muncul pada beberapa mata pelajaran.^[10] Pada kolom "Notasi ISO" memuat penamaan yang disarankan oleh Organisasi Standardisasi Internasional, yakni ISO 80000-2.^[11] Karena notasi $log x$ telah dipakai untuk ketiga bilangan pokok di atas (atau ketika bilangan pokok belum ditentukan), bilangan pokok yang dimaksud harus sering diduga tergantung konteks atau mata pelajarannya. Sebagai contoh, $log$ biasanya mengacu pada $2 log$ dalam ilmu komputer, dan $log$ mengacu pada $e log$ .^[12] Dalam konteks lainnya, $log$ seringkali mengacu pada $10 log$ .^[13]

Bilangan pokok $b$	Nama $b log x$	Notasi ISO	Notasi lain	Dipakai dalam bidang
2	logaritma biner	$lb x$ ^[14]	$ld x$ , $log x$ , $lg x$ ,^[15] $2 log x$	ilmu komputer, teori informasi, bioinformatika, teori musik, fotografi
$e$	logaritma alami	$ln x$ ^{[nb 2]}	$log x$ (dipakai dalam matematika^[19] dan beberapa bahasa pemrograman lainnya^{[nb 3]}), $e log x$	matematika, fisika, kimia, statistik, ekonomi, teori informasi, dan rekayasa
10	logaritma biasa	$lg x$	$log x$ , $10 log x$ (dipakai dalam rekayasa, biologi, dan astronomi)	bidang berbagai rekayasa (lihat desibel dan lihat di bawah), tabel logaritma, kalkulator genggam, spektroskop
$b$	logaritma dengan bilangan pokok $b$	$b log x$		matematika

Sejarah

Sejarah logaritma yang dimulai dari Eropa pada abad ketujuh belas merupakan penemuan fungsi baru yang memperluas ranah analisis di luar jangkauan metode aljabar. Metode logaritma dikemukakan secara terbuka oleh John Napier pada tahun 1614, dalam sebuah buku berjudul Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio.^[20]^[21] Sebelum penemuan Napier, ada teknik lain dengan jangkauan metode yang serupa, seperti prosthafaeresis atau penggunaan tabel barisan, yang dikembangkan dengan luas oleh Jost Bürgi sekitar tahun 1600.^[22]^[23] Napier menciptakan istilah untuk logaritma dalam bahasa Latin Tengah, “logaritmus” yang berasal dari gabungan dua kata Yunani, logos “proporsi, rasio, kata” + arithmos “bilangan”. Secara harfiah, "logaritmus" berarti “bilangan rasio”.

Logaritma biasa suatu bilangan adalah indeks pangkat sepuluh yang sama dengan bilangan tersebut.^[24] Berbicara tentang angka yang membutuhkan banyak angka adalah kiasan kasar untuk logaritma umum, dan disebut oleh Archimedes sebagai “urutan bilangan”.^[25] Logaritma real pertama adalah metode heuristik yang mengubah perkalian menjadi penjumlahan, sehingga memudahkan perhitungan yang cepat. Beberapa metode ini menggunakan tabel yang diturunkan dari identitas trigonometri.^[26] Metode tersebut disebut prosthafaeresis.

Penemuan fungsi sekarang dikenal sebagai logaritma alami dimulai sebagai upaya untuk kuadratur dari hiperbola persegi panjang oleh Grégoire de Saint-Vincent, seorang Yesuit Belgia yang tinggal di Praha. Archimedes telah menulis The Quadrature of the Parabola pada abad ke-3 SM, tetapi kuadratur untuk hiperbola menghindari semua upaya sampai Saint-Vincent menerbitkan hasilnya pada tahun 1647. Kaitan yang disediakan logaritma berupa antara barisan dan deret geometri dalam argumen dan nilai barisan dan deret aritmetika, meminta A. A. de Sarasa untuk mengaitkan kuadratur Saint-Vincent dan tradisi logaritma dalam prosthafaeresis, yang mengarah ke sebuah istilah persamaan kata untuk logaritma alami, yaitu "logaritma hiperbolik". Dengan segera, fungsi baru tersebut dihargai oleh Christiaan Huygens dan James Gregory. Notasi Log y diadopsi oleh Leibniz pada tahun 1675,^[27] dan tahun berikutnya dia mengaitkannya dengan integral ${\textstyle \int {\frac {dy}{y}}.}$

Sebelum Euler mengembangkan konsep modernnya tentang logaritma alami kompleks, Roger Cotes memiliki hasil yang hampir sama ketika ia menunjukkan pada tahun 1714 bahwa^[28]

\log(\cos \theta +i\sin \theta )=i\theta

.

Tabel logaritma, mistar hitung, dan penerapan bersejarah

Dengan menyederhanakan perhitungan yang rumit sebelum adanya mesin hitung komputer, logaritma berkontribusi pada kemajuan pengetahuan, khususnya astronomi. Logaritma sangat penting terhadap kemajuan dalam survei, navigasi benda langit, dan cabang lainnya. Pierre-Simon Laplace menyebut logaritma sebagai

"...[sebuah] kecerdasan mengagumkan, yang mengurangi pekerjaan berbulan-bulan menjadi beberapa hari, menggandakan kehidupan astronom, dan menghindarinya dari kesalahan dan rasa jijik yang tak terpisahkan dari perhitungan yang panjang."^[29]

Karena fungsi $f (x) = b x$ merupakan fungsi invers dari $b log x$ , maka fungsi tersebut disebut sebagai antilogaritma.^[30] Saat ini, antilogaritma lebih sering disebut fungsi eksponensial.

Tabel logaritma

Sebuah alat penting yang memungkinkan penggunaan logaritma adalah tabel logaritma.^[31] Tabel pertama disusun oleh Henry Briggs pada tahun 1617 setelah penemuan Napier, namun penemuannya menggunakan 10 sebagai bilangan pokok. Tabel pertamanya memuat logaritma biasa dari semua bilangan bulat yang berkisar antara 1 dengan 1000 yang memiliki ketepatan 14 digit. Selanjutnya, tabel dengan cakupan yang meningkat ditulis. Tabel tersebut mencantumkan nilai $^{10}\!\log x$ untuk setiap bilangan $x$ dalam kisaran dan ketepatan tertentu. Karena bilangan yang berbeda dengan faktor 10 memiliki logaritma yang berbeda dengan bilangan bulat, logaritma dengan bilangan pokok 10 digunakan secara universal untuk perhitungan, sehingga disebut logaritma umum. Logaritma umum $x$ dipisahkan menjadi bagian bilangan bulat yang dikenal sebagai karakteristik, dan bagian pecahan yang dikenal sebagai mantissa. Tabel logaritma hanya perlu menyertakan mantisa, karena karakteristik logaritma umum dapat dengan mudah ditentukan dengan menghitung angka dari titik desimal.^[32] Karakteristik logaritma umum dari $10\cdot x$ sama dengan satu ditambah karakteristik $x$ , dan mantissanya sama. Jadi dengan menggunakan tabel logartima dengan tiga digit, nilai logaritma dari 3542 kira-kira sama dengan

^{10}\!\log 3542=\,^{10}\!\log(1000\cdot 3,542)=3+\,^{10}\!\log 3,542\approx 3+\,^{10}\!\log 3,54

Nilainya dengan ketepatan yang sangat tinggi dapat diperoleh melalui interpolasi:

^{10}\!\log 3542\approx 3+^{10}\!\log 3,54+0,2\cdot (\,^{10}\!\log 3,55-\,^{10}\!\log 3,54)

Nilai $10^{x}$ dapat ditentukan dengan pencarian terbalik pada tabel yang sama, karena logaritma merupakan fungsi monoton.

Perhitungan

Hasil kali atau hasil bagi dari dua bilangan positif $c$ dan $d$ biasanya dihitung sebagai penambahan dan pengurangan logaritma. Hasil kali $cd$ berasal dari antilogaritma dari penambahan dan hasil bagi $c d$ berasal dari antilogaritma dari pengurangan, melalui tabel logaritma:

cd=10^{\,^{10}\!\log c}\,10^{\,^{10}\!\log d}=10^{\,^{10}\!\log c\,+\,^{10}\!\log d}

dan

{\frac {c}{d}}=cd^{-1}=10^{\,^{10}\!\log c\,-\,^{10}\!\log d}.

Untuk perhitungan manual yang meminta ketelitian yang cukup besar, melakukan pencarian kedua logaritma, menghitung jumlah atau selisihnya, dan mencari antilogaritma jauh lebih cepat daripada melakukan perkalian dengan metode sebelumnya seperti prostafaeresis, yang mengandalkan identitas trigonometri.

Perhitungan pangkat direduksi menjadi perkalian dan perhitungan akar direduksi menjadi pembagian. Pernyataan ini dapat dilihat sebagai

c^{d}=\left(10^{\,\log _{10}c}\right)^{d}=10^{\,d\log _{10}c}

dan

{\sqrt[{d}]{c}}=c^{\frac {1}{d}}=10^{{\frac {1}{d}}\log _{10}c}.

Perhitungan trigonometri dilengkapi dengan tabel-tabel yang memuat logaritm umum dari fungsi trigonometri.

Mistar hitung

Penerapan penting lainnya adalah mistar hitung, sepasang skala yang dibagi secara logaritmik yang digunakan dalam perhitungan. Adapun skala logaritmik yang tidak memiliki sorong, mistar Gunter, ditemukan tak lama setelah penemuan Napier dan disempurnakan oleh William Oughtred untuk menciptakan mistar hitung—sepasang skala logaritmik yang dapat dipindahkan terhadap satu sama lain. Angka yang ditempatkan pada skala hitung pada jarak sebanding dengan selisih antara logaritma mereka. Menggeser skala atas dengan tepat berarti menambahkan logaritma secara mekanis, seperti yang diilustrasikan berikut ini:

Misalnya, dengan menambahkan jarak dari 1 ke 2 pada skala di bawah ke jarak dari 1 ke 3 pada skala di atas menghasilkan hasil kali 6, yang dibacakan di bagian bawah. Mistar hitung adalah sebuah alat menghitung yang penting bagi para insinyur dan ilmuwan hingga tahun 1970-an, karena dengan mengorbankan ketepatan nilai memungkinkan perhitungan yang jauh lebih cepat daripada teknik berdasarkan tabel.^[33]

Sifat analitik

Studi yang lebih dalam mengenai logaritma memerlukan sebuah konsep yang disebut fungsi. Fungsi merupakan sebuah kaidah yang dipetakan suatu bilangan akan menghasilkan bilangan lain.^[34] Sebagai contohnya seperti fungsi yang menghasilkan bilangan konstan $b$ yang dipangkatkan setiap bilangan real $x$ . Fungsi ini ditulis secara matematis sebagai $f (x) = b x$ . Ketika $b$ positif dan tak sama dengan 1, maka $f$ adalah fungsi terbalikkan ketika dianggap sebagai fungsi dengan interval dari bilangan real ke bilangan real positif.

Keberadaan

Misalkan $b$ adalah bilangan real positif yang tidak sama dengan 1 dan misalkan $f (x) = b x$ . Pernyataan yang diikuti dari teorema nilai antara ini,^[35] merupakan hasil standar dalam analisis real yang mengatakan bahwa setiap fungsi monoton sempurna dan kontinu merupakan fungsi bijektif antara ranah (bahasa Inggris: domain) dan kisarannya (bahasa Inggris: range). Pernyataan saat ini mengatakan bahwa $f$ yang menaik sempurna (untuk $b > 1$ ), atau menurun sempurna (untuk $0 < b < 1$ )^[36] merupakan fungsi kontinu, memiliki ranah $\mathbb {R}$ dan memiliki kisaran $\mathbb {R} _{>0}$ . Oleh karena itu, $f$ merupajan fungsi bijeksi dari $\mathbb {R}$ ke $\mathbb {R} _{>0}$ . Dengan kata lain, untuk setiap bilangan real positif $y$ , terdapat setidaknya satu bilangan real $x$ sehingga $b^{x}=y$ .

Misalkan $^{b}\!\log \colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R}$ yang menyatakan kebalikan fungsi $f$ . Dalam artian, $b log y$ merupakan bilangan real tunggal $x$ sehingga $b^{x}=y$ . Fungsi ini disebut fungsi logaritma dengan bilangan pokok- $b$ atau fungsi logaritmik (atau logaritma saja).

Karakterisasi melalui rumus hasil kali

Pada dasarnya, fungsi $b log x$ juga dapat dikarakterisasikan melalui rumus hasil kali

\log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y.

Lebih tepatnya, logaritma untuk setiap bilangan pokok $b > 1$ yang hanya merupakan fungsi $f$ naik dari bilangan real positif ke bilangan real memenuhi sifat bahwa $f (b) = 1$ dan^[37]

f(xy)=f(x)+f(y).

Grafik fungsi logaritma

Seperti yang dibahas sebelumnya, fungsi $b log$ invers terhadap fungsi eksponensial $x\mapsto b^{x}$ . Karena itu, grafiknya berkorespondensi dengan satu sama lagi saat menukar koordinat- $x$ dan koordinat- $y$ (atau saat melakukan pencerminan di garis diagonal $x = y$ ), seperti yang diperlihatkan sebagai berikut: sebuah titik $(t, u = b t)$ pada grafik dari $f$ menghasilkan sebuah titik $(u, t = b log u)$ pada grafik logaritma dan sebaliknya. Akibatnya, $b log (x)$ divergen menuju takhingga (dalam artian semakin besar dari setiap bilangan yang diberikan) jika $x$ naik menuju takhingga, asalkan $b$ lebih besar dari satu. Pada kasus tersebut, $b log(x)$ merupakan fungsi menaik. Sedangkan untuk kasus $b < 1$ , $b log (x)$ cenderung menuju ke negatif takhingga. Ketika $x$ mendekati nol, $b log x$ menuju ke negatif takhingga untuk $b > 1$ dan menuju ke plus takhingga untuk $b < 1$ .

Turunan dan antiturunan

Sifat analitik tentang fungsi adalah melalui fungsi inversnya.^[35] Jadi, ketika $f (x) = b x$ adalah fungsi kontinu dan terdiferensialkan, maka $b log y$ fungsi kontinu dan terdiferensialkan juga. Penjelasan kasarnya, sebuah fungsi kontinu adalah terdiferensialkan jika grafiknya tidak mempunyai "ujung" yang tajam. Lebih lanjut, ketika turunan dari $f (x)$ menghitung nilai $ln(b) b x$ melalui sifat-sifat fungsi eksponensial, aturan rantai menyiratkan bahwa turunan dari $log b x$ dirumuskan sebagai ^[36]^[38]

{\frac {d}{dx}}\log _{b}x={\frac {1}{x\ln b}}.

Artinya, kemiringan dari garis singgung yang menyinggung grafik logaritma dengan bilangan pokok $b$ di titik $(x, b log (x))$ sama dengan $1 x ln(b)$ .

Turunan dari $ln(x)$ adalah $1 x$ , yang berarti ini menyiratkan bahwa $ln(x)$ merupakan integral tunggal dari $1 x$ yang mempunyai nilai 0 untuk $x = 1$ . Hal ini merupakan rumus paling sederhana yang mendorong sifat "alami" pada logaritma alami, dan hal ini juga merupakan salah satu alasan pentingnya konstanta $e$ .

Turunan dengan argumen fungsional rampat $f (x)$ dirumuskan sebagai

{\frac {d}{dx}}\ln f(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}.

Hasil bagi pada ruas kanan disebut turunan logaritmik dari $f$ dan menghitung $f' (x)$ melalui turunan dari $ln(f (x))$ dikenal sebagai pendiferensialan logaritmik.^[39] Antiturunan dari logaritma alami $ln(x)$ dirumuskan sebagai:^[40]

\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.

Adapun rumus yang berkaitan, seperti antiturunan dari logaritma dengan bilangan pokok lainnya dapat diturunkan dari persamaan ini dengan mengubah bilangan pokoknya.^[41]

Representasi integral mengenai fungsi logaritma

Logaritma alami dari $t$ dapat didefinisikan sebagai integral tentu:

\ln t=\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx.

Definisi ini menguntungkan karena tidak bergantung pada fungsi eksponensial atau fungsi trigonometri apapun; definisi ini berupa dalam bentuk sebuah integral dari fungsi timbal balik sederhana. Penjelasan dalam integral, $ln(t)$ sama dengan luas antara sumbu- $x$ dan grafik fungsi $1 x$ , yang berkisar dari $x = 1$ ke $x = t$ . Penjelasan ini juga merupakan akibat dari teorema dasar kalkulus, dan bahkan turunan dari $ln(x)$ sama dengan $1 x$ . Rumus logaritma hasil kali dan pangkat dapat diturunkan melalui definisi ini.^[42] Sebagai contoh, rumus hasil kali $ln(tu) = ln(t) + ln(u)$ dapat disimpulkan sebagai:

\ln(tu)=\int _{1}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\ {\stackrel {(1)}{=}}\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{t}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\ {\stackrel {(2)}{=}}\ln(t)+\int _{1}^{u}{\frac {1}{w}}\,dw=\ln(t)+\ln(u).

Persamaan (1) membagi integral menjadi dua bagian, sementara (2) mengubah variabel $w$ menjadi $x t$ . Pada ilustrasi dibawah, pembagian integral tersebut dapat disamakan dengan pembagian luasnya menjadi bagian berwarna kuning dan biru. Dengan mengukur luas berwarna biru kembali secara vertikal melalui faktor $t$ dan menyusutnya melalui faktor yang sama secara horizontal tidak mengubah ukuran luasnya. Dengan memindahkan daerah biru ke daerah kuning, luasnya menyesuaikan grafik fungsi $f (x) = 1 x$ lagi. Oleh karena itu, luas biru di sebelah kiri, yang merupakan integral dari fungsi $f (x)$ dengan interval dari $t$ hingga $tu$ sama dengan integral dari fungsi yang sama dengan interval 1 hingga $u$ . Hal ini membenarkan persamaan (2) melalui bukti geometri lainnya.

Rumus pangkat $ln(t r) = r ln(t)$ dapat diturunkan dalam cara yang serupa:

\ln(t^{r})=\int _{1}^{t^{r}}{\frac {1}{x}}dx=\int _{1}^{t}{\frac {1}{w^{r}}}\left(rw^{r-1}\,dw\right)=r\int _{1}^{t}{\frac {1}{w}}\,dw=r\ln(t).

Persamaan kedua menggunakan perubahan variabel $w = x 1 r$ melalui integrasi substitusi.

Jumlah keseluruhan timbal balik dari bilangan asli yang dirumuskan

1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},

disebut deret harmonik. Deret ini sangat terkait erat dengan logaritma alami, yang dinyatakan melalui pernyataan berikut: ketika $n$ cenderung menuju takhingga, selisih dari

\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n),

konvergen (yakni mendekati dengan sembarang) ke sebuah bilangan yang dikeanl sebagai konstanta Euler–Mascheroni $γ = 0.5772...$ . Kaitan antara deret harmonik dan logaritma natural membantu dalam menganalisis kinerja algoritma seperti quicksort.^[43]

Transendensi logaritma

Hampir semua bilangan real adalah transendental (yaitu, bilangan real yang bukan merupakan bilangan aljabar^[44]). Sebagai contoh, $π$ dan e adalah bilangan transendental, sedangkan ${\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}$ bukan. Logaritma merupakan sebuah contoh fungsi transendental. Teorema Gelfond–Schneider mengatakan bahwa logaritma biasanya mengambil nilai-nilai yang "rumit", yaitu bilangan transendental.^[45]

Perhitungan

Logaritma merupakan alat perhitungan yang mudah pada beberapa kasus, misalnya $10 log 1000 = 3$ . Logaritma pada umumnya dapat dihitung melalui deret kuasa atau purata aritmetik–geometrik, atau didapatkan kembali dari tabel logaritma (sebelum adanya perhitungan logaritma) yang menyediakan ketepatan nilai konstan.^[46]^[47] Metode Newton, sebuah metode berulang yang menyelesaikan persamaan melalui hampiran, juga dapat dipakai untuk menghitung logaritma, karena fungsi inversnya (yaitu fungsi eksponensial), dapat dihitung dengan cepat.^[48] Dengan melihat tabel logaritma, metode seperti CORDIC dapat dipakai untuk menghitung logaritma hanya dengan menggunakan operasi penambahan dan geseran bit.^[49]^[50] Terlebih lagi, algoritma dari logaritma biner menghitung $lb(x)$ secara berulang, berdasarkan penguadratan $x$ berulang, dengan memanfaatkan relasi berikut

^{2}\!\log \left(x^{2}\right)=2\cdot \,^{2}\!\log |x|.

Deret pangkat

Deret Taylor

Untuk setiap bilangan $z$ yang memenuhi sifat $0 < z \leq 2$ , maka berlaku rumus:^{[nb 4]}^[51]

{\begin{aligned}\ln(z)&={\frac {(z-1)^{1}}{1}}-{\frac {(z-1)^{2}}{2}}+{\frac {(z-1)^{3}}{3}}-{\frac {(z-1)^{4}}{4}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {(z-1)^{k}}{k}}\end{aligned}}

Pernyataan di atas merupakan tulisan singkat untuk mengatakan bahwa $ln(z)$ dapat diaproksimasi sebagai bilangan yang lebih-lebih akurat lagi melalui :

{\begin{array}{lllll}(z-1)&&\\(z-1)&-&{\frac {(z-1)^{2}}{2}}&\\(z-1)&-&{\frac {(z-1)^{2}}{2}}&+&{\frac {(z-1)^{3}}{3}}\\\vdots &\end{array}}

Sebagai contoh, pendekatan ketiga saat $z = 1,5$ memberikan nilai 0,4167. Nilai tersebut kira-kira 0,011 lebih besar dari $ln(1,5) = 0,405465$ . Deret ini yang mengaproksimasi $ln(z)$ dengan ketepatan nilai sembarang, menyediakan jumlah dari nilai yang dijumlahkan cukup besar. Dalam kalkulus elementer, $ln(z)$ merupakan limit dari deret ini. $ln(z)$ merupakan deret Taylor dari logaritma alami di $z = 1$ . Deret Taylor dari $ln(z)$ khususnya menyediakan alat yang berguna untuk mengaproksimasi $ln(1 + z)$ ketika $z$ bernilai kecil, $| z | < 1$ :

\ln(1+z)=z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}\cdots \approx z.

Sebagai contoh, hampiran orde pertama memberikan nilai hampiran $ln(1,1) \approx 0,1$ ketika $z = 0,1$ , yang galatnya 5% lebih kecil dari nilai eksak 0,0953.

Deret lebih efisien

Deret lainnya berasal dari fungsi tangen hiperbolik invers:

\ln(z)=2\cdot \operatorname {artanh} \,{\frac {z-1}{z+1}}=2\left({\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}{\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)}^{3}+{\frac {1}{5}}{\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)}^{5}+\cdots \right),

untuk setiap bilangan real $z > 0$ .^{[nb 5]}^[51] Dengan menggunakan notasi Sigma, ruas kanan pada rumus di atas juga dapat ditulis sebagai

\ln(z)=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2k+1}.

Deret ini dapat diturunkan dari deret Taylor di atas, yang konvergen lebih cepat daripada deret Taylor, khususnya jika $z$ mendekati 1. Sebagai contoh, untuk $z = 1,5$ , tiga suku pertama dari deret kedua memberikan nilai hampiran $ln(1,5)$ dengan galatnya sekitar 3×10⁻⁶. Kekonvergenan cepat untuk $z$ yang mendekati 1 dapat dimanfaatkan sebagai berikut: diberikan sebuah hampiran dengan tingkat akurat yang rendah $y \approx ln(z)$ dan memasukkan ke rumus

A={\frac {z}{\exp(y)}},

maka logaritma dari $z$ dirumuskan:

\ln(z)=y+\ln(A).

Hampiran awalan $y$ yang lebih baik adalah dengan membuat nilai $A$ mendekati ke 1, sehingga nilai logaritma dapat dihitung lebih efisien. Nilai $A$ dapat dihitung melalui deret eksponensial sehingga nilainya konvergen dengan cepat, asalkan niali $y$ tidak terlalu besar. Dengan menghitung logaritma dari $z$ yang lebih besar dapat direduksi emnjadi nilai $z$ yang lebih kecil dengan menulis $z = a \cdot 10 b$ , sehingga $ln(z) = ln(a) + b \cdot ln(10)$ .

Adapun metode yang sangat berkaitan dengannya dapat dipakai untuk menghitung logaritma dari bilangan bulat. Dengan memasukkan $\textstyle z={\frac {n+1}{n}}$ pada deret di atas, maka deret tersebut dapat ditulis sebagai berikut:

\ln(n+1)=\ln(n)+2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{2k+1}.

Jika diketahui logaritma dari suatu bilangan bulat $n$ yang lebih besar, maka deret tersebut menghasilkan sebauah deret yang konvergen dengan cepat untuk $log(n +1)$ , dengan laju konvergensi dari ${\textstyle \left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{2}}$ .

Hampiran purata aritmetik-geometrik

Purata aritmetik–geometrik atau rata-rata aritmetik–geometrik menghasilkan hampiran dari logaritma natural dengan tingkatan ketepatan yang tinggi. Pada tahun 1982, Sasaki dan Kanada memperlihatkan bahwa purata ini sangat cepat untuk ketepatan di antara 400 dan 1000 letak desimal, sementara metode deret Taylor biasanya lebih cepat when less precision was needed. Dalam karyanya, $ln(x)$ kira-kira sama dengan ketepatan dari $2 - p$ (atau $p$ bit yang tepat) melalui rumus berikut (karena Carl Friedrich Gauss):^[52]^[53]

\ln(x)\approx {\frac {\pi }{2\,\mathrm {M} \!\left(1,2^{2-m}/x\right)}}-m\ln(2).

Notasi $M(x, y)$ menyatakan purata aritmetika–geometrik atau rata-rata aritmetik–geometrik dari $x$ dan $y$ . Purata ini didapatkan dengan menghitung rerata $(x + y)/2$ (purata aritmetika) dan ${\textstyle {\sqrt {xy}}}$ (purata geometrik) dari $x$ dan $y$ secara berulang, lalu misalkan kedua bilangan tersebut merupaka bilangan $x$ dan $y$ selanjutnya. Kedua bilangan tersebut konvergen dengan cepat menuju ke limit yang sama, yaitu $M(x, y)$ . Agar memastikan nilai ketepatan yang dibutuhkan, maka pilih $m$ sehingga

x\,2^{m}>2^{p/2}.\,

Bilangan $m$ yang lebih besar membuat perhitungan $M(x, y)$ take more steps (the initial $x$ and $y$ are farther apart so it takes more steps to converge), namun memberikan nilai yang lebih tepat. Konstanta seperti $π$ dan $ln(2)$ dapat dihitung melalui deret yang konvergen dengan cepat.

Algoritma Feynman

Richard Feynman, yang mengerjakan proyek Manhattan di Los Alamos National Laboratory, mengembangkan sebuah algoritma pengolahan bit untuk menghitung nilai logaritma. Algoritma tersebut menyerupai pembagian panjang, dan kemudian dipakai dalam sebuah anggota dari rangkaian subkomputer, Connection Machine. Bahkan bahwa setiap bilangan real $1 < x < 2$ yang dapat direpresentasikan sebagai hasil kali dari faktor yang berbeda dari bentuk $1 + 2 - k$ , dipakai dalam algoritma ini. The algorithm sequentially builds that product $P$ , starting with $P = 1$ and $k = 1$ : if $P \cdot (1 + 2 - k) < x$ , then it changes $P$ to $P \cdot (1 + 2 - k)$ . It then increases $k$ by one regardless. The algorithm stops when $k$ is large enough to give the desired accuracy. Because $log(x)$ is the sum of the terms of the form $log(1 + 2 - k)$ corresponding to those $k$ for which the factor $1 + 2 - k$ was included in the product $P$ , $log(x)$ may be computed by simple addition, using a table of $log(1 + 2 - k)$ for all $k$ . Any base may be used for the logarithm table.^[54]

Penerapan

A photograph of a nautilus' shell. — Sebuah cangkang nautilus yang menampilkan bentuk spiral logaritmik.

Logaritma memiliki banyak penerapan di dalam maupun di luar matematika. Ada beberapa kejadian penerapan logaritma yang berkaitan dengan gagasan kekararan skala. Sebagai contoh, setiap ruangan yang terdapat di dalam sebuah cangkang nautilus memiliki kira-kira sama dengan jumlah salinan dari ruang selanjutnya, yang ditimbang melalui faktor konstanta. Contoh tersebut menyerupai bentuk spiral logaritma.^[55] Hukum Benford mengenai distribusi dari angka yang ditunjuk juga dapat dijelaskan melalui kekeraran skala.^[56] Logaritma juga berkaitan dengan benda yang memiliki kemiripan terhadap diri sendiri. Sebagai contoh, logaritma muncul dalam analisis tentang alogritma yang menyelesaikan masalah dengan membaginya menjadi dua masalah lebih kecil yang serupa dan memotong kecil penyelesaiannya.^[57] Dimensi dari bentuk geometrik yang menyerupai diri sendiri, dalam artian, bentuk yang bagiannya menyerupai gambarnya secara keseluruhan juga dirumuskan melalui logaritma. Skala logaritmik berguna untuk mengukur perubahan relatif suatu nilai sebagai lawan dari selisih mutlaknya. Terlebih lagi, karena fungsi logaritmik $log(x)$ menaik sangat lambat untuk nilai besar $x$ , skala logaritmik biasanya menekan data ilmiah yang berskala besar. Logaritma juga muncul dalam rumus ilmiah numerik, seperti persamaan roket Tsiolkovsky, persamaan Fenske, atau persamaan Nernst.

Skala logaritmik

Scientific quantities are often expressed as logarithms of other quantities, using a logarithmic scale. For example, the decibel is a unit of measurement associated with logarithmic-scale quantities. It is based on the common logarithm of ratios—10 times the common logarithm of a power ratio or 20 times the common logarithm of a voltage ratio. It is used to quantify the loss of voltage levels in transmitting electrical signals,^[58] to describe power levels of sounds in acoustics,^[59] and the absorbance of light in the fields of spectrometry and optics. The signal-to-noise ratio describing the amount of unwanted noise in relation to a (meaningful) signal is also measured in decibels.^[60] In a similar vein, the peak signal-to-noise ratio is commonly used to assess the quality of sound and image compression methods using the logarithm.^[61]

The strength of an earthquake is measured by taking the common logarithm of the energy emitted at the quake. This is used in the moment magnitude scale or the Richter magnitude scale. For example, a 5.0 earthquake releases 32 times $(10 1.5)$ and a 6.0 releases 1000 times $(10 3)$ the energy of a 4.0.^[62] Apparent magnitude measures the brightness of stars logarithmically.^[63] In chemistry the negative of the decimal logarithm, the decimal cologarithm, is indicated by the letter p.^[64] For instance, pH is the decimal cologarithm of the activity of hydronium ions (the form hydrogen ions H⁺ take in water).^[65] The activity of hydronium ions in neutral water is 10⁻⁷ mol·L⁻¹, hence a pH of 7. Vinegar typically has a pH of about 3. The difference of 4 corresponds to a ratio of 10⁴ of the activity, that is, vinegar's hydronium ion activity is about $10 -3 mol\cdotL -1$ .

Semilog (log–linear) graphs use the logarithmic scale concept for visualization: one axis, typically the vertical one, is scaled logarithmically. For example, the chart at the right compresses the steep increase from 1 million to 1 trillion to the same space (on the vertical axis) as the increase from 1 to 1 million. In such graphs, exponential functions of the form $f (x) = a \cdot b x$ appear as straight lines with slope equal to the logarithm of $b$ . Log-log graphs scale both axes logarithmically, which causes functions of the form $f (x) = a \cdot x k$ to be depicted as straight lines with slope equal to the exponent $k$ . This is applied in visualizing and analyzing power laws.^[66]

Psikologi

Logarithms occur in several laws describing human perception:^[67]^[68] Hick's law proposes a logarithmic relation between the time individuals take to choose an alternative and the number of choices they have.^[69] Fitts's law predicts that the time required to rapidly move to a target area is a logarithmic function of the distance to and the size of the target.^[70] In psychophysics, the Weber–Fechner law proposes a logarithmic relationship between stimulus and sensation such as the actual vs. the perceived weight of an item a person is carrying.^[71] (This "law", however, is less realistic than more recent models, such as Stevens's power law.^[72])

Psychological studies found that individuals with little mathematics education tend to estimate quantities logarithmically, that is, they position a number on an unmarked line according to its logarithm, so that 10 is positioned as close to 100 as 100 is to 1000. Increasing education shifts this to a linear estimate (positioning 1000 10 times as far away) in some circumstances, while logarithms are used when the numbers to be plotted are difficult to plot linearly.^[73]^[74]

Teori peluang dan statistika

Logarithms arise in probability theory: the law of large numbers dictates that, for a fair coin, as the number of coin-tosses increases to infinity, the observed proportion of heads approaches one-half. The fluctuations of this proportion about one-half are described by the law of the iterated logarithm.^[75]

Logarithms also occur in log-normal distributions. When the logarithm of a random variable has a normal distribution, the variable is said to have a log-normal distribution.^[76] Log-normal distributions are encountered in many fields, wherever a variable is formed as the product of many independent positive random variables, for example in the study of turbulence.^[77]

Logarithms are used for maximum-likelihood estimation of parametric statistical models. For such a model, the likelihood function depends on at least one parameter that must be estimated. A maximum of the likelihood function occurs at the same parameter-value as a maximum of the logarithm of the likelihood (the "log likelihood"), because the logarithm is an increasing function. The log-likelihood is easier to maximize, especially for the multiplied likelihoods for independent random variables.^[78]

Benford's law describes the occurrence of digits in many data sets, such as heights of buildings. According to Benford's law, the probability that the first decimal-digit of an item in the data sample is $d$ (from 1 to 9) equals $log 10 (d + 1) - log 10 (d)$ , regardless of the unit of measurement.^[79] Thus, about 30% of the data can be expected to have 1 as first digit, 18% start with 2, etc. Auditors examine deviations from Benford's law to detect fraudulent accounting.^[80]

Kompleksitas perhitungan

Analysis of algorithms is a branch of computer science that studies the performance of algorithms (computer programs solving a certain problem).^[81] Logarithms are valuable for describing algorithms that divide a problem into smaller ones, and join the solutions of the subproblems.^[82]

For example, to find a number in a sorted list, the binary search algorithm checks the middle entry and proceeds with the half before or after the middle entry if the number is still not found. This algorithm requires, on average, $log 2 (N)$ comparisons, where $N$ is the list's length.^[83] Similarly, the merge sort algorithm sorts an unsorted list by dividing the list into halves and sorting these first before merging the results. Merge sort algorithms typically require a time approximately proportional to $N \cdot log(N)$ .^[84] The base of the logarithm is not specified here, because the result only changes by a constant factor when another base is used. A constant factor is usually disregarded in the analysis of algorithms under the standard uniform cost model.^[85]

A function $f (x)$ is said to grow logarithmically if $f (x)$ is (exactly or approximately) proportional to the logarithm of $x$ . (Biological descriptions of organism growth, however, use this term for an exponential function.^[86]) For example, any natural number $N$ can be represented in binary form in no more than $log 2 N + 1$ bits. In other words, the amount of memory needed to store $N$ grows logarithmically with $N$ .

Entropi dan kekacauan

Entropy is broadly a measure of the disorder of some system. In statistical thermodynamics, the entropy S of some physical system is defined as

S=-k\sum _{i}p_{i}\ln(p_{i}).\,

The sum is over all possible states $i$ of the system in question, such as the positions of gas particles in a container. Moreover, $p i$ is the probability that the state $i$ is attained and $k$ is the Boltzmann constant. Similarly, entropy in information theory measures the quantity of information. If a message recipient may expect any one of $N$ possible messages with equal likelihood, then the amount of information conveyed by any one such message is quantified as $log 2 N$ bits.^[87]

Lyapunov exponents use logarithms to gauge the degree of chaoticity of a dynamical system. For example, for a particle moving on an oval billiard table, even small changes of the initial conditions result in very different paths of the particle. Such systems are chaotic in a deterministic way, because small measurement errors of the initial state predictably lead to largely different final states.^[88] At least one Lyapunov exponent of a deterministically chaotic system is positive.

Fraktal

The Sierpinski triangle (at the right) is constructed by repeatedly replacing equilateral triangles by three smaller ones.

Logarithms occur in definitions of the dimension of fractals.^[89] Fractals are geometric objects that are self-similar in the sense that small parts reproduce, at least roughly, the entire global structure. The Sierpinski triangle (pictured) can be covered by three copies of itself, each having sides half the original length. This makes the Hausdorff dimension of this structure $ln(3)/ln(2) \approx 1.58$ . Another logarithm-based notion of dimension is obtained by counting the number of boxes needed to cover the fractal in question.

Musik

Four different octaves shown on a linear scale, then shown on a logarithmic scale (as the ear hears them).

Logarithms are related to musical tones and intervals. In equal temperament, the frequency ratio depends only on the interval between two tones, not on the specific frequency, or pitch, of the individual tones. For example, the note A has a frequency of 440 Hz and B-flat has a frequency of 466 Hz. The interval between A and B-flat is a semitone, as is the one between B-flat and B (frequency 493 Hz). Accordingly, the frequency ratios agree:

{\frac {466}{440}}\approx {\frac {493}{466}}\approx 1.059\approx {\sqrt[{12}]{2}}.

Therefore, logarithms can be used to describe the intervals: an interval is measured in semitones by taking the base- $2 1/12$ logarithm of the frequency ratio, while the base- $2 1/1200$ logarithm of the frequency ratio expresses the interval in cents, hundredths of a semitone. The latter is used for finer encoding, as it is needed for non-equal temperaments.^[90]

Interval(the two tones are played at the same time)	1/12 tone play^ⓘ	Semitone play^ⓘ	Just major third play^ⓘ	Major third play^ⓘ	Tritone play^ⓘ	Octave play^ⓘ
Frequency ratio r	$2^{\frac {1}{72}}\approx 1.0097$	$2^{\frac {1}{12}}\approx 1.0595$	${\tfrac {5}{4}}=1.25$	${\begin{aligned}2^{\frac {4}{12}}&={\sqrt[{3}]{2}}\\&\approx 1.2599\end{aligned}}$	${\begin{aligned}2^{\frac {6}{12}}&={\sqrt {2}}\\&\approx 1.4142\end{aligned}}$	$2^{\frac {12}{12}}=2$
Corresponding number of semitones $\log _{\sqrt[{12}]{2}}(r)=12\log _{2}(r)$	${\tfrac {1}{6}}$	$1$	$\approx 3.8631$	$4$	$6$	$12$
Corresponding number of cents $\log _{\sqrt[{1200}]{2}}(r)=1200\log _{2}(r)$	$16{\tfrac {2}{3}}$	$100$	$\approx 386.31$	$400$	$600$	$1200$

Teori bilangan

Logaritma alami sangat berkaitan dengan salahs satu topik dalam teori bilangan, yaitu menghitung bilangan prima. Untuk setiap bilangan bulat $x$ , jumlah bilangan prima kurang dari sama dengan $x$ dinyatakan sebagai $π (x)$ . Teorema bilangan prima mengatakan bahwa $π (x)$ kira-kira sama dengan

{\frac {x}{\ln(x)}},

yang berarti bahwa fungsi penghitungn bilangan prima kira-kira sama dengan perbandingan dari $π (x)$ dan pecahan yang mendekati 1 ketika $x$ menuju ke takhingga.^[91] Akibatnya, peluang dari bilangan yang dipilih secara acak di antara 1 dan $x$ adalah bilangan prima berbanding terbalik dengan jumlah digit desimal $x$ . Pendekatan $π (x)$ yang lebih baik merupakan fungsi integral Euler $Li(x)$ , yang didefinisikan sebagai

\mathrm {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln(t)}}\,dt.

Hipotesis Riemann, yang merupakan salah satu konjektur matemtika terbuka yang paling terlama, dapat dinyatakan dalam bentuk perbandingan $π (x)$ dan $Li(x)$ .^[92] Teorema Erdős–Kac mengatakan bahwa jumlah faktor bilangan prima yang berbeda juga melibatkan logaritma alami.

Logaritma dari n faktorial, $n! = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n$ , dirumuskan sebagai

\ln(n!)=\ln(1)+\ln(2)+\cdots +\ln(n).

Rumus di atas dapat dipakai utnuk memperoleh sebuah hampiran dari $n!$ untuk setiap bilangan $n$ yang lebih besar, yaitu rumus Stirling.^[93]

Perumuman

Logaritma kompleks

Semua bilangan kompleks $a$ yang menyelesaikan persamaan

e^{a}=z

disebut logaritma kompleks dari $z$ , ketika $z$ (dianggap sebagai) bilangan kompleks. Bilangan kompleks biasanya dinyatakan sebagai $z = x + iy$ , dengan $x$ dan $y$ merupakan bilangan real dan $i$ merupakan satuan imajiner (satuan yang dikuadratkan memberikan nilai −1). Bilangan kompleks dapat divisualisasikan melalui sebuah titik dalam bidang kompleks, seperti yang diperlihatkan pada gambar berikut. Bentuk polar menulis bilangan kompleks tak-nol $z$ melalui titik nilai mutlak, yang berarti jarak yang berupa bilangan bernilai real dan positif $r$ sama dengan titik $z$ ke titik asalnya. Bentuk polar juga menulis sebuah sudut antara bilangan real pada sumbu- $Re$ (yakni sumbu- $x$ ) $Re$ dan garis yang melalui titik asal dan titik $z$ . Sudut tersebut disebut sebagai argumen dari $z$ .

Nilai mutlak $r$ dari $z$ dinyatakan sebagai

\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.

Dengan menggunakan pandangan geometris fungsi sinus dan kosinus beserta periodisitasnya dalam $2 π$ , setiap bilangan kompleks $z$ dapat dinyatakan sebagai

z=x+iy=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=r(\cos(\varphi +2k\pi )+i\sin(\varphi +2k\pi )),

untuk setiap bilangan bulat $k$ . Nyatanya argumen dari $z$ tidak dijelaskan secara unik: bilangan $φ$ dan $φ' = φ + 2 k π$ merupakan argumen valid dari $z$ untuk semua bilangan bulat $k$ , karena menambahkan $2 k π$ radian atau k⋅360°^{[nb 6]} ke bilangan $φ$ corresponds to "winding" around the origin counter-clock-wise by $k$ turns. The resulting complex number is always $z$ , as illustrated at the right for $k = 1$ . One may select exactly one of the possible arguments of $z$ as the so-called principal argument, denoted $Arg(z)$ , with a capital $A$ , by requiring $φ$ to belong to one, conveniently selected turn, e.g. $- π < φ \leq π$ ^[94] or $0 \leq φ < 2 π$ .^[95] These regions, where the argument of $z$ is uniquely determined are called branches of the argument function.

Rumus Euler mengaitkan fungsi trigonometri sinus dan kosinus dengan eksponensial kompleks:

e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi .

Dengan menggunakan rumus di atas, dan periodisitasnya lagi, maka berlaku identitas berikut:^[96]

{\begin{array}{lll}z&=&r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)\\&=&r\left(\cos(\varphi +2k\pi )+i\sin(\varphi +2k\pi )\right)\\&=&re^{i(\varphi +2k\pi )}\\&=&e^{\ln(r)}e^{i(\varphi +2k\pi )}\\&=&e^{\ln(r)+i(\varphi +2k\pi )}=e^{a_{k}},\end{array}}

dengan $ln(r)$ adalah fungsi logaritma real tunggal, $a k$ menyatakan logaritma kompleks dari $z$ , dan $k$ bilangan bulat sembarang. Karena itu, logaritma kompleks dari $z$ , yang semua bilangan kompleks $a k$ untuk $e$ pangkat $a k$ sama dengan $z$ , mempunyai tak berhingga banyaknya nilai

a_{k}=\ln(r)+i(\varphi +2k\pi ),\quad

untuk bilangan bulat semabrang

k

.

Taking $k$ such that $φ + 2 k π$ is within the defined interval for the principal arguments, then $a k$ is called the principal value of the logarithm, denoted $Log(z)$ , again with a capital $L$ . The principal argument of any positive real number $x$ is 0; hence $Log(x)$ is a real number and equals the real (natural) logarithm. However, the above formulas for logarithms of products and powers do not generalize to the principal value of the complex logarithm.^[97]

The illustration at the right depicts $Log(z)$ , confining the arguments of $z$ to the interval $(-π, π]$ . This way the corresponding branch of the complex logarithm has discontinuities all along the negative real $x$ axis, which can be seen in the jump in the hue there. This discontinuity arises from jumping to the other boundary in the same branch, when crossing a boundary, i.e. not changing to the corresponding $k$ -value of the continuously neighboring branch. Such a locus is called a branch cut. Dropping the range restrictions on the argument makes the relations "argument of $z$ ", and consequently the "logarithm of $z$ ", multi-valued functions.

Kebalikan dari fungsi eksponensial lainnya

Eksponensiasi muncul dalam cabang matematika dan fungsi inversnya seringkali mengacu pada logaritma. Sebagai contoh, logaritma matriks merupakan fungsi invers (bernilai banyak) dari eksponensial matriks.^[98] Contohnya lain seperti fungsi logaritma p-adik logarithm, fungsi invers dari fungsi eksponensial p-adik. Kedua fungsi tersebut didefinisikan melalui deret Taylor yang analog dengan kasus bilangan real.^[99] Dalam konteks geometri diferensial, peta eksponensial memetakan ruang garis singgung di sebuah titik manifold ke tetangga titik tersebutof that point. Its inverse is also called the logarithmic (or log) map.^[100]

In the context of finite groups exponentiation is given by repeatedly multiplying one group element $b$ with itself. The discrete logarithm is the integer $n$ solving the equation

b^{n}=x,

where $x$ is an element of the group. Carrying out the exponentiation can be done efficiently, but the discrete logarithm is believed to be very hard to calculate in some groups. This asymmetry has important applications in public key cryptography, such as for example in the Diffie–Hellman key exchange, a routine that allows secure exchanges of cryptographic keys over unsecured information channels.^[101] Zech's logarithm is related to the discrete logarithm in the multiplicative group of non-zero elements of a finite field.^[102]

Further logarithm-like inverse functions include the double logarithm $ln(ln(x))$ , the super- or hyper-4-logarithm (a slight variation of which is called iterated logarithm in computer science), the Lambert W function, and the logit. They are the inverse functions of the double exponential function, tetration, of $f (w) = we w$ ,^[103] and of the logistic function, respectively.^[104]

Konsep yang berkaitan

Berdasarkan sudut pandang teori grup, identitas $log(cd) = log(c) + log(d)$ menyatakan isomorfisme grup antara bilangan real positif terhadap perkalian bilangan real positif terhadap penambahan. Fungsi logaritmik hanya isomorfisme kontinu antara grup.^[105] Berdasarkan pengertian isomorfisme tersebut, ukuran Haar (ukuran Lebesgue) $dx$ pada real berpadanan dengan ukuran Haar $dx x$ pada bilangan real positif.^[106] Bilangan real taknegatif tidak hanya terhadap operasi perkalian, namun juga terhadap operasi penambahan, dan bilangan real taknegatif membentuk semigelanggang, yang disebut sebagai semigelanggang probabilitas; this is in fact a semifield. The logarithm then takes multiplication to addition (log multiplication), and takes addition to log addition (LogSumExp), giving an isomorphism of semirings between the probability semiring and the log semiring.

Logarithmic one-forms $df / f$ appear in complex analysis and algebraic geometry as differential forms with logarithmic poles.^[107]

The polylogarithm is the function defined by

\operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}}.

It is related to the natural logarithm by $Li 1 (z) = -ln(1 - z)$ . Moreover, $Li s (1)$ equals the Riemann zeta function $ζ(s)$ .^[108]

Lihat pula

Catatan

^ Perbatasan $x$ dan $b$ dijelaskan pada bagian "Sifat analitik".
^ Beberapa para matematikawan yang menolak notasi ini. Pada otobiografinya tahun 1985, Paul Halmos mengkritik apa yang ia anggap "notasi ln sebagai kekanak-kanakan", yang menurutnya bahkan tidak pernah digunakan oleh matematikawan.^[16] Notasi tersebut ditemukan oleh seorang matematikawan bernama Irving Stringham.^[17]^[18]
^ Contohnya seperti C, Java, Haskell, and BASIC.
^ Deret yang sama berlaku untuk nilai utama dari logaritma kompleks untuk bilangan kompleks $z$ yang memenuhi $| z - 1| < 1$ .
^ Deret yang sama berlaku untuk nilai utama dari logaritma kompleks untuk bilangan kompleks $z$ dengan bagian real positif.
^ Lihat radian untuk konversi antara 2 $π$ dengan 360 derajat.

Referensi

^ Hobson, Ernest William (1914), John Napier and the invention of logarithms, 1614; a lecture, University of California Libraries, Cambridge : University Press
^ Remmert, Reinhold. (1991), Theory of complex functions, New York: Springer-Verlag, ISBN 0387971955, OCLC 21118309
^ Kate, S.K.; Bhapkar, H.R. (2009), Basics Of Mathematics, Pune: Technical Publications, ISBN 978-81-8431-755-8 , chapter 1
^ Semua pernyataan di bagian ini dapat ditemukan pada Shailesh Shirali 2002, bagian 4. Sebagai contoh, (Douglas Downing 2003, hlm. 275), atau Kate & Bhapkar 2009, hlm. 1-1.
^ Bernstein, Stephen; Bernstein, Ruth (1999), Schaum's outline of theory and problems of elements of statistics. I, Descriptive statistics and probability, Schaum's outline series, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-005023-5 , hlm. 21
^ Downing, Douglas (2003), Algebra the Easy Way, Barron's Educational Series, Hauppauge, NY: Barron's, ISBN 978-0-7641-1972-9 , chapter 17, hlm. 275
^ Wegener, Ingo (2005), Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-21045-0 , p. 20
^ Van der Lubbe, Jan C. A. (1997), Information Theory, Cambridge University Press, hlm. 3, ISBN 978-0-521-46760-5
^ Allen, Elizabeth; Triantaphillidou, Sophie (2011), The Manual of Photography, Taylor & Francis, hlm. 228, ISBN 978-0-240-52037-7
^ Franz Embacher; Petra Oberhuemer, Mathematisches Lexikon (dalam bahasa Jerman), mathe online: für Schule, Fachhochschule, Universität unde Selbststudium, diakses tanggal 22 March 2011
^ Quantities and units – Part 2: Mathematics (ISO 80000-2:2019); EN ISO 80000-2
^ Goodrich, Michael T.; Tamassia, Roberto (2002), Algorithm Design: Foundations, Analysis, and Internet Examples, John Wiley & Sons, hlm. 23, One of the interesting and sometimes even surprising aspects of the analysis of data structures and algorithms is the ubiquitous presence of logarithms ... As is the custom in the computing literature, we omit writing the base $b$ of the logarithm when $b = 2$ .
^ Parkhurst, David F. (2007), Introduction to Applied Mathematics for Environmental Science (edisi ke-illustrated), Springer Science & Business Media, hlm. 288, ISBN 978-0-387-34228-3
^ Gullberg, Jan (1997), Mathematics: from the birth of numbers., New York: W. W. Norton & Co, ISBN 978-0-393-04002-9
^ See footnote 1 in Perl, Yehoshua; Reingold, Edward M. (December 1977), "Understanding the complexity of interpolation search", Information Processing Letters, 6 (6): 219–22, doi:10.1016/0020-0190(77)90072-2
^ Paul Halmos (1985), I Want to Be a Mathematician: An Automathography, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96078-4
^ Irving Stringham (1893), Uniplanar algebra: being part I of a propædeutic to the higher mathematical analysis, The Berkeley Press, hlm. xiii
^ Roy S. Freedman (2006), Introduction to Financial Technology, Amsterdam: Academic Press, hlm. 59, ISBN 978-0-12-370478-8
^ See Theorem 3.29 in Rudin, Walter (1984), Principles of mathematical analysis (edisi ke-3rd ed., International student), Auckland: McGraw-Hill International, ISBN 978-0-07-085613-4
^ Napier, John (1614), Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio [The Description of the Wonderful Rule of Logarithms] (dalam bahasa Latin), Edinburgh, Scotland: Andrew Hart
^ Hobson, Ernest William (1914), John Napier and the invention of logarithms, 1614, Cambridge: The University Press
^ Folkerts, Menso; Launert, Dieter; Thom, Andreas (2016), "Jost Bürgi's method for calculating sines", Historia Mathematica, 43 (2): 133–147, arXiv:1510.03180 , doi:10.1016/j.hm.2016.03.001, MR 3489006
^ Templat:Mactutor
^ William Gardner (1742) Tables of Logarithms
^ Pierce, R. C. Jr. (January 1977), "A brief history of logarithms", The Two-Year College Mathematics Journal, 8 (1): 22–26, doi:10.2307/3026878, JSTOR 3026878
^ Enrique Gonzales-Velasco (2011) Journey through Mathematics – Creative Episodes in its History, §2.4 Hyperbolic logarithms, p. 117, Springer ISBN 978-0-387-92153-2
^ Florian Cajori (1913) "History of the exponential and logarithm concepts", American Mathematical Monthly 20: 5, 35, 75, 107, 148, 173, 205.
^ Stillwell, J. (2010), Mathematics and Its History (edisi ke-3), Springer
^ Bryant, Walter W. (1907), A History of Astronomy, London: Methuen & Co , hlm. 44
^ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., ed. (1972), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (edisi ke-10th), New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61272-0 , bagian 4.7., hlm. 89
^ Campbell-Kelly, Martin (2003), The history of mathematical tables: from Sumer to spreadsheets, Oxford scholarship online, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850841-0 , bagian 2
^ Spiegel, Murray R.; Moyer, R.E. (2006), Schaum's outline of college algebra, Schaum's outline series, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-145227-4 , hlm. 264
^ Maor, Eli (2009), E: The Story of a Number, Princeton University Press, sections 1, 13, ISBN 978-0-691-14134-3
^ Devlin, Keith (2004), Sets, functions, and logic: an introduction to abstract mathematics, Chapman & Hall/CRC mathematics (edisi ke-3rd), Boca Raton, Fla: Chapman & Hall/CRC, ISBN 978-1-58488-449-1 , atau lihat referensinya di fungsi.
^ ^a ^b Lang, Serge (1997), Undergraduate analysis, Undergraduate Texts in Mathematics (edisi ke-2nd), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4757-2698-5, ISBN 978-0-387-94841-6, MR 1476913 , bagian III.3
^ ^a ^b Lang 1997, section IV.2
^ Dieudonné, Jean (1969), Foundations of Modern Analysis, 1, Academic Press, hlm. 84 item (4.3.1)
^ "Calculation of d/dx(Log(b,x))", Wolfram Alpha, Wolfram Research, diakses tanggal 15 March 2011
^ Kline, Morris (1998), Calculus: an intuitive and physical approach, Dover books on mathematics, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-40453-0 , p. 386
^ "Calculation of Integrate(ln(x))", Wolfram Alpha, Wolfram Research, diakses tanggal 15 Maret 2011
^ Abramowitz & Stegun, eds. 1972, hlm. 69
^ Courant, Richard (1988), Differential and integral calculus. Vol. I, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-60842-4, MR 1009558 , bagian III.6
^ Havil, Julian (2003), Gamma: Exploring Euler's Constant, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-09983-5 , sections 11.5 and 13.8
^ Nomizu, Katsumi (1996), Selected papers on number theory and algebraic geometry, 172, Providence, RI: AMS Bookstore, hlm. 21, ISBN 978-0-8218-0445-2
^ Baker, Alan (1975), Transcendental number theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-20461-3 , p. 10
^ Muller, Jean-Michel (2006), Elementary functions (edisi ke-2nd), Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4372-0 , sections 4.2.2 (p. 72) and 5.5.2 (p. 95)
^ Hart; Cheney; Lawson; et al. (1968), Computer Approximations, SIAM Series in Applied Mathematics, New York: John Wiley , section 6.3, pp. 105–11
^ Zhang, M.; Delgado-Frias, J.G.; Vassiliadis, S. (1994), "Table driven Newton scheme for high precision logarithm generation", IEE Proceedings - Computers and Digital Techniques, 141 (5): 281–92, doi:10.1049/ip-cdt:19941268, ISSN 1350-2387 , section 1 for an overview
^ Meggitt, J.E. (April 1962), "Pseudo Division and Pseudo Multiplication Processes", IBM Journal of Research and Development, 6 (2): 210–26, doi:10.1147/rd.62.0210
^ Kahan, W. (20 May 2001), Pseudo-Division Algorithms for Floating-Point Logarithms and Exponentials
^ ^a ^b Abramowitz & Stegun, eds. 1972, hlm. 68
^ Sasaki, T.; Kanada, Y. (1982), "Practically fast multiple-precision evaluation of log(x)", Journal of Information Processing, 5 (4): 247–50, diakses tanggal 30 March 2011
^ Ahrendt, Timm (1999), "Fast Computations of the Exponential Function", Stacs 99, Lecture notes in computer science, 1564, Berlin, New York: Springer, hlm. 302–12, doi:10.1007/3-540-49116-3_28, ISBN 978-3-540-65691-3
^ Hillis, Danny (15 January 1989), "Richard Feynman and The Connection Machine", Physics Today, 42 (2): 78, Bibcode:1989PhT....42b..78H, doi:10.1063/1.881196
^ Maor 2009, p. 135
^ Frey, Bruce (2006), Statistics hacks, Hacks Series, Sebastopol, CA: O'Reilly, ISBN 978-0-596-10164-0 , chapter 6, section 64
^ Ricciardi, Luigi M. (1990), Lectures in applied mathematics and informatics, Manchester: Manchester University Press, ISBN 978-0-7190-2671-3 , p. 21, section 1.3.2
^ Bakshi, U.A. (2009), Telecommunication Engineering, Pune: Technical Publications, ISBN 978-81-8431-725-1 , section 5.2
^ Maling, George C. (2007), "Noise", dalam Rossing, Thomas D., Springer handbook of acoustics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-30446-5 , section 23.0.2
^ Tashev, Ivan Jelev (2009), Sound Capture and Processing: Practical Approaches, New York: John Wiley & Sons, hlm. 98, ISBN 978-0-470-31983-3
^ Chui, C.K. (1997), Wavelets: a mathematical tool for signal processing, SIAM monographs on mathematical modeling and computation, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-384-8
^ Crauder, Bruce; Evans, Benny; Noell, Alan (2008), Functions and Change: A Modeling Approach to College Algebra (edisi ke-4th), Boston: Cengage Learning, ISBN 978-0-547-15669-9 , section 4.4.
^ Bradt, Hale (2004), Astronomy methods: a physical approach to astronomical observations, Cambridge Planetary Science, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-53551-9 , section 8.3, p. 231
^ Nørby, Jens (2000). "The origin and the meaning of the little p in pH". Trends in Biochemical Sciences. 25 (1): 36–37. doi:10.1016/S0968-0004(99)01517-0. PMID 10637613.
^ IUPAC (1997), A. D. McNaught, A. Wilkinson, ed., Compendium of Chemical Terminology ("Gold Book") (edisi ke-2nd), Oxford: Blackwell Scientific Publications, doi:10.1351/goldbook , ISBN 978-0-9678550-9-7
^ Bird, J.O. (2001), Newnes engineering mathematics pocket book (edisi ke-3rd), Oxford: Newnes, ISBN 978-0-7506-4992-6 , section 34
^ Goldstein, E. Bruce (2009), Encyclopedia of Perception, Encyclopedia of Perception, Thousand Oaks, CA: Sage, ISBN 978-1-4129-4081-8 , pp. 355–56
^ Matthews, Gerald (2000), Human Performance: Cognition, Stress, and Individual Differences, Hove: Psychology Press, ISBN 978-0-415-04406-6 , p. 48
^ Welford, A.T. (1968), Fundamentals of skill, London: Methuen, ISBN 978-0-416-03000-6, OCLC 219156 , p. 61
^ Paul M. Fitts (June 1954), "The information capacity of the human motor system in controlling the amplitude of movement", Journal of Experimental Psychology, 47 (6): 381–91, doi:10.1037/h0055392, PMID 13174710 , reprinted in Paul M. Fitts (1992), "The information capacity of the human motor system in controlling the amplitude of movement" (PDF), Journal of Experimental Psychology: General, 121 (3): 262–69, doi:10.1037/0096-3445.121.3.262, PMID 1402698, diakses tanggal 30 March 2011
^ Banerjee, J.C. (1994), Encyclopaedic dictionary of psychological terms, New Delhi: M.D. Publications, hlm. 304, ISBN 978-81-85880-28-0, OCLC 33860167
^ Nadel, Lynn (2005), Encyclopedia of cognitive science, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-470-01619-0 , lemmas Psychophysics and Perception: Overview
^ Siegler, Robert S.; Opfer, John E. (2003), "The Development of Numerical Estimation. Evidence for Multiple Representations of Numerical Quantity" (PDF), Psychological Science, 14 (3): 237–43, CiteSeerX 10.1.1.727.3696 , doi:10.1111/1467-9280.02438, PMID 12741747, diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 17 May 2011, diakses tanggal 7 January 2011
^ Dehaene, Stanislas; Izard, Véronique; Spelke, Elizabeth; Pica, Pierre (2008), "Log or Linear? Distinct Intuitions of the Number Scale in Western and Amazonian Indigene Cultures", Science, 320 (5880): 1217–20, Bibcode:2008Sci...320.1217D, CiteSeerX 10.1.1.362.2390 , doi:10.1126/science.1156540, PMC 2610411 , PMID 18511690
^ Breiman, Leo (1992), Probability, Classics in applied mathematics, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-296-4 , section 12.9
^ Aitchison, J.; Brown, J.A.C. (1969), The lognormal distribution, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-04011-2, OCLC 301100935
^ Jean Mathieu and Julian Scott (2000), An introduction to turbulent flow, Cambridge University Press, hlm. 50, ISBN 978-0-521-77538-0
^ Rose, Colin; Smith, Murray D. (2002), Mathematical statistics with Mathematica, Springer texts in statistics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95234-5 , section 11.3
^ Tabachnikov, Serge (2005), Geometry and Billiards, Providence, RI: American Mathematical Society, hlm. 36–40, ISBN 978-0-8218-3919-5 , section 2.1
^ Durtschi, Cindy; Hillison, William; Pacini, Carl (2004), "The Effective Use of Benford's Law in Detecting Fraud in Accounting Data" (PDF), Journal of Forensic Accounting, V: 17–34, diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 29 August 2017, diakses tanggal 28 May 2018
^ Wegener, Ingo (2005), Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-21045-0 , pp. 1–2
^ Harel, David; Feldman, Yishai A. (2004), Algorithmics: the spirit of computing, New York: Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-11784-7 , p. 143
^ Knuth, Donald (1998), The Art of Computer Programming, Reading, MA: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-89685-5 , section 6.2.1, pp. 409–26
^ Donald Knuth 1998, section 5.2.4, pp. 158–68
^ Wegener, Ingo (2005), Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms, Berlin, New York: Springer-Verlag, hlm. 20, ISBN 978-3-540-21045-0
^ Mohr, Hans; Schopfer, Peter (1995), Plant physiology, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-58016-4 , chapter 19, p. 298
^ Eco, Umberto (1989), The open work, Harvard University Press, ISBN 978-0-674-63976-8 , section III.I
^ Sprott, Julien Clinton (2010), "Elegant Chaos: Algebraically Simple Chaotic Flows", Elegant Chaos: Algebraically Simple Chaotic Flows. Edited by Sprott Julien Clinton. Published by World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd, New Jersey: World Scientific, Bibcode:2010ecas.book.....S, doi:10.1142/7183, ISBN 978-981-283-881-0 , section 1.9
^ Helmberg, Gilbert (2007), Getting acquainted with fractals, De Gruyter Textbook, Berlin, New York: Walter de Gruyter, ISBN 978-3-11-019092-2
^ Wright, David (2009), Mathematics and music, Providence, RI: AMS Bookstore, ISBN 978-0-8218-4873-9 , chapter 5
^ Bateman, P.T.; Diamond, Harold G. (2004), Analytic number theory: an introductory course, New Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-256-080-3, OCLC 492669517 , theorem 4.1
^ P. T. Bateman & Diamond 2004, Theorem 8.15
^ Slomson, Alan B. (1991), An introduction to combinatorics, London: CRC Press, ISBN 978-0-412-35370-3 , chapter 4
^ Ganguly, S. (2005), Elements of Complex Analysis, Kolkata: Academic Publishers, ISBN 978-81-87504-86-3 , Definition 1.6.3
^ Nevanlinna, Rolf Herman; Paatero, Veikko (2007), "Introduction to complex analysis", London: Hilger, Providence, RI: AMS Bookstore, Bibcode:1974aitc.book.....W, ISBN 978-0-8218-4399-4 , section 5.9
^ Moore, Theral Orvis; Hadlock, Edwin H. (1991), Complex analysis, Singapore: World Scientific, ISBN 978-981-02-0246-0 , section 1.2
^ Wilde, Ivan Francis (2006), Lecture notes on complex analysis, London: Imperial College Press, ISBN 978-1-86094-642-4 , theorem 6.1.
^ Higham, Nicholas (2008), Functions of Matrices. Theory and Computation, Philadelphia, PA: SIAM, ISBN 978-0-89871-646-7 , chapter 11.
^ Neukirch, Jürgen (1999), Algebraische Zahlentheorie, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 322, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65399-8, MR 1697859, Zbl 0956.11021 , section II.5.
^ Hancock, Edwin R.; Martin, Ralph R.; Sabin, Malcolm A. (2009), Mathematics of Surfaces XIII: 13th IMA International Conference York, UK, September 7–9, 2009 Proceedings, Springer, hlm. 379, ISBN 978-3-642-03595-1
^ Stinson, Douglas Robert (2006), Cryptography: Theory and Practice (edisi ke-3rd), London: CRC Press, ISBN 978-1-58488-508-5
^ Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997), Finite fields, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-39231-0
^ Corless, R.; Gonnet, G.; Hare, D.; Jeffrey, D.; Knuth, Donald (1996), "On the Lambert W function" (PDF), Advances in Computational Mathematics, 5: 329–59, doi:10.1007/BF02124750, ISSN 1019-7168, diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 14 December 2010, diakses tanggal 13 February 2011
^ Cherkassky, Vladimir; Cherkassky, Vladimir S.; Mulier, Filip (2007), Learning from data: concepts, theory, and methods, Wiley series on adaptive and learning systems for signal processing, communications, and control, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-68182-3 , p. 357
^ Bourbaki, Nicolas (1998), General topology. Chapters 5–10, Elements of Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-64563-4, MR 1726872 , section V.4.1
^ Ambartzumian, R.V. (1990), Factorization calculus and geometric probability, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-34535-4 , section 1.4
^ Esnault, Hélène; Viehweg, Eckart (1992), Lectures on vanishing theorems, DMV Seminar, 20, Basel, Boston: Birkhäuser Verlag, CiteSeerX 10.1.1.178.3227 , doi:10.1007/978-3-0348-8600-0, ISBN 978-3-7643-2822-1, MR 1193913 , section 2
^ Apostol, T.M. (2010), "Dedhert.Jr/Uji halaman 01/16", dalam Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248

Pranala luar

Media tentang Dedhert.Jr/Uji halaman 01/16 di Wikimedia Commons
Definisi kamus dedhert.jr/uji halaman 01/16 di Wikikamus
A lesson on logarithms can be found on Wikiversity
(Inggris) Weisstein, Eric W., "Logarithm", MathWorld

Khan Academy: Logarithms, free online micro lectures
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Logarithmic function", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Colin Byfleet, Educational video on logarithms, diakses tanggal 12 October 2010
Edward Wright, Translation of Napier's work on logarithms, diarsipkan dari versi asli tanggal 3 December 2002, diakses tanggal 12 October 2010
Glaisher, James Whitbread Lee (1911), "Logarithm", dalam Chisholm, Hugh, Encyclopædia Britannica, 16 (edisi ke-11), Cambridge University Press, hlm. 868–77

[3] Perbatasan $x$ dan $b$ dijelaskan pada bagian "Sifat analitik".

[adaa-20] Beberapa para matematikawan yang menolak notasi ini. Pada otobiografinya tahun 1985, Paul Halmos mengkritik apa yang ia anggap "notasi ln sebagai kekanak-kanakan", yang menurutnya bahkan tidak pernah digunakan oleh matematikawan.^[16] Notasi tersebut ditemukan oleh seorang matematikawan bernama Irving Stringham.^[17]^[18]

[22] Contohnya seperti C, Java, Haskell, and BASIC.

[54] Deret yang sama berlaku untuk nilai utama dari logaritma kompleks untuk bilangan kompleks $z$ yang memenuhi $| z - 1| < 1$ .

[56] Deret yang sama berlaku untuk nilai utama dari logaritma kompleks untuk bilangan kompleks $z$ dengan bagian real positif.

[99] Lihat radian untuk konversi antara 2 $π$ dengan 360 derajat.

[1] Hobson, Ernest William (1914), John Napier and the invention of logarithms, 1614; a lecture, University of California Libraries, Cambridge : University Press

[2] Remmert, Reinhold. (1991), Theory of complex functions, New York: Springer-Verlag, ISBN 0387971955, OCLC 21118309

[4] Kate, S.K.; Bhapkar, H.R. (2009), Basics Of Mathematics, Pune: Technical Publications, ISBN 978-81-8431-755-8 , chapter 1

[5] Semua pernyataan di bagian ini dapat ditemukan pada Shailesh Shirali 2002, bagian 4. Sebagai contoh, (Douglas Downing 2003, hlm. 275), atau Kate & Bhapkar 2009, hlm. 1-1.

[6] Bernstein, Stephen; Bernstein, Ruth (1999), Schaum's outline of theory and problems of elements of statistics. I, Descriptive statistics and probability, Schaum's outline series, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-005023-5 , hlm. 21

[7] Downing, Douglas (2003), Algebra the Easy Way, Barron's Educational Series, Hauppauge, NY: Barron's, ISBN 978-0-7641-1972-9 , chapter 17, hlm. 275

[8] Wegener, Ingo (2005), Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-21045-0 , p. 20

[9] Van der Lubbe, Jan C. A. (1997), Information Theory, Cambridge University Press, hlm. 3, ISBN 978-0-521-46760-5

[10] Allen, Elizabeth; Triantaphillidou, Sophie (2011), The Manual of Photography, Taylor & Francis, hlm. 228, ISBN 978-0-240-52037-7

[11] Franz Embacher; Petra Oberhuemer, Mathematisches Lexikon (dalam bahasa Jerman), mathe online: für Schule, Fachhochschule, Universität unde Selbststudium, diakses tanggal 22 March 2011

[12] Quantities and units – Part 2: Mathematics (ISO 80000-2:2019); EN ISO 80000-2

[13] Goodrich, Michael T.; Tamassia, Roberto (2002), Algorithm Design: Foundations, Analysis, and Internet Examples, John Wiley & Sons, hlm. 23, One of the interesting and sometimes even surprising aspects of the analysis of data structures and algorithms is the ubiquitous presence of logarithms ... As is the custom in the computing literature, we omit writing the base $b$ of the logarithm when $b = 2$ .

[14] Parkhurst, David F. (2007), Introduction to Applied Mathematics for Environmental Science (edisi ke-illustrated), Springer Science & Business Media, hlm. 288, ISBN 978-0-387-34228-3

[gullberg-15] Gullberg, Jan (1997), Mathematics: from the birth of numbers., New York: W. W. Norton & Co, ISBN 978-0-393-04002-9

[16] See footnote 1 in Perl, Yehoshua; Reingold, Edward M. (December 1977), "Understanding the complexity of interpolation search", Information Processing Letters, 6 (6): 219–22, doi:10.1016/0020-0190(77)90072-2

[17] Paul Halmos (1985), I Want to Be a Mathematician: An Automathography, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96078-4

[18] Irving Stringham (1893), Uniplanar algebra: being part I of a propædeutic to the higher mathematical analysis, The Berkeley Press, hlm. xiii

[19] Roy S. Freedman (2006), Introduction to Financial Technology, Amsterdam: Academic Press, hlm. 59, ISBN 978-0-12-370478-8

[21] See Theorem 3.29 in Rudin, Walter (1984), Principles of mathematical analysis (edisi ke-3rd ed., International student), Auckland: McGraw-Hill International, ISBN 978-0-07-085613-4

[23] Napier, John (1614), Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio [The Description of the Wonderful Rule of Logarithms] (dalam bahasa Latin), Edinburgh, Scotland: Andrew Hart

[24] Hobson, Ernest William (1914), John Napier and the invention of logarithms, 1614, Cambridge: The University Press

[folkerts-25] Folkerts, Menso; Launert, Dieter; Thom, Andreas (2016), "Jost Bürgi's method for calculating sines", Historia Mathematica, 43 (2): 133–147, arXiv:1510.03180 , doi:10.1016/j.hm.2016.03.001, MR 3489006

[26] Templat:Mactutor

[27] William Gardner (1742) Tables of Logarithms

[28] Pierce, R. C. Jr. (January 1977), "A brief history of logarithms", The Two-Year College Mathematics Journal, 8 (1): 22–26, doi:10.2307/3026878, JSTOR 3026878

[29] Enrique Gonzales-Velasco (2011) Journey through Mathematics – Creative Episodes in its History, §2.4 Hyperbolic logarithms, p. 117, Springer ISBN 978-0-387-92153-2

[30] Florian Cajori (1913) "History of the exponential and logarithm concepts", American Mathematical Monthly 20: 5, 35, 75, 107, 148, 173, 205.

[31] Stillwell, J. (2010), Mathematics and Its History (edisi ke-3), Springer

[32] Bryant, Walter W. (1907), A History of Astronomy, London: Methuen & Co , hlm. 44

[33] Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., ed. (1972), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (edisi ke-10th), New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61272-0 , bagian 4.7., hlm. 89

[34] Campbell-Kelly, Martin (2003), The history of mathematical tables: from Sumer to spreadsheets, Oxford scholarship online, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850841-0 , bagian 2

[35] Spiegel, Murray R.; Moyer, R.E. (2006), Schaum's outline of college algebra, Schaum's outline series, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-145227-4 , hlm. 264

[ReferenceA2-36] Maor, Eli (2009), E: The Story of a Number, Princeton University Press, sections 1, 13, ISBN 978-0-691-14134-3

[37] Devlin, Keith (2004), Sets, functions, and logic: an introduction to abstract mathematics, Chapman & Hall/CRC mathematics (edisi ke-3rd), Boca Raton, Fla: Chapman & Hall/CRC, ISBN 978-1-58488-449-1 , atau lihat referensinya di fungsi.

[LangIII.3-38] Lang, Serge (1997), Undergraduate analysis, Undergraduate Texts in Mathematics (edisi ke-2nd), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4757-2698-5, ISBN 978-0-387-94841-6, MR 1476913 , bagian III.3

[LangIV.2-39] Lang 1997, section IV.2

[40] Dieudonné, Jean (1969), Foundations of Modern Analysis, 1, Academic Press, hlm. 84 item (4.3.1)

[41] "Calculation of d/dx(Log(b,x))", Wolfram Alpha, Wolfram Research, diakses tanggal 15 March 2011

[42] Kline, Morris (1998), Calculus: an intuitive and physical approach, Dover books on mathematics, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-40453-0 , p. 386

[43] "Calculation of Integrate(ln(x))", Wolfram Alpha, Wolfram Research, diakses tanggal 15 Maret 2011

[44] Abramowitz & Stegun, eds. 1972, hlm. 69

[45] Courant, Richard (1988), Differential and integral calculus. Vol. I, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-60842-4, MR 1009558 , bagian III.6

[46] Havil, Julian (2003), Gamma: Exploring Euler's Constant, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-09983-5 , sections 11.5 and 13.8

[47] Nomizu, Katsumi (1996), Selected papers on number theory and algebraic geometry, 172, Providence, RI: AMS Bookstore, hlm. 21, ISBN 978-0-8218-0445-2

[48] Baker, Alan (1975), Transcendental number theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-20461-3 , p. 10

[49] Muller, Jean-Michel (2006), Elementary functions (edisi ke-2nd), Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4372-0 , sections 4.2.2 (p. 72) and 5.5.2 (p. 95)

[50] Hart; Cheney; Lawson; et al. (1968), Computer Approximations, SIAM Series in Applied Mathematics, New York: John Wiley , section 6.3, pp. 105–11

[51] Zhang, M.; Delgado-Frias, J.G.; Vassiliadis, S. (1994), "Table driven Newton scheme for high precision logarithm generation", IEE Proceedings - Computers and Digital Techniques, 141 (5): 281–92, doi:10.1049/ip-cdt:19941268, ISSN 1350-2387 , section 1 for an overview

[52] Meggitt, J.E. (April 1962), "Pseudo Division and Pseudo Multiplication Processes", IBM Journal of Research and Development, 6 (2): 210–26, doi:10.1147/rd.62.0210

[53] Kahan, W. (20 May 2001), Pseudo-Division Algorithms for Floating-Point Logarithms and Exponentials

[AbramowitzStegunp.68-55] Abramowitz & Stegun, eds. 1972, hlm. 68

[57] Sasaki, T.; Kanada, Y. (1982), "Practically fast multiple-precision evaluation of log(x)", Journal of Information Processing, 5 (4): 247–50, diakses tanggal 30 March 2011

[58] Ahrendt, Timm (1999), "Fast Computations of the Exponential Function", Stacs 99, Lecture notes in computer science, 1564, Berlin, New York: Springer, hlm. 302–12, doi:10.1007/3-540-49116-3_28, ISBN 978-3-540-65691-3

[59] Hillis, Danny (15 January 1989), "Richard Feynman and The Connection Machine", Physics Today, 42 (2): 78, Bibcode:1989PhT....42b..78H, doi:10.1063/1.881196

[60] Maor 2009, p. 135

[61] Frey, Bruce (2006), Statistics hacks, Hacks Series, Sebastopol, CA: O'Reilly, ISBN 978-0-596-10164-0 , chapter 6, section 64

[62] Ricciardi, Luigi M. (1990), Lectures in applied mathematics and informatics, Manchester: Manchester University Press, ISBN 978-0-7190-2671-3 , p. 21, section 1.3.2

[63] Bakshi, U.A. (2009), Telecommunication Engineering, Pune: Technical Publications, ISBN 978-81-8431-725-1 , section 5.2

[64] Maling, George C. (2007), "Noise", dalam Rossing, Thomas D., Springer handbook of acoustics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-30446-5 , section 23.0.2

[65] Tashev, Ivan Jelev (2009), Sound Capture and Processing: Practical Approaches, New York: John Wiley & Sons, hlm. 98, ISBN 978-0-470-31983-3

[66] Chui, C.K. (1997), Wavelets: a mathematical tool for signal processing, SIAM monographs on mathematical modeling and computation, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-384-8

[67] Crauder, Bruce; Evans, Benny; Noell, Alan (2008), Functions and Change: A Modeling Approach to College Algebra (edisi ke-4th), Boston: Cengage Learning, ISBN 978-0-547-15669-9 , section 4.4.

[68] Bradt, Hale (2004), Astronomy methods: a physical approach to astronomical observations, Cambridge Planetary Science, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-53551-9 , section 8.3, p. 231

[Jens-69] Nørby, Jens (2000). "The origin and the meaning of the little p in pH". Trends in Biochemical Sciences. 25 (1): 36–37. doi:10.1016/S0968-0004(99)01517-0. PMID 10637613.

[70] IUPAC (1997), A. D. McNaught, A. Wilkinson, ed., Compendium of Chemical Terminology ("Gold Book") (edisi ke-2nd), Oxford: Blackwell Scientific Publications, doi:10.1351/goldbook , ISBN 978-0-9678550-9-7

[71] Bird, J.O. (2001), Newnes engineering mathematics pocket book (edisi ke-3rd), Oxford: Newnes, ISBN 978-0-7506-4992-6 , section 34

[72] Goldstein, E. Bruce (2009), Encyclopedia of Perception, Encyclopedia of Perception, Thousand Oaks, CA: Sage, ISBN 978-1-4129-4081-8 , pp. 355–56

[73] Matthews, Gerald (2000), Human Performance: Cognition, Stress, and Individual Differences, Hove: Psychology Press, ISBN 978-0-415-04406-6 , p. 48

[74] Welford, A.T. (1968), Fundamentals of skill, London: Methuen, ISBN 978-0-416-03000-6, OCLC 219156 , p. 61

[75] Paul M. Fitts (June 1954), "The information capacity of the human motor system in controlling the amplitude of movement", Journal of Experimental Psychology, 47 (6): 381–91, doi:10.1037/h0055392, PMID 13174710 , reprinted in Paul M. Fitts (1992), "The information capacity of the human motor system in controlling the amplitude of movement" (PDF), Journal of Experimental Psychology: General, 121 (3): 262–69, doi:10.1037/0096-3445.121.3.262, PMID 1402698, diakses tanggal 30 March 2011

[76] Banerjee, J.C. (1994), Encyclopaedic dictionary of psychological terms, New Delhi: M.D. Publications, hlm. 304, ISBN 978-81-85880-28-0, OCLC 33860167

[77] Nadel, Lynn (2005), Encyclopedia of cognitive science, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-470-01619-0 , lemmas Psychophysics and Perception: Overview

[78] Siegler, Robert S.; Opfer, John E. (2003), "The Development of Numerical Estimation. Evidence for Multiple Representations of Numerical Quantity" (PDF), Psychological Science, 14 (3): 237–43, CiteSeerX 10.1.1.727.3696 , doi:10.1111/1467-9280.02438, PMID 12741747, diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 17 May 2011, diakses tanggal 7 January 2011

[79] Dehaene, Stanislas; Izard, Véronique; Spelke, Elizabeth; Pica, Pierre (2008), "Log or Linear? Distinct Intuitions of the Number Scale in Western and Amazonian Indigene Cultures", Science, 320 (5880): 1217–20, Bibcode:2008Sci...320.1217D, CiteSeerX 10.1.1.362.2390 , doi:10.1126/science.1156540, PMC 2610411 , PMID 18511690

[80] Breiman, Leo (1992), Probability, Classics in applied mathematics, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-296-4 , section 12.9

[81] Aitchison, J.; Brown, J.A.C. (1969), The lognormal distribution, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-04011-2, OCLC 301100935

[82] Jean Mathieu and Julian Scott (2000), An introduction to turbulent flow, Cambridge University Press, hlm. 50, ISBN 978-0-521-77538-0

[83] Rose, Colin; Smith, Murray D. (2002), Mathematical statistics with Mathematica, Springer texts in statistics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95234-5 , section 11.3

[84] Tabachnikov, Serge (2005), Geometry and Billiards, Providence, RI: American Mathematical Society, hlm. 36–40, ISBN 978-0-8218-3919-5 , section 2.1

[85] Durtschi, Cindy; Hillison, William; Pacini, Carl (2004), "The Effective Use of Benford's Law in Detecting Fraud in Accounting Data" (PDF), Journal of Forensic Accounting, V: 17–34, diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 29 August 2017, diakses tanggal 28 May 2018

[Wegener-86] Wegener, Ingo (2005), Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-21045-0 , pp. 1–2

[87] Harel, David; Feldman, Yishai A. (2004), Algorithmics: the spirit of computing, New York: Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-11784-7 , p. 143

[88] Knuth, Donald (1998), The Art of Computer Programming, Reading, MA: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-89685-5 , section 6.2.1, pp. 409–26

[89] Donald Knuth 1998, section 5.2.4, pp. 158–68

[Wegener20-90] Wegener, Ingo (2005), Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms, Berlin, New York: Springer-Verlag, hlm. 20, ISBN 978-3-540-21045-0

[91] Mohr, Hans; Schopfer, Peter (1995), Plant physiology, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-58016-4 , chapter 19, p. 298

[92] Eco, Umberto (1989), The open work, Harvard University Press, ISBN 978-0-674-63976-8 , section III.I

[93] Sprott, Julien Clinton (2010), "Elegant Chaos: Algebraically Simple Chaotic Flows", Elegant Chaos: Algebraically Simple Chaotic Flows. Edited by Sprott Julien Clinton. Published by World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd, New Jersey: World Scientific, Bibcode:2010ecas.book.....S, doi:10.1142/7183, ISBN 978-981-283-881-0 , section 1.9

[94] Helmberg, Gilbert (2007), Getting acquainted with fractals, De Gruyter Textbook, Berlin, New York: Walter de Gruyter, ISBN 978-3-11-019092-2

[95] Wright, David (2009), Mathematics and music, Providence, RI: AMS Bookstore, ISBN 978-0-8218-4873-9 , chapter 5

[96] Bateman, P.T.; Diamond, Harold G. (2004), Analytic number theory: an introductory course, New Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-256-080-3, OCLC 492669517 , theorem 4.1

[97] P. T. Bateman & Diamond 2004, Theorem 8.15

[98] Slomson, Alan B. (1991), An introduction to combinatorics, London: CRC Press, ISBN 978-0-412-35370-3 , chapter 4

[100] Ganguly, S. (2005), Elements of Complex Analysis, Kolkata: Academic Publishers, ISBN 978-81-87504-86-3 , Definition 1.6.3

[101] Nevanlinna, Rolf Herman; Paatero, Veikko (2007), "Introduction to complex analysis", London: Hilger, Providence, RI: AMS Bookstore, Bibcode:1974aitc.book.....W, ISBN 978-0-8218-4399-4 , section 5.9

[102] Moore, Theral Orvis; Hadlock, Edwin H. (1991), Complex analysis, Singapore: World Scientific, ISBN 978-981-02-0246-0 , section 1.2

[103] Wilde, Ivan Francis (2006), Lecture notes on complex analysis, London: Imperial College Press, ISBN 978-1-86094-642-4 , theorem 6.1.

[104] Higham, Nicholas (2008), Functions of Matrices. Theory and Computation, Philadelphia, PA: SIAM, ISBN 978-0-89871-646-7 , chapter 11.

[105] Neukirch, Jürgen (1999), Algebraische Zahlentheorie, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 322, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65399-8, MR 1697859, Zbl 0956.11021 , section II.5.

[106] Hancock, Edwin R.; Martin, Ralph R.; Sabin, Malcolm A. (2009), Mathematics of Surfaces XIII: 13th IMA International Conference York, UK, September 7–9, 2009 Proceedings, Springer, hlm. 379, ISBN 978-3-642-03595-1

[107] Stinson, Douglas Robert (2006), Cryptography: Theory and Practice (edisi ke-3rd), London: CRC Press, ISBN 978-1-58488-508-5

[108] Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997), Finite fields, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-39231-0

[109] Corless, R.; Gonnet, G.; Hare, D.; Jeffrey, D.; Knuth, Donald (1996), "On the Lambert W function" (PDF), Advances in Computational Mathematics, 5: 329–59, doi:10.1007/BF02124750, ISSN 1019-7168, diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 14 December 2010, diakses tanggal 13 February 2011

[110] Cherkassky, Vladimir; Cherkassky, Vladimir S.; Mulier, Filip (2007), Learning from data: concepts, theory, and methods, Wiley series on adaptive and learning systems for signal processing, communications, and control, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-68182-3 , p. 357

[111] Bourbaki, Nicolas (1998), General topology. Chapters 5–10, Elements of Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-64563-4, MR 1726872 , section V.4.1

[112] Ambartzumian, R.V. (1990), Factorization calculus and geometric probability, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-34535-4 , section 1.4

[113] Esnault, Hélène; Viehweg, Eckart (1992), Lectures on vanishing theorems, DMV Seminar, 20, Basel, Boston: Birkhäuser Verlag, CiteSeerX 10.1.1.178.3227 , doi:10.1007/978-3-0348-8600-0, ISBN 978-3-7643-2822-1, MR 1193913 , section 2

[114] Apostol, T.M. (2010), "Dedhert.Jr/Uji halaman 01/16", dalam Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248

[1]

[2]

[nb 1]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[nb 2]

[19]

[nb 3]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[nb 4]

[51]

[nb 5]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[68]

[69]

[70]

[71]

[72]

[73]

[74]

[75]

[76]

[77]

[78]

[79]

[80]

[81]

[82]

[83]

[84]

[85]

[86]

[87]

[88]

[89]

[90]

[91]

[92]

[93]

[nb 6]

[94]

[95]

[96]

[97]

@@ Baris 31: / Baris 31: @@
 yang dapat mempermudah perhitungan nilai perkalian dan pembagian dengan penjumlahan, pengurangan, dan melihat [[tabel logaritma]]. Perhitungan ini ditemukan sebelum adanya penemuan komputer.
 == Definisi ==
 ''Logaritma'' suatu bilangan real positif {{mvar|x}} terhadap bilangan pokok {{mvar|b}}{{refn|Perbatasan {{mvar|x}} dan {{mvar|b}} dijelaskan pada bagian [[#Sifat analitik|"Sifat analitik"]].|group=nb}} merupakan eksponen dengan bilangan pokok {{mvar|b}} yang dipangkatkan suatu bilangan agar memperoleh nilai {{mvar|x}}. Dengan kata lain, logaritma bilangan pokok {{mvar|b}} dari {{mvar|x}} merupakan bilangan real {{mvar|y}} sehingga <math>b^y = x</math>.<ref>{{Citation|last1=Kate|first1=S.K.|last2=Bhapkar|first2=H.R.|title=Basics Of Mathematics|location=Pune|publisher=Technical Publications|isbn=978-81-8431-755-8|year=2009|url={{google books |plainurl=y |id=v4R0GSJtEQ4C|page=1}}}}, chapter 1</ref> Logaritma dilambangkan sebagai {{math|<sup>''b''</sup>log&thinsp;''x''}} (dibaca "logaritma {{mvar|x}} dengan bilangan pokok {{mvar|b}}"). Adapun definisi yang setara dan lebih ringkasnya mengatakan bahwa fungsi {{math|<sup>''b''</sup>log}} [[Fungsi invers|invers]] dengan fungsi <math>x\mapsto b^x</math>.
@@ Baris 65: / Baris 63: @@
 |<math display="inline">^{10}\!\log \sqrt{1000} = \, \frac{1}{2}\cdot \, ^{10}\!\log 1000 = \frac{3}{2} = 1.5</math>
 |}
 === Mengubah bilangan pokok ===<!-- This section is linked from [[Mathematica]] -->
 Logaritma {{math|<sup>''b''</sup>log&thinsp;''x''}} dapat dihitung sebagai hasil bagi logaritma {{mvar|x}} dengan logaritma {{mvar|b}} terhadap bilangan pokok sembarang {{Mvar|k}}. Secara matematis dirumuskan sebagai:
 : <math> ^b\!\log x = \frac{^k\!\log x}{^k\!\log b}.\, </math>
-{{Collapse top|title=Bukti perubahan antara logaritma dengan bilangan pokok sembarang|width=80%}}
+{{Collapse top|title=Bukti konversi antara logaritma suatu bilangan pokok sembarang|width=80%}}
 Pada identitas
@@ Baris 82: / Baris 78: @@
 Mencari solusi untuk <math>^b\!\log x</math> menghasilkan persamaan:
-: <math> ^b\!\log x =  \frac{^k\!\log x}{^k\!\log b}</math>,
+: <math> ^b\!\log x =  \frac{^k\!\log x}{^k\!\log b}</math>.
-{{Collapse bottom}}
+Hal ini memperlihatkan faktor konversi dari nilai <math> ^k\!\log </math> ke nilai <math> ^b\!\log </math> yang berpadanan dengannya agar memperoleh bentuk <math> \tfrac{1}{^k\!\log b}</math> {{Collapse bottom}}
 Adapun [[kalkulator ilmiah]] yang menghitung logaritma dengan bilangan pokok 10 dan {{mvar|[[e (konstanta matematika)|e]]}}.<ref>{{Citation|last1=Bernstein|first1=Stephen|last2=Bernstein|first2=Ruth|title=Schaum's outline of theory and problems of elements of statistics. I, Descriptive statistics and probability|publisher=[[McGraw-Hill]]|location=New York|series=Schaum's outline series|isbn=978-0-07-005023-5|year=1999|url=https://archive.org/details/schaumsoutlineof00bern}}, hlm.&nbsp;21</ref> Logaritma terhadap setiap bilangan pokok {{mvar|b}} dapat ditentukan menggunakan menggunakan kedua logaritma tersebut melalui rumus sebelumnya:
@@ Baris 241: / Baris 238: @@
 Artinya, [[kemiringan]] dari [[garis singgung]] yang menyinggung grafik logaritma dengan bilangan pokok {{math|''b''}} di titik {{math|(''x'', <sup>''b''</sup>log&thinsp;(''x''))}} sama dengan {{math|{{sfrac|1=1|2=''x'' ln(''b'')}}}}.
-Turunan dari {{Math|ln(''x'')}} adalah {{Math|1/''x''}}, yang berarti ini menyiratkan bahwa {{Math|ln(''x'')}} merupakan [[integral]] tunggal dari {{math|{{sfrac|1=1|2=''x''}}}} yang mempunyai nilai 0 untuk {{math|1=''x'' = 1}}. Hal ini merupakan rumus paling sederhana yang mendorong sifat "alami" pada logaritma alami, dan hal ini juga merupakan salah satu alasan pentingnya konstanta [[E (konstanta matematika)|{{Mvar|e}}]].
+Turunan dari {{Math|ln(''x'')}} adalah {{Math|{{sfrac|1=1|2=''x''}}}}, yang berarti ini menyiratkan bahwa {{Math|ln(''x'')}} merupakan [[integral]] tunggal dari {{math|{{sfrac|1=1|2=''x''}}}} yang mempunyai nilai 0 untuk {{math|1=''x'' = 1}}. Hal ini merupakan rumus paling sederhana yang mendorong sifat "alami" pada logaritma alami, dan hal ini juga merupakan salah satu alasan pentingnya konstanta [[E (konstanta matematika)|{{Mvar|e}}]].
 Turunan dengan argumen fungsional rampat {{math|''f''(''x'')}} dirumuskan sebagai
@@ Baris 254: / Baris 251: @@
 === Representasi integral mengenai fungsi logaritma ===
-[[Berkas:Natural_logarithm_integral.svg|al=A hyperbola with part of the area underneath shaded in grey.|ka|jmpl|The [[natural logarithm]] of ''{{Mvar|t}}'' is the shaded area underneath the graph of the function {{math|1=''f''(''x'') = 1/''x''}} (reciprocal of {{mvar|x}}).]]
+[[Berkas:Natural_logarithm_integral.svg|al=A hyperbola with part of the area underneath shaded in grey.|ka|jmpl|[[Logaritma alami|Logaritma natural]] dari ''{{Mvar|t}}'' merupakan luas yang diwarnai di bawah grafik fungsi {{math|1=''f''(''x'') = {{sfrac|1=1|2=''x''}}}}.]]
 [[Logaritma alami]] dari {{Mvar|t}} dapat didefinisikan sebagai [[integral tentu]]:
 : <math>\ln t = \int_1^t \frac{1}{x} \, dx.</math>
-Definisi ini menguntungkan karena tidak bergantung pada fungsi eksponensial atau fungsi trigonometri apapun; definisi ini berupa dalam bentuk sebuah integral dari fungsi timbal balik sederhana. Penjelasan dalam integral, {{math|ln(''t'')}} sama dengan luas antara sumbu-{{mvar|x}} dan grafik fungsi {{math|1/''x''}}, yang berkisar dari {{math|1=''x'' = 1}} ke {{math|1=''x'' = ''t''}}. Penjelasan ini juga merupakan akibat dari [[teorema dasar kalkulus]], dan bahkan turunan dari {{math|ln(''x'')}} sama dengan {{math|1/''x''}}. Rumus logaritma hasil kali dan pangkat dapat diturunkan melalui definisi ini.<ref>{{Citation|last1=Courant|first1=Richard|title=Differential and integral calculus. Vol. I|publisher=[[John Wiley & Sons]]|location=New York|series=Wiley Classics Library|isbn=978-0-471-60842-4|mr=1009558|year=1988}}, bagian III.6</ref> Sebagai contoh, rumus hasil kali {{math|1=ln(''tu'') = ln(''t'') + ln(''u'')}} dapat disimpulkan sebagai:
+Definisi ini menguntungkan karena tidak bergantung pada fungsi eksponensial atau fungsi trigonometri apapun; definisi ini berupa dalam bentuk sebuah integral dari fungsi timbal balik sederhana. Penjelasan dalam integral, {{math|ln(''t'')}} sama dengan luas antara sumbu-{{mvar|x}} dan grafik fungsi {{math|{{sfrac|1=1|2=''x''}}}}, yang berkisar dari {{math|1=''x'' = 1}} ke {{math|1=''x'' = ''t''}}. Penjelasan ini juga merupakan akibat dari [[teorema dasar kalkulus]], dan bahkan turunan dari {{math|ln(''x'')}} sama dengan {{math|{{sfrac|1=1|2=''x''}}}}. Rumus logaritma hasil kali dan pangkat dapat diturunkan melalui definisi ini.<ref>{{Citation|last1=Courant|first1=Richard|title=Differential and integral calculus. Vol. I|publisher=[[John Wiley & Sons]]|location=New York|series=Wiley Classics Library|isbn=978-0-471-60842-4|mr=1009558|year=1988}}, bagian III.6</ref> Sebagai contoh, rumus hasil kali {{math|1=ln(''tu'') = ln(''t'') + ln(''u'')}} dapat disimpulkan sebagai:
 : <math> \ln(tu) = \int_1^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(1)} = \int_1^{t} \frac{1}{x} \, dx + \int_t^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(2)} = \ln(t) + \int_1^u \frac{1}{w} \, dw = \ln(t) + \ln(u).</math>
-Persamaan (1) membagi integral menjadi dua bagian, sementara (2) mengubah variabel {{Math|''w''}} menjadi {{Math|{{sfrac|1=''x''|2=''t''}}}}. Pada ilustrasi dibawah, pembagian integral tersebut dapat disamakan dengan pembagian luasnya menjadi bagian berwarna kuning dan biru. Dengan mengukur luas berwarna biru kembali secara vertikal melalui faktor {{Mvar|t}} dan menyusutnya melalui faktor yang sama secara horizontal tidak mengubah ukuran luasnya. Dengan memindahkan daerah biru ke daerah kuning, luasnya menyesuaikan grafik fungsi {{math|1=''f''(''x'') = {{sfrac|1=1|2=''x''}}}} again. Oleh karena itu, luas biru di sebelah kiri, yang merupakan integral dari fungsi {{math|''f''(''x'')}} dengan interval dari {{Mvar|t}} hingga {{Mvar|tu}} sama dengan integral dari fungsi yang sama dengan interval 1 hingga {{Mvar|u}}. Hal ini membenarkan persamaan &nbsp;(2) melalui bukti geometri lainnya.
+Persamaan (1) membagi integral menjadi dua bagian, sementara (2) mengubah variabel {{Math|''w''}} menjadi {{Math|{{sfrac|1=''x''|2=''t''}}}}. Pada ilustrasi dibawah, pembagian integral tersebut dapat disamakan dengan pembagian luasnya menjadi bagian berwarna kuning dan biru. Dengan mengukur luas berwarna biru kembali secara vertikal melalui faktor {{Mvar|t}} dan menyusutnya melalui faktor yang sama secara horizontal tidak mengubah ukuran luasnya. Dengan memindahkan daerah biru ke daerah kuning, luasnya menyesuaikan grafik fungsi {{math|1=''f''(''x'') = {{sfrac|1=1|2=''x''}}}} lagi. Oleh karena itu, luas biru di sebelah kiri, yang merupakan integral dari fungsi {{math|''f''(''x'')}} dengan interval dari {{Mvar|t}} hingga {{Mvar|tu}} sama dengan integral dari fungsi yang sama dengan interval 1 hingga {{Mvar|u}}. Hal ini membenarkan persamaan &nbsp;(2) melalui bukti geometri lainnya.
 [[Berkas:Natural_logarithm_product_formula_proven_geometrically.svg|al=Fungsi hiperbola digambarkan dua kali. Luas di bawah fungsi dibagi menjadi bagian yang berbeda.|pus|jmpl|500x500px|Sebuah bukti visual tentang rumus hasilkali dari logaritma natural]]
 Rumus pangkat {{math|1=ln(''t''<sup>''r''</sup>) = ''r'' ln(''t'')}} dapat diturunkan dalam cara yang serupa:
@@ Baris 271: / Baris 268: @@
 </math>
-Persamaan kedua menggunakan perubahan variabel {{math|1=''w'' = {{mvar|x}}<sup>{{sfrac|1=1|2=''r''}}</sup>}} melalui ([[integrasi substitusi]]).
+Persamaan kedua menggunakan perubahan variabel {{math|1=''w'' = {{mvar|x}}<sup>{{sfrac|1=1|2=''r''}}</sup>}} melalui [[integrasi substitusi]].
 Jumlah keseluruhan timbal balik dari bilangan asli yang dirumuskan
@@ Baris 277: / Baris 274: @@
 : <math>1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \cdots + \frac 1 n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k},</math>
-disebut [[deret harmonik (matematika)|deret harmonik]]. Deret ini sangat terkait erat dengan [[logaritma alami]], yang dinyatakan melalui pernyatan berikut: ketika {{Mvar|n}} cenderung menuju [[tak hingga|takhingga]], selisih dari
+disebut [[deret harmonik (matematika)|deret harmonik]]. Deret ini sangat terkait erat dengan [[logaritma alami]], yang dinyatakan melalui pernyataan berikut: ketika {{Mvar|n}} cenderung menuju [[tak hingga|takhingga]], selisih dari
 : <math>\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n),</math>
@@ Baris 367: / Baris 364: @@
 == Penerapan ==
-[[Berkas:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg|al=A photograph of a nautilus' shell.|jmpl|A [[nautilus]] displaying a logarithmic spiral]]
+[[Berkas:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg|al=A photograph of a nautilus' shell.|jmpl|Sebuah cangkang [[nautilus]] yang menampilkan bentuk spiral logaritmik.]]
-Logaritma memiliki banyak penerapan di dalam dan di luar matematika. Some of these occurrences are related to the notion of [[scale invariance]]. For example, each chamber of the shell of a [[nautilus]] is an approximate copy of the next one, scaled by a constant factor. This gives rise to a [[logarithmic spiral]].<ref>{{Harvard citations|last1=Maor|year=2009|nb=yes|loc=p. 135}}</ref> [[Benford's law]] on the distribution of leading digits can also be explained by scale invariance.<ref>{{Citation|last1=Frey|first1=Bruce|title=Statistics hacks|publisher=[[O'Reilly Media|O'Reilly]]|location=Sebastopol, CA|series=Hacks Series|url={{google books |plainurl=y |id=HOPyiNb9UqwC|page=275}}|isbn=978-0-596-10164-0|year=2006}}, chapter 6, section 64</ref> Logarithms are also linked to [[self-similarity]]. For example, logarithms appear in the analysis of algorithms that solve a problem by dividing it into two similar smaller problems and patching their solutions.<ref>{{Citation|last1=Ricciardi|first1=Luigi M.|title=Lectures in applied mathematics and informatics|url={{google books |plainurl=y |id=Cw4NAQAAIAAJ}}|publisher=Manchester University Press|location=Manchester|isbn=978-0-7190-2671-3|year=1990}}, p.&nbsp;21, section 1.3.2</ref> The dimensions of self-similar geometric shapes, that is, shapes whose parts resemble the overall picture are also based on logarithms. [[Logarithmic scale|Logarithmic scales]] are useful for quantifying the relative change of a value as opposed to its absolute difference. Moreover, because the logarithmic function {{math|log(''x'')}} grows very slowly for large {{mvar|x}}, logarithmic scales are used to compress large-scale scientific data. Logarithms also occur in numerous scientific formulas, such as the [[Tsiolkovsky rocket equation]], the [[Fenske equation]], or the [[Nernst equation]].
+Logaritma memiliki banyak penerapan di dalam maupun di luar matematika. Ada beberapa kejadian penerapan logaritma yang berkaitan dengan gagasan [[kekararan skala]]. Sebagai contoh, setiap ruangan yang terdapat di dalam sebuah cangkang [[nautilus]] memiliki kira-kira sama dengan jumlah salinan dari ruang selanjutnya, yang ditimbang melalui faktor konstanta. Contoh tersebut menyerupai bentuk [[spiral logaritma]].<ref>{{Harvard citations|last1=Maor|year=2009|nb=yes|loc=p. 135}}</ref> [[Hukum Benford]] mengenai distribusi dari angka yang ditunjuk juga dapat dijelaskan melalui kekeraran skala.<ref>{{Citation|last1=Frey|first1=Bruce|title=Statistics hacks|publisher=[[O'Reilly Media|O'Reilly]]|location=Sebastopol, CA|series=Hacks Series|url={{google books |plainurl=y |id=HOPyiNb9UqwC|page=275}}|isbn=978-0-596-10164-0|year=2006}}, chapter 6, section 64</ref> Logaritma juga berkaitan dengan benda yang memiliki [[Kemiripan diri|kemiripan terhadap diri sendiri]]. Sebagai contoh, logaritma muncul dalam analisis tentang alogritma yang menyelesaikan masalah dengan membaginya menjadi dua masalah lebih kecil yang serupa dan memotong kecil penyelesaiannya.<ref>{{Citation|last1=Ricciardi|first1=Luigi M.|title=Lectures in applied mathematics and informatics|url={{google books |plainurl=y |id=Cw4NAQAAIAAJ}}|publisher=Manchester University Press|location=Manchester|isbn=978-0-7190-2671-3|year=1990}}, p.&nbsp;21, section 1.3.2</ref> Dimensi dari bentuk geometrik yang menyerupai diri sendiri, dalam artian, bentuk yang bagiannya menyerupai gambarnya secara keseluruhan juga dirumuskan melalui logaritma. [[Skala logaritmik]] berguna untuk mengukur perubahan relatif suatu nilai sebagai lawan dari selisih mutlaknya. Terlebih lagi, karena fungsi logaritmik {{math|log(''x'')}} menaik sangat lambat untuk nilai besar{{mvar|x}}, skala logaritmik biasanya menekan data ilmiah yang berskala besar. Logaritma juga muncul dalam rumus ilmiah numerik, seperti [[persamaan roket Tsiolkovsky]], [[persamaan Fenske]], atau [[persamaan Nernst]].
 === Skala logaritmik ===