Dalam kalkulus , pendiferensialan logaritmik adalah metode untuk mencari turunan suatu fungsi dengan menggunakan turunan logaritmik dari fungsi
f
{\displaystyle f}
[1]
(
ln
f
(
x
)
)
′
=
f
′
(
x
)
f
(
x
)
⟹
f
′
(
x
)
=
f
(
x
)
⋅
(
ln
f
(
x
)
)
′
{\displaystyle (\ln f(x))'={\frac {f'(x)}{f(x)}}\quad \implies \quad f'(x)=f(x)\cdot (\ln f(x))'}
atau bisa juga ditulis
f
′
(
x
)
=
(
e
ln
f
(
x
)
)
′
=
e
ln
f
(
x
)
⋅
(
ln
f
(
x
)
)
′
{\displaystyle f'(x)=\left(e^{\ln f(x)}\right)'=e^{\ln f(x)}\cdot (\ln f(x))'}
Teknik ini biasanya digunakan pada kasus dimana lebih mudah untuk mencari turunan logaritmik dari suatu fungsi, dibandingkan menurunkan fungsi tersebut secara langsung. Hal ini umumnya terjadi pada kasus dimana fungsinya terdiri dari perkalian beberapa suku, sehingga transformasi logaritmik akan mengubah operasi perkalian tersebut menjadi penjumlahan (yang tentunya lebih mudah untuk dicari turunannya). Teknik ini juga berguna ketika diterapkan pada fungsi yang dipangkatkan dengan suatu fungsi lain. Metode pendiferensialan logaritmik bergantung kepada kaidah rantai beserta sifat-sifat dari logaritma (khususnya logaritma alami , yaitu logaritma dengan basis e [2] [3]
Metode ini digunakan sebab sifat-sifat dari logaritma memberikan jalan cepat untuk menyederhanakan fungsi-fungsi rumit yang akan dicari turunannya.[4] [3]
ln
(
a
b
)
=
ln
(
a
)
+
ln
(
b
)
,
ln
(
a
b
)
=
ln
(
a
)
−
ln
(
b
)
,
ln
(
a
b
)
=
b
ln
(
a
)
.
{\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b),\qquad \ln \left({\frac {a}{b}}\right)=\ln(a)-\ln(b),\qquad \ln(a^{b})=b\ln(a).}
Untuk mencari turunan dari hasil kali dua fungsi
y
(
x
)
=
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
{\displaystyle y(x)=f(x)\cdot g(x)}
maka kedua ruas dapat dikenakan
logaritma alami , sehingga operasi perkaliannya berubah menjadi penjumlahan
ln
(
y
(
x
)
)
=
ln
(
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
)
=
ln
(
f
(
x
)
)
+
ln
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left(y(x)\right)&=\ln \left(f(x)\cdot g(x)\right)\\&=\ln \left(f(x)\right)+\ln \left(g(x)\right)\end{aligned}}}
Dengan menggunakan
kaidah rantai dan
kaidah penjumlahan , maka diperoleh
[5]
y
′
(
x
)
y
(
x
)
=
f
′
(
x
)
f
(
x
)
+
g
′
(
x
)
g
(
x
)
y
′
(
x
)
=
y
(
x
)
⋅
(
f
′
(
x
)
f
(
x
)
+
g
′
(
x
)
g
(
x
)
)
=
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
⋅
(
f
′
(
x
)
f
(
x
)
+
g
′
(
x
)
g
(
x
)
)
=
f
′
(
x
)
⋅
g
(
x
)
+
f
(
x
)
⋅
g
′
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {y'(x)}{y(x)}}&={\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}\\y'(x)&=y(x)\cdot \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)\\&=f(x)\cdot g(x)\cdot \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)\\&=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\end{aligned}}}
yang merupakan
kaidah darab dalam turunan.
Untuk mencari turunan dari hasil bagi dua fungsi
y
(
x
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle y(x)={\dfrac {f(x)}{g(x)}}}
maka kedua ruas dapat dikenakan
logaritma alami , sehingga operasi pembagiannya berubah menjadi pengurangan
ln
(
y
(
x
)
)
=
ln
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
=
ln
(
f
(
x
)
)
−
ln
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left(y(x)\right)&=\ln \left({\dfrac {f(x)}{g(x)}}\right)\\&=\ln \left(f(x)\right)-\ln \left(g(x)\right)\end{aligned}}}
Dengan menggunakan
kaidah rantai dan
kaidah penjumlahan , maka diperoleh
y
′
(
x
)
y
(
x
)
=
f
′
(
x
)
f
(
x
)
−
g
′
(
x
)
g
(
x
)
y
′
(
x
)
=
y
(
x
)
⋅
(
f
′
(
x
)
f
(
x
)
−
g
′
(
x
)
g
(
x
)
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
⋅
(
f
′
(
x
)
f
(
x
)
−
g
′
(
x
)
g
(
x
)
)
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
⋅
g
′
(
x
)
g
(
x
)
=
f
′
(
x
)
⋅
g
(
x
)
(
g
(
x
)
)
2
−
f
(
x
)
⋅
g
′
(
x
)
(
g
(
x
)
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {y'(x)}{y(x)}}&={\frac {f'(x)}{f(x)}}-{\frac {g'(x)}{g(x)}}\\y'(x)&=y(x)\cdot \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}-{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)\\&={\dfrac {f(x)}{g(x)}}\cdot \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}-{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)\\&={\frac {f'(x)}{g(x)}}-{\dfrac {f(x)}{g(x)}}\cdot {\frac {g'(x)}{g(x)}}\\&={\frac {f'(x)\cdot g(x)}{\left(g(x)\right)^{2}}}-{\frac {f(x)\cdot g'(x)}{\left(g(x)\right)^{2}}}\end{aligned}}}
yang merupakan
kaidah hasil-bagi dalam turunan.
Apabila fungsinya memiliki bentuk umum
y
(
x
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle y(x)=f(x)^{g(x)}}
maka dengan mengenakan
logaritma alami pada kedua ruas, operasi exponen yang ada akan menjadi perkalian, sehingga didapatkan
ln
(
y
(
x
)
)
=
ln
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
=
g
(
x
)
⋅
ln
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left(y(x)\right)&=\ln \left(f(x)^{g(x)}\right)\\&=g(x)\cdot \ln \left(f(x)\right)\end{aligned}}}
Dengan menggunakan
kaidah rantai dan
kaidah darab , maka diperoleh
y
′
(
x
)
y
(
x
)
=
g
′
(
x
)
⋅
ln
(
f
(
x
)
)
+
g
(
x
)
⋅
f
′
(
x
)
f
(
x
)
y
′
(
x
)
=
y
(
x
)
⋅
(
g
′
(
x
)
⋅
ln
(
f
(
x
)
)
+
g
(
x
)
⋅
f
′
(
x
)
f
(
x
)
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
⋅
(
g
′
(
x
)
⋅
ln
(
f
(
x
)
)
+
g
(
x
)
⋅
f
′
(
x
)
f
(
x
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {y'(x)}{y(x)}}&=g'(x)\cdot \ln \left(f(x)\right)+g(x)\cdot {\frac {f'(x)}{f(x)}}\\y'(x)&=y(x)\cdot \left(g'(x)\cdot \ln \left(f(x)\right)+g(x)\cdot {\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)\\&=f(x)^{g(x)}\cdot \left(g'(x)\cdot \ln \left(f(x)\right)+g(x)\cdot {\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)\\\end{aligned}}}
Hasil yang sama juga dapat diperoleh apabila fungsi
y
{\displaystyle y}
dinyatakan sebagai
y
(
x
)
=
e
g
(
x
)
⋅
ln
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle y(x)=e^{g(x)\cdot \ln \left(f(x)\right)}}
yang diikuti oleh
kaidah rantai .
Dengan menggunakan notasi Pi kapital , misalkan
y
(
x
)
=
(
f
1
(
x
)
)
g
1
(
x
)
⋅
(
f
2
(
x
)
)
g
2
(
x
)
⋅
…
⋅
(
f
n
(
x
)
)
g
n
(
x
)
y
(
x
)
=
∏
i
=
1
n
f
i
(
x
)
g
i
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}y(x)&=(f_{1}(x))^{g_{1}(x)}\cdot (f_{2}(x))^{g_{2}(x)}\cdot \ldots \cdot (f_{n}(x))^{g_{n}(x)}\\y(x)&=\prod _{i\,=\,1}^{n}f_{i}(x)^{g_{i}(x)}\end{aligned}}}
adalah hasil kali berhingga dari fungsi dengan eksponen fungsi.
Dengan mengenakan logaritma alami pada kedua ruas, operasi perkaliannya akan berubah menjadi operasi penjumlahan, sehingga notasi Pi kapital di atas akan berubah menjadi notasi sigma kapital .
y
(
x
)
=
f
1
(
x
)
g
1
(
x
)
⋅
f
2
(
x
)
g
2
(
x
)
⋅
…
⋅
f
n
(
x
)
g
n
(
x
)
ln
(
y
(
x
)
)
=
ln
(
(
f
1
(
x
)
)
g
1
(
x
)
⋅
(
f
2
(
x
)
)
g
2
(
x
)
⋅
…
⋅
(
f
n
(
x
)
)
g
n
(
x
)
)
=
ln
(
f
1
(
x
)
g
1
(
x
)
)
+
ln
(
f
2
(
x
)
g
2
(
x
)
)
+
…
+
ln
(
f
n
(
x
)
g
n
(
x
)
)
=
g
1
(
x
)
⋅
ln
(
f
1
(
x
)
)
+
g
2
(
x
)
⋅
ln
(
f
2
(
x
)
)
+
…
+
g
n
(
x
)
⋅
ln
(
f
n
(
x
)
)
=
∑
i
=
1
n
g
i
(
x
)
⋅
ln
(
f
i
(
x
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}y(x)&=f_{1}(x)^{g_{1}(x)}\cdot f_{2}(x)^{g_{2}(x)}\cdot \ldots \cdot f_{n}(x)^{g_{n}(x)}\\\ln \left(y(x)\right)&=\ln \left((f_{1}(x))^{g_{1}(x)}\cdot (f_{2}(x))^{g_{2}(x)}\cdot \ldots \cdot (f_{n}(x))^{g_{n}(x)}\right)\\&=\ln \left(f_{1}(x)^{g_{1}(x)}\right)+\ln \left(f_{2}(x)^{g_{2}(x)}\right)+\ldots +\ln \left(f_{n}(x)^{g_{n}(x)}\right)\\&=g_{1}(x)\cdot \ln \left(f_{1}(x)\right)+g_{2}(x)\cdot \ln \left(f_{2}(x)\right)+\ldots +g_{n}(x)\cdot \ln \left(f_{n}(x)\right)\\&=\sum _{i\,=\,1}^{n}g_{i}(x)\cdot \ln \left(f_{i}(x)\right)\end{aligned}}}
Apabila kedua ruas diturunkan terhadap
x
{\displaystyle x}
, maka didapatkan
y
′
(
x
)
y
(
x
)
=
∑
i
=
1
n
(
g
i
′
(
x
)
⋅
ln
(
f
i
(
x
)
)
+
g
i
(
x
)
⋅
f
i
′
(
x
)
f
i
(
x
)
)
y
′
(
x
)
=
y
(
x
)
⋅
∑
i
=
1
n
(
g
i
′
(
x
)
⋅
ln
(
f
i
(
x
)
)
+
g
i
(
x
)
⋅
f
i
′
(
x
)
f
i
(
x
)
)
=
(
∏
i
=
1
n
f
i
(
x
)
g
i
(
x
)
)
⋅
∑
i
=
1
n
(
g
i
′
(
x
)
⋅
ln
(
f
i
(
x
)
)
+
g
i
(
x
)
⋅
f
i
′
(
x
)
f
i
(
x
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {y'(x)}{y(x)}}&=\sum _{i\,=\,1}^{n}\left(g_{i}'(x)\cdot \ln \left(f_{i}(x)\right)+g_{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right)\\y'(x)&=y(x)\cdot \sum _{i\,=\,1}^{n}\left(g_{i}'(x)\cdot \ln \left(f_{i}(x)\right)+g_{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right)\\&=\left(\prod _{i\,=\,1}^{n}f_{i}(x)^{g_{i}(x)}\right)\cdot \sum _{i\,=\,1}^{n}\left(g_{i}'(x)\cdot \ln \left(f_{i}(x)\right)+g_{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right)\end{aligned}}}
