Bilangan prima: Perbedaan antara revisi

← Revisi sebelumnya Revisi selanjutnya →

Konten dihapus Konten ditambahkan

Sebaris

Revisi per 14 Maret 2022 12.58

Groups of two to twelve dots, showing that the composite numbers of dots (4, 6, 8, 9, 10, and 12) can be arranged into rectangles but prime numbers cannot — Bilangan komposit dapat disusun menjadi persegi panjang, sedangkan bilangan prima tidak dapat.

Bilangan prima adalah bilangan asli lebih dari 1 yang bukan hasilkali dari dua bilangan asli yang lebih kecil. Bilangan asli yang lebih dari 1 dan bukan bilangan prima disebut bilangan komposit. Misalnya, 5 adalah bilangan prima karena 5 dapat ditulis sebagai $1\times 5$ atau $5\times 1$ , sedangkan 4 bukanlah bilangan prima karena hasilkalinya ( $2\times 2$ ), dimana kedua bilangan lebih kecil dari 4. Bilangan prima merupakan bagian pusat dari teori bilangan karena melibatkan teorema dasar aritmetika: setiap bilangan asli lebih besar dari 1 adalah bilangan prima itu sendiri atau dapat difaktorkan sebagai hasil kali tunggal hingga urutannya.

Sifat-sifat yang menjadikan bilangan prima disebut primalitas. Metode sederhana namun lambat yang memeriksa primalitas untuk bilangan $n$ , disebut pembagian percobaan. Metode ini menguji apakah $n$ kelipatan dari suatu bilangan bulat antara $2$ dan ${\sqrt {n}}$ . Algoritma lebih cepatnya adalah uji primalitas Miller–Rabin, algoritma cepat namun memiliki kesempatan galat kecil; dan uji primalitas Agrawal–Kayal–Saxena, algoritma yang selalu memberikan solusi yang benar dalam waktu polinomial, namun sangat lambat bila dipraktekkan. Metode cepat khususnya tersedia dalam bilangan bentuk khusus, seperti bilangan Mersenne. Hingga pada Desember 2018, bilangan prima terbesar yang diketahui merupakan bilangan prima Mersenne dengan 24.862.048 digit.^[1]

Sekitar 300 SM, Euklides menjelaskan bahwa ada tak berhingga banyaknya bilangan prima. Tidak ada rumus sederhana yang memisahkan bilangan prima dari bilangan komposit. Akan tetapi, sebaran bilangan prima dalam jumlah bilangan asli yang sangat banyak dapat digambar secara statistik. Hasil pertama sebaran bilangan prima tersebut mengarah pada teorema bilangan prima, yang dibuktikan pada akhir abad ke-19. Teorema ini mengatakan bilangan terbesar yang dipilih secara acak menjadi bilangan prima berbanding terbalik dengan jumlah digitnya, yaitu logaritma.

Beberapa masalah-masalah bersejarah yang melibatkan bilangan prima masih belum terpecahkan. Masalah di antaranya konjektur Goldbach, yang menyatakan bahwa setiap bilangan bulat lebih besar dari 2 dapat dibentuk sebagai jumlah dua bilangan prima, dan konjektur bilangan prima kembar, menyatakan bahwa ada tak berhingga banyaknya pasangan bilangan prima yang memiliki sebuah bilangan genap di antaranya. Masalah-masalah tersebut mendorong pengembangan berbagai cabang dalam teori bilangan, yang fokus pada aspek bilangan analitik atau bilangan aljabar. Dalam kehidupan sehari-hari, bilangan prima dipakai dalam teknologi informasi, seperti kriptografi kunci publik, yang bergantung pada kesulitan memfaktorkan bilangan yang lebih besar menjadi faktor bilangan prima. Dalam aljabar abstrak, objek yang umumnya berperilaku sebagai bilangan prima di antaranya elemen bilangan prima dan ideal bilangan prima.

Definisi dan contoh

Bilangan asli (1, 2, 3, 4, 5, dst.) dapat dikatakan bilangan prima jika bilangan asli lebih besar dari 1 dan tidak dapat ditulis sebagai hasil kali bilangan asli yang lebih kecil. Bilangan asli yang lebih dari 1, namun bukan merupakan bilangan prima disebut bilangan komposit.^[2] Dengan kata lain, $n$ dikatakan bilangan prima jika terdapat $n$ benda tidak dapat dibagi menjadi kelompok dengan jumlah yang sama, yang terdiri dari satu benda.^[3] Bilangan prima juga diilustrasikan sebagai susunan $n$ titik menjadi persegi panjang yang lebar dan tingginya lebih dari satu titik.^[4] Misalnya, bilangan di antara 1 sampai 6, bilangan primanya adalah 2, 3, dan 5;^[5] karena tidak ada bilangan lain yang membagi ketiga bilangan tersebut tanpa adanya sisa. 1 bukan bilangan prima, karena merupakan pengecualian yang khusus dalam definisi di atas. 4 = 2 × 2 dan 6 = 2 × 3 merupakan bilangan komposit.

Pembagi bilangan asli $n$ adalah bilangan asli yang membagi $n$ sama rata. Pembagi pada setiap bilangan asli tersebut adalah 1 dan dirinya sendiri. Jika $n$ memiliki pembagi lain, maka $n$ bukanlah bilangan prima. Gagasan ini merujuk ke sebuah definisi bilangan prima yang berbeda namun ekuivalen: terdapat bilangan setidaknya dua pembagi bilangan positif, 1 dan dirinya sendiri.^[6] Ada cara lain untuk menjelaskan hal tersebut, yaitu: $n$ adalah bilangan prima jika $n$ lebih besar dari 1 dan tidak ada bilangan $2,3,\dots ,n-1$ yang membagi $n$ sama rata.^[7]

Berikut adalah 25 bilangan prima pertama (semua bilangan prima yang lebih kecil dari 100):^[8]

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 91, 97 (barisan A000040 pada OEIS).

Tidak ada bilangan genap $n$ yang lebih besar dari 2 adalah bilangan prima karena bilangannya dapat dibentuk sebagai hasil kali ${\textstyle 2\times {\frac {n}{2}}}$ . Karena itu, setiap bilangan prima selain dari 2 adalah bilangan ganjil, dan bilangan tersebut disebut bilangan prima ganjil.^[9] Ketika ditulis dalam sistem desimal biasa dengan cara yang serupa, semua bilangan prima yang lebih besar dari 5 berakhir dengan digit satuan 1, 3, 7, atau 9. Bilangan yang berakhir dengan digit satuan yang berbeda adalah bilangan komposit: bilangan desimal yang digit satuannya adalah 0, 2, 4, 6, atau 8 adalah bilangan genap, dan bilangan desimal yang berakhir dengan digit satuan 0 dan 5 habis dibagi 5.^[10]

Himpunan bilangan prima terkadang dilambangkan $\mathbf {P}$ ^[11] atau $\mathbb {P}$ .^[12]

Sifat-sifat dasar

Faktorisasi tunggal

Suatu bilangan dapat ditulis sebagai hasil kali bilangan prima disebut faktorisasi bilangan prima. Misalnya:

{\begin{aligned}34886&=2\cdot 3\cdot 3\cdot 13\cdot 149\\&=2\cdot 3^{2}\cdot 13\cdot 149\end{aligned}}

Bentuk yang ditulis dalam hasil kali disebut faktor bilangan prima. Faktor bilangan prima yang sama seringkali muncul lebih dari satu. Contoh di atas memiliki dua salinan faktor bilangan prima $3$ . Ketika sebuah bilangan prima sering muncul berkali-kali, eksponen dapat dipakai untuk mengumpulkan salinan faktor bilangan prima. Misalnya, dalam menulis hasil kali di atas, yakni pada barisan kedua, $3^{2}$ dilambangkan sebagai tiga pangkat dua.

Pentingnya bilangan prima dalam teori bilangan dan matematika umumnya berasal dari teorema dasar aritmetika.^[13] Teorema ini mengatakan bahwa setiap bilangan bulat yang lebih besar dari 1 dapat ditulis sebagai hasil kali dari satu bilangan prima atau lebih. Lebih lanjut, hasil kalinya adalah tunggal dalam artian bahwa dua faktorisasi bilangan prima dari bilangan yang sama akan memiliki jumlah salinan yang sama dari bilangan prima yang sama meski urutannya berbeda.^[14] Walaupun ada banyak cara mencari faktorisasi melalui algoritma faktorisasi bilangan bulat, hasil yang diperoleh adalah sama. Jadi, bilangan prima dapat dianggap sebagai "satuan dasar" bilangan asli.^[15]

Bukti-bukti mengenai ketunggalan faktorisasi bilangan prima dijelaskan melalui lema Euklides: Jika $p$ bilangan prima dan $p$ membagi hasil kali $ab$ (dimana $a$ dan $b$ bilangan bulat), maka $p$ membagi $a$ atau $p$ membagi $b$ (atau membagi keduanya).^[16] Sebaliknya, jika $p$ memiliki sifat ketika dibagi hasil kalinya ( $p$ selalu membagi setidaknya salah satu dari faktor hasil kali tersebut), maka $p$ haruslah bilangan prima.^[17]

Ketakterhinggaan

Ada tak berhingga banyaknya bilangan prima. Dengan kata lain, barisan bilangan prima

2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

tidak pernah berakhir. Karena pertama kali yang membuktikan pernyataan ini adalah Euklides, pernyataan tersebut disebut teorema Euklides untuk menghormati matematikawan Yunani Kuno Euklides. Masih ada bukti mengenai ketakterhinggaan bilangan prima, diantaranya: bukti analitik oleh Euler, bukti Goldbach berdasarkan bilangan Fermat,^[18] bukti Furstenberg melalui topologi umum,^[19] dan bukti elegan Kummer.^[20]

Bukti Euler^[21] menunjukkan bahwa setiap daftar bilangan prima terhingga belum lengkap. Kunci utamanya adalah mengalikan bilangan prima pada daftar tertentu dan ditambah $1$ . Jikalau terdiri dari bilangan prima $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}$ , maka

N=1+p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{n}

.

Menurut teorema dasar aritmetika, $N$ memiliki faktorisasi bilangan prima yang faktornya berjumlah satu atau lebih.

N=p'_{1}\cdot p'_{2}\cdots p'_{m}

$N$ dibagi habis secara merata oleh setiap faktor-faktor tersebut, tetapi $N$ mempunyai sisa yaitu satu ketika dibagi oleh suatu bilangan prima pada daftar tertentu sehingga tidak ada faktor bilangan prima $N$ yang terdapat pada daftar tersebut. Karena tidak ada daftar bilangan prima terhingga, maka pasti ada tak berhingga banyaknya bilangan prima.

Bilangan yang dibentuk dengan menambahkan 1 pada hasil kali dari bilangan prima terkecil disebut bilangan Euklides.^[22] Lima bilangan pertama adalah bilangan prima, tetapi yang keenam,

1+{\big (}2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13{\big )}=30031=59\cdot 509

,

adalah bilangan komposit.

Rumus untuk bilangan prima

Tidak ada rumus cepat yang diketahui untuk bilangan prima. Contoh, tidak ada polinomial takkonstan, bahkan dalam beberapa variabel, yang hanya memakai nilai bilangan prima.^[23] Namun, ada banyak bentuk rumus yang mengodekan semua bilangan prima, atau hanya bilangan prima. Ada rumus yang dapat didasari pada teorema Wilson, dan rumus tersebut menghasilkan 2 berkali-kali dan sisa bilangan prima dihasilkan sekali.^[24] Adapula himpunan persamaan Diophantus dalam sembilan variabel dan satu parameter dengan sifat berikut: parameter adalah bilangan prima jika dan hanya jika sistem persamaan yang dihasilkan adalah solusi bilangan asli. Hal tersebut dapat dipakai untuk memperoleh rumus tunggal dengan sifat bahwa semua nilai positif adalah bilangan prima.^[25]

Contoh rumus yang menghasilkan bilangan prima lainnya berasal dari teorema Mills dan teorema Wright. Rumus ini mengatakan bahwa terdapat suatu konstanta real $A>1$ dan $\mu$ sehingga

\left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor

dan

\left\lfloor 2^{\cdots ^{2^{2^{\mu }}}}\right\rfloor

adalah bilangan prima untuk suatu bilangan asli $n$ dalam rumus yang pertama, dan suatu bilangan eksponen dalam rumus yang kedua.^[26] $\lfloor \,\cdot \,\rfloor$ merepresentasikan fungsi bilangan bulat terbesar. Akan tetapi, rumus-rumus tersebut tidak dapat digunakan untuk menghasilkan bilangan prima, karena bilangan prima harus dihasilkan terlebih dahulu agar memperoleh nilai $A$ atau $\mu$ .

Pertanyaan terbuka

Banyak konjektur yang melibatkan bilangan prima telah diajukan. Seringkali memiliki perumusan dasar, banyak konjektur-konjektur tersebut memiliki bukti yang bertahan selama beberapa dekade: empat masalah Landau yang berasal dari tahun 1912 masih belum terpecahkan.^[27] Salah satu masalah Landau adalah konjektur Goldbach, yang menyatakan bahwa setiap bilangan bulat genap $n$ lebih besar dari 2 dapat ditulis sebagai jumlah dari dua bilangan prima.^[28] Hingga pada 2014, konjektur ini telah dibenarkan untuk semua bilangan hingga $n=4\cdot 10^{18}$ .^[29] Pernyataan yang lebih lemah dari konjektur tersebut telah dibuktikan seperti: teorema Vinogradov yang mengatakan bahwa setiap bilangan bulat ganjil yang cukup besar dapat ditulis sebagai jumlah dari tiga bilangan prima,^[30] teorema Chen yang mengatakan bahwa setiap bilangan genap yang cukup besar dapat dinyatakan sebagai jumlah dari bilangan prima dan semiprima (hasil kali dari dua bilangan prima),^[31] serta suatu bilangan bulat genap yang lebih besar dari 10 dapat ditulis sebagai jumlah dari enam bilangan prima.^[32] Cabang teori bilangan yang mempelajari masalah tersebut disebut teori bilangan aditif.^[33]

Referensi

^ "51st Known Mersenne Prime Discovered". www.mersenne.org. Diakses tanggal 21 Desember 2018.
^ Cahyo, Dhea Arokhman Yusufi (2020-05-10). Heuristic - For Mathematical Olympiad Approach. Math Heuristic. hlm. 18.
^ Henderson, Anne (2014-06-20). Dyslexia, Dyscalculia and Mathematics: A practical guide (dalam bahasa Inggris). Routledge. hlm. 62. ISBN 978-1-136-63662-2.
^ Adler, Irving (1960). The giant golden book of mathematics; exploring the world of numbers and space. Internet Archive. New York, Golden Press.
^ Lawrence S. Leff (2000). Barron's math workbook for the SAT I. Internet Archive. Barron's. ISBN 978-0-7641-0768-9.
^ Dudley, Underwood (1978). "Section 2: Unique factorization". Elementary number theory (2nd ed.). W.H. Freeman and Co. hlm. 10. ISBN 978-0-7167-0076-0.
^ Sierpiński, Wacław (1988). Elementary Theory of Numbers. North-Holland Mathematical Library. 31 (2nd ed.). Elsevier. hlm. 113. ISBN 978-0-08-096019-7.
^ Sierpinski, W. (1988-02-01). Elementary Theory of Numbers: Second English Edition (edited by A. Schinzel) (dalam bahasa Inggris). Elsevier. hlm. 113. ISBN 978-0-08-096019-7.
^ Stillwell, John (1997-10-30). Numbers and Geometry (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. hlm. 9. ISBN 978-0-387-98289-2.
^ Sierpiński, Wacław (1964). A Selection of Problems in the Theory of Numbers. New York: Macmillan. hlm. 40. MR 0170843.
^ Nathanson, Melvyn B. (2008-01-11). Elementary Methods in Number Theory (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-22738-2.
^ Faticoni, Theodore G. (2012-04-23). The Mathematics of Infinity: A Guide to Great Ideas (dalam bahasa Inggris). John Wiley & Sons. hlm. 44. ISBN 978-1-118-24382-4.
^ Smith, Karl J. (2011). The Nature of Mathematics (edisi ke-12th). Cengage Learning. hlm. 188. ISBN 978-0-538-73758-6.
^ Dudley 1978, Section 2, Theorem 2, p. 16; Neale, Vicky (2017). Closing the Gap: The Quest to Understand Prime Numbers. Oxford University Press. p. 107. ISBN 978-0-19-109243-5.
^ du Sautoy, Marcus (2003). The Music of the Primes: Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathematics. Harper Collins. hlm. 23. ISBN 978-0-06-093558-0.
^ Dudley 1978, Section 2, Lemma 5, p. 15; Higgins, Peter M. (1998). Mathematics for the Curious. Oxford University Press. hlm. 77–78. ISBN 978-0-19-150050-3.
^ Rotman, Joseph J. (2000). A First Course in Abstract Algebra (edisi ke-2nd). Prentice Hall. Problem 1.40, p. 56. ISBN 978-0-13-011584-3.
^ Letter in Latin from Goldbach to Euler, July 1730.
^ Furstenberg, Harry (1955). "On the infinitude of primes". American Mathematical Monthly. 62 (5): 353. doi:10.2307/2307043. JSTOR 2307043. MR 0068566.
^ Ribenboim, Paulo (2004). The little book of bigger primes. Berlin; New York: Springer-Verlag. hlm. 4. ISBN 978-0-387-20169-6.
^ Euclid's Elements, Book IX, Proposition 20. See David Joyce's English translation of Euclid's proof or Williamson, James (1782). The Elements of Euclid, With Dissertations. Oxford: Clarendon Press. hlm. 63. OCLC 642232959.
^ Vardi, Ilan (1991). Computational Recreations in Mathematica. Addison-Wesley. hlm. 82–89. ISBN 978-0-201-52989-0.
^ Matiyasevich, Yuri V. (1999). "Formulas for prime numbers". In Tabachnikov, Serge (ed.). Kvant Selecta: Algebra and Analysis. Vol. II. American Mathematical Society. hlm. 13–24. ISBN 978-0-8218-1915-9.
^ Mackinnon, Nick (June 1987). "Prime number formulae". The Mathematical Gazette. 71 (456): 113–114. doi:10.2307/3616496. JSTOR 3616496.
^ Matiyasevich, Yuri V. (1999). "Formulas for prime numbers". Dalam Tabachnikov, Serge. Kvant Selecta: Algebra and Analysis. II. American Mathematical Society. hlm. 13–24. ISBN 978-0-8218-1915-9.
^ Wright, E.M. (1951). "A prime-representing function". American Mathematical Monthly. 58 (9): 616–618. doi:10.2307/2306356. JSTOR 2306356
^ Guy 2013, hlm. vii.
^ Guy 2013, C1 Goldbach's conjecture, hlm. 105–107.
^ Oliveira e Silva, Tomás; Herzog, Siegfried; Pardi, Silvio (2014). "Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to $4\cdot 10^{18}$ ". Mathematics of Computation. 83 (288): 2033–2060. doi:10.1090/S0025-5718-2013-02787-1 . MR 3194140.
^ Tao 2009, 3.1 Structure and randomness in the prime numbers, pp. 239–247. See especially p. 239.
^ Guy 2013, p. 159.
^ Ramaré, Olivier (1995). "On Šnirel'man's constant". Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. 22 (4): 645–706. MR 1375315.
^ Rassias, Michael Th. (2017). Goldbach's Problem: Selected Topics. Cham: Springer. hlm. vii. doi:10.1007/978-3-319-57914-6. ISBN 978-3-319-57912-2. MR 3674356.

[1] "51st Known Mersenne Prime Discovered". www.mersenne.org. Diakses tanggal 21 Desember 2018.

[2] Cahyo, Dhea Arokhman Yusufi (2020-05-10). Heuristic - For Mathematical Olympiad Approach. Math Heuristic. hlm. 18.

[3] Henderson, Anne (2014-06-20). Dyslexia, Dyscalculia and Mathematics: A practical guide (dalam bahasa Inggris). Routledge. hlm. 62. ISBN 978-1-136-63662-2.

[4] Adler, Irving (1960). The giant golden book of mathematics; exploring the world of numbers and space. Internet Archive. New York, Golden Press.

[5] Lawrence S. Leff (2000). Barron's math workbook for the SAT I. Internet Archive. Barron's. ISBN 978-0-7641-0768-9.

[6] Dudley, Underwood (1978). "Section 2: Unique factorization". Elementary number theory (2nd ed.). W.H. Freeman and Co. hlm. 10. ISBN 978-0-7167-0076-0.

[7] Sierpiński, Wacław (1988). Elementary Theory of Numbers. North-Holland Mathematical Library. 31 (2nd ed.). Elsevier. hlm. 113. ISBN 978-0-08-096019-7.

[8] Sierpinski, W. (1988-02-01). Elementary Theory of Numbers: Second English Edition (edited by A. Schinzel) (dalam bahasa Inggris). Elsevier. hlm. 113. ISBN 978-0-08-096019-7.

[9] Stillwell, John (1997-10-30). Numbers and Geometry (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. hlm. 9. ISBN 978-0-387-98289-2.

[10] Sierpiński, Wacław (1964). A Selection of Problems in the Theory of Numbers. New York: Macmillan. hlm. 40. MR 0170843.

[11] Nathanson, Melvyn B. (2008-01-11). Elementary Methods in Number Theory (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-22738-2.

[12] Faticoni, Theodore G. (2012-04-23). The Mathematics of Infinity: A Guide to Great Ideas (dalam bahasa Inggris). John Wiley & Sons. hlm. 44. ISBN 978-1-118-24382-4.

[13] Smith, Karl J. (2011). The Nature of Mathematics (edisi ke-12th). Cengage Learning. hlm. 188. ISBN 978-0-538-73758-6.

[14] Dudley 1978, Section 2, Theorem 2, p. 16; Neale, Vicky (2017). Closing the Gap: The Quest to Understand Prime Numbers. Oxford University Press. p. 107. ISBN 978-0-19-109243-5.

[15] u Sautoy, Marcus (2003). The Music of the Primes: Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathematics. Harper Collins. hlm. 23. ISBN 978-0-06-093558-0.

[16] Dudley 1978, Section 2, Lemma 5, p. 15; Higgins, Peter M. (1998). Mathematics for the Curious. Oxford University Press. hlm. 77–78. ISBN 978-0-19-150050-3.

[17] Rotman, Joseph J. (2000). A First Course in Abstract Algebra (edisi ke-2nd). Prentice Hall. Problem 1.40, p. 56. ISBN 978-0-13-011584-3.

[18] Letter in Latin from Goldbach to Euler, July 1730.

[19] Furstenberg, Harry (1955). "On the infinitude of primes". American Mathematical Monthly. 62 (5): 353. doi:10.2307/2307043. JSTOR 2307043. MR 0068566.

[20] Ribenboim, Paulo (2004). The little book of bigger primes. Berlin; New York: Springer-Verlag. hlm. 4. ISBN 978-0-387-20169-6.

[21] Euclid's Elements, Book IX, Proposition 20. See David Joyce's English translation of Euclid's proof or Williamson, James (1782). The Elements of Euclid, With Dissertations. Oxford: Clarendon Press. hlm. 63. OCLC 642232959.

[22] Vardi, Ilan (1991). Computational Recreations in Mathematica. Addison-Wesley. hlm. 82–89. ISBN 978-0-201-52989-0.

[23] Matiyasevich, Yuri V. (1999). "Formulas for prime numbers". In Tabachnikov, Serge (ed.). Kvant Selecta: Algebra and Analysis. Vol. II. American Mathematical Society. hlm. 13–24. ISBN 978-0-8218-1915-9.

[24] Mackinnon, Nick (June 1987). "Prime number formulae". The Mathematical Gazette. 71 (456): 113–114. doi:10.2307/3616496. JSTOR 3616496.

[matiyasevich-25] Matiyasevich, Yuri V. (1999). "Formulas for prime numbers". Dalam Tabachnikov, Serge. Kvant Selecta: Algebra and Analysis. II. American Mathematical Society. hlm. 13–24. ISBN 978-0-8218-1915-9.

[26] Wright, E.M. (1951). "A prime-representing function". American Mathematical Monthly. 58 (9): 616–618. doi:10.2307/2306356. JSTOR 2306356

[27] Guy 2013, hlm. vii.

[28] Guy 2013, C1 Goldbach's conjecture, hlm. 105–107.

[29] Oliveira e Silva, Tomás; Herzog, Siegfried; Pardi, Silvio (2014). "Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to $4\cdot 10^{18}$ ". Mathematics of Computation. 83 (288): 2033–2060. doi:10.1090/S0025-5718-2013-02787-1 . MR 3194140.

[30] Tao 2009, 3.1 Structure and randomness in the prime numbers, pp. 239–247. See especially p. 239.

[31] Guy 2013, p. 159.

[32] Ramaré, Olivier (1995). "On Šnirel'man's constant". Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. 22 (4): 645–706. MR 1375315.

[33] Rassias, Michael Th. (2017). Goldbach's Problem: Selected Topics. Cham: Springer. hlm. vii. doi:10.1007/978-3-319-57914-6. ISBN 978-3-319-57912-2. MR 3674356.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

@@ Baris 21: / Baris 21: @@
 Himpunan bilangan prima terkadang dilambangkan <math>\mathbf{P}</math><ref>{{Cite book|last=Nathanson|first=Melvyn B.|date=2008-01-11|url=https://books.google.co.id/books?id=sE7lBwAAQBAJ&pg=PP10&redir_esc=y|title=Elementary Methods in Number Theory|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-22738-2|language=en}}</ref> atau <math>\mathbb{P}</math>.<ref>{{Cite book|last=Faticoni|first=Theodore G.|date=2012-04-23|url=https://books.google.co.id/books?id=I433i_ZGxRsC&pg=PA44&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false|title=The Mathematics of Infinity: A Guide to Great Ideas|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-24382-4|pages=44|language=en|url-status=live}}</ref>
-== Sifat dasar ==
+== Sifat-sifat dasar ==
-===Faktorisasi unik===
+=== Faktorisasi tunggal ===
 {{Main|Teorema dasar aritmetika}}
-Menulis bilangan sebagai produk bilangan prima disebut ''faktorisasi prima'' dari bilangan tersebut. Misalnya:
+Suatu bilangan dapat ditulis sebagai hasil kali bilangan prima disebut ''faktorisasi bilangan prima''. Misalnya:
-:<math>\begin{align}
-&= 2\cdot 3\cdot 3\cdot 13 \cdot 149\\
-   &=2\cdot 3^2\cdot 13 \cdot 149.
- \end{align}</math>
-istilah dalam produk tersebut disebut juga sebagai ''faktor prima''. Faktor prima yang sama dapat muncul lebih dari sekali; contoh ini memiliki dua salinan faktor prima <math>3.</math> Ketika bilangan prima muncul beberapa kali, [[eksponensial]] digunakan untuk pengelompokkan beberapa salinan dari bilangan prima yang sama: misalnya, dalam cara kedua penulisan produk atas, <math>3^2</math> menunjukkan [[Persegi (aljabar)|persegi]] atau pangkat kedua dari <math>3.</math>
+: <math>\begin{align}
-Pentingnya pusat bilangan prima untuk teori bilangan dan matematika secara umum berasal dari ''teorema dasar aritmetika''.<ref>{{cite book|title=The Nature of Mathematics
+&= 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 13 \cdot 149 \\
-|first=Karl J.|last=Smith|edition=12th|publisher=Cengage Learning|year=2011|isbn=978-0-538-73758-6|page=188|url=https://books.google.com/books?id=Di0HyCgDYq8C&pg=PA188}}</ref> Teorema ini menyatakan bahwa setiap bilangan bulat yang lebih besar dari 1 ditulis sebagai produk dari satu atau lebih bilangan prima. Secara sederhana, produk ini adalah unik dalam arti bahwa dua faktorisasi prima dari bilangan yang sama akan memiliki jumlah salinan yang sama dari bilangan prima yang sama, meskipun urutannya mungkin berbeda.<ref>{{harvnb|Dudley|1978}}, [https://books.google.com/books?id=tr7SzBTsk1UC&pg=PA16 Section 2, Theorem 2, p. 16]; {{cite book|title=Closing the Gap: The Quest to Understand Prime Numbers|title-link= Closing the Gap: The Quest to Understand Prime Numbers |first=Vicky|last=Neale|author-link=Vicky Neale|publisher=Oxford University Press|year=2017|isbn=978-0-19-109243-5|at=[https://books.google.com/books?id=T7Q1DwAAQBAJ&pg=PA107 p. 107]}}</ref> Jadi, meskipun terdapat berbagai banyak cara yang berbeda untuk menemukan faktorisasi menggunakan algoritma [[faktorisasi bilangan bulat]], semuanya adalah hasil yang sama. Dengan demikian bilangan prima menganggap sebagai "blok bangunan dasar" dari bilangan asli.<ref>{{cite book|title=The Music of the Primes: Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathematics|first=Marcus|last=du Sautoy|author-link=Marcus du Sautoy|publisher=Harper Collins|year=2003|isbn=978-0-06-093558-0|page=[https://archive.org/details/musicofprimessea00dusa/page/23 23]|url=https://archive.org/details/musicofprimessea00dusa|url-access=registration}}</ref>
+ &= 2 \cdot 3^2 \cdot 13 \cdot 149
+\end{align}</math>
+Bentuk yang ditulis dalam hasil kali disebut ''faktor bilangan prima''. Faktor bilangan prima yang sama seringkali muncul lebih dari satu. Contoh di atas memiliki dua salinan faktor bilangan prima <math>3</math>. Ketika sebuah bilangan prima sering muncul berkali-kali, [[eksponen]] dapat dipakai untuk mengumpulkan salinan faktor bilangan prima. Misalnya, dalam menulis hasil kali di atas, yakni pada barisan kedua, <math>3^2</math> dilambangkan sebagai tiga pangkat dua.
-Beberapa bukti keunikan faktorisasi prima didasarkan pada [[lemma Euklides]]: Jika <math>p</math> adalah bilangan prima dan <math>p</math> membagi hasil kali <math>ab</math> dari bilangan bulat <math>a</math> dan <math>b,</math> maka <math>p</math> membagi <math>a</math> atau <math>p</math> membagi <math>b</math> (atau keduanya).<ref>{{harvnb|Dudley|1978}}, [https://books.google.com/books?id=tr7SzBTsk1UC&pg=PA15 Section 2, Lemma 5, p. 15]; {{cite book|title=Mathematics for the Curious|first=Peter M.|last=Higgins|publisher=Oxford University Press|year=1998|isbn=978-0-19-150050-3|pages=77–78|url=https://books.google.com/books?id=LeYH8P8S9oQC&pg=PA77}}</ref> Sebaliknya, jika suatu bilangan <math>p</math> memiliki sifat bahwa ketika membagi produk selalu membagi setidaknya satu faktor dari produk, maka <math>p</math> adalah prima.<ref>{{cite book|title=A First Course in Abstract Algebra|first=Joseph J.|last=Rotman|edition=2nd|publisher=Prentice Hall|year=2000|isbn=978-0-13-011584-3|at=Problem 1.40, p. 56}}</ref>
+Pentingnya bilangan prima dalam teori bilangan dan matematika umumnya berasal dari ''teorema dasar aritmetika''.<ref>{{cite book|last=Smith|first=Karl J.|year=2011|url=https://books.google.com/books?id=Di0HyCgDYq8C&pg=PA188|title=The Nature of Mathematics|publisher=Cengage Learning|isbn=978-0-538-73758-6|edition=12th|page=188}}</ref> Teorema ini mengatakan bahwa setiap bilangan bulat yang lebih besar dari 1 dapat ditulis sebagai hasil kali dari satu bilangan prima atau lebih. Lebih lanjut, hasil kalinya adalah tunggal dalam artian bahwa dua faktorisasi bilangan prima dari bilangan yang sama akan memiliki jumlah salinan yang sama dari bilangan prima yang sama meski urutannya berbeda.<ref>{{harvnb|Dudley|1978}}, [https://books.google.com/books?id=tr7SzBTsk1UC&pg=PA16 Section 2, Theorem 2, p. 16]; {{cite book|last=Neale|first=Vicky|year=2017|title=Closing the Gap: The Quest to Understand Prime Numbers|title-link=Closing the Gap: The Quest to Understand Prime Numbers|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-109243-5|at=[https://books.google.com/books?id=T7Q1DwAAQBAJ&pg=PA107 p. 107]|author-link=Vicky Neale}}</ref> Walaupun ada banyak cara mencari faktorisasi melalui algoritma [[faktorisasi bilangan bulat]], hasil yang diperoleh adalah sama. Jadi, bilangan prima dapat dianggap sebagai "satuan dasar" bilangan asli.<ref>{{cite book|last=du Sautoy|first=Marcus|year=2003|url=https://archive.org/details/musicofprimessea00dusa|title=The Music of the Primes: Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathematics|publisher=Harper Collins|isbn=978-0-06-093558-0|page=[https://archive.org/details/musicofprimessea00dusa/page/23 23]|author-link=Marcus du Sautoy|url-access=registration}}</ref>
-===Jumlah tak hingga===
+Bukti-bukti mengenai ketunggalan faktorisasi bilangan prima dijelaskan melalui [[lema Euklides]]: Jika <math>p</math> bilangan prima dan <math>p</math> membagi hasil kali <math>ab</math> (dimana <math>a</math> dan <math>b</math> bilangan bulat), maka <math>p</math> membagi <math>a</math> atau <math>p</math> membagi <math>b</math> (atau membagi keduanya).<ref>{{harvnb|Dudley|1978}}, [https://books.google.com/books?id=tr7SzBTsk1UC&pg=PA15 Section 2, Lemma 5, p. 15]; {{cite book|last=Higgins|first=Peter M.|year=1998|url=https://books.google.com/books?id=LeYH8P8S9oQC&pg=PA77|title=Mathematics for the Curious|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-150050-3|pages=77–78}}</ref> Sebaliknya, jika <math>p</math> memiliki sifat ketika dibagi hasil kalinya (<math>p</math> selalu membagi setidaknya salah satu dari faktor hasil kali tersebut), maka <math>p</math> haruslah bilangan prima.<ref>{{cite book|last=Rotman|first=Joseph J.|year=2000|title=A First Course in Abstract Algebra|publisher=Prentice Hall|isbn=978-0-13-011584-3|edition=2nd|at=Problem 1.40, p. 56}}</ref>
+=== Ketakterhinggaan ===
 {{Main|Teorema Euklides}}
+Ada [[Tak hingga|tak berhingga]] banyaknya bilangan prima. Dengan kata lain, barisan bilangan prima
-Cara lain untuk mengatakan urutannya adalah
-:2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
+: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
-bilangan prima tak-akhir. Pernyataan ini disebut sebagai ''teorema Euklides'' untuk menghormati matematikawan Yunani kuno [[Euklides]], sejak bukti pertama yang diketahui untuk pernyataan yang dikaitkan dengan dia. Banyak lagi bukti bilangan prima tak hingga yang diketahui, termasuk bukti [[matematika analisis|analitis]] oleh [[Euler]], [[Bilangan Fermat#Sifat dasar|bukti]] [[Christian Goldbach|Goldbach]] berdasarkan [[bilangan Fermat]],<ref>[http://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0722.pdf Letter] dalam [[Latin]] dari Goldbach ke Euler, Juli 1730.</ref> [[Bukti Furstenberg tentang bilangan prima tak hingga|bukti menggunakan topologi umum]] [[Hillel Furstenberg|Furstenberg]],<ref>{{Cite journal | last1=Furstenberg | first1=Harry | author1-link=Hillel Furstenberg | title=On the infinitude of primes | doi=10.2307/2307043 | year=1955 | journal=[[American Mathematical Monthly]]   | volume=62 | mr=0068566 | issue=5 | pages=353 | jstor=2307043 }}
-</ref> and [[Ernst Kummer|Kummer's]] elegant proof.<ref>{{cite book | last1=Ribenboim | first1=Paulo | author1-link=Paulo Ribenboim | title=The little book of bigger primes | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin; New York | isbn=978-0-387-20169-6 | year=2004|page=4 | url=https://books.google.com/books?id=SvnTBwAAQBAJ&pg=PA5 }}</ref>
+tidak pernah berakhir. Karena pertama kali yang membuktikan pernyataan ini adalah Euklides, pernyataan tersebut disebut teorema Euklides untuk menghormati matematikawan Yunani Kuno [[Euklides]]. Masih ada bukti mengenai ketakterhinggaan bilangan prima, diantaranya: bukti [[Analisis matematika|analitik]] oleh [[Leonhard Euler|Euler]], [[Bilangan Fermat#Sifat-sifat dasar|bukti]] [[Christian Goldbach|Goldbach]] berdasarkan [[bilangan Fermat]],<ref>[http://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0722.pdf Letter] in [[Latin]] from Goldbach to Euler, July 1730.</ref> [[Bukti Furstenberg tentang ketakterhinggaan bilangan prima|bukti Furstenberg melalui topologi umum]],<ref>{{Cite journal|last1=Furstenberg|first1=Harry|year=1955|title=On the infinitude of primes|journal=[[American Mathematical Monthly]]|volume=62|issue=5|pages=353|doi=10.2307/2307043|jstor=2307043|mr=0068566|author1-link=Hillel Furstenberg}}</ref> dan bukti elegan [[Ernst Kummer|Kummer]].<ref>{{cite book|last1=Ribenboim|first1=Paulo|year=2004|url=https://books.google.com/books?id=SvnTBwAAQBAJ&pg=PA5|title=The little book of bigger primes|location=Berlin; New York|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-0-387-20169-6|page=4|author1-link=Paulo Ribenboim}}</ref>
+[[Teorema Euler|Bukti Euler]]<ref>[[Euclid's Elements|Euclid's ''Elements'']], Book IX, Proposition 20. See [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIX/propIX20.html David Joyce's English translation of Euclid's proof] or {{cite book|last=Williamson|first=James|year=1782|url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=umn.31951000084215o;view=1up;seq=95|title=The Elements of Euclid, With Dissertations|location=Oxford|publisher=[[Clarendon Press]]|page=63|oclc=642232959}}</ref> menunjukkan bahwa setiap daftar bilangan prima [[Himpunan hingga|terhingga]] belum lengkap. Kunci utamanya adalah mengalikan bilangan prima pada daftar tertentu dan ditambah <math>1</math>. Jikalau terdiri dari bilangan prima <math>p_1,p_2,\ldots, p_n</math>, maka
+: <math> N = 1 + p_1\cdot p_2\cdots p_n </math>.
+Menurut teorema dasar aritmetika, <math>N</math> memiliki faktorisasi bilangan prima yang faktornya berjumlah satu atau lebih.
-[[Teorema Euklides|Bukti Euclid]]<ref>[[Euclid's Elements|Euclid's ''Elements'']], Book IX, Proposition 20. See [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIX/propIX20.html David Joyce's English translation of Euclid's proof] or {{cite book|url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=umn.31951000084215o;view=1up;seq=95|title=The Elements of Euclid, With Dissertations|last=Williamson|first=James|publisher=[[Clarendon Press]]|year=1782|location=Oxford|page=63|oclc=642232959}}</ref> menunjukkan bahwa setiap [[himpunan hingga|daftar hingga]] dari bilangan prima tak-lengkap. Ide kuncinya adalah mengalikan bilangan prima dalam daftar yang diberikan dan menambahkan <math>1.</math> Jika daftar tersebut terdiri dari bilangan prima <math>p_1,p_2,\ldots, p_n,</math> maka diberikan bilangan
-: <math> N = 1 + p_1\cdot p_2\cdots p_n. </math>
-Berdasarkan teorema dasar, <math>N</math> memiliki faktorisasi prima
 : <math> N =  p'_1\cdot p'_2\cdots p'_m </math>
-dengan satu atau lebih dari faktor prima. Maka, <math>N</math> habis dibagi nilai rata-rata oleh faktor ini, tetapi <math>N</math> memiliki sisa satu ketika dibagi dengan salah satu bilangan prima dalam daftar yang diberikan, jadi tidak ada faktor prima <math>N</math> yang ada pada daftar yang diberikan. Karena tidak ada daftar hingga dari semua bilangan prima, pasti ada banyak bilangan prima.
+<math>N</math> dibagi habis secara merata oleh setiap faktor-faktor tersebut, tetapi <math>N</math> mempunyai sisa yaitu satu ketika dibagi oleh suatu bilangan prima pada daftar tertentu sehingga tidak ada faktor bilangan prima <math>N</math> yang terdapat pada daftar tersebut. Karena tidak ada daftar bilangan prima terhingga, maka pasti ada tak berhingga banyaknya bilangan prima.
-Bilangan yang dibentuk dengan menjumlahkan satu ke hasil kali bilangan prima terkecil disebut [[bilangan Euklides]].<ref>{{cite book|title=Computational Recreations in Mathematica|first=Ilan|last=Vardi|publisher=Addison-Wesley|year=1991|isbn=978-0-201-52989-0|pages=82–89}}</ref> Lima bagian pertama adalah bilangan prima, namun untuk bagian keenam
-:<math>1+\big(2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13\big) = 30031 = 59\cdot 509,</math>
+Bilangan yang dibentuk dengan menambahkan 1 pada hasil kali dari bilangan prima terkecil disebut [[bilangan Euklides]].<ref>{{cite book|last=Vardi|first=Ilan|year=1991|title=Computational Recreations in Mathematica|publisher=Addison-Wesley|isbn=978-0-201-52989-0|pages=82–89}}</ref> Lima bilangan pertama adalah bilangan prima, tetapi yang keenam,
+: <math>1+\big(2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13\big) = 30031 = 59\cdot 509</math>,
 adalah bilangan komposit.
-===Rumus bilangan prima===
+=== Rumus untuk bilangan prima ===
-{{main|Rumus bilangan prima}}
+{{Main|Rumus untuk bilangan prima}}
-Tidak ada rumus efisien yang diketahui untuk bilangan prima. Misalnya, tidak ada [[polinomial]] non-konstan, bahkan dalam beberapa variabel mengambil ''hanya'' bilangan prima.<ref name="matiyasevich"/> Namun, ada banyak ekspresi yang mengkodekan semua bilangan prima atau hanya bilangan prima. Satu rumus yang mungkin didasarkan pada [[teorema Wilson]] dan menghasilkan angka 2 berkali-kali dan semua bilangan prima lainnya tepat.<ref>{{cite journal | last = Mackinnon | first = Nick | date = June 1987 | doi = 10.2307/3616496 | issue = 456 | pages = 113–114 | journal = [[The Mathematical Gazette]] | title = Prime number formulae | volume = 71| jstor = 3616496 }}</ref>  Ada pula satu himpunan [[persamaan Diophantine]] dalam sembilan variabel dan satu parameter dengan sifat berikut: parameter bilangan prima jika dan hanya jika sistem persamaan yang dihasilkan memiliki solusi atas bilangan asli. Hal ini digunakan untuk mendapatkan rumus tunggal dengan sifat bahwa semua nilai "positif" adalah prima.<ref name="matiyasevich">{{cite book | last = Matiyasevich | first = Yuri V. | author-link = Yuri Matiyasevich | year=1999 | chapter = Formulas for prime numbers | chapter-url=https://books.google.com/books?id=oLKlk5o6WroC&pg=PA13 | editor1-first=Serge | editor1-last = Tabachnikov | editor-link1=Sergei Tabachnikov| title = Kvant Selecta: Algebra and Analysis | volume = II | publisher = [[American Mathematical Society]] | isbn = 978-0-8218-1915-9 | pages=13–24}}</ref>
+Tidak ada rumus cepat yang diketahui untuk bilangan prima. Contoh, tidak ada [[polinomial]] takkonstan, bahkan dalam beberapa variabel, yang ''hanya'' memakai nilai bilangan prima.<ref>[[Yuri Matiyasevich|Matiyasevich, Yuri V.]] (1999). "[https://books.google.co.id/books?id=oLKlk5o6WroC&pg=PA13&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false Formulas for prime numbers]". In [[Serge Tabachnikov|Tabachnikov, Serge]] (ed.). ''Kvant Selecta: Algebra and Analysis''. Vol. II. [[American Mathematical Society]]. hlm. 13–24. ISBN 978-0-8218-1915-9.</ref> Namun, ada banyak bentuk rumus yang mengodekan semua bilangan prima, atau hanya bilangan prima. Ada rumus yang dapat didasari pada [[teorema Wilson]], dan rumus tersebut menghasilkan 2 berkali-kali dan sisa bilangan prima dihasilkan sekali.<ref>{{cite journal | last = Mackinnon | first = Nick | date = June 1987 | doi = 10.2307/3616496 | issue = 456 | pages = 113–114 | journal = [[The Mathematical Gazette]] | title = Prime number formulae | volume = 71| jstor = 3616496 }}</ref>  Adapula himpunan [[persamaan Diophantus]] dalam sembilan variabel dan satu parameter dengan sifat berikut: parameter adalah bilangan prima jika dan hanya jika sistem persamaan yang dihasilkan adalah solusi bilangan asli. Hal tersebut dapat dipakai untuk memperoleh rumus tunggal dengan sifat bahwa semua nilai ''positif'' adalah bilangan prima.<ref name="matiyasevich">{{cite book | last = Matiyasevich | first = Yuri V. | author-link = Yuri Matiyasevich | year=1999 | chapter = Formulas for prime numbers | chapter-url=https://books.google.com/books?id=oLKlk5o6WroC&pg=PA13 | editor1-first=Serge | editor1-last = Tabachnikov | editor-link1=Sergei Tabachnikov| title = Kvant Selecta: Algebra and Analysis | volume = II | publisher = [[American Mathematical Society]] | isbn = 978-0-8218-1915-9 | pages=13–24}}</ref>
-Contoh lain dari rumus pembangkit-prima berasal dari [[teorema Mills]] dan teorema [[E. M.Wright|Wright]]. Maka ini menegaskan bahwa terdapat konstanta real <math>A>1</math> dan <math>\mu</math> sedemikian rupa, sehingga
+Contoh rumus yang menghasilkan bilangan prima lainnya berasal dari [[teorema Mills]] dan teorema [[E. M. Wright|Wright]]. Rumus ini mengatakan bahwa terdapat suatu konstanta real <math>A > 1</math> dan <math>\mu</math> sehingga
-:<math>\left \lfloor A^{3^n}\right \rfloor \text{ dan } \left \lfloor 2^{\cdots^{2^{2^\mu}}} \right \rfloor</math>
-adalah prima untuk sembarang bilangan asli <math>n</math> dalam rumus pertama, dan sembarang bilangan eksponen dalam rumus kedua.<ref>{{cite journal |first=E.M. |last= Wright | author-link=E. M. Wright |title=A prime-representing function |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=58 |issue=9 |year=1951 |pages=616–618 |jstor=2306356 |doi= 10.2307/2306356}}</ref> Sehingga <math>\lfloor {}\cdot{} \rfloor</math> mewakili [[fungsi lantai]], bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan bilangan yang dimaksud. Namun, hal ini justru tidak berguna untuk menghasilkan bilangan prima, karena bilangan prima harus dibangkitkan terlebih dahulu untuk menghitung nilai <math>A</math> atau <math>\mu.</math><ref name="matiyasevich"/>
+: <math>\left \lfloor A^{3^n} \right \rfloor</math> dan <math>\left\lfloor 2^{\cdots^{2^{2^\mu}}}\right\rfloor</math>
-===Pertanyaan terbuka===
-{{Further|:Kategori:Konjektur tentang bilangan prima}}
-Banyak konjektur tentang bilangan prima telah diajukan. Seringkali memiliki rumus dasar, banyak dari konjektur ini telah bertahan selama beberapa dekade: keempat [[masalah Landau]] dari tahun 1912 masih belum terpecahkan.<ref>{{harvnb|Guy|2013}}, [https://books.google.com/books?id=EbLzBwAAQBAJ&pg=PR7 p. vii].</ref> Salah satunya adalah [[konjektur Goldbach]] yang menyatakan bahwa setiap bilangan bulat genap <math>n</math> lebih besar dari 2 ditulis sebagai jumlah dari dua bilangan prima.<ref>{{harvnb|Guy|2013}}, [https://books.google.com/books?id=EbLzBwAAQBAJ&pg=PA105 C1 Goldbach's conjecture, hal. 105–107].</ref> {{As of|2014}}, Konjektur ini telah diverifikasi untuk semua bilangan hingga <math>n=4\cdot 10^{18}.</math><ref>{{cite journal | last1 = Oliveira e Silva | first1 = Tomás | last2 = Herzog | first2 = Siegfried | last3 = Pardi | first3 = Silvio | doi = 10.1090/S0025-5718-2013-02787-1 | issue = 288 | journal = [[Mathematics of Computation]] | mr = 3194140 | pages = 2033–2060 | title = Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to <math>4\cdot10^{18}</math> | volume = 83 | year = 2014| doi-access = free }}</ref> Pernyataan yang lebih lemah dari ini telah dibuktikan, misalnya [[teorema Vinogradov]] yang menyatakan bahwa setiap bilangan bulat ganjil besar dapat ditulis sebagai jumlah dari tiga bilangan prima.<ref>{{harvnb|Tao|2009}}, [https://books.google.com/books?id=NxnVAwAAQBAJ&pg=PA239 3.1 Structure and randomness in the prime numbers, hal. 239–247]. Lihat terutama hal. 239.</ref> [[Teorema Chen]] menyatakan bahwa setiap bilangan genap besar dapat dinyatakan sebagai jumlah dari suatu bilangan prima dan [[semiprima]] (perkalian dari dua bilangan prima).<ref>{{harvnb|Guy|2013}}, hal. 159.</ref> Juga, bilangan bulat genap lebih besar dari 10 dapat ditulis sebagai jumlah dari enam bilangan prima.<ref>{{cite journal | last = Ramaré | first = Olivier | issue = 4 | journal = Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa | mr = 1375315 | pages = 645–706 | title = On Šnirel'man's constant | url = https://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1995_4_22_4_645_0 | volume = 22 | year = 1995}}</ref> Cabang teori bilangan yang mempelajari pertanyaan semacam itu disebut [[teori bilangan aditif]].<ref>{{cite book | last = Rassias | first = Michael Th. | doi = 10.1007/978-3-319-57914-6 | isbn = 978-3-319-57912-2 | location = Cham | mr = 3674356 | page = vii | publisher = Springer | title = Goldbach's Problem: Selected Topics | url = https://books.google.com/books?id=ibwpDwAAQBAJ&pg=PP6 | year = 2017}}</ref>
+adalah bilangan prima untuk suatu bilangan asli <math>n</math> dalam rumus yang pertama, dan suatu bilangan eksponen dalam rumus yang kedua.<ref>[[E.M. Wright|Wright, E.M.]] (1951). "A prime-representing function". ''[[The American Mathematical Monthly|American Mathematical Monthly]]''. '''58''' (9): 616–618. [[Pengenal objek digital|doi]]:[[doi:10.2307/2306356|10.2307/2306356]]. [[JSTOR]] [https://www.jstor.org/stable/2306356 2306356]</ref> <math>\lfloor \, \cdot \,\rfloor</math> merepresentasikan [[fungsi bilangan bulat terbesar]]. Akan tetapi, rumus-rumus tersebut tidak dapat digunakan untuk menghasilkan bilangan prima, karena bilangan prima harus dihasilkan terlebih dahulu agar memperoleh nilai <math> A </math> atau <math> \mu </math>.
-Jenis masalah lain menyangkut [[celah prima]], perbedaan antara bilangan prima berurutan.
-Adanya celah prima besar secara sembarang dapat dilihat dengan memperhatikan bahwa barisan <math>n!+2,n!+3,\dots,n!+n</math> terdiri dari <math>n-1</math> bilangan komposit, untuk sembarang bilangan asli <math>n.</math><ref>{{harvnb|Koshy|2002}}, [https://books.google.com/books?id=-9pg-4Pa19IC&pg=PA109 Teorema 2.14, hal. 109]. {{harvnb|Riesel|1994}} diberikan argumen serupa menggunakan [[primorial]] sebagai pengganti faktorial.</ref> However, large prime gaps occur much earlier than this argument shows.<ref name="riesel-gaps"/> Misalnya, celah prima pertama dengan panjang 8 adalah antara bilangan prima 89 dan 97,<ref>{{Cite OEIS|A100964|name=Smallest prime number that begins a prime gap of at least 2n}}</ref> jauh lebih kecil dari <math>8!=40320.</math> Diduga ada banyak sekali [[ prima kembar]]s, pasangan bilangan prima dengan selisih 2; ini adalah [[konjektur prima kembar]]. [[Konjektur Polignac]] menyatakan secara lebih umum bahwa untuk setiap bilangan bulat positif <math>k,</math> ada tak hingga banyak pasangan bilangan prima berurutan yang berbeda <math>2k.</math><ref name="rib-gaps">{{harvnb|Ribenboim|2004}}, Gaps between primes, hal. 186–192.</ref>
-[[Konjektur Andrica]],<ref name="rib-gaps"/> [[Brocard's conjecture]],<ref name="rib-183">{{harvnb|Ribenboim|2004}}, hal. 183.</ref> [[Legendre's conjecture]],<ref name="chan">{{cite journal | last = Chan | first = Joel | title = Prime time! | journal = Math Horizons | volume = 3 | issue = 3 | date = February 1996 | pages = 23–25 | jstor = 25678057| doi = 10.1080/10724117.1996.11974965 }} Perhatikan bahwa Chan mencantumkan konjektur Legendre sebagai "Postulat Sierpinski".</ref> and [[Oppermann's conjecture]]<ref name="rib-183"/> semua menyarankan bahwa jarak terbesar antara bilangan prima dari <math>1</math> hingga <math>n</math> paling banyak kira-kira <math>\sqrt{n},</math> hasil yang diketahui mengikuti hipotesis Riemann, sedangkan [[konjektur Cramér]] lebih bertahan menetapkan ukuran celah terbesar pada <math>O((\log n)^2).</math><ref name="rib-gaps"/> Celah prima digeneralisasikan ke [[rangkap-k prima|rangkap-<math>k</math> prima]], pola selisih antara lebih dari dua bilangan prima. Ketakhinggaan dan kepadatan mereka adalah subjek dari [[konjektur Hardy–Littlewood]], yang dapat dimotivasi oleh [[heuristik]] bahwa bilangan prima berperilaku serupa dengan barisan bilangan acak dengan kerapatan yang diberikan oleh teorema bilangan prima.<ref>{{harvnb|Ribenboim|2004}}, Prime <math>k</math>-tuples conjecture, pp. 201–202.</ref>
+=== Pertanyaan terbuka ===
+Banyak konjektur yang melibatkan bilangan prima telah diajukan. Seringkali memiliki perumusan dasar, banyak konjektur-konjektur tersebut memiliki bukti yang bertahan selama beberapa dekade: empat masalah Landau yang berasal dari tahun 1912 masih belum terpecahkan.<ref>{{harvnb|Guy|2013}}, [https://books.google.com/books?id=EbLzBwAAQBAJ&pg=PR7 hlm. vii].</ref> Salah satu masalah Landau adalah [[konjektur Goldbach]], yang menyatakan bahwa setiap bilangan bulat genap <math>n</math> lebih besar dari 2 dapat ditulis sebagai jumlah dari dua bilangan prima.<ref>{{harvnb|Guy|2013}}, [https://books.google.com/books?id=EbLzBwAAQBAJ&pg=PA105 C1 Goldbach's conjecture, hlm. 105–107].</ref> Hingga pada 2014, konjektur ini telah dibenarkan untuk semua bilangan hingga <math>n=4\cdot 10^{18}</math>.<ref>{{cite journal|last1=Oliveira e Silva|first1=Tomás|last2=Herzog|first2=Siegfried|last3=Pardi|first3=Silvio|year=2014|title=Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to <math>4\cdot10^{18}</math>|journal=[[Mathematics of Computation]]|volume=83|issue=288|pages=2033–2060|doi=10.1090/S0025-5718-2013-02787-1|mr=3194140|doi-access=free}}</ref> Pernyataan yang lebih lemah dari konjektur tersebut telah dibuktikan seperti: [[teorema Vinogradov]] yang mengatakan bahwa setiap bilangan bulat ganjil yang cukup besar dapat ditulis sebagai jumlah dari tiga bilangan prima,<ref>{{harvnb|Tao|2009}}, [https://books.google.com/books?id=NxnVAwAAQBAJ&pg=PA239 3.1 Structure and randomness in the prime numbers, pp. 239–247]. See especially p.&nbsp;239.</ref> [[teorema Chen]] yang mengatakan bahwa setiap bilangan genap yang cukup besar dapat dinyatakan sebagai jumlah dari bilangan prima dan [[Bilangan semiprima|semiprima]] (hasil kali dari dua bilangan prima),<ref>{{harvnb|Guy|2013}}, p. 159.</ref> serta suatu bilangan bulat genap yang lebih besar dari 10 dapat ditulis sebagai jumlah dari enam bilangan prima.<ref>{{cite journal|last=Ramaré|first=Olivier|year=1995|title=On Šnirel'man's constant|url=https://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1995_4_22_4_645_0|journal=Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa|volume=22|issue=4|pages=645–706|mr=1375315}}</ref> Cabang teori bilangan yang mempelajari masalah tersebut disebut [[teori bilangan aditif]].<ref>{{cite book|last=Rassias|first=Michael Th.|year=2017|url=https://books.google.com/books?id=ibwpDwAAQBAJ&pg=PP6|title=Goldbach's Problem: Selected Topics|location=Cham|publisher=Springer|isbn=978-3-319-57912-2|page=vii|doi=10.1007/978-3-319-57914-6|mr=3674356}}</ref>
 == Referensi ==
 {{div col|colwidth=30em}}

l b s Sistem bilangan
Himpunan terhitung	Bilangan asli ( $\scriptstyle \mathbb {N}$ ) Bilangan bulat ( $\scriptstyle \mathbb {Z}$ ) Bilangan rasional ( $\scriptstyle \mathbb {Q}$ ) Bilangan aljabar ( $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ ) Perioda Bilangan terkomputasi Bilangan aritmetis
Bilangan riil dan cabangan	Bilangan riil ( $\scriptstyle \mathbb {R}$ ) Bilangan kompleks ( $\scriptstyle \mathbb {C}$ ) Kuaternion ( $\scriptstyle \mathbb {H}$ ) Oktonion ( $\scriptstyle \mathbb {O}$ ) Sedenion ( $\scriptstyle \mathbb {S}$ ) Aljabar Cayley–Dickson Bilangan rangkap Bilangan kompleks hiperbolik Bilangan hiperkompleks Bilangan superreal Bilangan irasional Bilangan transenden Bilangan hiperreal Bilangan surreal
Sistem lain	Bilangan kardinal Bilangan ordinal Bilangan p-adik Bilangan supernatural