Bilangan riil

Simbol himpunan bilangan real

Dalam matematika, bilangan real atau bilangan riil (bahasa Inggris: real number) menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3,25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan ${\sqrt {2}}$. Bilangan real juga dapat dilambangkan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan. Pengunaan kata adjektiva real pertama kali diperkenalkan oleh René Descartes pada abad ke-17, yang bertujuan untuk membedakan akar fungsi real dan imajiner dari polinomial. Himpunan bilangan real dapat dilambangkan dengan diberi notasi $\mathbb {R}$.

Bilangan real dapat dipandang sebagai titik-titik yang terletak di sebuah garis yang panjangnya tak terhingga, dan garis itu disebut garis bilangan real. Garis bilangan real dapat dipandang sebagai bagian dari bidang kompleks, sedangkan bilangan real dapat dipandang sebagai bagian dari bilangan kompleks.

Bilangan real dapat dipandang sebagai titik-titik yang terletak di garis bilangan dengan panjangnya tak terhingga.

Penjelasan tersebut belum cukup rigorous berdasarkan standar modern matematika murni. Penemuan suatu definisi bilangan real yang cukup rigorous, dengan realisasi bahwa dibutuhkan definisi yang lebih baik, merupakan salah satu perkembangan matematika terpenting pada abad ke-19. Definisi aksiomatik standar yang ada saat ini menyatakan bahwa bilangan real yang membentuk lapangan terurut sempurna Dedekind $(\mathbb {R} \,,\,+\,,\,\cdot \,,\,<)$ dengan memperhatikan isomorfisma, sedangkan definisi konstruktif dari bilangan real meliputi pernyataan sebagai kelas ekuivalensi dari deret Cauchy (dari bilangan rasional), Dedekind cut, atau "representasi desimal" tak terhingga, sama-sama mempunyai penafsiran tepat untuk operasi aritmetika dan relasi orde. Definisi-definisi ini ekuivalen dan juga memenuhi definisi aksiomatik.

Himpunan bilangan real adalah tak terhitung, dalam artian bahwa himpunan bilangan real tidak dapat dipetakan satu-satu ke himpunan bilangan asli, walaupun sama-sama merupakan himpunan tak terhingga. Bahkan, kardinalitas dari himpunan semua bilangan real, yang dilambangkan ${\mathfrak {c}}$ dan disebut kardinalitas kontinum, lebih besar dari kardinalitas himpunan semua bilangan asli, yang dilambangkan $\aleph _{0}$.

Terdapat pernyataan yang berbunyi bahwa tidak ada subhimpunan dari himpunan bilangan real dengan kardinalitasnya lebih besar dari $\aleph _{0}$, dan lebih kecil dari ${\mathfrak {c}}$. Pernyataan itu dikenal sebagai hipotesis kontinum (bahasa Inggris: continuum hypothesis). Sayangnya, hipotesis ini masih belum dibuktikan atau dibantahkan menggunakan aksioma teori himpunan Zermelo–Fraenkel yang melibatkan aksioma pemilihan.

Sejarah

Koleksi Yale Babilonia 7289 SM lempeng tanah liat dibuat antara 1800 SM dan 1600 SM, menunjukkan √2 dan √2/2 = 1/√2 masing-masing sebagai 1; 24,51,10 dan 0; 42,25,35 sebagai basis 60 angka pada kotak yang dilintasi oleh dua diagonal. (1; 24,51,10) basis 60 sesuai dengan 1,41421296, yang merupakan nilai yang benar untuk 5 koma desimal (1,41421356...).

Papirus Matematika Rhind adalah salinan dari tahun 1650 SM dari Papirus Berlin sebelumnya dan teks lainnya – mungkin Papirus Kahun – yang menunjukkan bagaimana orang Mesir.

Dalam India Kuno, pengetahuan tentang aspek teoritis dan terapan akar kuadrat dan akar kuadrat setidaknya setua Sutra Sulba, tertanggal sekitar 800–500 SM (mungkin jauh lebih awal). Metode untuk menemukan pendekatan yang sangat baik ke akar kuadrat dari 2 dan 3 diberikan pada Baudhayana Sulba Sutra. Aryabhata, pada Aryabhatiya (bagian 2.4), telah diberikan metode untuk mencari akar kuadrat dari bilangan yang memiliki banyak digit.

Diketahui oleh orang Yunani kuno bahwa akar kuadrat dari bilangan bulat positif yang bukan kuadrat sempurna selalu bilangan irasional: angka tidak dapat diekspresikan sebagai rasio dari dua bilangan bulat (yaitu, tidak dapat ditulis persis seperti m/n , di mana m dan n adalah bilangan bulat). Ini adalah teorema Euclid X, 9 , hampir pasti karena Theaetetus yang berasal dari sekitar 380 SM. Kasus tertentu √2 diasumsikan berasal lebih awal dari Pythagoras, dan secara tradisional dikaitkan dengan Hippasus. Ini persis dengan panjang diagonal dari sebuah persegi dengan panjang sisi 1.

Dalam karya matematika Cina Writings on Reckoning , ditulis antara 202 SM dan 186 SM selama awal Dinasti Han, akar kuadrat didekati dengan menggunakan metode "kelebihan dan kekurangan", yaitu "...gabungkan kelebihan dan kekurangan sebagai pembagi; (mengambil) pembilang defisiensi dikalikan dengan penyebut berlebih dan pembilang berlebih dikalikan penyebut defisiensi, gabungkan mereka sebagai dividen."

Simbol untuk akar kuadrat, ditulis sebagai R yang rumit, ditemukan oleh Regiomontanus (1436-1476). Sebuah R juga digunakan untuk radix untuk menunjukkan akar kuadrat di Gerolamo Cardano Ars Magna.

Menurut sejarawan matematika D.E. Smith, metode Aryabhata untuk menemukan akar kuadrat pertama kali diperkenalkan di Eropa oleh Cataneo pada tahun 1546.

Menurut Jeffrey A. Oaks, orang Arab menggunakan surat itu jīm/ĝīm (ج), huruf pertama dari kata tersebut “جذر” (dengan berbagai cara ditransliterasikan sebagai jaḏr, jiḏr, ǧaḏr atau ǧiḏr, “akar”), ditempatkan dalam bentuk awalnya (ﺟ) di atas angka untuk menunjukkan akar kuadratnya. Huruf jīm menyerupai bentuk akar kuadrat saat ini. Penggunaannya bahkan sampai akhir abad kedua belas dalam karya matematikawan Maroko Ibn al-Yasamin.

Simbol '√' untuk akar kuadrat pertama kali digunakan dalam cetakan pada tahun 1525 oleh Christoph Rudolff 'Coss'.

Definisi

Artikel utama: Konstruksi bilangan real

Sistem bilangan real $(\mathbb {R} ,{}+{},{}\cdot {},{}<{})$ dapat didefinisikan secara aksiomatik dengan memperhatikan isomorfisma. Terdapat cara lain mengonstruksi sistem bilangan real, dan pendekatan yang terkenal melibatkan pendefinisian bilangan asli terlebih dahulu, berlanjut mendefinisikan bilangan rasional secara aljabar, dan terakhir mendefinisikan bilangan real sebagia kelas ekuivalensi dari barisan Cauchynya atau sebagai Dedekind cut, yang merupakan subhimpunan bilangan rasional tertentu. Pendekatan lainnya adalah dimulai dari beberapa aksiomatisasi geometri Euklides, dan kemudian mendefinisikan sistem bilangan real secara geometri.

Pendekatan aksiomatik

Misalkan $\mathbb {R}$ menyatakan himpunan dari semua bilangan real, maka:

• Himpunan $\mathbb {R}$ adalah lapangan, yang berarti opersai penambahan dan perkalian terdefinisi dan mempunyai beberapa sifat-sifat.
• Lapangan $\mathbb {R}$ adalah terurut, yang berarti bahwa terdapat orde total <mathh> \ge </math> sehingga untuk semua bilangan real $x$, $y$, dan $z$:
  • jika $x\geq y$, maka $x+z\geq y+z$; serta
  • jika $x\geq 0$ dan $y\geq 0$, maka $xy\geq 0$.
• Ordenya adalah sempurna Dedekind, yang mengartikan bahwa setiap subhimpunan tidak kosong $S$ dari $\mathbb {R}$ dengan batas atas di $\mathbb {R}$ mempunyai supremum di $\mathbb {R}$.

Sifat-sifat tersebut menyiratkan sifat Archimedes (yang tak disiratkan dengan definsii kelengkapan lainnya), dan sifat tersebut mengatakan bahwa himpunan bilangan bulat tidak mempunyai batas atas di himpunan bilangan real. Bahkan jika pernyataan tersebut salah, maka bilangan bulat akan mempunyai batas atas terkecil $N$, maka $N-1$ tidak akan menjadi batas atasnya, dan akan terdapat suatu bilangan bulat $n$ sehingga $''n''>''N''-1$, dan demikian $n+1>N$. Pernyataan ini menjadi kontradiksi dengan sifat batas atas $N$.

Bilangan real dapat ditentukan dengan menggunakan sifat-sifat sebelumnya. Lebih tepatnya, diketahui untuk setiap dua lapangan terurut sempurna Dedekind $\mathbb {R} _{1}$ dan $\mathbb {R} _{2}$, maka akan terdapat satu buah lapangan isomorfisma dari $\mathbb {R} _{1}$ ke $\mathbb {R_{2}}$. Ketunggalan tersebut memungkinkan bahwa objek-objek tersebut pada dasarnya dapat dipandang sama.

Untuk aksiomatisasi dari $\mathbb {R}$ lainnya, lihat aksiomatisasi bilangan real Tarski.

Konstruksi dari bilangan rasional

Bilangan real dapat dikonstruksi sebagai kelengkapan dari bilangna rasional, sehingga sebuah barisan didefinisikan dengan memperluas desimal atau biner, contohnya untuk kasus $\pi$, (3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; ...) konvergen menuju satu buah bilangan real. Untuk mengenal konstruksi bilangan real lebih lanjut dan konstruksi lainnya, lihat konstruksi bilangan real.

Sifat bilangan real

Sifat-sifat dasar

• Untuk setiap bilangan real bukan nol dapat bernilai negatif atau positif.
• Jumlah dan hasil kali dua bilangan real tak negatif akan menghasilkan bilangan real tak negatif. Hal ini mengartikan bahwa bilangan-bilangan tersebut tertutup di bawah opersi penambahan dan perkalian.
• Bilangan real membentuk himpunan tak terhingga yang tidak dapat dipetakan secara injektif himpunan bilangan asli yang tak terhingga. Hal ini mengartikan bahwa himpunan bilangan real mempunyai jumlah bilangan real yang dikatakan sebagai uncountably infinite, sedangkan himpunan bilangan asli mempunyai jumlah bilangan asli yang countably infinite. Jadi, dapat dinyatakan bahwa bilangan real mempunyai jumlah yang jauh lebih banyak daripada anggota di himpunan terbilang manapun.
• Terdapat sebuah hierarki subhimpunan countably infinite dari bilangan real, dalam artian bahwa tiap-tiap himpunan bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan aljabar, dan bilangan terhitung merupakan subhimpunan sejati dari objek berikutnya. Komplemen dari semua himpunan-himpunan itu adalah himpunan bilangan irasional, himpunan bilangan transendental, dan himpunan bilangan real tak terhitung, dan himpunan tersebut dikatakan sebagai uncountably infinite.
• Bilangan real dapat dipakai untuk menyatakan ukuran dari kuantitas kontinu. Bilangan real dinyatakan dengan representasi desimal, yang mengartikan bahwa hampir semua bilangan real dinyatakan sebagai bilangan yang mengandung desimal dengan barisan digit tak terhingga, yang dimulai dari kanan tanda desimal. Bilangan real kerapkali, sebagai contoh, ditulis seperti 324,823122147..., dengan elipsis (dilambangkan tiga titik) mengartikan bahwa masih terdapat lanjutan digit lain.

Kelengkapan bilangan real

Artikel utama: Kelengkapan bilangan real

Alasan utama menggunakan bilangan real adalah agar banyak barisan mempunyai limit. Penjelasan lebih formalnya, bilangan real dikatakan lengkap dalam pengertian ruang metrik atau ruang seragam; penjelasan ini berbeda dengan kelengkapan orde Dedekind di bagian sebelumnya:

• Suatu barisan $(x_{n})$ dari bilangan real disebut barisan Cauchy jika, untuk setiap $\varepsilon >0$, terdapat bilangan bulat $N$ (tergantung nilai $\varepsilon$), sehingga jarak $\left|x_{n}-x_{m}\right|$ lebih kecil daripada $\varepsilon$ untuk semua $n$ dan $m$ yang lebih besar daripada $N$. Definisi ini pertama kali dinyatakan oleh Cauchy, yang merumuskan bahwa suku-suku $x_{n}$ akan semakin dekat terhadap satu sama lain.
• Suatu barisan $(x_{n})$ akan konvergen menuju limit $x$, jika anggotanya akan semakin dekat menuju $x$. Ini mengartikan bahwa untuk setiap $\varepsilon >0$, akan ada suatu bilangan bulat $N$ (tergantung nilai $\varepsilon$) sehingga $\left|x_{n}-x\right|$ lebih kecil daripada $\varepsilon$ untuk $n$ lebih besar daripada $N$.

Setiap barisan konvergen disebut barisan Cauchy, dan kebalikannya juga benar untuk bilangan real. Dari pernyataan tersebut, mengartikan bahwa ruang topologi dari bilangan real dikatakan lengkap.

Himpunan bilangan rasional tidak dikatakan lengkap. Sebagai contoh, barisan $(1;1,4;1,41;1,414;1,4142;1,41421;...)$, dengan tiap suku yang memperluas desimal akar kuadrat positif dari 2, merupakan barisan Cauchy. Sayangnya, barisan ini tidak konvergen menuju bilangan rasional, dan sebaliknya bahwa dalam bilangan real, akan konvergen menuju ke akar kuadrat positif dari 2.

Sifat lebih lanjut

Lihat pula: Garis bilangan real

Himpunan bilangan real adalah himpunan tak terhitung. Ini mengartikan bahwa kardinalitas dari himpunan bilangan real mempunyai jumlah anggota yang sangat banyak daripada himpunan bilangan asli, walaupun sama-sama himpunan tak terhingga. Bahkan kardinalitas dari himpunan bilangan real sama dengan himpunan kuasa dari bilangan asli, dan argumen diagonal Cantor mengatakan bahwa kardinalitas dari himpunan yang terakhir jauh lebih besar daripada kardinalitas dari $\mathbb {N}$. Karena himpunan bilangan aljabar adalah himpunan terhitung, hampir semua bilangan real adalah transendental. Ketidakberadaan subhimpunan dari bilangan real dengan kardinalitasnya berada di antara kardinalitas bilangan bulat dan bilangan real dikenal sebagai hipotesis kontinum. Hipotesis kontinum tak dapat dibuktikan maupun dibantahkan, dan hipotesis ini independen dari aksioma teori himpunan.

Sebagai ruang topologi, bilangan real disebut terpisah. Ini disebabkan himpunan bilangan rasional adalah himpunan terhitung, dan rapat di bilangan real. Bilangan irasional juga rapat di bilangan real, tetapi himpunannya tak terhitung dan mempunyai kardinalitas yang sama seperti kardinalitas dari himpunan bilangan real.

Penerapan dan kaitannya dengan bidang lain

Bilangan real dan logika

Bilangan real seringkali dirumuskan menggunakan aksiomatisasi teori himpunan Zermelo–Fraenkel, tetapi sebagian matematikawan mempelajari bilangan real menggunakan dasar-dasar logika matematika lainnya. Secara khusus, bilangan real dipelajari pula dalam reverse mathematics dan matematika konstruksi.

Bilangan hiperreal saat dikembangkan oleh Edwin Hewitt, Abraham Robinson dan matematikawan lainnya, memperluas himpunan bilangan real dengan memperkenalkan infinitesimal dan bilangan tak terhingga. Adanya bilangan ini akan dapat membangun kalkulus infinitesimal, sebuah cabang matematika yang mendekati pandangan Leibniz, Euler, Cauchy dan matematikawan lainnya.

Hipotesis kontinum berbunyi bahwa kardinalitas dari himpunan bilangan real adalah $\aleph _{1}$, bilangan kardinal tak terhingga terkecil setelah kardinalitas dari bilangan bulat, yaitu $\aleph _{0}$. Paul Cohen membuktikan pada tahun 1963, bahwa hipotesis tersebut adalah suatu independen aksioma dari aksioma teori himpunan lainnya, dalam artian bahwa seseorang dapat memilih hipotesis kontinum atau negasinya sebagai aksioma teori himpunan, tanpa adanya kontradiksi.

Dalam fisika

Dalam ilmu fisika, hampir semua konstanta seperti konstanta gravitasi semesta; dan variabel seperti posisi, massa, kecepatan, dan muatan listrik, digambarkan menggunakan bilangan real. Bahkan teori-teori dasar seperti mekanika klasik, elektromagnetisme, mekanika kuantum, relativitas umum dan model standar dijelaskan menggunakan struktur matematika seperti manifold mulus atau ruang Hilbert, yang didasari dengan bilangan real, walaupun pengukuran kuantitas fisik lainnya akurat dan presisi.

Lihat pula

• Bilangan asli
• Bilangan bulat
• Bilangan cacah
• Bilangan imajiner
• Bilangan kompleks
• Bilangan rasional
• Bilangan irasional
• Bilangan prima
• Bilangan komposit
• Pecahan

Pranala luar

• (Inggris)The real numbers: Pythagoras to Stevin Diarsipkan 2007-02-12 di Wayback Machine.
• (Inggris)The real numbers: Stevin to Hilbert Diarsipkan 2007-03-22 di Wayback Machine.
• (Inggris)The real numbers: Attempts to understand Diarsipkan 2007-02-12 di Wayback Machine.
• (Indonesia)Diktat Analisis Real Jurusan Matematika ITB