Himpunan terbuka

Contoh: Titik-titik (x, y) yang memenuhi x² + y² = r² berwarna biru. Titik-titik (x, y) yang memenuhi x² + y² < r² berwarna merah. Titik-titik merah membentuk himpunan terbuka. Gabungan titik merah dan biru adalah himpunan tertutup.

Dalam matematika, himpunan terbuka adalah suatu himpunan dengan sifat yang ditentukan dengan seksama. Secara gamblang, himpunan U dikatakan terbuka jika sebarang titik x anggota U hanya dilingkungi oleh anggota U juga, sehingga x dapat berpindah dengan "cara" apapun dan masih tetap berada di U.

Gagasan himpunan terbuka memberikan cara yang paling mendasar untuk membahas kedekatan titik-titik di dalam ruang topologi, tanpa mendefinisikan konsep jarak. Konsep yang menggunakan gagasan kedekatan, seperti kontinuitas fungsi, dapat diterjemahkan ke dalam bahasa himpunan terbuka.

Di dalam topologi himpunan-titik, himpunan terbuka digunakan untuk membedakan titik-titik dan himpunan bagian suatu ruang. Derajat keterpisahan dua titik sembarang diatur oleh aksioma pemisahan. Kumpulan semua himpunan terbuka di suatu ruang mendefinisikan topologi ruang. Fungsi dari satu ruang topologi ke ruang topologi lainnya yang mengawetkan topologi adalah fungsi kontinu. Meskipun himpunan terbuka dan topologi yang mereka cakup adalah yang terpenting di dalam topologi himpunan-titik, mereka juga digunakan sebagai alat pengorganisasian di cabang-cabang penting matematika lainnya. Contoh topologi adalah topologi Zariski di dalam geometri aljabar yang mencerminkan sifat aljabar dari varietas, dan topologi pada suatu lipatan diferensial di dalam topologi diferensial di mana tiap-tiap titik di dalam ruang adalah berada di dalam himpunan terbuka yang bersifat homeomorfik terhadap bola terbuka di dalam ruang euklides berdimensi berhingga.

Dalam Ruang Euklides

Definisi

Diberikan $U$ suatu himpunan bagian dari Ruang Euklides berdimensi-$n$ $\mathbb {R} ^{n}$, maka $U$ dikatakan terbuka, apabila berlaku:

Untuk setiap $x$ anggota $U$ ada suatu bilangan bulat $\varepsilon >0$, sedemikian sehingga setiap $y$ di $\mathbb {R} ^{n}$ yang berjarak kurang dari $\varepsilon$ ke $x$, juga berada di $U$.

Lihat pula

• Himpunan tertutup
• Himpunan terbuka-tertutup
• Lingkungan

Pranala luar

• Open Set, PlanetMath.org.