Teori kategori

Teori kategori. Sebuah kategori dengan objek X, Y, Z, dan morfisme f, g, g ∘ f, dan tiga morfisma identitas (tidak ditunjukkan) 1_X, 1_Y, dan 1_Z.

Teori kategori berhubungan dengan struktur matematika dan hubungan antar struktur tersebut secara abstrak. Saat ini kategori digunakan dalam matematika, informatika teori, dan fisika matematis. Kategori diperkenalkan pertama kali oleh Samuel Eilenberg dan Saunders Mac Lane pada tahun 1942-1945, dalam hubungannya dengan topologi aljabar.

Definisi Kategori

Suatu kategori ${\mathcal {C}}$ terdiri atas:

• Suatu kelas Obj(${\mathcal {C}}$) yang berisi objek dari kategori tersebut
• Untuk sebarang $A,B\in$ Obj(${\mathcal {C}}$) terdapat suatu himpunan morfisma Hom($A,B$) yang berisi morfisma atau panah dari objek $A$ ke objek $B$ dengan sifat:
  • Komposisi Morfisma. Kita bisa menggabungkan dua morfisma $f$ dan $g$, jika himpunan target dari morfisma pertama sama dengan himpunan sumber dari morfisma kedua, misal $f:A\rightarrow B$ dan $g:B\rightarrow C$ untuk suatu objek $A,B,$ dan $C$. Komposisi biasanya dilambangkan dengan $g\circ f$ yang berarti morfisma $f$ dilanjut oleh morfisma $g$ (dibaca dari kanan).
  • Morfisma Identitas. Untuk setiap $A\in$ Obj(${\mathcal {C}}$), terdapat morfisma identitas $1_{A}:A\rightarrow A$ yang untuk sebarang morfisma $f\in$ Hom($A,B$) memenuhi $f1_{A}=f$ dan $1_{B}f=f$

Suatu kategori ${\mathcal {C}}$ dikatakan sebagai kategori kecil jika Obj(${\mathcal {C}}$) adalah suatu himpunan.

Contoh Kategori

Dari pendefinisian kategori, terasa alami untuk mendefinisikan suatu kategori SET dengan Obj(SET) adalah kelas yang berisi semua himpunan dan untuk sebarang himpunan $A,B\in$ Obj(SET) kita punyai Hom($A,B$) fungsi dari himpunan $A$ ke himpunan $B$. Perhatikan bahwa kategori SET bukanlah sebuah kategori kecil dikarenakan koleksi dari seluruh himpunan bukanlah suatu himpunan (untuk menghindari paradoks Russel)

Beberapa contoh lain dari kategori diberikan pada tabel berikut

Kategori	Objek	Morfisma
Grp	Grup	Homomorfisma Grup
Manp	Manifold mulus	Pemetaan yang terdiferensialkan kontinu p-kali
Met	Ruang Metrik	Pemetaan metrik
R-Mod	R-Modul, dengan R suatu gelanggang	Homomorfisma modul
Ring	Gelanggang	Homomorfisma gelanggang
Top	Ruang Topologi	Fungsi kontinu
VectK	Ruang vektor atas lapangan K	Pemetaan linier

Konstruksi Kategori Baru dari Kategori yang Ada

Kategori Dual

Sebarang kategori ${\mathcal {C}}$ dapat dikonstruksi menjadi kategori baru dengan membalik setiap morfismanya tanpa mengubah objeknya. Kategori yang demikian disebut kategori dual dan dinotasikan sebagai ${\mathcal {C}}$^op