Komposisi fungsi

Dalam matematika, komposisi fungsi adalah operasi yang mengambil dua fungsi $f$ dan $g$ dan menghasilkan fungsi $h=g\circ f$ sehingga $h(x)=g(f(x))$. Fungsi $g$ pada operasi ini diterapkan ke dalam hasil penerapan fungsi $f$ ke $x$. Artinya, fungsi $f:X\to Y$ dan $g:Y\to Z$ dikomposisikan untuk menghasilkan sebuah fungsi yang memetakan $x$ di $X$ ke $g(f(x))$ di $Z$. Secara intuitif, jika $z$ adalah fungsi $y$, dan $y$ adalah fungsi $x$, maka $z$ adalah fungsi $x$. Hasil fungsi komposisi yang dinyatakan sebagai $g\circ f:X\to Z$, didefinisikan sebagai $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ untuk semua $x$ dalam $X$.

Notasi $g\circ f$ dibaca sebagai "$g$ lingkaran $f$", "$g$ bundar $f$", "$g$ di sekitar $f$", $g$ dikomposisi dengan $f$", "$g$ setelah $f$", $g$ mengikuti $f$", "$g$ dari $f$", "$f$ kemudian $g$", atau "$g$ pada $f$". Secara intuitif, mengomposisikan fungsi-fungsi adalah proses perangkaian yang memasukkan nilai keluaran ({[Lang-en|output}}) fungsi $f$ ke nilai masukan (Templat:Lang-en:input fungsi <math?g</math>.

Komposisi fungsi adalah sebuah kasus istimewa dari komposisi hubungan. Komposisi fungsi terkadang juga dinyatakan sebagai $\circ$. Akibatnya, semua sifat-sifat komposisi relasi adalah benar untuk komposisi fungsi, contohnya seperti sifat asosiatif. Namun komposisi fungsi berbeda dari perkalian fungsi, dan memiliki beberapa sifat-sifat yang cukup berbeda. Penjelasan secara khususnya, komposisi fungsi tidak memiliki sifat komutatif.

Contoh

Contoh konkret untuk komposisi dua fungsi

• Komposisi fungsi pada sebuah himpunan terbatasː Jika $f=\{(1,1),(2,3),(3,1),(4,2)\}$, dan $g=\{(1,2),(2,3),(3,1),(4,2)\}$, maka $g\circ f=\{(1,2),(2,1),(3,2),(4,3)\}$, seperti yang ditunjukkan pada gambar.
• Komposisi fungsi pada sebuah himpunan tak terbatasː Jika $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ (dimana $\mathbb {R}$ adalah himpunan dari semua bilangan real) diberikan oleh $f(x)=2x+4$ dan $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ diberikan oleh $g(x)=x^{3}$

$(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x^{3})=2x^{3}+4$ dan $(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(2x+4)=(2x+4)^{3}$.

• Jika sebuah ketinggian pesawat terbang pada waktu $t$ adalah $a(t)$ dan tekanan udara pada ketinggian $x$ adalah $p(x)$, maka $(p\circ a)(t)$ adalah tekanan di sekitar pesawat pada waktu $t$.

Sifat-sifat

Komposisi fungsi selalu asosiatif—sebuah sifat yang diwariskan dari komposisi hubungan. Artinya, jika $f$, $g$, dan $h$ dapat dikomposisikan, maka $f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h$. Karena tanda kurung tidak mengubah hasilnya, maka secara umum akan dihilangkan.

Dalam arti yang sempit, komposisi $g\circ f$ hanya berarti jika kodomain $f$ sama dengan domain $g$, dalam arti yang lebih luas, itu cukup bahwa yang pertama menjadi sebuah himpunan bagian dari yang terakhir. Bahkan, itu seringkali membatasi domain $f$ secara diam-diam, seperti $f$ menghasilkan hanya nilai dalam domain $g$. Sebagai contoh, komposisi $g\circ f$ dari fungsi f : ℝ → (−∞,+9] didefinisikan oleh $f(x)=9-x^{2}$ dan g : [0,+∞) → ℝ didefinisikan oleh $g(x)={\sqrt {x}}$ bisa didefinisikan pada interval $[-3,+3]$.

Komposisi dua fungsi real, nilai mutlak dan sebuah fungsi kubik, dalam urutan yang berbeda, mnunjukkan sebuah non-komutatif komposisi.

Fungsi $g$ dan $f$ dikatakan untuk menukarkan satu sama lain jika $g\circ f=f\circ g$. Komutatif adalah sebuah sifat yang spesial, dicapai hanya oleh fungsi tertentu, dan sering dalam keadaan khusus. Sebagai contoh, $\left|x\right|+3=\left|x+3\right|$ hanya ketika $x\geq 0$. Gambar tersebut menunjukkan contoh berikut.

Komposisi dari fungsi satu ke satu selalu satu ke satu. Demikian pula, komposisi ke fungsi selalu sesuai. Itu mengikuti komposisi dua bijeksi juga sebuah bijeksi. Fungsi invers dari sebuah komposisi (diasumsikan dapat dibalik) memiliki sifat yaitu $(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$

Turunan komposisi-komposisi melibatkan fungsi yang dapat dibedakan bisa ditemukan menggunakan aturan rantai. Turunan tingkat tinggi seperti fungsi diberikan oleh rumus Faà di Bruno.

Monoid komposisi

Misalkan salah satu memiliki dua (atau lebih) fungsi $f:X\to X$, $g:X\to X$ memiliki domain dan kodomain yang sama, ini sering disebut transformasi. Maka salah satunya membentuk rantai transformasi yang dikomposisi bersama, seperti $f\circ f\circ g\circ f$. Rantainya memiliki struktur aljabar dari sebuah monoid, disebut monoid komposisi. Secara umum, monoid transformasi dapat memiliki struktur yang sangat rumit. Satu contoh penting adalah kurva de Rham. Himpunan semua fungsi $f:X\to X$ disebut semigrup transformasi penuh atau semigrup simetris pada $X$ (Salah satunya benar-benar mendefinisikan dua semifrup bergantung bagaimana salah satu mendefinsikan operasi semigrup sebagai komposisi kiri atau kanan fungsi.)

Kesamaan yang mengubah segitiga $EFA$ menjadi segitiga $ATB$ adalah komposisi dari sebuah homoteti $H$ dan sebuah rotasi $R$, yang mana pusat umum nya adalah $S$. Sebagai contoh, gambar $A$ di bawah rotasi $R$ adalah $U$, yang dapat ditulis $R(A)=U$. Dan $H(U)=B$ berarti bahwa pemetaan $H$ mengubah $U$ menjadi $B$. Demikian, $H(R(A))=(H\circ R)(A)=B$.

Jika transformasi adalah bijektif (dan demikian dapat dibalik), maka himpunan semua kemungkinan kombinasi dari fungsi-fungsi ini membentuk sebuah grup transformasi, dan salah satunya mengatakan bahwa grupnya dihasilkan oleh fungsi-fungsi ini. Sebuah hasil fundamental dalam teori grup, teorema Cayley, pada dasarnya mengatakan bahwa setiap grup sebenarnya hanya sebuah subgrup dari sebuah grup permutasi (sampai isomorfisme)

Himpunan dari semua fungsi bijektif $f:X\to X$ (disebut permutasi) membentuk sebuah grup terhadap komposisi fungsi. Ini adalah grup simetris, juga terkadang disebut grup komposisi.

Dalam semigrup simetris (semua transformasi) salah satunya juga menemukan yang lebih lemah, gagasan tidak unik tentang invers (disebut pseudoinvers) karena semigrup simetris adalah sebuah semigrup reguler.

Pangkat fungsional

Jika $Y\subset X$, maka $f:X\to Y$ dapat mengomposisikan dirinya sendiri, ini terkadang dilambangkan sebagai $f^{2}$. Yakniː

$(f\circ f)(x)=f(f(x))=f^{2}(x)$

$(f\circ f\circ f)(x)=f(f(f(x)))=f^{3}(x)$

$(f\circ f\circ f\circ )(x)=f(f(f(f(x))))=f^{4}(x)$

Lebih umum lagi, untuk setiap bilangan asli $n\geq 2$, pangkat fungsional ke $n$ bisa didefinisika secara induktif oleh $f^{n}=f\circ f^{n-1}=f^{n-1}\circ f$, sebuah notasi yang diperkenalkan oleh Hans Heinrich Bürmann dan John Frederick William Herschel. Komposisi berulang dari seperti sebuah fungsi dengan sendirinya disebuah fungsi berulang.

• Dengan ketentuan, $f^{0}$ didefinisikan sebagai pemetaan identitas pada domain $f$, $\operatorname {id} _{X}$.
• Jika bahkan $Y=X$ dan $f:X\to X$ menerima sebuah fungsi invers $f^{-1}$, fungsional pangkat negatif $f^{-n}$ didefinisikan untuk $n>0$ sebagai pangkat yang dinegasikan dari fungsi inversː $f^{-n}=\left(f^{-1}\right)^{n}$

Catatanː Jika $f$ memiliki nilainya dalam sebuah gelanggang (khususnya untuk $f$ bernilai real atau kompleks), terdapat sebuah risiko kebingungan, sebagai $f^{n}$ bisa juga berarti produk $n$-lipat dari $f$, misalnya $f^{2}(x)=f(x)f(x)$. Untuk fungsi trigonometrik, biasanya yang terakhir berarti, setidaknya untuk eksponen positif. Sebagai contoh, dalam trigonometri, notasi superskrip ini mewakili eksponensiasi standar ketika digunakan dengan fungsi trigonometrikː $\sin ^{2}x=\sin x\cdot \sin x$. Namun, untuk eksponen negatif (termasuk $-1$), biasanya merujuk pada fungsi invers, misalnya $\tan ^{-1}=\arctan \neq {\frac {1}{\tan }}$.

Dalam beberapa kasus, ketika, untuk fungsi $f$$f$ yang diberikan, persamaan $g\circ g=f$ memiliki sebuah penyelesaian yang unik $g$, yang fungsinya dapat didefinisikan sebagai akar kuadrat fungsional $f$, maka ditulis sebagai $g=f^{\frac {1}{2}}$.

Lebih umum lagi, jika $g^{n}=f$ memiliki sebuah penyelesaian yang unik untuk setiap bilangan asli $n>0$, maka $f^{\frac {m}{n}}$ bisa didefinisikan sebagai $g^{m}$

Di bawah batas tambahan, ide ini bisa digeneralisasikan sehingga perhitungan berulang menjadi sebuah parameter kontinu, dalam kasus ini, seperti sistem itu disebut alir, ditentukan melalui penyelesaian persamaan Schröder. Fungsi yang berulang dan alir terjafi secara alami dalam studi fraktal dan sistem dinamikal.

Untuk menghindari ambiguitas, beberapa matematikawan memilih untuk menggunakan $\circ$ untuk melambangkan pengertian komposisional, menulis $f^{\circ n}(x)$ untuk berulang ke-$n$ dari fungsi $f(x)$, seperti, misalnya, $f^{\circ 3}(x)$ berarti $f(f(f(x)))$. Untuk tujuan yang sama, $f^{[n]}(x)$ digunakan oleh Benjamin Peirce, sedangkan Alfred Pringsheim dan Jules Molk menyarankan $^{n}f(x)$ sebagai gantinya.

Gagasan alternatif

Banyak matematikawan, khususnya di teori grup, menghilangkan simbol komposisi, menulis $gf$ untuk $g\circ f$.

Dalam pertengahan abad ke-20, beberapa matematikawan memutuskan bahwa menulis "$g\circ f$" berarti "pertama terapkan $f$, kemudian terapkan $g$" terlalu membingungkan dan memutuskan untuk mengubah notasi. Mereka menulis "$xf$" untuk "$f(x)$" dan "$(xf)g$" untuk "$g(f(x))$". Ini bisa lebih alami dan tampak lebih sederhana daipada menulis fungsi pada sebelah kiri dalam beberapa area – dalam aljabar linear, sebagai contoh, ketika $x$ adalah sebuah vektor baris dan $f$ dan $g$ melambangkan matriks dan komposisinya berdasarkan notasi postfiks. Urutannya penting karena komposisi fungsi tidak perlu komutatif (misalnya perkalian matriks). Transformasi berurutan yang menerapkan dan menyusun ke kanan sesuai dengan urutan pembacaan kiri-ke-kanan.

Matematikawan yang menggunakan notasi postfiks dapat menulis "$fg$", berarti pertama terapkan $f$ dan kemudian terapkan $g$, sesuai dengan urutan simbol-simbol yang terjadi di notasi postfiks, sehingga membuat notasi "$fg$" menjadi ambigu. Ilmu komputer dapat menulis "$f;g$" untuk ini, dengan demikian mendisambiguasi urutan komposisi. Untuk membedakan operator komposisi kiri dari sebuah teks titik koma, dalam notasi Z, karakter ⨾ digunakan untuk komposisi relasi kiri. Karena semua fungsi adalah relasi biner, itu benar untuk digunakan menggunakan titik koma [gemuk] untuk komposisi fungsi juga (lihat artikel pada komposisi relasi untuk detail lebih lanjut pada notasi ini).

Operator komposisi

Diberikan sebuah fungsi $g$, operator komposisi $C_{g}$ didefinisikan sebagai operator yang memetakan fungsi ke fungsi sebagai

$C_{g}f=f\circ g.$

Operator komposisi dipelajari dalam bidang teori operator.

Dalam bahasa pemrograman

Komposisi fungsi muncul dalam satu bentuk atau lainnya dalam berbagai bahasa pemrograman.

Fungsi multivariat

Komposisi parsial dimungkinkan untuk fungsi multivariat. Fungsinya dihasilkan ketika beberapa argumen $x_{i}$, dari fungsi $f$ digantikan oleh fungsi $g$ disebut sebuah komposisi $f$ dan $g$ dalam beberapa konteks teknik komputer, dalam dilambangkan $f\mid _{x_{i}=g}$.

$f|_{x_{i}=g}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),x_{i+1},\ldots ,x_{n}).$

Ketika $g$ adalah sebuah konstanta sederhana $b$, komposisi merosot menjadi sebuah penilaian (parsial), yang hasilnya juga dikenal sebagai batasan atau ko-faktor.

$f|_{x_{i}=b}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},b,x_{i+1},\ldots ,x_{n}).$

Secara umum, komposisi fungsi multivariat dapat melibatkan beberapa fungsi lainnya sebagai argumen, seperti dalam definisi fungsi rekursif primitif. Diberikan $f$, sebuah fungsi $n$-ari dan fungsi $n$ $m$-ari $g_{1},\dots ,g_{n}$, komposisi $f$ dengan $g_{1},\dots ,g_{n}$ adalah fungsi $m$-er.

$h(x_{1},\ldots ,x_{m})=f(g_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m}),\ldots ,g_{n}(x_{1},\ldots ,x_{m}))$.

Ini terkadang disebut komposisi umum $f$ dengan $g_{1},\dots ,g_{n}$. Komposisi parsial hanya dalam saru argumen disebutkan sebelumnya bisa dipakai dari skema yang lebih umum ini dengan mengatur semua fungsi argumen kecuali salah satu yang akan dipilih fungsi proyeksi yang sesuai. Disini $g_{1},\dots ,g_{n}$ bisa dilihat sebagai sebuah fungsi vektor/bernilai tupel tunggal dalam skema yang umum ini, dalam hal ini tepatnya definisi standar dari komposisi fungsi.

Sebuah himpunan operasi finiter pada beberapa himpunan dasar $X$ disebut klon jika itu memuat semua proyeksi dan ditutup di bawah komposisi umum. Perhatikan bahwa klon secara umum memuat operasi berbagai ariti. Gagasan komutasi juga mencair sebuah generalisasi yang menarik dalam kasus multivariat; sebuah fungsi $f$ ariti $n$ dikatakan untuk menukarkan dengan sebuah fungsi $g$ ariti $m$ jika $f$ adalah sebuah homomorfisma mempertahankan $g$, dan sebaliknya yaituː

$f(g(a_{11},\ldots ,a_{1m}),\ldots ,g(a_{n1},\ldots ,a_{nm}))=g(f(a_{11},\ldots ,a_{n1}),\ldots ,f(a_{1m},\ldots ,a_{nm}))$.

Sebuah operasi unary selalu menukarkan dengan dirinya sendiri, tetapi ini belum tentu kasus untuk sebuah operasi biner (atau ariti lebih tinggi). Sebuah operasi biner (atau ariti lebih tinggi) yang menukarkan dengan dirinya sendiri disebut medial atau entropik.

Generalisasi

Komposisi bisa digeneralisasi ke relasi biner sembarang jika $R\subseteq X\times Y$ dan $S\subseteq Y\times Z$ (lihat ×) adalah dua relasi biner, maka komposisi mereka $R\circ S$ adalah relasi yang didefinisikan sebagai $\{(x;z)\in X\times Z:\exists y\in Y,(x,y)\in R\wedge (y,z)\in S\}$. Tinjaulah sebuah fungsi sebagai sebuah kasus spesial dari sebuah relasi biner (yaitu relasi fungsional), komposisi fungsi memenuhi definsi untuk komposisi relasi. Sebuah lingkaran kecil $R\circ S$ telah digunakan untuk notasi infiks komposisi relasi, serta fungsi. Ketika digunakan untuk mewakili komposisi fungsi $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ bagaimanapun, urutan teks dibalik untuk menjelaskan berbagai urutan operasi yang sesuai.

Komposisinya didefinisikan dengan cara yang sama untuk fungsi parsial dan teorema Cayley memiliki analognya disebut teorema Wagner–Preston.

Kategori himpunan dengan fungsi sebagai morfisme adalah kategori prototipe. Aksioma dari sebuah kategori sebenarnya terinspirasi dari sifat-sifat (dan juga definisi) atau komposisi fungsi. Strukturnya diberikan oleh komposisi bersifat aksiomatisasi dan digeneralisasikan dalam teori kategori dengan konsep morfisme sebagai fungsi pengganti kategori-teoretis. Urutan yang dibalik komposisi dalam rumus $(f\circ g)^{-1}=\left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)$ berlaku untuk komposisi relasi menggunakan relasi percakapan, dan dengan demikian dalam teori grup. Struktur-struktur ini membentuk kategori belati.

Tipografi

Simbol komposisi $\circ$ dikodekan sebagai U+2218 ∘ ring operator (HTML: ∘) ∘, ∘); lihat artikel simbol Derajat untuk karakter Unicode yang bermunculan serupa. Dalam TeX, itu ditulis \circ..

Lihat pula

• Akar kuadrat fungsional
• Alir (matematika)
• Dekomposisi fungsional
• Fungsi berulang
• Fungsi tingkat tinggi
• Fungsi variabel acak, distribusi dari sebuah fungsi dari sebuah variabel acak
• Gelanggang komposisi, sebuah aksiomatisasi formal dari operasi komposisi
• Kalkulus Lambda
• Komposisi fungsi (ilmu komputer)
• Komposisi takhingga fungsi analitik
• Logika kombinasi
• Plot sarang laba-laba – sebuah teknik grafis untuk komposisi fungsional

Bacaan lebih lanjut

• Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 2B Untuk Kelas XI Semester 2 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-503-3. 
• Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 2B Untuk Kelas XI Semester 2 Program IPS. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-564-5. 

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Composite function", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• "Composition of Functions" by Bruce Atwood, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.