Bilangan riil

Dalam matematika, bilangan real atau bilangan riil (bahasa Inggris: real number) menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3,25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan ${\sqrt {2}}$ . Bilangan real juga dapat dilambangkan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.^[1] Pengunaan kata adjektiva real pertama kali diperkenalkan oleh René Descartes pada abad ke-17, yang bertujuan untuk membedakan akar fungsi real dan imajiner dari polinomial.^[2] Himpunan bilangan real dapat dilambangkan dengan diberi notasi $\mathbb {R}$ .

Bilangan real dapat dipandang sebagai titik-titik yang terletak di sebuah garis yang panjangnya tak terhingga, dan garis itu disebut garis bilangan real. Garis bilangan real dapat dipandang sebagai bagian dari bidang kompleks, sedangkan bilangan real dapat dipandang sebagai bagian dari bilangan kompleks.

Penjelasan tersebut belum cukup rigorous berdasarkan standar modern matematika murni. Penemuan suatu definisi bilangan real yang cukup rigorous, dengan realisasi bahwa dibutuhkan definisi yang lebih baik, merupakan salah satu perkembangan matematika terpenting pada abad ke-19. Definisi aksiomatik standar yang ada saat ini menyatakan bahwa bilangan real yang membentuk lapangan terurut sempurna Dedekind $(\mathbb {R} \,,\,+\,,\,\cdot \,,\,<)$ dengan memperhatikan isomorfisma,^[3] sedangkan definisi konstruktif dari bilangan real meliputi pernyataan sebagai kelas ekuivalensi dari deret Cauchy (dari bilangan rasional), Dedekind cut, atau "representasi desimal" tak terhingga, sama-sama mempunyai penafsiran tepat untuk operasi aritmetika dan relasi orde. Definisi-definisi ini ekuivalen dan juga memenuhi definisi aksiomatik.

Himpunan bilangan real adalah tak terhitung, dalam artian bahwa himpunan bilangan real tidak dapat dipetakan satu-satu ke himpunan bilangan asli, walaupun sama-sama merupakan himpunan tak terhingga. Bahkan, kardinalitas dari himpunan semua bilangan real, yang dilambangkan ${\mathfrak {c}}$ dan disebut kardinalitas kontinum, lebih besar dari kardinalitas himpunan semua bilangan asli, yang dilambangkan $\aleph _{0}$ .

Terdapat pernyataan yang berbunyi bahwa tidak ada subhimpunan dari himpunan bilangan real dengan kardinalitasnya lebih besar dari $\aleph _{0}$ , dan lebih kecil dari ${\mathfrak {c}}$ . Pernyataan itu dikenal sebagai hipotesis kontinum (bahasa Inggris: continuum hypothesis). Sayangnya, hipotesis ini masih belum dibuktikan atau dibantahkan menggunakan aksioma teori himpunan Zermelo–Fraenkel yang melibatkan aksioma pemilihan.

Sejarah

Koleksi Yale Babilonia 7289 SM lempeng tanah liat dibuat antara 1800 SM dan 1600 SM, menunjukkan √2 dan √2/2 = 1/√2 masing-masing sebagai 1; 24,51,10 dan 0; 42,25,35 sebagai basis 60 angka pada kotak yang dilintasi oleh dua diagonal.^[4] (1; 24,51,10) basis 60 sesuai dengan 1,41421296, yang merupakan nilai yang benar untuk 5 koma desimal (1,41421356...).

Papirus Matematika Rhind adalah salinan dari tahun 1650 SM dari Papirus Berlin sebelumnya dan teks lainnya – mungkin Papirus Kahun – yang menunjukkan bagaimana orang Mesir.^[5]

Dalam India Kuno, pengetahuan tentang aspek teoritis dan terapan akar kuadrat dan akar kuadrat setidaknya setua Sutra Sulba, tertanggal sekitar 800–500 SM (mungkin jauh lebih awal).^{[butuh rujukan]} Metode untuk menemukan pendekatan yang sangat baik ke akar kuadrat dari 2 dan 3 diberikan pada Baudhayana Sulba Sutra.^[6] Aryabhata, pada Aryabhatiya (bagian 2.4), telah diberikan metode untuk mencari akar kuadrat dari bilangan yang memiliki banyak digit.

Diketahui oleh orang Yunani kuno bahwa akar kuadrat dari bilangan bulat positif yang bukan kuadrat sempurna selalu bilangan irasional: angka tidak dapat diekspresikan sebagai rasio dari dua bilangan bulat (yaitu, tidak dapat ditulis persis seperti m/n , di mana m dan n adalah bilangan bulat). Ini adalah teorema Euclid X, 9 , hampir pasti karena Theaetetus yang berasal dari sekitar 380 SM.^[7] Kasus tertentu √2 diasumsikan berasal lebih awal dari Pythagoras, dan secara tradisional dikaitkan dengan Hippasus.^{[butuh rujukan]} Ini persis dengan panjang diagonal dari sebuah persegi dengan panjang sisi 1.

Dalam karya matematika Cina Writings on Reckoning , ditulis antara 202 SM dan 186 SM selama awal Dinasti Han, akar kuadrat didekati dengan menggunakan metode "kelebihan dan kekurangan", yaitu "...gabungkan kelebihan dan kekurangan sebagai pembagi; (mengambil) pembilang defisiensi dikalikan dengan penyebut berlebih dan pembilang berlebih dikalikan penyebut defisiensi, gabungkan mereka sebagai dividen."^[8]

Simbol untuk akar kuadrat, ditulis sebagai R yang rumit, ditemukan oleh Regiomontanus (1436-1476). Sebuah R juga digunakan untuk radix untuk menunjukkan akar kuadrat di Gerolamo Cardano Ars Magna.^[9]

Menurut sejarawan matematika D.E. Smith, metode Aryabhata untuk menemukan akar kuadrat pertama kali diperkenalkan di Eropa oleh Cataneo pada tahun 1546.

Menurut Jeffrey A. Oaks, orang Arab menggunakan surat itu jīm/ĝīm (ج), huruf pertama dari kata tersebut “جذر” (dengan berbagai cara ditransliterasikan sebagai jaḏr, jiḏr, ǧaḏr atau ǧiḏr, “akar”), ditempatkan dalam bentuk awalnya (ﺟ) di atas angka untuk menunjukkan akar kuadratnya. Huruf jīm menyerupai bentuk akar kuadrat saat ini. Penggunaannya bahkan sampai akhir abad kedua belas dalam karya matematikawan Maroko Ibn al-Yasamin.^[10]

Simbol '√' untuk akar kuadrat pertama kali digunakan dalam cetakan pada tahun 1525 oleh Christoph Rudolff 'Coss'.^[11]

Sifat bilangan real

Sifat-sifat dasar

Untuk setiap bilangan real bukan nol dapat bernilai negatif atau positif.
Jumlah dan hasil kali dua bilangan real tak negatif akan menghasilkan bilangan real tak negatif. Hal ini mengartikan bahwa bilangan-bilangan tersebut tertutup di bawah opersi penambahan dan perkalian.
Bilangan real membentuk himpunan tak terhingga yang tidak dapat dipetakan secara injektif himpunan bilangan asli yang tak terhingga. Hal ini mengartikan bahwa himpunan bilangan real mempunyai jumlah bilangan real yang dikatakan sebagai uncountably infinite, sedangkan himpunan bilangan asli mempunyai jumlah bilangan asli yang countably infinite. Jadi, dapat dinyatakan bahwa bilangan real mempunyai jumlah yang jauh lebih banyak daripada anggota di himpunan terbilang manapun.
Terdapat sebuah hierarki subhimpunan countably infinite dari bilangan real, dalam artian bahwa tiap-tiap himpunan bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan aljabar, dan bilangan terhitung merupakan subhimpunan sejati dari objek berikutnya. Komplemen dari semua himpunan-himpunan itu adalah himpunan bilangan irasional, himpunan bilangan transendental, dan himpunan bilangan real tak terhitung, dan himpunan tersebut dikatakan sebagai uncountably infinite.
Bilangan real dapat dipakai untuk menyatakan ukuran dari kuantitas kontinu. Bilangan real dinyatakan dengan representasi desimal, yang mengartikan bahwa hampir semua bilangan real dinyatakan sebagai bilangan yang mengandung desimal dengan barisan digit tak terhingga, yang dimulai dari kanan tanda desimal. Bilangan real kerapkali, sebagai contoh, ditulis seperti 324,823122147..., dengan elipsis (dilambangkan tiga titik) mengartikan bahwa masih terdapat lanjutan digit lain.

Kelengkapan bilangan real

Alasan utama menggunakan bilangan real adalah agar banyak barisan mempunyai limit. Penjelasan lebih formalnya, bilangan real dikatakan lengkap dalam pengertian ruang metrik atau ruang seragam; penjelasan ini berbeda dengan kelengkapan orde Dedekind di bagian sebelumnya:

Suatu barisan $(x_{n})$ dari bilangan real disebut batisan Cauchy jika, untuk setiap $\varepsilon >0$ , terdapat bilangan bulat $N$ (tergantung nilai $\varepsilon$ ), sehingga jarak Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \left|x_n − x_m} lebih kecil daripada $\varepsilon$ untuk semua $n$ dan $m$ yang lebih besar daripada $N$ . Definisi ini pertama kali dinyatakan oleh Cauchy, yang merumuskan bahwa suku-suku $x_{n}$ akan semakin dekat terhadap satu sama lain.
Suatu barisan $(x_{n})$ akan konvergen menuju limit $x$ , jika anggotanya akan semakin dekat menuju $x$ . Ini mengartikan bahwa untuk setiap $\varepsilon >0$ , akan ada suatu bilangan bulat $N$ (tergantung nilai $\varepsilon$ ) sehingga $\left|x_{n}-x\right|$ lebih kecil daripada $\varepsilon$ untuk $n$ lebih besar daripada $N$ .

Setiap barisan konvergen disebut barisan Cauchy, dan kebalikannya juga benar untuk bilangan real. Dari pernyataan tersebut, mengartikan bahwa ruang topologi dari bilangan real dikatakan lengkap.

Himpunan bilangan rasional tidak dikatakan lengkap. Sebagai contoh, barisan $(1;1,4;1,41;1,414;1,4142;1,41421;...)$ , dengan tiap suku yang memperluas desimal akar kuadrat positif dari 2, merupakan barisan Cauchy. Sayangnya, barisan ini tidak konvergen menuju bilangan rasional, dan sebaliknya bahwa dalam bilangan real, akan konvergen menuju ke akar kuadrat positif dari 2.

Akar kuadrat dari bilangan bulat positif

Bilangan positif memiliki dua akar kuadrat, satu positif, dan satu negatif, yang berlawanan satu sama lain. Ketika berbicara tentang akar kuadrat dari bilangan bulat positif, biasanya yang dimaksud adalah akar kuadrat positif.

Akar kuadrat dari bilangan bulat adalah bilangan bulat aljabar, lebih spesifik dari bilangan bulat kuadrat.

Akar kuadrat dari bilangan bulat positif adalah hasil kali dari akar faktor dari bilangan prima, karena akar kuadrat dari suatu hasil kali adalah hasil kali dari akar kuadrat faktor. Karena $\sqrt p 2 k = p k$ , hanya akar dari bilangan prima yang memiliki pangkat ganjil di faktorisasi yang diperlukan. Lebih tepatnya, akar kuadrat dari faktorisasi prima adalah

{\sqrt {p_{1}^{2e_{1}+1}\cdots p_{k}^{2e_{k}+1}p_{k+1}^{2e_{k+1}}\dots p_{n}^{2e_{n}}}}=p_{1}^{e_{1}}\dots p_{n}^{e_{n}}{\sqrt {p_{1}\dots p_{k}}}.

Sebagai ekspansi desimal

Akar kuadrat dari kuadrat sempurna (misalnya, 0, 1, 4, 9, 16) adalah bilangan bulat. Dalam semua kasus lainnya, akar kuadrat dari bilangan bulat positif adalah bilangan irasional, dan karenanya memiliki non-desimal berulang dalam representasi desimal mereka. Perkiraan desimal dari akar kuadrat dari beberapa bilangan asli pertama diberikan dalam tabel berikut.

$n$	$\sqrt n$ , dipotong menjadi 50 tempat desimal
0	0
1	1
2	1.41421356237309504880168872420969807856967187537694
3	1.73205080756887729352744634150587236694280525381038
4	2
5	2.23606797749978969640917366873127623544061835961152
6	2.44948974278317809819728407470589139196594748065667
7	2.64575131106459059050161575363926042571025918308245
8	2.82842712474619009760337744841939615713934375075389
9	3
10	3.16227766016837933199889354443271853371955513932521

Sebagai perluasan dalam sistem angka lainnya

Seperti sebelumnya, akar kuadrat dari kuadrat sempurna (misalnya, 1, 4, 9, 16) adalah bilangan bulat. Dalam semua kasus lainnya, akar kuadrat dari bilangan bulat positif adalah bilangan irasional, dan oleh karena itu memiliki digit yang tidak berulang dalam sistem notasi posisi standar.

Akar kuadrat dari bilangan bulat kecil digunakan di kedua desain fungsi hash SHA-1 dan SHA-2 untuk memberikan tidak ada nomor lengan saya.

Sebagai pecahan lanjutan periodik

Salah satu hasil yang paling menarik dari studi bilangan irasional sebagai pecahan lanjutan diperoleh oleh Joseph Louis Lagrange ca 1780. Lagrange menemukan bahwa representasi dari akar kuadrat dari bilangan bulat positif bukan kuadrat sebagai pecahan lanjutan adalah berkala.

√2	= [1; 2, 2, ...]
√3	= [1; 1, 2, 1, 2, ...]
√4	= [2]
√5	= [2; 4, 4, ...]
√6	= [2; 2, 4, 2, 4, ...]
√7	= [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, ...]
√8	= [2; 1, 4, 1, 4, ...]
√9	= [3]
√10	= [3; 6, 6, ...]
√11	= [3; 3, 6, 3, 6, ...]
√12	= [3; 2, 6, 2, 6, ...]
√13	= [3; 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, ...]
√14	= [3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, ...]
√15	= [3; 1, 6, 1, 6, ...]
√16	= [4]
√17	= [4; 8, 8, ...]
√18	= [4; 4, 8, 4, 8, ...]
√19	= [4; 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1, 2, 8, ...]
√20	= [4; 2, 8, 2, 8, ...]

Notasi kurung siku yang digunakan di atas adalah singkatan dari pecahan lanjutan. Ditulis dalam bentuk aljabar yang lebih sugestif, pecahan lanjutan sederhana untuk akar kuadrat 11, [3; 3, 6, 3, 6, ...], looks like this:

{\sqrt {11}}=3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+\ddots }}}}}}}}}}

di mana pola dua digit {3, 6} berulang lagi dan lagi pada penyebut parsial. Karena 11 = 3² + 2, di atas juga identik dengan pecahan lanjutan umum:

{\sqrt {11}}=3+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {6}{20-1-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-\ddots }}}}}}}}}}.

Sifat-sifat

Aksioma medan

bilangan real, beserta operasi penjumlahan dan perkalian, memenuhi aksioma berikut.^[1]^[12] Misalkan x,y dan z merupakan anggota himpunan bilangan real R, dan operasi x+y merupakan penjumlahan, serta xy merupakan perkalian. Maka:

Aksioma 1 (hukum komutatif): x+y = y+x, dan xy = yx
Aksioma 2 (hukum asosiatif): x+(y+z) = (x+y)+z dan x(yz) = (xy)z
Aksioma 3 (hukum distributif): x(y+z) = (xy + xz)
Aksioma 4: Eksistensi unsur identitas. Terdapat dua bilangan real berbeda, yang dilambangkan sebagai 0 dan 1, sehingga untuk setiap bilangan real x kita mendapatkan 0+x=x dan 1.x=x.
Aksioma 5: Eksistensi negatif, atau invers terhadap penjumlahan. Untuk setiap bilangan real x, terdapat bilangan real y sehingga x+y=0. Kita dapat juga melambangkan y sebagai -x.
Aksioma 6: Eksistensi resiprokal, atau invers terhadap perkalian. Untuk setiap bilangan real x tidak sama dengan 0, terdapat bilangan real y sehingga xy=1. Kita dapat melambangkan y sebagai 1/x.

Himpunan yang memenuhi sifat-sifat ini disebut sebagai medan, dan karena hal itu aksioma di atas dinamakan sebagai aksioma medan.

Aksioma urutan

Kita akan mengasumsikan terdapat himpunan R+, yang disebut sebagai bilangan positif yang merupakan himpunan bagian dari R. Misalkan juga x dan y adalah anggota R+. Himpunan bagian ini memenuhi aksioma urutan berikut ini:^[12]

Aksioma 7: x+y dan xy merupakan anggota R+
Aksioma 8: Untuk setiap x yang tidak sama dengan 0, x anggota R+ atau -x anggota R+, tetapi tidak mungkin keduanya sekaligus
Aksioma 9: 0 bukan anggota R+.

Garis bilangan tak terhingga yang menggambarkan bilangan real

Aksioma kelengkapan

Aksioma 10: Setiap himpunan bilangan real S yang memiliki batas atas memiliki supremum, yakni ada suatu bilangan real B sehingga B=sup(S).

Lihat pula

Catatan kaki

^ ^a ^b Wrede, Robert (2007). "Bilangan". Schaum Outlines:Teori dan Soal-Soal Kalkulus Lanjut. Penerbit Erlangga. hlm. 1–2.
^ "real number | Definition, Examples, & Facts | Britannica". www.britannica.com.
^ Lebih tepatnya, jika ada dua bidang yang keseluruhan teratur lengkap, maka ada suatu isomorfisma unik di antara keduanya. Di sini tersirat bahwa identitas dari otomorfisma bidang unik dari bilangan real adalah kompatibel dengan penataan atau pengaturan.
^ "Analysis of YBC 7289". ubc.ca. Diakses tanggal 19 January 2015.
^ Anglin, W.S. (1994). Mathematics: A Concise History and Philosophy. New York: Springer-Verlag.
^ Joseph, ch.8.
^ Heath, Sir Thomas L. (1908). The Thirteen Books of The Elements, Vol. 3. Cambridge University Press. hlm. 3.
^ Dauben (2007), p. 210.
^ "The Development of Algebra - 2". maths.org. Diarsipkan dari versi asli tanggal 24 November 2014. Diakses tanggal 19 January 2015.
^ * Oaks, Jeffrey A. (2012). Algebraic Symbolism in Medieval Arabic Algebra (Tesis). Philosophica. p. 36. Diarsipkan dari yang asli on 2016-12-03. https://web.archive.org/web/20161203134229/http://logica.ugent.be/philosophica/fulltexts/87-2.pdf. Diarsipkan 2016-12-03 di Wayback Machine.
^ Manguel, Alberto (2006). "Done on paper: the dual nature of numbers and the page". The Life of Numbers. ISBN 84-86882-14-1.
^ ^a ^b Apostol, Tom (1967). Calculus Vol. 1 (edisi ke-2). John Wiley and Sons, Inc. hlm. 17–19.

Pranala luar

(Inggris)The real numbers: Pythagoras to Stevin Diarsipkan 2007-02-12 di Wayback Machine.
(Inggris)The real numbers: Stevin to Hilbert Diarsipkan 2007-03-22 di Wayback Machine.
(Inggris)The real numbers: Attempts to understand Diarsipkan 2007-02-12 di Wayback Machine.
(Indonesia)Diktat Analisis Real Jurusan Matematika ITB

[schaum-1] Wrede, Robert (2007). "Bilangan". Schaum Outlines:Teori dan Soal-Soal Kalkulus Lanjut. Penerbit Erlangga. hlm. 1–2.

[2] "real number | Definition, Examples, & Facts | Britannica". www.britannica.com.

[3] Lebih tepatnya, jika ada dua bidang yang keseluruhan teratur lengkap, maka ada suatu isomorfisma unik di antara keduanya. Di sini tersirat bahwa identitas dari otomorfisma bidang unik dari bilangan real adalah kompatibel dengan penataan atau pengaturan.

[4] "Analysis of YBC 7289". ubc.ca. Diakses tanggal 19 January 2015.

[5] Anglin, W.S. (1994). Mathematics: A Concise History and Philosophy. New York: Springer-Verlag.

[6] Joseph, ch.8.

[7] Heath, Sir Thomas L. (1908). The Thirteen Books of The Elements, Vol. 3. Cambridge University Press. hlm. 3.

[8] Dauben (2007), p. 210.

[9] "The Development of Algebra - 2". maths.org. Diarsipkan dari versi asli tanggal 24 November 2014. Diakses tanggal 19 January 2015.

[10] * Oaks, Jeffrey A. (2012). Algebraic Symbolism in Medieval Arabic Algebra (Tesis). Philosophica. p. 36. Diarsipkan dari yang asli on 2016-12-03. https://web.archive.org/web/20161203134229/http://logica.ugent.be/philosophica/fulltexts/87-2.pdf. Diarsipkan 2016-12-03 di Wayback Machine.

[11] Manguel, Alberto (2006). "Done on paper: the dual nature of numbers and the page". The Life of Numbers. ISBN 84-86882-14-1.

[apostol-12] Apostol, Tom (1967). Calculus Vol. 1 (edisi ke-2). John Wiley and Sons, Inc. hlm. 17–19.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

l b s Sistem bilangan
Himpunan terhitung	Bilangan asli ( $\scriptstyle \mathbb {N}$ ) Bilangan bulat ( $\scriptstyle \mathbb {Z}$ ) Bilangan rasional ( $\scriptstyle \mathbb {Q}$ ) Bilangan aljabar ( $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ ) Perioda Bilangan terkomputasi Bilangan aritmetis
Bilangan riil dan cabangan	Bilangan riil ( $\scriptstyle \mathbb {R}$ ) Bilangan kompleks ( $\scriptstyle \mathbb {C}$ ) Kuaternion ( $\scriptstyle \mathbb {H}$ ) Oktonion ( $\scriptstyle \mathbb {O}$ ) Sedenion ( $\scriptstyle \mathbb {S}$ ) Aljabar Cayley–Dickson Bilangan rangkap Bilangan kompleks hiperbolik Bilangan hiperkompleks Bilangan superreal Bilangan irasional Bilangan transenden Bilangan hiperreal Bilangan surreal
Sistem lain	Bilangan kardinal Bilangan ordinal Bilangan p-adik Bilangan supernatural