Lompat ke isi

Deret konvergen

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Revisi sejak 27 Desember 2022 16.43 oleh The Winter Lettuce (bicara | kontrib) (Lahirnya halaman "Deret konvergen")
(beda) ← Revisi sebelumnya | Revisi terkini (beda) | Revisi selanjutnya → (beda)

Dalam matematika, deret takhingga (bahasa Inggris: Infinite sequence) adalah hasil jumlah suku-suku dari suatu barisan takhingga bilangan. Lebih tepatnya, diberikan suatu barisan takhingga . Maka, dapat dikonstruksikan deret takhingga S sebagai berikut

Hasil penjumlahan parsial ke-n (yang dinotasikan dengan Sn) adalah hasil jumlah n suku pertama barisan tersebut; yaitu,

Sebuah deret takhingga akan konvergen jika barisan dari jumlahan parsialnya mendekati suatu limit; itu artinya, saat menambahkan suku ke , maka hasil jumlahan parsial akan semakin dekat dengan limitnya. Lebih tepatnya, deret tersebut konvergen, jika terdapat suatu bilangan sedemikian sehingga untuk setiap sembarang bilangan positif yang kecil, terdapat bilangan bulat (yang cukup besar) sedemikian sehingga untuk setiap , maka

Jika deretnya konvergen, bilangan (yang bernilai tunggal) disebut sebagai hasil jumlah deretnya.

Setiap deret yang tidak konvergen disebut sebagai deret divergen.

Contoh dari deret konvergen dan divergen

  • Barisan invers perkalian dari bilangan bulat positif menghasilkan deret divergen (deret ini biasa dikenal dengan deret harmonik) :
  • Barisan invers perkalian dari bilangan bulat positif yang berganti tanda (selang seling) menghasilkan deret konvergen (deret ini biasa dikenal dengan deret harmonik selang seling) :
  • Barisan invers perkalian dari bilangan prima menghasilkan deret divergen (sehingga himpunan bilangan prima termasuk "besar"; lihat divergensi dari jumlah invers bilangan prima) :
  • Barisan invers perkalian dari bilangan segitiga menghasilkan deret konvergen :
  • Barisan invers perkalian dari bilangan faktorial menghasilkan deret konvergen (lihat bilangan euler) :
  • Barisan invers perkalian dari bilangan kuadrat sempurna menghasilkan deret konvergen (deret ini dikenal sebagai masalah Basel) :
  • Barisan invers perkalian dari perpangkatan 2 menghasilkan deret konvergen (sehingga himpunan perpangkatan 2 termasuk "kecil") :
  • Barisan invers perkalian dari perpangkatan setiap bilangan menghasilkan deret konvergen :
  • Barisan invers perkalian dari perpangkatan 2 yang berganti tanda juga menghasilkan deret konvergen :
  • Barisan invers perkalian dari perpangkatan setiap bilangan menghasilkan deret konvergen :
  • Barisan invers perkalian dari bilangan Fibonacci menghasilkan deret konvergen (lihat konstanta ψ):

Uji kekonvergenan

Terdapat beberapa metode untuk menentukan apakah suatu deret itu konvergen atau divergen.

Jika deret yang biru, , dapat dibuktikan konvergen, maka deret yang lebih kecil, pasti konvergen. Dengan kontraposisi, jika deret yang merah, terbukti divergen, berarti deret yang biru, harus divergen juga.

Uji perbandingan. Suku-suku pada barisan akan dibandingkan dengan barisan lain . Jika, untuk setiap n, dan konvergen, maka juga demikian.

Akan tetapi, jika untuk setiap n, dan divergen, maka demikian juga

Uji rasio. Diasumsikan untuk setiap n, tidak sama dengan nol. Misalkan terdapat suatu nilai sedemikian sehingga

  • Jika r < 1, maka deretnya akan konvergen mutlak.
  • Jika r > 1, maka deretnya divergen.
  • Jika r = 1, uji rasionya gagal, dan deretnya bisa saja konvergen maupun divergen.

Uji akar atau uji akar ke-n. Misalkan suku-suku pada barisan yang akan diselidiki merupakan bilangan non-negatif. Didefinisikan r sebagai berikut :

dimana "lim sup" adalah limit superior (hasilnya mungkin saja )
  • Jika r < 1, maka deretnya konvergen.
  • Jika r > 1, maka deretnya divergen.
  • Jika r = 1, uji akarnya gagal, dan deretnya bisa saja konvergen maupun divergen.

Uji rasio dan uji akar sama-sama menggunakan perbandingan dengan deret geometri, sehingga keduanya bekerja dalam situasi serupa. Malahan, jika uji rasio berhasil (dalam artian, hasil limitnya ada dan tidak sama dengan 1), maka uji akar juga demikian; akan tetapi, kebalikannya tidak demikian. Maka dari itu, uji akar secara umum lebih dapat diandalkan, walau dalam penerapannya, hasil limitnya seringkali sulit untuk dihitung.

Uji integral. Suatu deret dapat dibandingkan dengan integral untuk menunjukkan konvergensi atau tidak. Misalkan adalah fungsi positif dan monoton turun. Jika

maka deretnya konvergen. Tetapi jika integralnya divergen, maka deretnya juga demikian.

Uji perbandingan limit. Jika , and nilai limit ada dan bukan nol, maka konvergen jika dan hanya jika konvergen.

Uji deret selang-seling, dikenal juga dengan kriteria Leibniz. Suatu deret selang-seling dalam bentuk akan konvergen, kika merupakan fungsi monoton turun, dan

Uji kondensasi Cauchy. Jika merupakan barisan positif yang monoton turun, maka konvergen jika dan hanya jika konvergen.

Uji Dirichlet

Uji Abel

Konvergensi bersyarat dan mutlak

Untuk setiap barisan , nilai untuk setiap n. Sehingga,

Itu artinya, jika konvergen, maka juga konvergen (tapi tidak berlaku sebaliknya).

Jika deret konvergen, maka deret disebut konvergen mutlak. Misalnya, Deret Maclaurin dari fungsi eksponensial termasuk konvergen mutlak, untuk setiap input variabel bilangan kompleks.

Jika deret konvergen namun deret divergen, maka deret disebut konvergen bersyarat. Contohnya, deret Maclaurin dari fungsi logaritma termasuk konvergen bersyarat untuk nilai x = 1.

Teorema deret Riemann menyatakan bahwa jika suatu deret konvergen bersyarat, maka dimungkinkan untuk menyusun ulang suku-suku deretnya dengan cara tertentu sehingga deretnya konvergen ke nilai apapun, atau bahkan divergen.

Lihat juga

Pranala luar