Bilangan asli

Dalam matematika, terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan bilangan asli. Yang pertama definisi menurut matematikawan tradisional, yaitu himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol {1, 2, 3, 4, ...}. Sedangkan yang kedua definisi oleh logikawan dan ilmuwan komputer, adalah himpunan nol dan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3, ...}. Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yg paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukkan beberapa jenis kera juga bisa menangkapnya.

Wajar apabila bilangan asli adalah jenis pertama dari bilangan yang digunakan untuk membilang, menghitung, dsb. Sifat yang lebih dalam tentang bilangan asli, termasuk kaitannya dengan bilangan prima, dipelajari dalam teori bilangan. Untuk matematika lanjut, bilangan asli dapat dipakai untuk mengurutkan dan mendefinisikan sifat hitungan suatu himpunan.

Setiap bilangan, misalnya bilangan 1, adalah konsep abstrak yg tak bisa tertangkap oleh indra manusia, tetapi bersifat universal. Salah satu cara memperkenalkan konsep himpunan semua bilangan asli sebagai sebuah struktur abstrak adalah melalui aksioma Peano (sebagai ilustrasi, lihat aritmetika Peano Diarsipkan 2007-08-19 di Wayback Machine.).

Konsep bilangan-bilangan yg lebih umum dan lebih luas memerlukan pembahasan lebih jauh, bahkan kadang-kadang memerlukan kedalaman logika untuk bisa memahami dan mendefinisikannya. Misalnya dalam teori matematika, himpunan semua bilangan rasional bisa dibangun secara bertahap, diawali dari himpunan bilangan-bilangan asli.

Bilangan asli dapat digunakan untuk menghitung (satu apel, dua apel, tiga apel, ...).

Sejarah bilangan asli

Bilangan asli memiliki asal dari kata-kata yang digunakan untuk menghitung benda-benda, dimulai dari bilangan satu.

Kemajuan besar pertama dalam abstraksi adalah penggunaan sistem bilangan untuk melambangkan angka-angka. Ini memungkinkan pencatatan bilangan besar. Sebagai contoh, orang-orang Babylonia mengembangkan sistem berbasis posisi untuk angka 1 dan 10. Orang Mesir kuno memiliki sistem bilangan dengan hieroglif berbeda untuk 1, 10, dan semua pangkat 10 sampai pada satu juta. Sebuah ukuran batu dari Karnak, tertanggal sekitar 1500 SM dan sekarang berada di Louvre, Paris, melambangkan 276 sebagai 2 ratusan, 7 puluhan dan 6 satuan; hal yang sama dilakukan untuk angka 4622.

Kemajuan besar lainnya adalah pengembangan gagasan angka nol sebagai bilangan dengan lambangnya tersendiri. Nol telah digunakan dalam notasi posisi sedini 700 SM oleh orang-orang Babylon, namun mereka melepaskan bila menjadi lambang terakhir pada bilangan tersebut. Konsep nol pada masa modern berasal dari matematikawan India, Brahmagupta.

Pada abad ke-19 dikembangkan definisi bilangan asli menggunakan teori himpunan. Dengan definisi ini, dirasakan lebih mudah memasukkan nol (berkorespondensi dengan himpunan kosong) sebagai bilangan asli, dan sekarang menjadi konvensi dalam bidang teori himpunan, logika dan ilmu komputer. Matematikawan lain, seperti dalam bidang teori bilangan, bertahan pada tradisi lama dan tetap menjadikan 1 sebagai bilangan asli pertama.

Penulisan

Himpunan bilangan asli umumnya dilambangkan $\mathbf {N}$ atau $\mathbb {N}$ untuk menuliskan himpunan seluruh bilangan asli. Ada sumber yang terkadang melambangkan himpunan bilangan asli sebagai $J$.

Karena bilangan asli dapat mengandung 0 atau tidak, adakala pentingnya untuk mengetahui versi manakah yang dimaksud. Ini sering kali dinyatakan berdasarkan konteks, tetapi juga dapat dinyatakan melalui penggunaan subskrip atau superskrip di notasinya, seperti:

• Bilangan asli tanpa adanya nol: $\{1,2,...\}=\mathbb {N} ^{*}=\mathbb {N} ^{+}=\mathbb {N} _{0}\smallsetminus \{0\}=\mathbb {N} _{1}$
• Bilangan asli dengan nol: $\;\{0,1,2,...\}=\mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} ^{0}=\mathbb {N} ^{*}\cup \{0\}$

Karena bilangan asli membentuk subhimpunan dari bilangan bulat (sering kali dilambangkan denoted $\mathbb {Z}$), bilangan asli dapat disebut sebagai bilangan bulat positif atau bilangan bulat non-negatif. Untuk menghindari kerancuan apakah nol termasuk ke dalam himpunan bilangan atau tidak, sering kali dalam penulisan ditambahkan indeks (superscript). Indeks "0" digunakan untuk memasukkan angka 0 kedalam himpunan, dan indeks "$*$" atau "$1$" ditambahkan untuk tidak memasukkan angka 0 kedalam himpunan.

${\begin{aligned}\mathbb {N} ^{0}&=\mathbb {N} _{0}=\{0,1,2,\ldots \}\\\mathbb {N} ^{*}&=\mathbb {N} ^{+}=\mathbb {N} _{1}=\mathbb {N} _{>0}=\{1,2,\ldots \}.\end{aligned}}$

Sifat

Penambahan

Diberikan suatu himpunan bilangan asli $\mathbb {N}$ dan fungsi penerus $S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ yang mengirim bilangan asli kepada bilangan selanjutnya, penambahan dari himpunan bilangan asli dapat didefinisikan secara rekursif dengan menetaplan $a+0=a$ dan $a+S(b)=S(a+b)$ untuk semua $a$ dan $b$. Maka, $(\mathbb {N} ,+)$ adalah monoid komutatif dengan elemen identitas 0, yang disebut monoid bebas dengan satu generator. Monoid komutatif ini memenuhi sifat pembatalan, dan dapat dimasukkan ke dalam suatu grup. Grup terkecil yang berisi bilangan asli adalah bilangan bulat.

Bila 1 didefinisikan sebagai $S(0)$, maka $b+1=b+S(0)=S(b+0)=S(b)$. Itu berarti, $b+1$ adalah penerus dari $b$.

Perkalian

Secara analogi, diberikan bahwa penambahan himpunan bilangan asli didefinisikan di atas (lihat § Penambahan), operator perkalian $\times$ dapat didefinisikan melalui $a\times 0=0$ dan $a\times S(b)=(a\times b)+a$. Ini mengubah $(\mathbb {N} ^{\star },\times )$ menjadi monoid komutatif bebas dengan elemen identitas 1; generator set untuk monoid ini adalah himpunan bilangan prima.

Hubungan penjumlahan dan perkalian

Penjumlahan dan perkalian adalah kompatibel, yang dinyatakan dalam distribusi: a × (b + c) = (a × b) + (a × c). Properti penjumlahan dan perkalian ini membuat bilangan asli sebagai turunan dari komutatif semiring. Semirings adalah generalisasi aljabar dari bilangan asli dimana perkalian. Kurangnya aditif invers, yang setara dengan fakta bahwa ℕ tidak tertutup dalam pengurangan (yaitu, mengurangkan satu natural dari yang lain tidak selalu menghasilkan natural lain), berarti bahwa ℕ adalah bukan a gelanggang; melainkan sebuah semiring (juga dikenal sebagai gelanggang)

Bila bilangan asli diambil sebagai "tidak termasuk 0", dan "mulai dari 1", definisi dari + dan × adalah seperti di atas, kecuali bahwa mereka diawali dengan a + 1 = S(a) and a × 1 = a.

Ketakhinggaan

Himpunan bilangan asli adalah himpunan tak hingga. Menurut definisi, jenis tak hingga ini disebut tak hingga. Semua himpunan yang dapat dimasukkan ke dalam relasi bijektif dengan bilangan asli dikatakan memiliki jenis tak terhingga ini. Hal ini juga diungkapkan dengan mengatakan bahwa bilangan pokok dari himpunan tersebut adalah aleph-naught (ℵ₀).

Lihat pula

• Masalah identifikasi Benacerraf
• Wakilan kanonik dari bilangan bulat positif
• Himpunan yang dapat dihitung
• Bilangan#Klasifikasi untuk sistem bilangan lain (rasional, nyata, kompleks, dll.)
• Bilangan ordinal
• Definisi himpunan-teoretik dari bilangan asli
• Bilangan bulat
• Bilangan cacah
• Bilangan imajiner
• Bilangan kompleks
• Bilangan riil
• Bilangan rasional
• Bilangan irasional
• Bilangan prima
• Bilangan komposit
• Pecahan

Bibliografi

• Bluman, Allan (2010). Pre-Algebra DeMYSTiFieD (edisi ke-Second). McGraw-Hill Professional. ISBN 978-0-07-174251-1 – via Google Books. 
• Carothers, N.L. (2000). Real Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-49756-5 – via Google Books. 
• Clapham, Christopher; Nicholson, James (2014). The Concise Oxford Dictionary of Mathematics (edisi ke-Fifth). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-967959-1 – via Google Books. 
• Dedekind, Richard (1963) [1901]. Essays on the Theory of Numbers. Diterjemahkan oleh Beman, Wooster Woodruff (edisi ke-reprint). Dover Books. ISBN 978-0-486-21010-0 – via Archive.org. 
  • Dedekind, Richard (1901). Essays on the Theory of Numbers. Diterjemahkan oleh Beman, Wooster Woodruff. Chicago, IL: Open Court Publishing Company. Diakses tanggal 2020-08-13 – via Project Gutenberg. 
  • Dedekind, Richard (2007) [1901]. Essays on the Theory of Numbers. Kessinger Publishing, LLC. ISBN 978-0-548-08985-9. 
• Eves, Howard (1990). An Introduction to the History of Mathematics (edisi ke-6th). Thomson. ISBN 978-0-03-029558-4 – via Google Books. 
• Halmos, Paul (1960). Naive Set Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90092-6 – via Google Books. 
• Hamilton, A.G. (1988). Logic for Mathematicians (edisi ke-Revised). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-36865-0 – via Google Books. 
• James, Robert C.; James, Glenn (1992). Mathematics Dictionary (edisi ke-Fifth). Chapman & Hall. ISBN 978-0-412-99041-0 – via Google Books. 
• Landau, Edmund (1966). Foundations of Analysis (edisi ke-Third). Chelsea Publishing. ISBN 978-0-8218-2693-5 – via Google Books. 
• Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999). Algebra (edisi ke-3rd). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1646-2 – via Google Books. 
• Mendelson, Elliott (2008) [1973]. Number Systems and the Foundations of Analysis. Dover Publications. ISBN 978-0-486-45792-5 – via Google Books. 
• Morash, Ronald P. (1991). Bridge to Abstract Mathematics: Mathematical proof and structures (edisi ke-Second). Mcgraw-Hill College. ISBN 978-0-07-043043-3 – via Google Books. 
• Musser, Gary L.; Peterson, Blake E.; Burger, William F. (2013). Mathematics for Elementary Teachers: A contemporary approach (edisi ke-10th). Wiley Global Education. ISBN 978-1-118-45744-3 – via Google Books. 
• Szczepanski, Amy F.; Kositsky, Andrew P. (2008). The Complete Idiot's Guide to Pre-algebra. Penguin Group. ISBN 978-1-59257-772-9 – via Google Books. 
• Thomson, Brian S.; Bruckner, Judith B.; Bruckner, Andrew M. (2008). Elementary Real Analysis (edisi ke-Second). ClassicalRealAnalysis.com. ISBN 978-1-4348-4367-8 – via Google Books. 
• von Neumann, John (1923). Zur Einführung der transfiniten Zahlen [On the Introduction of the Transfinite Numbers]. Acta Litterarum AC Scientiarum Ragiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, Sectio Scientiarum Mathematicarum. 1. hlm. 199–208. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2014-12-18. Diakses tanggal 2013-09-15. 
• von Neumann, John (January 2002) [1923]. "On the introduction of transfinite numbers". Dalam van Heijenoort, Jean. From Frege to Gödel: A source book in mathematical logic, 1879–1931 (edisi ke-3rd). Harvard University Press. hlm. 346–354. ISBN 978-0-674-32449-7.  – English translation of von Neumann 1923.

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Natural number", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• "Axioms and construction of natural numbers". apronus.com.