Bilangan riil

Dalam matematika, bilangan real (atau ditulis juga bilangan riil) (bahasa Inggris: real number) adalah bilangan yang dipakai untuk mengukur kuantitas dimensi satu yang sinambung seperti jarak, durasi atau suhu.

Himpunan bilangan real dapat dilambangkan dengan diberi notasi $\mathbb {R}$ . Pengunaan kata adjektiva real pertama kali diperkenalkan oleh René Descartes pada abad ke-17, yang bertujuan untuk membedakan akar fungsi real dan imajiner dari polinomial.^[1]

Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti bilangan bulat 42 dan pecahan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan ${\sqrt {2}}$ . Bilangan real juga dapat dilambangkan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.^[2]

Bilangan real dapat dipandang sebagai titik-titik yang terletak di sebuah garis yang panjangnya tak terhingga, dan garis itu disebut garis bilangan real. Garis bilangan real dapat dipandang sebagai bagian dari bidang kompleks, sedangkan bilangan real dapat dipandang sebagai bagian dari bilangan kompleks.

Penjelasan tersebut belum cukup cermat berdasarkan standar modern matematika murni. Penemuan suatu definisi bilangan real yang cukup cermat, dengan realisasi bahwa dibutuhkan definisi yang lebih baik, merupakan salah satu perkembangan matematika terpenting pada abad ke-19. Definisi aksiomatik standar yang ada saat ini menyatakan bahwa bilangan real yang membentuk lapangan terurut Dedekind-lengkap $(\mathbb {R} \,,\,+\,,\,\cdot \,,\,<)$ dengan memperhatikan isomorfisma,^[3] sedangkan definisi konstruktif dari bilangan real meliputi pernyataan sebagai kelas ekuivalensi dari deret Cauchy (dari bilangan rasional), Dedekind cut, atau "representasi desimal" tak terhingga, sama-sama mempunyai penafsiran tepat untuk operasi aritmetika dan relasi orde. Definisi-definisi ini ekuivalen dan juga memenuhi definisi aksiomatik.

Sifat

Sifat dasar

Bilangan real mempunyai identitas penambahan: $x + 0 = 0 + x = x$ , dan juga identitas perkalian: $1 x = x 1 = x$ .
Setiap bilangan real $x$ mempunyai invers penambahan $- x$ sehingga memenuhi $x + (- x) = - x + x = 0$ , dan juga mempunyai invers perkalian $1/ x$ sehingga $x (1/ x) = (1/ x) x = 1$
Untuk setiap bilangan real bukan nol dapat bernilai negatif atau positif.
Jumlah dan hasil kali dua bilangan real tak negatif akan menghasilkan bilangan real tak negatif. Hal ini mengartikan bahwa bilangan-bilangan tersebut tertutup di bawah opersi penambahan dan perkalian.
Bilangan real membentuk himpunan tak terhingga yang tidak dapat dipetakan secara injektif himpunan bilangan asli yang tak terhingga. Hal ini mengartikan bahwa himpunan bilangan real mempunyai jumlah bilangan real yang dikatakan sebagai uncountably infinite, sedangkan himpunan bilangan asli mempunyai jumlah bilangan asli yang countably infinite. Jadi, dapat dinyatakan bahwa bilangan real mempunyai jumlah yang jauh lebih banyak daripada anggota di himpunan terbilang manapun.
Terdapat sebuah hierarki subhimpunan countably infinite dari bilangan real, dalam artian bahwa tiap-tiap himpunan bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan aljabar, dan bilangan terhitung merupakan subhimpunan sejati dari objek berikutnya. Komplemen dari semua himpunan-himpunan itu adalah himpunan bilangan irasional, himpunan bilangan transendental, dan himpunan bilangan real tak terhitung, dan himpunan tersebut dikatakan sebagai uncountably infinite.
Bilangan real dapat dipakai untuk menyatakan ukuran dari kuantitas kontinu. Bilangan real dinyatakan dengan representasi desimal, yang mengartikan bahwa hampir semua bilangan real dinyatakan sebagai bilangan yang mengandung desimal dengan barisan digit tak terhingga, yang dimulai dari kanan tanda desimal. Bilangan real kerapkali, sebagai contoh, ditulis seperti 324,823122147..., dengan elipsis (dilambangkan tiga titik) mengartikan bahwa masih terdapat lanjutan digit lain.

Kelengkapan bilangan real

Alasan utama menggunakan bilangan real adalah agar banyak barisan mempunyai limit. Penjelasan lebih formalnya, bilangan real dikatakan lengkap dalam pengertian ruang metrik atau ruang seragam; penjelasan ini berbeda dengan kelengkapan orde Dedekind di bagian sebelumnya:

Suatu barisan $(x_{n})$ dari bilangan real disebut barisan Cauchy jika, untuk setiap $\varepsilon >0$ , terdapat bilangan bulat $N$ (tergantung nilai $\varepsilon$ ), sehingga jarak $\left|x_{n}-x_{m}\right|$ lebih kecil daripada $\varepsilon$ untuk semua $n$ dan $m$ yang lebih besar daripada $N$ . Definisi ini pertama kali dinyatakan oleh Cauchy, yang merumuskan bahwa suku-suku $x_{n}$ akan semakin dekat terhadap satu sama lain.
Suatu barisan $(x_{n})$ akan konvergen menuju limit $x$ , jika anggotanya akan semakin dekat menuju $x$ . Ini mengartikan bahwa untuk setiap $\varepsilon >0$ , akan ada suatu bilangan bulat $N$ (tergantung nilai $\varepsilon$ ) sehingga $\left|x_{n}-x\right|$ lebih kecil daripada $\varepsilon$ untuk $n$ lebih besar daripada $N$ .

Setiap barisan konvergen disebut barisan Cauchy, dan kebalikannya juga benar untuk bilangan real. Dari pernyataan tersebut, mengartikan bahwa ruang topologi dari bilangan real dikatakan lengkap.

Himpunan bilangan rasional tidak dikatakan lengkap. Sebagai contoh, barisan $(1;1,4;1,41;1,414;1,4142;1,41421;...)$ , dengan tiap suku yang memperluas desimal akar kuadrat positif dari 2, merupakan barisan Cauchy. Sayangnya, barisan ini tidak konvergen menuju bilangan rasional, dan sebaliknya bahwa dalam bilangan real, akan konvergen menuju ke akar kuadrat positif dari 2.

Sifat lebih lanjut

Himpunan bilangan real adalah himpunan tak terhitung. Ini mengartikan bahwa kardinalitas dari himpunan bilangan real mempunyai jumlah anggota yang sangat banyak daripada himpunan bilangan asli, walaupun sama-sama himpunan tak terhingga. Bahkan kardinalitas dari himpunan bilangan real sama dengan himpunan kuasa dari bilangan asli, dan argumen diagonal Cantor mengatakan bahwa kardinalitas dari himpunan yang terakhir jauh lebih besar daripada kardinalitas dari $\mathbb {N}$ . Karena himpunan bilangan aljabar adalah himpunan terhitung, hampir semua bilangan real adalah transendental. Ketidakberadaan subhimpunan dari bilangan real dengan kardinalitasnya berada di antara kardinalitas bilangan bulat dan bilangan real dikenal sebagai hipotesis kontinum. Hipotesis kontinum tak dapat dibuktikan maupun dibantahkan, dan hipotesis ini independen dari aksioma teori himpunan.

Sebagai ruang topologi, bilangan real disebut terpisah. Ini disebabkan himpunan bilangan rasional adalah himpunan terhitung, dan rapat di bilangan real. Bilangan irasional juga rapat di bilangan real, tetapi himpunannya tak terhitung dan mempunyai kardinalitas yang sama seperti kardinalitas dari himpunan bilangan real.

Kardinalitas

Himpunan bilangan real adalah tak terhitung, dalam artian bahwa himpunan bilangan real tidak dapat dipetakan satu-satu ke himpunan bilangan asli, walaupun sama-sama merupakan himpunan tak terhingga. Bahkan, kardinalitas dari himpunan semua bilangan real, yang dilambangkan ${\mathfrak {c}}$ dan disebut kardinalitas kontinum, lebih besar dari kardinalitas himpunan semua bilangan asli, yang dilambangkan $\aleph _{0}$ .

Terdapat pernyataan yang berbunyi bahwa tidak ada subhimpunan dari himpunan bilangan real dengan kardinalitasnya lebih besar dari $\aleph _{0}$ , dan lebih kecil dari ${\mathfrak {c}}$ . Pernyataan itu dikenal sebagai hipotesis kontinum (bahasa Inggris: continuum hypothesis). Sayangnya, hipotesis ini masih belum dibuktikan atau dibantahkan menggunakan aksioma teori himpunan Zermelo–Fraenkel yang melibatkan aksioma pemilihan.

Sejarah

Bilangan real $(\mathbb {R} )$ berisi bilangan rasional $(\mathbb {Q} )$ , dan bilangan rasional berisi bilangan bulat $(\mathbb {Z} )$ , dan bilangan bulat berisi bilangan asli $(\mathbb {N} )$ .

Sekitar 1000 SM, bangsa Mesir menggunakan pecahan sederhana. Di zaman Weda, kitab sutra yang berjudul Shulba Sutras mencantum pemakaian bilangan irasional pertama kalinya, dan konsep irasionalitas diterima secara langsung oleh matematikawan berkebangsaan India. Manava (750–690 SM) adalah seorang matematikawan India yang mengetahui bahwa akar kuadrat dari bilangan tertentu, seperti 2 dan 61, tidak dapat ditentukan dengan tepat.^[4] Sekitar 500 SM, matematikawan Yunani dan Pythagoras juga mengetahui bahwa akar kuadrat dari 2 adalah irasional.

Pada abad pertengahan, bilangan-bilangan seperti nol, bilangan negatif, bilangan bulat, dan bilangan pecahan pertama kali dipakai oleh matematikawan India dan Tiongkok. Bilangan-bilangan tersebut kemudian dipakai oleh matematikawan Arab, yang pertama kali memperlakukan bilangan irasional sebagai objek aljabar, yang memungkinkan juga sebagai penemuan aljabar.^[5] Matematikawan Arab menggabungkan konsep bilangan dan magnitudo (besaran) menjadi gagasan bilangan real yang lebih umum.^[6] Matematikawan Mesir Abū Kāmil Shujā ibn Aslam adalah tokoh yang pertama kali menerima bilangan irasional sebagai solusi persamaan kuadrat, atau sebagai koefisien dalam suatu persamaan (yang seringkali ditulis dalam akar kuadrat, akar kubik, dan akar pangkat empat).^[7]

Pada abad ke-16, Simon Stevin menciptakan basis untuk notasi desimal yang modern, dan menegaskan bahwa tidak ada perbedaan antara bilangan rasional dan bilangan irasional.

Pada abad ke-17, Descartes memperkenalkan istilah "real" (atau "riil") untuk menjelaskan akar polinomial, serta digunakan untuk membedakannya dengan bilangan "imajiner".

Pada abad ke-18 dan ke-19, banyak matematikawan yang mengerjakan bilangan irasional dan bilangan transendental. Lambert (1761) memberikan bukti yang cacat bahwa $π$ tak dapat menjadi rasional, dan bukti itu disempurnakan oleh Legendre (1794)^[8] sekaligus memperlihatkan bahwa $π$ bukanlah akar kuadrat dari suatu bilangan rasional.^[9] Liouville (1840) memperlihatkan bahwa $e$ atau $e 2$ tidak dapat menjadi akar persamaan kuadrat berupa bilangan bulat. Liouville kemudian membuktikan keberadaan bilangan transendental, dan Cantor (1873) memperluas sekaligus menyederhanakan bukti tersebut.^[10] Hermite (1873) membuktikan bahwa $e$ adalah transendental. Lindemann (1882) juga membuktikan bahwa $π$ adalah transendental, dan bukti miliknya disederhanakan oleh Weierstrass (1885), Hilbert (1893), Hurwitz,^[11] dan Gordan.^[12]

Kalkulus dikembangkan dengan menggunakan bilangan riil tanpa harus mendefinisikannya secara cermat. Definisi cermat pertama diterbitkan oleh Cantor di tahun 1871. Pada tahun 1874, Cantor memperlihatkan bahwa himpunan dari semua bilangan riil adalah uncountably infinite, tetapi himpunan dari semua bilangan aljabar adalah countably infinite. Bukti ketaktercacahan Cantor pertama berbeda dengan buktinya yang terkenal, bukti argumen diagonal, yang diterbitkan di tahun 1891.

Definisi formal

Sistem bilangan real $(\mathbb {R} ,{}+{},{}\cdot {},{}<{})$ dapat didefinisikan secara aksiomatik dengan memperhatikan isomorfisma. Terdapat cara lain mengonstruksi sistem bilangan real, dan pendekatan yang terkenal melibatkan pendefinisian bilangan asli terlebih dahulu, berlanjut mendefinisikan bilangan rasional secara aljabar, dan terakhir mendefinisikan bilangan real sebagia kelas ekuivalensi dari barisan Cauchynya atau sebagai Dedekind cut, yang merupakan subhimpunan bilangan rasional tertentu.^[13] Pendekatan lainnya adalah dimulai dari beberapa aksiomatisasi geometri Euklides, dan kemudian mendefinisikan sistem bilangan real secara geometri.

Pendekatan aksiomatik

Misalkan $\mathbb {R}$ menyatakan himpunan dari semua bilangan real, maka:

Himpunan $\mathbb {R}$ adalah lapangan, yang berarti opersai penambahan dan perkalian terdefinisi dan mempunyai beberapa sifat-sifat.
Lapangan $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ adalah terurut, yang berarti bahwa terdapat orde total $\geq$ $\geq$ sehingga untuk semua bilangan real $x$ $x$ , $y$ $y$ , dan $z$ $z$ :
- jika $x\geq y$ , maka $x+z\geq y+z$ ; serta
- jika $x\geq 0$ dan $y\geq 0$ , maka $xy\geq 0$ .
Ordenya adalah Dedekind kengkap, yang mengartikan bahwa setiap subhimpunan tidak kosong $S$ dari $\mathbb {R}$ dengan batas atas di $\mathbb {R}$ mempunyai supremum di $\mathbb {R}$ .

Sifat-sifat tersebut menyiratkan sifat Archimedes (yang tak disiratkan dengan definsii kelengkapan lainnya), dan sifat tersebut mengatakan bahwa himpunan bilangan bulat tidak mempunyai batas atas di himpunan bilangan real. Bahkan jika pernyataan tersebut salah, maka bilangan bulat akan mempunyai batas atas terkecil $N$ , maka $N-1$ tidak akan menjadi batas atasnya, dan akan terdapat suatu bilangan bulat $n$ sehingga $n>N-1$ , dan demikian $n+1>N$ . Pernyataan ini menjadi kontradiksi dengan sifat batas atas $N$ .

Bilangan real dapat ditentukan dengan menggunakan sifat-sifat sebelumnya. Lebih tepatnya, diketahui untuk setiap dua lapangan terurut sempurna Dedekind $\mathbb {R} _{1}$ dan $\mathbb {R} _{2}$ , maka akan terdapat satu buah lapangan isomorfisma dari $\mathbb {R} _{1}$ ke $\mathbb {R_{2}}$ . Ketunggalan tersebut memungkinkan bahwa objek-objek tersebut pada dasarnya dapat dipandang sama.

Untuk aksiomatisasi dari $\mathbb {R}$ lainnya, lihat aksiomatisasi bilangan real Tarski.

Konstruksi dari bilangan rasional

Bilangan real dapat dikonstruksi sebagai kelengkapan dari bilangna rasional, sehingga sebuah barisan didefinisikan dengan memperluas desimal atau biner, contohnya untuk kasus $\pi$ , (3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; ...) konvergen menuju satu buah bilangan real. Untuk mengenal konstruksi bilangan real lebih lanjut dan konstruksi lainnya, lihat konstruksi bilangan real.

Penerapan dan kaitannya dengan bidang lain

Bilangan real dan logika

Bilangan real seringkali dirumuskan menggunakan aksiomatisasi teori himpunan Zermelo–Fraenkel, tetapi sebagian matematikawan mempelajari bilangan real menggunakan dasar-dasar logika matematika lainnya. Secara khusus, bilangan real dipelajari pula dalam reverse mathematics dan matematika konstruksi.^[14]

Bilangan hiperreal saat dikembangkan oleh Edwin Hewitt, Abraham Robinson dan matematikawan lainnya, memperluas himpunan bilangan real dengan memperkenalkan infinitesimal dan bilangan tak terhingga. Adanya bilangan ini akan dapat membangun kalkulus infinitesimal, sebuah cabang matematika yang mendekati pandangan Leibniz, Euler, Cauchy dan matematikawan lainnya.

Hipotesis kontinum berbunyi bahwa kardinalitas dari himpunan bilangan real adalah $\aleph _{1}$ , bilangan kardinal tak terhingga terkecil setelah kardinalitas dari bilangan bulat, yaitu $\aleph _{0}$ . Paul Cohen membuktikan pada tahun 1963, bahwa hipotesis tersebut adalah suatu independen aksioma dari aksioma teori himpunan lainnya, dalam artian bahwa seseorang dapat memilih hipotesis kontinum atau negasinya sebagai aksioma teori himpunan, tanpa adanya kontradiksi.

Dalam fisika

Dalam ilmu fisika, hampir semua konstanta seperti konstanta gravitasi semesta; dan variabel seperti posisi, massa, kecepatan, dan muatan listrik, digambarkan menggunakan bilangan real. Bahkan teori-teori dasar seperti mekanika klasik, elektromagnetisme, mekanika kuantum, relativitas umum dan model standar dijelaskan menggunakan struktur matematika seperti manifold mulus atau ruang Hilbert, yang didasari dengan bilangan real, walaupun pengukuran kuantitas fisik lainnya akurat dan presisi.

Notasi

Para matematikawan umumnya melambang R sebagai himpunan bilangan real. Notasi lain untuk himpunan bilangan real adalah $\mathbb {R}$ , yang dapat diberi kode dalam Unicode (dan HTML) sebagai U+211D ℝ (HTML: ℝ). Karena himpunan ini dilengkapi dengan struktur lapangan, maka bentuk lapangan bilangan real seringkali dipakai ketika sifat-sifat aljabar diketahui.

Himpunan bilangan real positif dilambangkan sebagai $\mathbb {R} ^{+}$ dan himpunan bilangan real negatif dilambangkan $\mathbb {R} ^{-}$ ,^[15] dan notasi lainnya adalah $\mathbb {R} _{+}$ dan $\mathbb {R} _{-}$ .^[16] Himpunan bilangan real tak negatif dapat dilambangkan $\mathbb {R} _{\geq 0}$ , tetapi himpunan ini seringkali dilambangkan sebagai $\mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}.$ ^[15] Dalam matematika Prancis, bilangan real positif dan bilangan real negatif biasanya mengandun nol, dan himpunan tersebut masing-masing dilambangka sebagai $\mathbb {R_{+}}$ dan $\mathbb {R_{-}} .$ ^[16] Himpunan tanpa nol disebut bilangan real positif sempurna, yang diberi notasi $\mathbb {R} _{+}^{*}$ , dan disebut bilangan real negatif sempurna, yang diberi notasi $\mathbb {R} _{-}^{*}.$ ^[16]

Notasi $\mathbb {R} ^{n}$ mengacu pada himpunan rangkap- $n$ dari anggota $\mathbb {R}$ (ruang koordinat real), yang dapat diidentifikasi dengan perkalian Cartesius dari $n$ salinan $\mathbb {R} .$ Notasi tersebut juga mengacu pada ruang vektor dimensi- $n$ atas lapangan bilangan real, yang kerapkali disebut ruang koordinat dimensi $n$ . Ruang $\mathbb {R} ^{n}$ dapat diidentifikasi dengan ruang Euklides dimensi- $n$ . titik dari ruang Euklides diidentifikasi dengan rangkap dari koordinat Cartesiusnya.

Lihat pula

Catatan kaki

^ "real number | Definition, Examples, & Facts | Britannica". www.britannica.com.
^ Wrede, Robert (2007). "Bilangan". Schaum Outlines:Teori dan Soal-Soal Kalkulus Lanjut. Penerbit Erlangga. hlm. 1–2.
^ Lebih tepatnya, jika ada dua bidang yang keseluruhan teratur lengkap, maka ada suatu isomorfisma unik di antara keduanya. Di sini tersirat bahwa identitas dari otomorfisma bidang unik dari bilangan real adalah kompatibel dengan penataan atau pengaturan.
^ T. K. Puttaswamy, "The Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians", pp. 410–11. In: Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan, ed. (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, ISBN 978-1-4020-0260-1 .
^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Arabic mathematics: forgotten brilliance?", Arsip Sejarah Matematika MacTutor, Universitas St Andrews .
^ Matvievskaya, Galina (1987), "The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics", Annals of the New York Academy of Sciences, 500 (1): 253–77 [254], Bibcode:1987NYASA.500..253M, doi:10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x
^ Jacques Sesiano, "Islamic mathematics", hlm. 148, in Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, ISBN 978-1-4020-0260-1
^ Beckmann, Petr (1971). A History of $π$ (PI). St. Martin's Press. hlm. 170.
^ Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2001), Pi Unleashed, Springer, hlm. 192, ISBN 978-3-540-66572-4, diakses tanggal 2015-11-15 .
^ Dunham, William (2015), The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue, Princeton University Press, hlm. 127, ISBN 978-1-4008-6679-3, diakses tanggal 2015-02-17, Cantor found a remarkable shortcut to reach Liouville's conclusion with a fraction of the work
^ Hurwitz, Adolf (1893). "Beweis der Transendenz der Zahl e". Mathematische Annalen (43): 134–35.
^ Gordan, Paul (1893). "Transcendenz von e und π". Mathematische Annalen. 43 (2–3): 222–224. doi:10.1007/bf01443647.
^ "Lecture #1" (PDF). 18.095 Lecture Series in Mathematics. 2015-01-05.
^ Bishop, Errett; Bridges, Douglas (1985), Constructive analysis, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 279, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-15066-4 , chapter 2.
^ ^a ^b Schumacher 1996, pp. 114–15
^ ^a ^b ^c École Normale Supérieure of Paris, "Nombres réels" ("Real numbers") Diarsipkan 2014-05-08 di Wayback Machine., p. 6
^ Soemantri, R (2013). Analisis I (PDF). Jakarta: Universitas Terbuka. hlm. 1–44. ISBN 9789790118119.

Pranala luar

(Inggris)The real numbers: Pythagoras to Stevin Diarsipkan 2007-02-12 di Wayback Machine.
(Inggris)The real numbers: Stevin to Hilbert Diarsipkan 2007-03-22 di Wayback Machine.
(Inggris)The real numbers: Attempts to understand Diarsipkan 2007-02-12 di Wayback Machine.
(Indonesia)Diktat Analisis Real Jurusan Matematika ITB Diarsipkan 2016-08-21 di Wayback Machine.

[1] "real number | Definition, Examples, & Facts | Britannica". www.britannica.com.

[schaum-2] Wrede, Robert (2007). "Bilangan". Schaum Outlines:Teori dan Soal-Soal Kalkulus Lanjut. Penerbit Erlangga. hlm. 1–2.

[3] Lebih tepatnya, jika ada dua bidang yang keseluruhan teratur lengkap, maka ada suatu isomorfisma unik di antara keduanya. Di sini tersirat bahwa identitas dari otomorfisma bidang unik dari bilangan real adalah kompatibel dengan penataan atau pengaturan.

[4] T. K. Puttaswamy, "The Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians", pp. 410–11. In: Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan, ed. (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, ISBN 978-1-4020-0260-1 .

[5] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Arabic mathematics: forgotten brilliance?", Arsip Sejarah Matematika MacTutor, Universitas St Andrews .

[6] Matvievskaya, Galina (1987), "The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics", Annals of the New York Academy of Sciences, 500 (1): 253–77 [254], Bibcode:1987NYASA.500..253M, doi:10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x

[7] Jacques Sesiano, "Islamic mathematics", hlm. 148, in Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, ISBN 978-1-4020-0260-1

[8] Beckmann, Petr (1971). A History of $π$ (PI). St. Martin's Press. hlm. 170.

[9] Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2001), Pi Unleashed, Springer, hlm. 192, ISBN 978-3-540-66572-4, diakses tanggal 2015-11-15 .

[10] Dunham, William (2015), The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue, Princeton University Press, hlm. 127, ISBN 978-1-4008-6679-3, diakses tanggal 2015-02-17, Cantor found a remarkable shortcut to reach Liouville's conclusion with a fraction of the work

[11] Hurwitz, Adolf (1893). "Beweis der Transendenz der Zahl e". Mathematische Annalen (43): 134–35.

[12] Gordan, Paul (1893). "Transcendenz von e und π". Mathematische Annalen. 43 (2–3): 222–224. doi:10.1007/bf01443647.

[13] "Lecture #1" (PDF). 18.095 Lecture Series in Mathematics. 2015-01-05.

[14] Bishop, Errett; Bridges, Douglas (1985), Constructive analysis, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 279, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-15066-4 , chapter 2.

[Schumacher96-15] Schumacher 1996, pp. 114–15

[nombres-reels-ens-paris-16] École Normale Supérieure of Paris, "Nombres réels" ("Real numbers") Diarsipkan 2014-05-08 di Wayback Machine., p. 6

[17] Soemantri, R (2013). Analisis I (PDF). Jakarta: Universitas Terbuka. hlm. 1–44. ISBN 9789790118119.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

l b s Sistem bilangan
Himpunan terhitung	Bilangan asli ( $\scriptstyle \mathbb {N}$ ) Bilangan bulat ( $\scriptstyle \mathbb {Z}$ ) Bilangan rasional ( $\scriptstyle \mathbb {Q}$ ) Bilangan aljabar ( $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ ) Perioda Bilangan terkomputasi Bilangan aritmetis
Bilangan riil dan cabangan	Bilangan riil ( $\scriptstyle \mathbb {R}$ ) Bilangan kompleks ( $\scriptstyle \mathbb {C}$ ) Kuaternion ( $\scriptstyle \mathbb {H}$ ) Oktonion ( $\scriptstyle \mathbb {O}$ ) Sedenion ( $\scriptstyle \mathbb {S}$ ) Aljabar Cayley–Dickson Bilangan rangkap Bilangan kompleks hiperbolik Bilangan hiperkompleks Bilangan superreal Bilangan irasional Bilangan transenden Bilangan hiperreal Bilangan surreal
Sistem lain	Bilangan kardinal Bilangan ordinal Bilangan p-adik Bilangan supernatural