Teori peluang

Teori peluang adalah salah satu cabang matematika yang bersangkutan dengan peluang (atau disebut juga probabilitas) dan analisis fenomena acak. Objek utama teori peluang adalah variabel acak, proses stokastik, dan kejadian: abstraksi matematis yang tidak dapat diprediksi melalui peristiwa atau kuantitas terukur yang dapat berupa kejadian tunggal atau berkembang dari waktu ke waktu dalam mode tampaknya acak. Sebagai contoh, saat satu koin dilemparkan, peluang masing-masing sisi untuk muncul adalah 1/2.

Jika satu koin dilemparkan atau sebuah dadu dianggap peristiwa acak, maka jika berkali-kali mengulangi urutan kejadian acak akan menunjukkan pola-pola tertentu, yang dapat dipelajari, dan diprediksi. Dua hasil matematis representatif menggambarkan pola tersebut adalah hukum bilangan besar, dan teorema limit pusat.

Sebagai dasar matematika untuk statistik, teori peluang adalah hal penting untuk kegiatan manusia disebabkan banyak hal yang melibatkan analisis kuantitatif set besar data. Metode teori peluang juga berlaku untuk deskripsi sistem yang kompleks diberikan pengetahuan hanya sebagian dari negara mereka, seperti dalam mekanika statistik. Sebuah penemuan besar fisika abad kedua puluh adalah sifat peluang fenomena fisik pada skala atom, dijelaskan dalam mekanika kuantum.

Sejarah

Teori peluang muncul pada abad ke-17, dimana teori peluang digunakan untuk mencari kemungkinan gagal dan berhasil dalam permainan dadu dan kartu. Selain itu, teori peluang digunakan untuk kegiatan yang bersifat prakiraan seperti prakiraan curah hujan dan kemenangan pertandingan.

Ruang peluang

Misalkan $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ ruang terukur, yaitu $\Omega$ suatu himpunan dan ${\mathcal {A}}$ sebuah aljabar σ pada $\Omega$. Himpunan $\Omega$ disebut ruang sampel dan anggota aljabar σ disebut kejadian. Kemudian, misalkan $P$ suatu ukuran pada ${\mathcal {A}}$, sedemikian sehingga $P(\Omega )=1$, yaitu $P:{\mathcal {A}}\rightarrow [0,1]$ fungsi yang memenuhi sifat-sifat berikut:

• $P(A)\geq 0$ untuk semua $A\in {\mathcal {A}}$.
• $P(\emptyset )=0$.
• $P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }P(A_{i})$ untuk semua $A_{1},A_{2},\ldots \in {\mathcal {A}}$ yang saling asil.
• $P(\Omega )=1$.

Selanjutnya, $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ disebut ruang peluang.

Ruang sampel

Setiap dadu memiliki enam sisi, sehingga secara matematis dapat disimpulkan bahwa peluang setiap sisi untuk muncul adalah 1/6.

Ruang sampel adalah himpunan yang memuat semua hasil yang berbeda, yang mungkin terjadi dalam suatu percobaan. Notasi dari ruang sampel sebagai berikut:

$\Omega =\{e_{1},\dots ,e_{n}\}$

di mana $\Omega$ adalah ruang sampel serta $n$ adalah banyaknya hasil (bisa terhingga atau tak terhingga). Misalnya, pelemparan sebuah dadu yang seimbang, semua kemungkinan nilai yang muncul $\Omega$ = $\{1,2,3,4,5,6\}$. Contoh lainnya, semua kemungkinan nilai yang muncul pelemparan dua buah koin setimbang ialah $\Omega =\{{\text{GG}},{\text{GA}},{\text{AG}},{\text{AA}}\}$, di mana ${\text{G}}$ dan ${\text{A}}$ masing-masing menyatakan gambar dan angka.

Titik sampel

Titik sampel merupakan elemen atau unsur dalam ruang sampel. Dalam pelemparan sebuah dadu yang menjadi titik sampelnya yaitu mata dadu dari angka 1 hingga 6 { {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} }, maka kemungkinan titik sampel yang akan didapatkan dalam sebuah pelemparan dadu adalah salah satu angka tersebut.

Pada pelemparan sebuah koin atau dua buah koin titik sampelnya adalah bagian angka (A) atau gambar (G) {A} dan {G}. Sementara itu, pada pengocokan seperangkat kartu bridge yang berjumlah 52 titik sampelnya yaitu :

1. Kartu As atau angka 1 bergambar daun
2. Kartu As atau angka 1 bergambar wajik
3. Kartu As atau angka 1 bergambar hati
4. Kartu As atau angka 1 bergambar semanggi
5. Kartu poker atau angka 2 bergambar daun
6. Kartu poker atau angka 2 bergambar wajik
7. Kartu poker atau angka 2 bergambar hati
8. Kartu poker atau angka 2 bergambar semanggi
9. Angka 3 bergambar daun
10. Angka 3 bergambar wajik
11. Angka 3 bergambar hati
12. Angka 3 bergambar semanggi
13. Angka 4 bergambar daun
14. Angka 4 bergambar wajik
15. Angka 4 bergambar hati
16. Angka 4 bergambar semanggi
17. Angka 5 bergambar daun
18. Angka 5 bergambar wajik
19. Angka 5 bergambar hati
20. Angka 5 bergambar semanggi
21. Angka 6 bergambar daun
22. Angka 6 bergambar wajik
23. Angka 6 bergambar hati
24. Angka 6 bergambar semanggi
25. Angka 7 bergambar daun
26. Angka 7 bergambar wajik
27. Angka 7 bergambar hati
28. Angka 7 bergambar semanggi
29. Angka 8 bergambar daun
30. Angka 8 bergambar wajik
31. Angka 8 bergambar hati
32. Angka 8 bergambar semanggi
33. Angka 9 bergambar daun
34. Angka 9 bergambar wajik
35. Angka 9 bergambar hati
36. Angka 9 bergambar semanggi
37. Angka 10 bergambar daun
38. Angka 10 bergambar wajik
39. Angka 10 bergambar hati
40. Angka 10 bergambar semanggi
41. Jack daun
42. Jack wajik
43. Jack hati
44. Jack semanggi
45. Queen daun
46. Queen wajik
47. Queen hati
48. Queen semanggi
49. King daun
50. King wajik
51. King hati
52. King semanggi

Peluang Kejadian

Kejadian (${\mathcal {A}}$) adalah himpunan bagian dari ruang sampel yang memiliki karakteristik tertentu. Kejadian biasanya dinotasikan dengan huruf kapital (A, B, ....)

Sebagai contoh, pada pelemparan dua buah koin setimbang maka kejadian munculnya sisi angka adalah ${\mathcal {A}}$ = (GA, GG, AA} sebanyak 3 kejadian.

Frekuensi relatif

Frekuensi relatif adalah besar peluang dari percobaan-percobaan yang telah dilakukan seperti pada ilustrasi seorang anak melempar dadu sebanyak 50 kali, ia mendapatkan angka 3 sebanyak 15 kali.

Frekuensi Relatif atau Fr dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut,

$F_{r}={\frac {n}{a}}$.

n= banyaknya kejadian yang muncul

a= banyaknya kejadian atau percobaan seluruhnya

Lihat pula

• Peluang