Teori kategori

Teori kategori. Sebuah kategori dengan objek X, Y, Z, dan morfisme f, g, g ∘ f, dan tiga morfisma identitas (tidak ditunjukkan) 1_X, 1_Y, dan 1_Z.

Teori kategori berhubungan dengan struktur matematika dan hubungan antar struktur tersebut secara abstrak. Saat ini kategori digunakan dalam matematika, informatika teori, dan fisika matematis. Kategori diperkenalkan pertama kali oleh Samuel Eilenberg dan Saunders Mac Lane pada tahun 1942-1945, dalam hubungannya dengan topologi aljabar.

Definisi Kategori

Suatu kategori ${\mathcal {C}}$ terdiri atas:

• Suatu kelas Obj(${\mathcal {C}}$) yang berisi objek dari kategori tersebut
• Untuk sebarang $A,B\in$ Obj(${\mathcal {C}}$) terdapat suatu himpunan morfisma Hom($A,B$) yang berisi morfisma atau panah dari objek $A$ ke objek $B$ dengan sifat:
  • Komposisi Morfisma. Kita bisa menggabungkan dua morfisma $f$ dan $g$, jika himpunan target dari morfisma pertama sama dengan himpunan sumber dari morfisma kedua, misal $f:A\rightarrow B$ dan $g:B\rightarrow C$ untuk suatu objek $A,B,$ dan $C$. Komposisi biasanya dilambangkan dengan $g\circ f$ yang berarti morfisma $f$ dilanjut oleh morfisma $g$ (dibaca dari kanan).
  • Morfisma Identitas. Untuk setiap $A\in$ Obj(${\mathcal {C}}$), terdapat morfisma identitas $1_{A}:A\rightarrow A$ yang untuk sebarang morfisma $f\in$ Hom($A,B$) memenuhi $f1_{A}=f$ dan $1_{B}f=f$

Suatu kategori ${\mathcal {C}}$ dikatakan sebagai kategori kecil jika Obj(${\mathcal {C}}$) adalah suatu himpunan.

Contoh Kategori

Dari pendefinisian kategori, terasa alami untuk mendefinisikan suatu kategori SET dengan Obj(SET) adalah kelas yang berisi semua himpunan dan untuk sebarang himpunan $A,B\in$ Obj(SET) kita punyai Hom($A,B$) fungsi dari himpunan $A$ ke himpunan $B$. Perhatikan bahwa kategori SET bukanlah sebuah kategori kecil dikarenakan koleksi dari seluruh himpunan bukanlah suatu himpunan (untuk menghindari paradoks Russel)

Beberapa contoh lain dari kategori diberikan pada tabel berikut

Kategori	Objek	Morfisma
Grp	Grup	Homomorfisma Grup
Manp	Manifold mulus	Pemetaan yang terdiferensialkan kontinu p-kali
Met	Ruang Metrik	Pemetaan metrik
R-Mod	R-Modul, dengan R suatu gelanggang	Homomorfisma modul
Ring	Gelanggang	Homomorfisma gelanggang
Top	Ruang Topologi	Fungsi kontinu
VectK	Ruang vektor atas lapangan K	Pemetaan linier

Konstruksi Kategori Baru dari Kategori yang Ada

Sebarang kategori ${\mathcal {C}}$ dapat dikonstruksi menjadi kategori baru dengan membalik setiap morfismanya tanpa mengubah objeknya. Kategori yang demikian disebut kategori dual dan dinotasikan sebagai ${\mathcal {C}}$^op

Lihat pula

• Teori domain
• Teori kategori yang diperkaya
• Glosarium teori kategori
• Teori grup
• Teori kategori yang lebih tinggi
• Aljabar berdimensi lebih tinggi
• Publikasi penting dalam teori kategori
• Kalkulus Lambda
• Garis besar teori kategori
• Garis waktu teori kategori dan matematika terkait

Referensi

Sumber

• Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (2004). Abstract and Concrete Categories. Heldermann Verlag Berlin. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-02-24. Diakses tanggal 2020-11-26. 
• Barr, Michael; Wells, Charles (2012) [1995], Category Theory for Computing Science, Reprints in Theory and Applications of Categories, 22 (edisi ke-3rd) .
• Barr, Michael; Wells, Charles (2005), Toposes, Triples and Theories, Reprints in Theory and Applications of Categories, 12, MR 2178101 .
• Borceux, Francis (1994). Handbook of categorical algebra. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press. hlm. 50–52. ISBN 9780521441780. 
• Freyd, Peter J. (2003) [1964]. Abelian Categories. Reprints in Theory and Applications of Categories. 3. 
• Freyd, Peter J.; Scedrov, Andre (1990). Categories, allegories. North Holland Mathematical Library. 39. North Holland. ISBN 978-0-08-088701-2. 
• Goldblatt, Robert (2006) [1979]. Topoi: The Categorial Analysis of Logic. Studies in logic and the foundations of mathematics. 94. Dover. ISBN 978-0-486-45026-1. 
• Herrlich, Horst; Strecker, George E. (2007). Category Theory (edisi ke-3rd). Heldermann Verlag Berlin. ISBN 978-3-88538-001-6. .
• Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (2006). Categories and Sheaves. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 332. Springer. ISBN 978-3-540-27949-5. 
• Lawvere, F. William; Rosebrugh, Robert (2003). Sets for Mathematics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-01060-3. 
• Lawvere, F. William; Schanuel, Stephen Hoel (2009) [1997]. Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories (edisi ke-2nd). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89485-2. 
• Leinster, Tom (2004). Higher Operads, Higher Categories. Higher Operads. London Math. Society Lecture Note Series. 298. Cambridge University Press. hlm. 448. Bibcode:2004hohc.book.....L. ISBN 978-0-521-53215-0. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2003-10-25. Diakses tanggal 2006-04-03. 
• Leinster, Tom (2014). Basic Category Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 143. Cambridge University Press. arXiv:1612.09375 . ISBN 9781107044241. 
• Lurie, Jacob (2009). Higher Topos Theory. Annals of Mathematics Studies. 170. Princeton University Press. arXiv:math.CT/0608040 . ISBN 978-0-691-14049-0. MR 2522659. 
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. 5 (edisi ke-2nd). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98403-2. MR 1712872. 
• Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999) [1967]. Algebra (edisi ke-2nd). Chelsea. ISBN 978-0-8218-1646-2. 
• Martini, A.; Ehrig, H.; Nunes, D. (1996). "Elements of basic category theory". Technical Report. 96 (5). 
• May, Peter (1999). A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-51183-2. 
• Mazzola, Guerino (2002). The Topos of Music, Geometric Logic of Concepts, Theory, and Performance. Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-5731-3. 
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, ed. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 97. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83414-8. Zbl 1034.18001. 
• Pierce, Benjamin C. (1991). Basic Category Theory for Computer Scientists. MIT Press. ISBN 978-0-262-66071-6. 
• Schalk, A.; Simmons, H. (2005). An introduction to Category Theory in four easy movements (PDF). Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2017-03-21. Diakses tanggal 2007-12-03.  Notes for a course offered as part of the MSc. in Mathematical Logic, Manchester University.
• Simpson, Carlos (2010). Homotopy theory of higher categories. arXiv:1001.4071 . Bibcode:2010arXiv1001.4071S. , draft of a book.
• Taylor, Paul (1999). Practical Foundations of Mathematics. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 59. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63107-5. 
• Turi, Daniele (1996–2001). "Category Theory Lecture Notes" (PDF). Diakses tanggal 11 December 2009.  Based on Mac Lane 1998.

Bacaan lebih lanjut

• Marquis, Jean-Pierre (2008). From a Geometrical Point of View: A Study of the History and Philosophy of Category Theory. Springer. ISBN 978-1-4020-9384-5. 

Pranala luar

• Theory and Application of Categories, an electronic journal of category theory, full text, free, since 1995.
• nLab, sebuah proyek wiki tentang matematika, fisika dan filsafat dengan penekanan pada sudut pandang n - kategorikal.
• The n-Category Café, pada dasarnya sebuah kolokium tentang topik-topik dalam teori kategori.
• Category Theory, halaman web yang berisi tautan ke catatan kuliah dan buku-buku tentang teori kategori yang tersedia secara gratis.
• Hillman, Chris, A Categorical Primer, CiteSeerX 10.1.1.24.3264  , pengantar formal untuk teori kategori.
• Adamek, J.; Herrlich, H.; Stecker, G. "Abstract and Concrete Categories-The Joy of Cats" (PDF). Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2015-04-21. Diakses tanggal 2020-11-26. 
• (Inggris) Entri Category Theory di Stanford Encyclopedia of Philosophy oleh Jean-Pierre Marquis, with an extensive bibliography.
• List of academic conferences on category theory
• Baez, John (1996). "The Tale of n-categories". —An informal introduction to higher order categories.
• WildCats is a category theory package for Mathematica. Manipulation and visualization of objects, morphisms, categories, functors, natural transformations, universal properties.
• The catsters di YouTube, a channel about category theory.
• Category theory di PlanetMath..
• Video archive of recorded talks relevant to categories, logic and the foundations of physics.
• Interactive Web page which generates examples of categorical constructions in the category of finite sets.
• Category Theory for the Sciences, an instruction on category theory as a tool throughout the sciences.
• Category Theory for Programmers A book in blog form explaining category theory for computer programmers.
• Introduction to category theory.