Lompat ke isi

Grup kuaternion

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Diagram siklus dari Q8. Setiap warna menentukan rangkaian kekuatan elemen apa pun yang terhubung ke elemen identitas e = 1. Misalnya, siklus berwarna merah mencerminkan fakta bahwa i2 = e, i3 = i dan i4 = e. Siklus merah juga mencerminkan bahwa i2 = e, i3 = i dan i4 = e.

Dalam teori grup, grup angka empat Q8 (terkadang hanya dilambangkan dengan Q) adalah grup non-abelian dari urutan delapan, isomorfik ke himpunan bagian delapan elemen dari angka empat di bawah perkalian. Ini diberikan oleh presentasi grup

di mana e adalah elemen identitas dan e komutatif dengan elemen lain dalam grup.

Presentasi Q 8 lainnya adalah:

Dibandingkan dengan grup dihedral

[sunting | sunting sumber]

Grup quaternion Q 8 memiliki urutan yang sama dengan grup dihedral D4, tetapi strukturnya berbeda, seperti yang ditunjukkan oleh grafik Cayley dan siklusnya:

Q8 D4
Grafik Cayley
Panah merah terhubung ggi, koneksi hijau ggj.
Grafik siklus

Dalam diagram untuk D 4 , elemen grup ditandai dengan aksinya pada huruf F dalam representasi yang menentukan R2. Hal yang sama tidak dapat dilakukan untuk Q 8 , karena tidak memiliki representasi yang tepat di R2 atau R3. D4 dapat direalisasikan sebagai bagian dari pemmbagi angka empat dengan cara yang sama seperti Q 8 dapat dilihat sebagai himpunan bagian dari angka empat.

Tabel Cayley

[sunting | sunting sumber]

Tabel Cayley (tabel perkalian) untuk Q 8 diberikan oleh:[1]

× e e i i j j k k
e e e i i j j k k
e e e i i j j k k
i i i e e k k j j
i i i e e k k j j
j j j k k e e i i
j j j k k e e i i
k k k j j i i e e
k k k j j i i e e

Perhatikan bahwa i , j , dan k semuanya memiliki urutan empat di Q 8 dan dua di antaranya menghasilkan seluruh grup. Presentasi lainnya dari Q8[2] berdasarkan hanya dua elemen untuk melewati redundansi ini adalah:

Seseorang mungkin mengambil, misalnya, , dan .

Grup quaternion memiliki properti yang tidak biasa sebagai Hamiltonian: Q8 non-abelian, tetapi setiap subgrup adalah normal.[3] Every Hamiltonian group contains a copy of Q8.[4]

Grup angka empat Q 8 dan grup dihedral D 4 adalah dua contoh terkecil dari grup non-abelian nilpoten.

Pusat dan subgrup komutator dari Q 8 adalah subgrup . Grup automorfisme dalam dari Q 8 diberikan oleh grup modulo pusatnya, yaitu grup faktor Q8/{e,e}, untukmu isomorfik ke grup empat Klein V. Grup automorfisme dari Q 8 adalah isomorfik sampai S 4 , grup simetris pada empat huruf (lihat Representasi matriks di bawah), dan grup automorfisme luar dari Q 8 adalah S4/V, yang isomorfik ke S3.

Grup angka empat Q 8 memiliki lima kelas konjugasi, {e }, { e }, { i, i }, { j, j }, { k, k }, dan lima representasi tak tersederhanakan di atas bilangan kompleks, dengan dimensi 1,1,1,1,2:

Representasi trivial

Tanda tangani representasi dengan i, j, k-kernel: Q8 memiliki tiga subgrup normal maksimal: subgrup siklik yang dihasilkan oleh i, j, dan k. Untuk setiap subkelompok normal maksimal N , kita mendapatkan representasi satu dimensi yang memfaktorkan melalui 2-elemen grup hasil bagi G/N. Representasi mengirimkan elemen N ke 1, dan elemen di luar N ke -1.

Representasi 2 dimensi: Dijelaskan di bawah dalam Representasi matriks .

Tabel karakter dari Q 8 ternyata sama dengan D4:

Representasi (ρ)/kelas konjugasi { e } { e } { i, i } { j, j } { k, k }
Representasi trivial 1 1 1 1 1
Tanda representasi dengan i-kernel 1 1 1 -1 -1
Tanda representasi dengan j-kernel 1 1 -1 1 -1
Tanda representasi dengan k-kernel 1 1 -1 -1 1
Representasi 2 dimensi 2 -2 0 0 0

Karena karakter yang tidak dapat direduksi pada baris di atas memiliki nilai riil, ini memberikan dekomposisi dari aljabar grup nyata dari menjadi minimal dua sisi ideal: , di mana idempotensi sesuai dengan irreducibles: , seperti

.

Masing-masing dari cita-cita tak tersederhanakan ini isomorfik ke aljabar sederhana pusat nyata, empat pertama ke bidang nyata . Ideal terakhir isomorfik terhadap bidang miring dari angka empat dengan korespondensi:

Selanjutnya, proyeksi homomorfisme diberikan oleh memiliki ideal kernel yang dihasilkan oleh idempoten:

sehingga angka empat juga bisa diperoleh sebagai gelanggang hasil bagi .

Aljabar grup kompleks dengan demikian , dimana adalah aljabar dari bikuaternion.

Representasi matriks

[sunting | sunting sumber]
Tabel perkalian grup quaternion sebagai subkelompok SL (2, C). Entri diwakili oleh sektor yang sesuai dengan argumennya: 1 (hijau), i (biru), -1 (merah), - i (kuning).

Kompleks tak tersederhanakan dua dimensi representasi yang dijelaskan di atas memberikan grup kuatnion Q8 sebagai subgrup dari grup linier umum . Grup kuaternion adalah subgrup perkalian dari aljabar quaternion , yang memiliki representasi reguler perkalian kiri dengan sendirinya dianggap sebagai ruang vektor kompleks dengan basis , sehingga sesuai dengan C-pemetaan linier . Representasi yang dihasilkan diberikan oleh:

Karena semua matriks di atas memiliki determinan unit, ini adalah representasi dari Q 8 dalam grup linear khusus SL2(C).[5]

Varian memberikan representasi oleh matriks kesatuan (tabel di kanan). Maka sesuai dengan pemetaan linier , sehingga diberikan oleh:

Tabel perkalian dari grup quaternion sebagai subgrup SL(2,3). Elemen lapangan dilambangkan dengan 0, +, -.

Ada juga tindakan penting Q 8 pada ruang vektor 2 dimensi di atas bidang berhingga F3 = {0,1,−1} (tabel di kanan). Representasi modular diberikan oleh

Representasi ini dapat diperoleh dari bidang ekstensi F9 = F3[k] = F31 + F3k, dimana k2 = −1 dan grup perkalian (F9)× memiliki generator ±(k+1), ±(k-1) urutan 8. Dua dimensi F3-ruang vektor F9 mengakui pemetaan linier untuk z pada F9, serta Automorfisme Frobenius satisfying dan . Maka matriks representasi di atas adalah , , , dan .

Grup Galois

[sunting | sunting sumber]

Seperti yang ditunjukkan Richard Dean pada tahun 1981, grup kuaternion dapat ditampilkan sebagai grup Galois Gal(T/Q) dimana Q adalah bidang bilangan rasional dan T adalah bidang pemisah di atas Q dari polinomial

.

Pengembangan menggunakan teorema fundamental teori Galois dalam menentukan empat bidang perantara antara Q dan T dan grup Galois mereka, serta dua teorema tentang ekstensi siklik derajat empat di atas bidang.[6]

Grup angka empat digeneralisasi

[sunting | sunting sumber]

Grup kuatnion umum Q4n urutan 4n ditentukan oleh presentasi[2]

untuk bilangan bulat n ≥ 2, dengan kelompok angka empat yang biasa diberikan oleh n = 2.[7] Coxeter menggunakan Q4n grup siklik , kasus khusus dari grup polihedral biner dan terkait dengan grup polihedral dan grup dihedral . Grup quaternion umum dapat direalisasikan sebagai subgrup dihasilkan oleh

dimana .[2] Ini juga dapat direalisasikan sebagai subgrup unit quaternions yang dihasilkan oleh[8] dan .

Grup quaternion umum memiliki properti bahwa setiap subgrup abelian bersiklus.[9] Dapat diperlihatkan bahwa p-group dengan properti ini (setiap subgrup abelian adalah siklik) bisa berupa siklik atau grup quaternion umum seperti yang didefinisikan di atas.[10] Karakterisasi lain adalah bahwa sebuah grup p terbatas yang di dalamnya terdapat subgrup unik dari ordo p adalah siklik atau 2-grup isomorfik ke grup quaternion umum.[11] Secara khusus, untuk bidang hingga F dengan karakteristik ganjil, subgrup 2-Sylow dari SL2(F) non-abelian dan hanya memiliki satu subgrup orde 2, jadi subgrup 2-Sylow ini harus menjadi grup quaternion umum, (Gorenstein 1980, hlm. 42). Maka pr menjadi ukuran F , di mana p adalah bilangan prima, ukuran subgrup 2-Sylow dari SL2(F) adalah 2n, dimana n = ord2(p2 − 1) + ord2(r).

Teorema Brauer–Suzuki menunjukkan bahwa grup yang subgrup Sylow 2-nya digeneralisasikan quaternion tidak bisa sederhana.

Terminologi lain mencadangkan nama "grup kuatnion umum" untuk kelompok siklik urutan pangkat 2,[12] yang mengakui presentasi

Lihat pula

[sunting | sunting sumber]
  1. ^ See also a table Diarsipkan 2018-04-28 di Wayback Machine. dari Wolfram Alpha
  2. ^ a b c Johnson 1980, pp. 44–45
  3. ^ See Hall (1999), p. 190 Diarsipkan 2023-08-09 di Wayback Machine.
  4. ^ See Kurosh (1979), p. 67
  5. ^ Artin 1991
  6. ^ Dean, Richard (1981). "A Rational Polynomial whose Group is the Quaternions". The American Mathematical Monthly. 88 (1): 42–45. JSTOR 2320711. 
  7. ^ Beberapa penulis Rotman 1995, hlm. 87, 351) merujuk ke grup ini sebagai grup disiklik, menyimpan nama grup quaternion umum untuk kasus di mana n adalah pangkat 2.
  8. ^ Brown 1982, p. 98
  9. ^ Brown 1982, p. 101, exercise 1
  10. ^ Cartan & Eilenberg 1999, Theorem 11.6, p. 262
  11. ^ Brown 1982, Theorem 4.3, p. 99
  12. ^ Roman, Steven (2011). Fundamentals of Group Theory: An Advanced Approach. Springer. hlm. 347–348. ISBN 9780817683016. 

Referensi

[sunting | sunting sumber]

Pranala luar

[sunting | sunting sumber]