1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + · · ·

Dalam matematika,

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!$

adalah deret divergen yang menjumlahkan faktorial dari bilangan asli dengan tanda positif dan negatif yang berubah secara selang-seling. Walaupun hasilnya divergen, deret tersebut dapat mempunyai nilai sekitar 0,596347 berdasarkan penjumlahan Borel.

Penjumlahan Euler dan penjumlahan Borel

Deret ini pertama kali dianggap Euler sebagai deret divergen, ketika ia menerapkan metode penjumlahan untuk menetapkan nilai hingga ke deret. Deret tersebut merupakan jumlah dari faktorial yang ditambahkan atau dikurangi secara berselang-seling. Satu-satu cara menetapkan nilai ke deret divergen tersebut adalah dengan menggunakan penjumlahan Borel. Secara formal, penjumlahan Borel ditulis sebagai

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\int _{0}^{\infty }x^{k}e^{-x}\,dx$

Jika penjumlahan dan integrasi dipertukarkan (abaikan bahwa tidak ada sisi yang konvergen), maka diperoleh:

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\int _{0}^{\infty }\left[\sum _{k=0}^{\infty }(-x)^{k}\right]e^{-x}\,dx$

Penjumlahan yang ada di dalam tanda kurung bersiku konvergen saat $x<1$, dan untuk nilai-nilai tersebut sama dengan ${\tfrac {1}{1+x}}$. Kontinuasi analitik dari ${\tfrac {1}{1+x}}$ untuk semua bilangan asli $x$ mengarah ke integral konvergen untuk penjumlahan:

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!&=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{1+x}}\,dx\\[4pt]&=eE_{1}(1)\approx 0.596\,347\,362\,323\,194\,074\,341\,078\,499\,369\ldots \end{aligned}}$

dengan E₁(z) adalah integral eksponensial. Cara tersebut merupakan definisi jumlah Borel dari deret.

Hubungannya dengan persamaan diferensial

Tinjau sistem gabungan dari persamaan diferensial

${\dot {x}}(t)=x(t)-y(t),\qquad {\dot {y}}(t)=-y(t)^{2}$

dengan notasi bintik menyatakan turunan terhadap $t$. Solusi dengan kesetimbangan stabil pada $(x,y)=(0,0)$ ketika $t\to \infty$ mempunyai ${\textstyle y(t)={\frac {1}{t}}}$, dan dengan mensubstitusikan persamaan pertama, memberikan solusi deret formal

$x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {(n-1)!}{t^{n}}}$

Perhatikan bahwa ketika $t=1$, maka $x(1)$ adalah deret Euler. Di sisi lain, sistem persamaan diferensial memiliki solusi

$x(t)=e^{t}\int _{t}^{\infty }{\frac {e^{-u}}{u}}\,du.$

Ketika dihitung menggunakan integral parsial secara berturut-turut, maka deret pangkat formal terbentuk kembali sebagai pendekatan asimtotik ke ekspresi tersebut untuk $x(t)$. Euler berpendapat (kurang lebih) bahwa karena deret formal dan integral keduanya sama-sama menggambarkan solusi yang sama untuk persamaan diferensial, maka kedua ekspresi tersebut adalah sama ketika $t=1$. Dengan demikian,

$\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}(n-1)!=e\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-u}}{u}}\,du.$

Lihat pula

• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
• 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯, atau dikenal sebagai deret Grandi.
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
• 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯
• 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯