Poligon: Perbedaan antara revisi
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) |
|||
(23 revisi perantara oleh 6 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1: | Baris 1: | ||
[[Berkas:Assorted polygons.svg|jmpl|Berbagai macam poligon|400x400px]]Dalam [[geometri]], '''poligon''' atau '''segi banyak''' adalah bangun datar yang digambarkan dengan jumlah terhingga dari [[Garis (geometri)|garis]] lurus yang terhubung, sehingga membentuk sebuah [[rantai poligon]]al (atau sirkuit poligonal) yang tertutup. |
|||
[[Berkas:Assorted polygons.svg|jmpl|Berbagai macam poligon.]] |
|||
[[Berkas:Polygon types.svg|jmpl|Beberapa macam poligon yang lain.]] |
|||
Ruas garis dari sirkuit poligonal disebut sebagai [[Sisi (geometri)|sisi]]. Perpotongan dari dua sisi pada poligon dikenal sebagai [[titik sudut]]. '''Segi-''n''''' adalah sebuah poligon yang mempunyai <math>n</math> sisi, contohnya, segi-3 ([[segitiga]]). |
|||
'''Poligon''' ({{IPAc-en|ˈ|p|ɒ|l|ɪ|ɡ|ɒ|n}})(secara literal "banyak sudut", dari [[Bahasa Yunani Kuno]] "poly" ''banyak'' + "gon" ''sudut'') merupakan bangun datar yang terdiri dari [[Garis (geometri)|garis]] lurus yang bergabung untuk membentuk [[Rantai poligon|rantai]] tertutup atau [[sirkuit]]. |
|||
[[Poligon sederhana]] adalah sebuah poligon yang tidak saling berpotongan diri. Akan tetapi, para matematikawan seringkali hanya melibatkan rantai poligonal terbatas dari poligon sederhana, dan karena itu mereka seringkali mendefinisikannya sebagai poligon. Sebuah batas poligonal dapat diperbolehkan untuk berpotongan terhadap dirinya, sehingga mengakibatkan terbentuknya [[poligon bintang]] dan [[Daftar poligon berpotongan diri|poligon yang saling berpotongan diri]] lainnya. |
|||
Poligon merupakan contoh bangun dimensi dua dari [[politop]] yang lebih umum dalam sebarang dimensi. Banyak [[Poligon#Perumuman|perumumannya]] yang didefinisikan untuk tujuan lain. |
|||
== Etimologi == |
== Etimologi == |
||
Kata '' |
Kata ''poligon ''berasal dari kata sifat [[bahasa Yunani|Yunani]], πολύς (''polús''), berarti "banyak", dan γωνία (''gōnía''), berarti "sudut". Akan tetapi, ada yang mengatakan bahwa kata Yunani γόνυ (''gónu''), berarti "kaki", dapat berawal dari kata ''gon''.<ref>{{cite book|last1=Craig|first1=John|year=1849|url=https://books.google.com/books?id=t1SS5S9IBqUC|title=A new universal etymological technological, and pronouncing dictionary of the English language|publisher=Oxford University|page=[https://books.google.com/books?id=t1SS5S9IBqUC&pg=PA404 404]|url-status=live}}</ref> |
||
== |
== Penggolongan == |
||
[[Berkas:Polygon types.svg|thumb|right|300px|Beberapa |
[[Berkas:Polygon types.svg|thumb|right|300px|Beberapa macam poligon yang lain]] |
||
=== Jumlah sisi === |
=== Jumlah sisi === |
||
Poligon |
Poligon digolongkan berdasarkan jumlah sisinya. Lihat [[#Penamaan|tabel di bawah]]. |
||
=== Konveksitas dan non-konveksitas === |
=== Konveksitas dan non-konveksitas === |
||
Poligon dapat dicirikan |
Poligon dapat dicirikan berdasarkan jenis konveksitas (kecembungan) atau non-konveksitas: |
||
* [[poligon cembung| |
* Poligon [[poligon cembung|konveks]] atau [[poligon cembung|cembung]]: sebarang garis yang ditarik melalui poligon (dan tidak menyinggung sisi atau titik sudut) akan bertemu ke batas poligon, tepatnya dua. Akibatnya, semua sudut dalam kurang dari 180°. Dengan kata lain, untuk sebarang ruas garis dengan titik akhir di batas poligon, hanya akan melewati titik dalam di sekitar titik akhir. |
||
* |
* Poligon non-cembung: sebuah garis dapat ditemukan ketika bertemu ke batasnya lebih dari dua kali. Dengan kata lain, terdapat sebuah ruas garis di antara dua titik batas yang melalui poligon. |
||
* [[ |
* [[Poligon sederhana]]: batas poligon tidak menyilang dirinya sendiri. Semua poligon cembung berbentuk sederhana. |
||
* [[Poligon cekung |
* [[Poligon cekung]]: poligon yang non-cembung (tidak cembung) dan sederhana. Pada poligon ini, setidaknya ada satu buah sudut dalam yang lebih besar dari 180°. |
||
* [[Poligon berbentuk |
* [[Poligon berbentuk bintang]]: seluruh titik dalam terlihat dan setidaknya ada satu buah, tanpa melewati sebarang sisi. Poligon harus berbentuk sederhana, serta dapat berbentuk cembung atau cekung. Selain itu, semua poligon cembung juga berbentuk bintang. |
||
* [[Daftar poligon yang berpotongan diri|Poligon tak berpotongan diri]]: batas poligon yang tidak memotong diri. |
|||
* [[daftar poligon tidak beraturan|Tidak beraturan]]: batas poligon tidak beraturan. Istilah ''kompleks'' terkadang digunakan berbeda dengan ''sederhana'', tetapi penggunaan ini berisiko menimbulkan kebingungan dengan gagasan ''[[Polytope kompleks|poligon kompleks]]'' sebagai salah satu yang ada di bidang kompleks [[ruang Hilbert|Hilbert]] yang terdiri dari dua [[bilangan kompleks|kompleks]]. |
|||
* [[Poligon bintang]]: poligon tidak beraturan secara teratur. Poligon tidak boleh berbentuk |
* [[Poligon bintang]]: poligon tidak beraturan secara teratur. Poligon ini tidak boleh berbentuk bintang. |
||
=== Kesetaraan dan simetri === |
=== Kesetaraan dan simetri === |
||
* [[Poligon |
* [[Poligon sama sudut]]: semua sudut di titik sudut adalah sama. |
||
* [[Poligon |
* [[Poligon sama sisi]]: semua sisi memiliki panjang yang sama. |
||
* [[Poligon beraturan]]: sebuah poligon berarti mempunyai sudut dan sisi yang sama. |
|||
* Isogonal atau [[simpul-transitif]]: semua sudut berada dalam [[orbit simetri]] yang sama. Poligon juga berbentuk siklik dan sama. |
|||
* [[Poligon |
* [[Poligon siklik]]: semua sudut yang terletak di sebuah [[lingkaran]] yang disebut [[lingkaran luar]]. |
||
* [[Poligon |
* [[Poligon singgung]]: semua sisi bersinggungan dengan [[lingkaran bertuliskan]]. |
||
* |
* Isogonal: semua sudut berada di dalam [[orbit simetri]] yang sama. Poligon ini juga berbentuk siklik dan mempunyai sisi yang sama. |
||
* Isotoksal: semua sisi berada di dalam [[orbit simetri]] yang sama. Poligon ini juga merupakan poligon singgung dan mempunyai sisi yang sama. |
|||
* [[Poligon beraturan|Reguler]]: poligon tersebut adalah ''isogonal'' dan ''isotoxal''. Secara ekuivalen, ini adalah ''siklik'' dan ''sama sisi'', atau keduanya ''sama sisi'' dan ''sama dengan''. Reguler non-cembung''. |
|||
=== Miscellaneous === |
|||
* [[Poligon bujursangkar|Bujursangkar]]: sisi-sisi poligon bertemu pada sudut siku-siku, yaitu semua sudut interiornya 90 atau 270 derajat. |
|||
* [[Poligon Monoton|Monoton]] terhadap garis tertentu ''L'': setiap garis [[Ortogonal (geometri)|ortogonal]] ke L memotong poligon tidak lebih dari dua kali. |
|||
== |
=== Lain-lain === |
||
* [[Poligon rektilinear]]: sisi-sisi poligon bertemu di sudut siku-siku, dalam artian bahwa semua sudut dalam bernilai 90° atau 270°. |
|||
[[Geometri euklides]] diasumsikan seluruhnya. |
|||
* [[Poligon monoton]] terhadap garis <math>L</math> yang diketahui: setiap garis [[Ortogonal (geometri)|ortogonal]] ke <math>L</math> memotong poligon setidaknya dua kali. |
|||
== Sifat-sifat dan rumus == |
|||
=== Sudut === |
=== Sudut === |
||
[[Berkas:Winkelsumme-polygon.svg|jmpl|Segi-<math>n</math> dibagi menjadi <math>n-2</math> segitiga.]] |
|||
Poligon apa pun memiliki banyak sudut karena memiliki banyak sisi. Setiap sudut memiliki beberapa sudut. Dua hal terpenting adalah: |
|||
Sebarang poligon memiliki banyak sudut yang sama dengan banyaknya sisi. Masing-masing sudut di poligon memiliki beberapa sudut. Dua sudut yang terpenting, di antaranya: |
|||
* '''[[Sudut dalam]]''' – Jumlah dari sudut interior huruf ''n''-gon adalah {{nowrap|(''n''−2) [[Pi|π]]}} [[radian]] atau {{nowrap|(''n''−2) × 180}} [[derajat (sudut)|derajat]]. Hal ini karena setiap sederhana ''n''-gon (memiliki sisi ''n'') dapat dianggap terdiri dari {{nowrap|(''n''-2)}} segitiga, masing-masing memiliki jumlah sudut π radian atau 180 derajat. Ukuran setiap sudut interior cembung biasa ''n''-gon adalah <math>\left(1-\tfrac{2}{n}\right)\pi</math> radian atau <math>180-\tfrac{360}{n}</math> derajat. Sudut interior [[poligon bintang]] beraturan pertama kali dipelajari oleh Poinsot, dalam makalah yang sama di mana ia menjelaskan empat [[Polihedron Kepler–Poinsot|polihedra bintang biasa]]: sebagai <math>\tfrac{p}{q}</math>-gon (a ''p''-gon dengan kepadatan pusat ''q''), setiap sudut interior <math>\tfrac{\pi(p-2q)}{p}</math> radian atau <math>\tfrac{180(p-2q)}{p}</math> derajat.<ref>{{cite book |last=Kappraff |first=Jay |title=Luar biasa: tur berpemandu melintasi alam, mitos, dan angka |publisher=World Scientific |year=2002 |page=258 |isbn= 978-981-02-4702-7 |url=https://books.google.com/books?id=vAfBrK678_kC&pg=PA256&dq=star+polygon}}</ref> |
|||
* [[Sudut dalam]]: Jumlah dari sudut dalam segi-<math>n</math> sederhana sama dengan <math>(n-2) \times \pi</math> [[radian]] (atau dalam bentuk [[derajat (sudut)|derajat]], <math>(n-2) \times 180^\circ</math>). Ini dikarenakan sebarang segi-''<math>n</math>'' sederhana (poligon yang memiliki ''<math>n</math>'' sisi) dapat dipandang mempunyai <math>n-2</math> segitiga, sehingga jumlah dari masing-masing sudut sama dengan π radian atau 180 derajat. Ukuran dari sebarang sudut dalam dari segi-''<math>n</math>'' beraturan cembung bernilai <math>\left(1-\tfrac{2}{n}\right)\pi</math> radian atau <math>180-\tfrac{360}{n}</math> derajat. Sudut dalam dari [[poligon bintang]] beraturan pertama kali dipelajari oleh Poinsot. Pada makalah tersebut, Poinsot menjelaskan empat [[Polihedron Kepler–Poinsot|polihedron bintang beraturan]] sebagai berikut: untuk sebuah segi-<math>\tfrac{p}{q}</math> (sebuah segi-<math>p</math> dengan kepadatan pusat <math>q</math>), maka masing-masing sudut dalam bernilai <math>\tfrac{\pi(p-2q)}{p}</math> radian atau <math>\tfrac{180(p-2q)}{p}</math> derajat.<ref>{{cite book|last=Kappraff|first=Jay|year=2002|url=https://books.google.com/books?id=vAfBrK678_kC&pg=PA256&dq=star+polygon|title=Beyond measure: a guided tour through nature, myth, and number|publisher=World Scientific|isbn=978-981-02-4702-7|page=258|url-status=live}}</ref> |
|||
* '''[[Sudut luar]]''' – Sudut eksterior adalah [[sudut tambahan]] ke sudut interior. Menelusuri sekitar cembung ''n''-gon, sudut "belok" di suatu sudut adalah sudut luar atau luar. Menelusuri seluruh poligon membuat satu [[Putaran (geometri)|putaran]] penuh, jadi jumlah sudut luar harus 360 °. Argumen ini dapat digeneralisasikan menjadi poligon sederhana yang cekung, bila sudut luar yang berbelok ke arah berlawanan dikurangi dari total putaran. Menelusuri sekitar ''n''-gon secara umum, jumlah dari sudut luar (jumlah total yang berputar pada simpul) dapat berupa kelipatan bilangan bulat ''d'' dari 360°, misalnya 720° untuk [[pentagram]] dan 0° untuk sudut "delapan" atau [[antiparallelogram]], dengan ''d'' adalah massa jenis atau sifat poligon bintang. Lihat juga [[orbit (dinamika)]]. |
|||
* [[Sudut luar]]: Sudut luar adalah [[Sudut suplemen|suplemen]] dari sudut dalam. Ketika menggambar garis di suatu sisi segi-''<math>n</math>'' cembung, maka sudut "berputar" ke suatu titik sudut yang merupakan sudut luar. Dengan menggambarnya di seluruh sisi poligon akan membentuk satu [[Putaran (geometri)|putaran]] penuh, sehingga jumlah sudut luar harus bernilai 360°. Argumen ini dapat diperumum untuk poligon sederhana cekung, jika sudut luar yang berputar ke arah berlawanan dikurangi dari total putaran. Dengan menggambarkannya di keliling segi-<math>n</math>, maka jumlah dari sudut luar (dalam artian, jumlah total yang berputar di titik sudut) sama dengan kelipatan bilangan bulat <math>d</math> dari 360°, sebagai contoh: 720° untuk [[pentagram]] dan 0° untuk [[antiparallelogram]], dengan ''<math>d</math>'' adalah [[Densitas (politop)|densitas]] atau ''turning number'' dari poligon. Lihat pula [[orbit (dinamika)]]. |
|||
=== Luas === |
=== Luas === |
||
Misalkan titik sudut dari poligon dinyatakan sebagai <math>(x_0, y_0), (x_1, y_1), \ldots, (x_{n - 1}, y_{n - 1})</math>. Penggunaan notasi {{math|1=(''x<sub>n</sub>'', ''y<sub>n</sub>'') = (''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>)}} juga akan dipakai. |
|||
[[Berkas:Polygon vertex labels.svg|thumb|320px|right|Koordinat segi lima non-cembung.]] |
|||
==== Poligon sederhana ==== |
|||
Pada bagian ini, simpul dari poligon yang sedang dipertimbangkan akan diambil <math>(x_0, y_0), (x_1, y_1), \ldots, (x_{n - 1}, y_{n - 1})</math> dalam urutan. Untuk kemudahan dalam beberapa rumus, notasi {{math|1=(''x<sub>n</sub>'', ''y<sub>n</sub>'') = (''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>)}} juga akan digunakan. |
|||
{{Main|Rumus tali sepatu}}[[Berkas:Polygon vertex labels.svg|thumb|320px|right|Koordinat dari poligon non-cembung.]] |
|||
Jika poligon tidak berpotongan |
Jika poligon tidak berpotongan diri (atau dengan kata lain, poligon tersebut [[poligon sederhana|sederhana]]), maka [[luas]] bertanda dirumuskan sebagai |
||
:<math>L = \frac{1}{2} \sum_{i = 0}^{n - 1}( x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i) \quad \text {dimana } x_{n}=x_{0} \text{ dan } y_n=y_{0}, </math> |
|||
atau, menggunakan [[determinan]] |
|||
:<math>16 L^{2} = \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=0}^{n-1} \begin{vmatrix} Q_{i,j} & Q_{i,j+1} \\ |
|||
Q_{i+1,j} & Q_{i+1,j+1} \end{vmatrix} , </math> |
|||
dimana <math> Q_{i,j} </math> adalah jarak kuadrat antara <math>(x_i, y_i)</math> dan <math>(x_j, y_j).</math> <ref>B.Sz. Nagy, L. Rédey: Eine Verallgemeinerung der Inhaltsformel von Heron. Publ. |
|||
Math. Debrecen 1, 42–50 (1949)</ref><ref>{{cite web |
|||
|url = http://www.seas.upenn.edu/~sys502/extra_materials/Polygon%20Area%20and%20Centroid.pdf |
|||
|title = Menghitung Luas Dan Sentroid Poligon |
|||
|last = Bourke |
|||
|first = Paul |
|||
|date = Juli 1988 |
|||
|work = |
|||
|publisher = |
|||
|accessdate = 6 Feb 2013 |
|||
|archive-date = 2012-09-16 |
|||
|archive-url = https://web.archive.org/web/20120916104133/http://www.seas.upenn.edu/~sys502/extra_materials/Polygon%20Area%20and%20Centroid.pdf |
|||
|dead-url = yes |
|||
}}</ref> |
|||
<math display="block">A = \frac{1}{2} \sum_{i = 0}^{n - 1}( x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i) </math> |
|||
Luas bertanda tergantung pada urutan simpul dan [[orientasi (ruang vektor)|orientasi]] dari bidang. Biasanya, orientasi positif ditentukan oleh rotasi (berlawanan arah jarum jam) yang memetakan positif {{mvar|x}}-sumbu ke positif {{mvar|y}}-sumbu. Jika simpul diurutkan berlawanan arah jarum jam (yaitu, menurut orientasi positif), luas yang ditandatangani positif; jika tidak, itu negatif. Dalam kedua kasus tersebut, rumus luasnya benar di [[nilai absolut]]. Hal tersebut biasanya disebut [[rumus tali sepatu]] atau rumus Surveyor.<ref>{{cite journal |author=Bart Braden |title=Formula Luas Surveyor |journal=The College Mathematics Journal |volume=17 |issue=4 |year=1986 |pages=326–337 |url=http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma063.pdf|archive-url=https://web.archive.org/web/20121107190918/http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma063.pdf|archive-date=2012-11-07 |doi=10.2307/2686282}}</ref> |
|||
dengan <math>x_n = x_0</math> dan <math>y_n = y_0</math>. Luas dari poligon tersebut juga dapat menggunakan [[determinan]]<math display="block">16 L^{2} = \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=0}^{n-1} \begin{vmatrix} Q_{i,j} & Q_{i,j+1} \\ |
|||
Luas ''L'' poligon sederhana juga dapat dihitung jika panjang sisinya, ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, …, ''a<sub>n</sub>'' dan [[sudut eksterior]], ''θ''<sub>1</sub>, ''θ''<sub>2</sub>, …, ''θ<sub>n</sub>'' diketahui, dari: |
|||
Q_{i+1,j} & Q_{i+1,j+1} \end{vmatrix} , </math> |
|||
:<math>\begin{align}L = \frac12 ( a_1[a_2 \sin(\theta_1) + a_3 \sin(\theta_1 + \theta_2) + \cdots + a_{n-1} \sin(\theta_1 + \theta_2 + \cdots + \theta_{n-2})] \\ |
|||
{} + a_2[a_3 \sin(\theta_2) + a_4 \sin(\theta_2 + \theta_3) + \cdots + a_{n-1} \sin(\theta_2 + \cdots + \theta_{n-2})] \\ |
|||
{} + \cdots + a_{n-2}[a_{n-1} \sin(\theta_{n-2})] ). \end{align}</math> |
|||
Rumusnya dijelaskan oleh Lopshits pada tahun 1963.<ref name="lopshits">{{cite book |title=Perhitungan bidang angka berorientasi |author=A.M. Lopshits |publisher=D C Heath and Company: Boston, MA |others=translators: J Massalski and C Mills, Jr. |year=1963}}</ref> |
|||
dengan <math> Q_{i,j} </math> adalah jarak kuadrat di antara titik <math>(x_i, y_i)</math> dan <math>(x_j, y_j).</math><ref>B.Sz. Nagy, L. Rédey: Eine Verallgemeinerung der Inhaltsformel von Heron. Publ. |
|||
Bila poligon dapat digambar pada grid yang berjarak sama sehingga semua simpulnya adalah titik grid, [[Teorema Pilih]] memberikan rumus sederhana untuk luas poligon berdasarkan jumlah interior: angka sebelumnya ditambah setengah angka terakhir, minus 1. |
|||
Math. Debrecen 1, 42–50 (1949)</ref><ref>{{cite web|last=Bourke|first=Paul|date=Juli 1988|title=Calculating The Area And Centroid Of A Polygon|url=http://www.seas.upenn.edu/~sys502/extra_materials/Polygon%20Area%20and%20Centroid.pdf|work=|publisher=|archive-url=https://web.archive.org/web/20120916104133/http://www.seas.upenn.edu/~sys502/extra_materials/Polygon%20Area%20and%20Centroid.pdf|archive-date=2012-09-16|dead-url=yes|accessdate=6 Feb 2013}}</ref> |
|||
Luas bertanda bergantung pada orde dari titik sudut dan orde dari [[orientasi (ruang vektor)|orientasi]] bidang. Secara umum, orientasi bernilai positif didefinisikan dengan memutar (ke lawan arah jarum jam) yang memetakan sumbu-<math>x</math> positif ke sumbu-<math>y</math> positif. Luas bertanda akan positif jika titik sudut diorde ke lawan arah jarum jam (dalam artian, berdasarkan orientasi bernilai positif), dan begitupula untuk kebalikannya, sehingga dengan demikian, rumus untuk luas poligon benar dalam [[nilai absolut|nilai mutlak]]. Rumus ini umum dikenal sebagai [[rumus tali sepatu]] atau ''surveyor's formula'' ({{Lang-id|rumus surveyor}}).<ref>{{cite journal|author=Bart Braden|year=1986|title=The Surveyor's Area Formula|url=http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma063.pdf|journal=The College Mathematics Journal|volume=17|issue=4|pages=326–337|doi=10.2307/2686282|archive-url=https://web.archive.org/web/20121107190918/http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma063.pdf|archive-date=2012-11-07}}</ref> |
|||
In every polygon with perimeter ''p'' and area ''A '', the [[isoperimetric inequality]] <math>p^2 > 4\pi A</math> holds.<ref>[http://forumgeom.fau.edu/FG2002volume2/FG200215.pdf Dergiades, Nikolaos, "An elementary proof of the isoperimetric inequality", ''Forum Mathematicorum'' 2, 2002, 129–130.]</ref> |
|||
Luas <math>A</math> dari poligon sederhana juga dapat dihitung jika diketahui panjang sisi <math>a_1,a_2,\dots,a_n</math> dan [[sudut luar]] <math>\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_n</math>, dari |
|||
Untuk dua poligon sederhana yang luasnya sama, [[Teorema Bolyai–Gerwien]] menyatakan bahwa poligon pertama dapat dipotong menjadi potongan poligonal yang dapat dipasang kembali untuk membentuk poligon kedua. |
|||
<math display="block">A = \frac12 (a_1[a_2 \sin(\theta_1) + a_3 \sin(\theta_1 + \theta_2) + \cdots + a_{n-1} \sin(\theta_1 + \theta_2 + \cdots + \theta_{n-2})] |
|||
Panjang sisi poligon secara umum tidak menentukan luasnya.<ref>Robbins, "Poligon tertulis dalam lingkaran," ''American Mathematical Monthly'' 102, June–July 1995.</ref> Namun, jika poligonnya siklik maka sisi menentukan luasnya.<ref>{{cite journal|last=Pak|first=Igor|authorlink=Igor Pak|doi=10.1016/j.aam.2004.08.006|issue=4|journal=[[Advances in Applied Mathematics]]|mr=2128993|pages=690–696|title=Area poligon siklik: kemajuan terbaru pada dugaan Robbins|volume=34|year=2005|arxiv=math/0408104}}</ref> <!-->Of all ''n''-gons with given side lengths, the one with the largest area is cyclic. Of all ''n''-gons with a given perimeter, the one with the largest area is regular (and therefore cyclic)-->.<ref>Chakerian, G. D. "Tampilan Geometri yang Terdistorsi." Ch. 7 in ''Plum Matematika'' (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Asosiasi Matematika Amerika, 1979: 147.</ref> |
|||
{} + a_2[a_3 \sin(\theta_2) + a_4 \sin(\theta_2 + \theta_3) + \cdots + a_{n-1} \sin(\theta_2 + \cdots + \theta_{n-2})] |
|||
{} + \cdots + a_{n-2}[a_{n-1} \sin(\theta_{n-2})]).</math> |
|||
Rumus ini dijelaskan oleh Lopshits pada tahun 1963.<ref name="lopshits">{{cite book|author=A.M. Lopshits|year=1963|title=Computation of areas of oriented figures|publisher=D C Heath and Company: Boston, MA|url-status=live}}</ref> |
|||
==== Poligon beraturan ==== |
|||
Banyak rumus khusus yang diterapkan pada bidang [[poligon beraturan]]. |
|||
Jika poligon dapat digambarkan di sebuah kisi yang berjarak sama, sehingga semua titik sudut adalah titik kisi, maka [[teorema Pick]] memberikan rumus sederhana untuk luas poligon berdasarkan jumlah titik kisi di dalam maupun di batas poligon, yang mengatakan: luas poligon sama dengan jumlah titik bilangan bulat di dalam poligon ditambah dengan setengah dari jumlah titik bilangan bulat di batas poligon, yang kemudian dikurangi 1. |
|||
Luas poligon beraturan diberikan dalam radius ''r'' dari [[lingkaran tertulis]] dan kelilingnya ''p'' oleh |
|||
:<math>L = \tfrac{1}{2} \cdot p \cdot r.</math> |
|||
Jari-jari ini juga disebut [[apotema]] dan sering direpresentasikan sebagai ''a''. |
|||
Setiap poligon dengan keliling <math>p</math> dan luas <math>A</math>'','' berlaku [[pertidaksamaan isoperimetrik]] <math>p^2 > 4\pi A</math>.<ref>[http://forumgeom.fau.edu/FG2002volume2/FG200215.pdf Dergiades, Nikolaos, "An elementary proof of the isoperimetric inequality", ''Forum Mathematicorum'' 2, 2002, 129–130.]</ref> |
|||
Luas beraturan ''n''-gon dengan sisi yang tertulis dalam lingkaran satuan tersebut |
|||
:<math>L = \frac{ns}{4} \sqrt{4-s^{2}}.</math> |
|||
Untuk dua poligon sederhana yang luasnya sama, [[teorema Bolyai–Gerwien]] mengatakan bahwa poligon pertama dapat dipotong menjadi potongan poligonal yang dapat disatukan kembali untuk membentuk poligon kedua.<!--Panjang sisi poligon secara umum tidak menentukan luasnya.<ref>Robbins, "Polygons inscribed in a circle," ''American Mathematical Monthly'' 102, June–July 1995.</ref> Akan tetapi, jika poligon berupa siklik, maka sisinya yang menentukan luas.<ref>{{cite journal|last=Pak|first=Igor|authorlink=Igor Pak|doi=10.1016/j.aam.2004.08.006|issue=4|journal=[[Advances in Applied Mathematics]]|mr=2128993|pages=690–696|title=Area poligon siklik: kemajuan terbaru pada dugaan Robbins|volume=34|year=2005|arxiv=math/0408104}}</ref> Jadi, luas terbesar di antara semua <math>n</math>-gon jika panjang sisinya diketahui adalah poligon siklik, dan luas terbesar di antara semua <math>n</math>-gon jika kelilingnya diketahui adalah poligon beraturan (and therefore cyclic).<ref>Chakerian, G. D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in ''Mathematical Plums'' (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.</ref>--> |
|||
Luas sebuah ''n''-gon dalam hal jari-jari ''R'' dari [[lingkaran berbatas]] dan kelilingnya ''p'' diberikan oleh |
|||
==== Poligon beraturan ==== |
|||
:<math>L = \frac {R}{2} \cdot p \cdot \sqrt{1- \tfrac{p^{2}}{4n^{2}R^{2}}}.</math> |
|||
Terdapat banyak rumus khusus yang dipakai untuk luas [[poligon beraturan]]. Sebagai contoh, luas poligon beraturan dirumuskan dengan menggunakan jari-jari <math>r</math> (atau lebih tepatnya, [[apotema]]) dari [[lingkaran dalam]] dan keliling poligon<math display="block">A = \frac{1}{2} \cdot p \cdot r.</math>Luas segi-<math>n</math> beraturan dengan jari-jari <math>R</math> dari [[lingkaran luar]] dapat dinyatakan dengan menggunakan trigonometri:<ref>[https://www.mathopenref.com/polygonregularareaderive.html Area of a regular polygon - derivation] from Math Open Reference.</ref><ref>Sebuah poligon beraturan yang mempunyai jumlah sisi yang tak terhingga merupakan sebuah lingkaran:<math display="block">\lim_{n \to +\infty} R^2 \cdot \frac{n}{2} \cdot \sin \frac{2\pi}{n} = \pi \cdot R^2.</math></ref><math display="block">A = R^2 \cdot \frac{n}{2} \cdot \sin \frac{2\pi}{n} = R^2 \cdot n \cdot \sin \frac{\pi}{n} \cdot \cos \frac{\pi}{n}</math>Luas segi-<math>n</math> beraturan di dalam lingkaran berjari-jari satuan, dengan sisi <math>s</math> dan sudut dalam <math>\alpha</math>, juga dapat dinyatakan dengan menggunakan trigonometri:<math display="block">A = \frac{ns^{2}}{4}\cot \frac{\pi}{n} = \frac{ns^{2}}{4}\cot\frac{\alpha}{n-2} = n \cdot \sin \frac{\alpha}{n-2} \cdot \cos \frac{\alpha}{n-2}.</math><!-- |
|||
Luas sebuah ''n'' beraturan-gon tertulis dalam lingkaran jari-jari satuan, dengan sisi ''s'' dan sudut interior <math>\alpha,</math> juga dapat dinyatakan secara trigonometri sebagai |
|||
:<math>L = \frac{ns^{2}}{4}\cot \frac{\pi}{n} = \frac{ns^{2}}{4}\cot\frac{\alpha}{n-2}=n \cdot \sin \frac{\pi}{n} \cdot \cos \frac{\pi}{n} = n \cdot \sin \frac{\alpha}{n-2} \cdot \cos \frac{\alpha}{n-2}.</math> |
|||
<!-- |
|||
<!--====Self-intersecting==== |
<!--====Self-intersecting==== |
||
The area of a [[Complex polygon|self-intersecting polygon]] can be defined in two different ways, giving different answers: |
The area of a [[Complex polygon|self-intersecting polygon]] can be defined in two different ways, giving different answers: |
||
Baris 106: | Baris 84: | ||
* Considering the enclosed regions as point sets, we can find the area of the enclosed point set. This corresponds to the area of the plane covered by the polygon or to the area of one or more simple polygons having the same outline as the self-intersecting one. In the case of the cross-quadrilateral, it is treated as two simple triangles.{{citation needed|date=February 2019}}--> |
* Considering the enclosed regions as point sets, we can find the area of the enclosed point set. This corresponds to the area of the plane covered by the polygon or to the area of one or more simple polygons having the same outline as the self-intersecting one. In the case of the cross-quadrilateral, it is treated as two simple triangles.{{citation needed|date=February 2019}}--> |
||
=== |
=== Pusat massa === |
||
Dengan menggunakan konvensi yang sama untuk koordinat titik sudut seperti di bagian sebelumnya, koordinat dari pusat massa dari poligon sederhana padat dirumuskan sebagai |
|||
:<math>C_x = \frac{1}{6 A} \sum_{i = 0}^{n - 1} (x_i + x_{i + 1}) (x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i), </math> |
|||
:<math>C_y = \frac{1}{6 A} \sum_{i = 0}^{n - 1} (y_i + y_{i + 1}) (x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i).</math> |
|||
Dalam rumus ini, nilai area yang ditandatangani <math>L</math> harus digunakan. |
|||
<math display="block">C_x = \frac{1}{6 A} \sum_{i = 0}^{n - 1} (x_i + x_{i + 1}) (x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i), </math><math display="block">C_y = \frac{1}{6 A} \sum_{i = 0}^{n - 1} (y_i + y_{i + 1}) (x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i).</math> |
|||
<!--For [[triangle]]s ({{math|1=''n'' = 3}}), the centroids of the vertices and of the solid shape are the same, but, in general, this is not true for {{math|''n'' > 3}}. The [[centroid]] of the vertex set of a polygon with {{mvar|n}} vertices has the coordinates |
|||
Pada kedua rumus tersebut, nilai bertanda dari luas <math>A</math> harus digunakan.<!--For [[triangle]]s ({{math|1=''n'' = 3}}), the centroids of the vertices and of the solid shape are the same, but, in general, this is not true for {{math|''n'' > 3}}. The [[centroid]] of the vertex set of a polygon with {{mvar|n}} vertices has the coordinates |
|||
:<math>c_x=\frac 1n \sum_{i = 0}^{n - 1}x_i,</math> |
:<math>c_x=\frac 1n \sum_{i = 0}^{n - 1}x_i,</math> |
||
:<math>c_y=\frac 1n \sum_{i = 0}^{n - 1}y_i.</math>--> |
:<math>c_y=\frac 1n \sum_{i = 0}^{n - 1}y_i.</math>--> |
||
== Perumuman == |
|||
Gagasan dari poligon diperumum melalui berbagai cara. Ada beberapa perumuman dari poligon yang lebih penting, di antaranya: |
|||
* [[Poligon bola]] adalah poligon yang mempunyai sirkuit dari busur lingkaran besar (yakni, sisi) dan titik sudut pada permukaan bola. Hal ini memungkinkan [[digon]], poligon yang hanya memiliki dua sisi dan dua titik sudut, yang tidak mungkin dilakukan pada bidang datar. Poligon bola memainkan peran penting dalam [[kartografi]] (pembuatan peta) dan dalam [[konstruksi Wythoff]] dari [[polihedron seragam]]. |
|||
* [[Poligon pencong]] tidak terletak di bidang datar, melainkan di garis zigzag dalam dimensi tiga atau lebih. [[Poligon Petrie]] dari politop beraturan adalah contoh yang terkenal. |
|||
* [[Apeirogon]] adalah sebuah poligon yang mempunyai barisan tak hingga dari sisi dan sudut. Barisan tersebut tidak tertutup tetapi tidak punyai titik akhir, sebab barisan tersebut secara tak langsung memperluas ke dua arah. |
|||
* [[Apeirogon pencong]] adalah sebuah poligon yang mempunyai barisan tak hingga dari sisi dan sudut yang tidak terletak di sebuah bidang datar. |
|||
* [[Politop kompleks|Poligon kompleks]] adalah sebuah [[konfigurasi (politop)|konfigurasi]] yang mirip seperti poligon biasa. Yang membedakannya adalah poligon ini berada di [[bidang kompleks]] dari dua dimensi [[bilangan real]] dan dua dimensi [[bilangan imajiner]]. |
|||
* [[Politop abstrak|Poligon abstrak]] adalah [[himpunan terurut parsial]] aljabar yang mewakili berbagai elemen (seperti sisi, titik sudut, dsb.) serta keterhubungannya. Sebuah poligon geometri real dikatakan sebagai ''realisasi'' dari poligon abstrak iring. |
|||
* [[Polihedron]] adalah benda padat dimensi tiga yang dibatasi oleh muka poligonal datar, mirip seperti poligon dalam dimensi dua yang dibatasi oleh sisi, Bentuk yang korespondensi dalam dimensi empat atau lebih disebut sebagai [[politop]].<ref>Coxeter (3rd Ed 1973)</ref> |
|||
== |
== Penamaan == |
||
Kata ''poligon'' diambil dari [[bahasa Latin]] ''polygōnum'', bahasa Yunani πολύγωνον (''polygōnon/polugōnon'', yang berarti "sudut banyak". Pemberian nama pada masing-masing poligon disesuaikan dengan jumlah sisi, dan gabungan dari [[awalan bilangan]] dalam [[bahasa Yunani]] dan akhiran -gon, sebagai contoh ''[[pentagon]]'' (mempunyai lima sisi), ''[[dodekagon]]'' (mempunyai dua belas sisi). Akan tetapi, terdapat pengecualian untuk penamaan tersebut seperti ''[[nonagon]]''. |
|||
Ide penemuan poligon telah digeneralisasikan dengan berbagai cara. Beberapa yang lebih penting termasuk: |
|||
* [[Poligon bola]] adalah rangkaian lingkaran besar (sisi) dan titik sudut pada permukaan bola. Hal ini memungkinkan [[digon]], poligon yang hanya memiliki dua sisi dan dua sudut, yang tidak mungkin dilakukan pada bidang datar. Poligon bola memainkan peran penting dalam [[kartografi]] (pembuatan peta) dan dalam [[konstruksi Wythoff]] dari [[polihedra seragam]]. |
|||
* [[Poligon miring]] tidak terletak pada bidang datar, tetapi zigzag dalam tiga dimensi. [[Poligon Petrie]] dari politop biasa adalah contoh yang terkenal. |
|||
* [[Apeirogon]] adalah urutan sisi dan sudut tak hingga, yang tidak tertutup tetapi tidak memiliki ujung karena memanjang tanpa batas di kedua arah. |
|||
* [[Apeirogon miring]] adalah barisan sisi dan sudut tak hingga yang tidak terletak pada bidang datar. |
|||
* [[Politop kompleks|poligon kompleks]] adalah [[konfigurasi (politop)|konfigurasi]] analog dengan poligon biasa, hanya ada dalam [[bidang kompleks]] dari dua [[bilangan riil]]. |
|||
* [[Politop abstrak|Poligon abstrak]] adalah bagian dari aljabar [[himpunan berurutan sebagian]] yang mewakili berbagai elemen (sisi, simpul, dll.) Dan konektivitasnya. Sebuah poligon geometris nyata dikatakan sebagai '''Deka-5-top''' dari poligon abstrak. Bergantung pada pemetaan, semua generalisasi yang dijelaskan di sini dapat direalisasikan. |
|||
* [[Polihedra]] adalah benda padat tiga dimensi yang dibatasi oleh permukaan poligonal datar, dianalogikan dengan poligon dalam dua dimensi. Bentuk yang sesuai dalam empat atau lebih dimensi disebut [[politop]].<ref>Coxeter (3rd Ed 1973)</ref> (Dalam konvensi lain, kata '' polyhedron '' dan ''politop'' digunakan dalam dimensi apa pun, dengan perbedaan antara keduanya bahwa sebuah politop harus dibatasi.<ref>[[Günter Ziegler]] (1995). "Kuliah tentang Politop". Springer ''Teks Pascasarjana dalam Matematika'', {{isbn|978-0-387-94365-7}}. p. 4.</ref>) |
|||
Penamaan ini juga dilakukan tanpa menggunakan kata serapan dari bahasa Latin maupun bahasa Yunani. Pemberian nama pada masing-masing poligon ditulis dari kata "segi-" dan jumlah sisi melalui angka. Sebagai contoh, ''[[segitiga]]'' (mempunyai tiga sisi), ''[[segi empat]]'' (mempunyai empat sisi). |
|||
== Nama dan jenis == |
|||
Poligon adalah dinamakan sesuai dengan jumlah tepi, bergabung satu dengan awalan [[angka]] dalam [[bahasa Yunani]] dengan akhiran -gon. Contoh [[pentagon]], [[dodekagon]]. Segitiga, sisi empat, dan nonagon adalah pengecualian-pengecualian. Untuk nomor-nomor lebih besar, [[ahli matematika]] menulis [[angka]] sendiri, contoh 17-gon. Satu [[variabel]] dapat juga digunakan, biasanya n-gon. Ini adalah jika jumlah berguna untuk tepi adalah digunakan dalam satu rumus. |
|||
Untuk bilangan yang lebih besar, [[matematikawan]] biasanya menulis dengan menggunakan notasi numerik, atau dalam artian menggunakan [[angka]]. Sebagai contoh, segi-17 (atau segi tujuh belas) dan segi-257. |
|||
{{terjemah}} |
|||
{| class="wikitable" |
{| class="wikitable" |
||
|- |
|- |
||
!Penamaan dengan menggunakan kata awalan "segi-" |
|||
|+ '''Nama poligon''' |
|||
! Penamaan dengan menggunakan kata serapan !! Jumlah sisi |
|||
|- |
|||
! Nama !! Bilangan sisi |
|||
|- |
|- |
||
| - |
|||
| [[henagon]] (atau monogon) || 1 |
| [[henagon]] (atau monogon) || 1 |
||
|- |
|- |
||
| - |
|||
| [[digon]] || 2 |
| [[digon]] || 2 |
||
|- |
|- |
||
|[[segitiga]] |
|||
| [[segi tiga]] (atau trigon) || 3 |
|||
| trigon || 3 |
|||
|- |
|- |
||
| |
|[[segi empat]] |
||
| tetragon || 4 |
|||
|- |
|- |
||
| |
|[[segi lima]] |
||
| pentagon || 5 |
|||
|- |
|- |
||
|[[segi enam]] |
|||
| [[heksagon]] (atau seksagon) || 6 |
| [[heksagon]] (atau seksagon) || 6 |
||
|- |
|- |
||
|[[segi tujuh]] |
|||
|[[Segi tujuh|heptagon]] (elakkan "septagon" = Latin [sept-] + Greek) || 7 |
|||
|[[Segi tujuh|heptagon]] (atau septagon) || 7 |
|||
|- |
|- |
||
|[[segi delapan]] |
|||
|[[Segi delapan|oktagon]]|| 8 |
|[[Segi delapan|oktagon]]|| 8 |
||
|- |
|- |
||
|[[segi sembilan]] |
|||
|[[Segi sembilan|nonagon]] (atau [[enneagon]]) || 9 |
|[[Segi sembilan|nonagon]] (atau [[enneagon]]) || 9 |
||
|- |
|- |
||
|[[segi sepuluh]] |
|||
|[[Segi sepuluh|dekagon]]|| 10 |
|[[Segi sepuluh|dekagon]]|| 10 |
||
|- |
|- |
||
|segi sebelas |
|||
| [[hendekagon]] (elakkan "undekagon" = Latin [un-] + Greek) || 11 |
|||
| [[hendekagon]] atau undekagon || 11 |
|||
|- |
|- |
||
|segi dua belas |
|||
| [[dodekagon]] (elakkan "duodekagon" = Latin [duo-] + Greek)|| 12 |
|||
| [[dodekagon]] atau (duodekagon)|| 12 |
|||
|- |
|- |
||
| rowspan="19" | |
|||
| [[tridekagon]] atau [[triskaidekagon]] [http://mathworld.wolfram.com/Tridecagon.html (MathWorld)]|| 13 |
|||
| [[tridekagon]] atau triskaidekagon || 13 |
|||
|- |
|- |
||
| [[tetradekagon]] atau |
| [[tetradekagon]] atau tetrakaidekagon || 14 |
||
|- |
|- |
||
| [[pentadekagon]] (atau |
| [[pentadekagon]] (atau kuindekagon, pentakaidekagon) || 15 |
||
|- |
|- |
||
| [[heksadekagon]] atau |
| [[heksadekagon]] atau heksakaidekagon || 16 |
||
|- |
|- |
||
| [[heptadekagon]] atau |
| [[heptadekagon]] atau heptakaidekagon|| 17 |
||
|- |
|- |
||
| [[oktadekagon]] atau |
| [[oktadekagon]] atau oktakaidekagon|| 18 |
||
|- |
|- |
||
| [[enneadekagon]] atau |
| [[enneadekagon]] (atau enneakaidekagon, nonadekagon)|| 19 |
||
|- |
|- |
||
| [[ikosagon]] || 20 |
| [[ikosagon]] || 20 |
||
Baris 179: | Baris 171: | ||
| [[tetrakontagon]] ||40 |
| [[tetrakontagon]] ||40 |
||
|- |
|- |
||
| |
| pentakontagon ||50 |
||
|- |
|- |
||
| |
| heksakontagon||60 |
||
|- |
|- |
||
| |
| heptakontagon ||70 |
||
|- |
|- |
||
| |
| oktakontagon ||80 |
||
|- |
|- |
||
| |
| nonakontagon ||90 |
||
|- |
|- |
||
| |
| hektagon (juga hektogon) || 100 |
||
|- |
|- |
||
| |
| kiliagon || 1000 |
||
|- |
|- |
||
| |
| miriagon || 10,000 |
||
|- |
|- |
||
| [[ |
| [[megagon]] || 1,000,000 |
||
|- |
|||
| [[hekatommiragon]] (atau dekatommiriagon) || 1,000,000 |
|||
|} |
|} |
||
Poligon yang mempunyai jumlah sisi yang lebih dari 20 dan kurang dari 100 dinamakan dengan menggunakan awalan kata nama.<ref name="namingpolygons2">{{cite book|last=Salomon|first=David|date=2011|url=https://books.google.com/books?id=DX4YstV76c4C&pg=PA90|title=The Computer Graphics Manual|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-85729-886-7|pages=88–90}}</ref> Kata "kai" dapat dipakai untuk segi-13 dan poligon yang lebih tinggi darinya. Penggunaan kata "kai" dipakai oleh [[Johannes Kepler|Kepler]], dan kemudian [[John H. Conway|Conway]] memperkenalkan penggunaan kata tersebut untuk menjelaskan awalan bilangan yang digabungkan dalam penamaan [[polihedron kuasiberaturan]].<ref name="drmath">{{cite web|title=Naming Polygons and Polyhedra|url=http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.polygon.names.html|work=Ask Dr. Math|publisher=The Math Forum–Drexel University|access-date=3 May 2015}}</ref> Meskipun demikian, banyak sumber yang tidak memakai kata tersebut. |
|||
=== Penamaan poligon === |
|||
Poligon yang memiliki sisi lebih dari 20 sisi dan kurang dari 100 sisi dinamakan dengan menggunakan kombinasi kata nama berikut: |
|||
{| class="wikitable" style="vertical-align:center;" |
{| class="wikitable" style="vertical-align:center;" |
||
|- style="text-align:center;" |
|- style="text-align:center;" |
||
! colspan="2" rowspan="2" | Angka |
! colspan="2" rowspan="2" | Angka puluhan |
||
! ''dan'' |
! ''dan'' |
||
! colspan="2" | Angka |
! colspan="2" | Angka satuan |
||
! Imbuhan |
! Imbuhan akhir |
||
|- |
|- |
||
! rowspan="9" | -kai- |
! rowspan="9" | -kai- |
||
| 1 |
| 1 |
||
| -hena- |
| -hena- |
||
! rowspan=9 | -gon |
! rowspan="9" | -gon |
||
|- |
|- |
||
| 20 || icosa- || 2 || -di- |
| 20 || icosa- || 2 || -di- |
||
Baris 230: | Baris 218: | ||
|- |
|- |
||
| 90 || enneaconta- || 9 || -ennea- |
| 90 || enneaconta- || 9 || -ennea- |
||
|- |
|||
|} |
|} |
||
== Sejarah == |
|||
Contohnya, untuk poligon bersisi 42 akan dinamakan seperti berikut: |
|||
[[Berkas:Fotothek df tg 0003352 Geometrie ^ Dreieck ^ Viereck ^ Vieleck ^ Winkel.jpg|jmpl|Gambar bersejarah tentang poligon (1699)]] |
|||
{| class="wikitable" |
|||
Poligon telah lama dikenal sejak zaman dahulu. Poligon beraturan dipelajari orang [[Yunani kuno]]. [[Pentagram]], sebuah poligon beraturan non-[[cembung]] ([[poligon bintang]]), ditemukan di [[krater]] Aristophonus, sebuah wadah yang ditemukan Caere, dan saat ini berada di [[Museum Capitolini]].<ref>{{citation|title=A History of Greek Mathematics, Volume 1|first=Sir Thomas Little|last=Heath|author-link=Thomas Little Heath|publisher=Courier Dover Publications|year=1981|isbn=978-0-486-24073-2|page=162|url=https://books.google.com/books?id=drnY3Vjix3kC&pg=PA162}}. Reprint of original 1921 publication with corrected errata. Heath uses the Latinized spelling "Aristophonus" for the vase painter's name.</ref><ref>[http://en.museicapitolini.org/collezioni/percorsi_per_sale/museo_del_palazzo_dei_conservatori/sale_castellani/cratere_con_l_accecamento_di_polifemo_e_battaglia_navale Cratere with the blinding of Polyphemus and a naval battle] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131112080845/http://en.museicapitolini.org/collezioni/percorsi_per_sale/museo_del_palazzo_dei_conservatori/sale_castellani/cratere_con_l_accecamento_di_polifemo_e_battaglia_navale|date=2013-11-12}}, Castellani Halls, Capitoline Museum, accessed 2013-11-11. Terdapat dua pentagram yang terlihat di dekat pusat gambar.</ref> |
|||
|- |
|||
! Angka puluh |
|||
! ''dan'' |
|||
! Angka sa |
|||
! Imbuhan akhir |
|||
! Nama penuh Poligon |
|||
|- |
|||
| tetraconta- |
|||
| -kai- |
|||
| -di- |
|||
| -gon |
|||
| tetracontakaidigon |
|||
|- |
|||
|} |
|||
dan untuk objek bersisi 50 |
|||
Kajian tentang poligon non-cembung dimulai oleh [[Thomas Bradwardine]] yang hidup pada abad ke-14.<ref>Coxeter, H.S.M.; ''Regular Polytopes'', 3rd Edn, Dover (pbk), 1973, p.114</ref> |
|||
{| class="wikitable" |
|||
|- |
|||
! Angka Puluh |
|||
! ''dan'' |
|||
! Angka Sa |
|||
! Imbuhan akhir |
|||
! Nama penuh Poligon |
|||
|- |
|||
| pentaconta- |
|||
| colspan="2"| |
|||
| -gon |
|||
| pentacontagon |
|||
|- |
|||
|} |
|||
Namun begitu, poligon yang melebihi nonagons dan decagons, pakar matematika lebih gemar menggunakan [[angka]] notasi tersebut (misalnya, [[MathWorld]] memiliki artikel tentang 17-gons dan 257-gons). |
|||
== Sejarah == |
|||
[[Berkas:Fotothek df tg 0003352 Geometrie %5E Dreieck %5E Viereck %5E Vieleck %5E Winkel.jpg|jmpl|Gambar kuno poligon. (1699)]] |
|||
Poligon telah dikenal sejak zaman dahulu. Poligon reguler diketahui orang sejak zaman [[Yunani kuno]], dan [[pentagram]], poligon beraturan yang tidak [[cembung]] (poligon [[bintang]]), muncul pada [[vas]] bunga Aristophonus, Caere, tertanggal abad-ke 7 Sebelum Masehi.<ref>{{citation|title=A History of Greek Mathematics, Volume 1|first=Sir Thomas Little|last=Heath|author-link=Thomas Little Heath|publisher=Courier Dover Publications|year=1981|isbn=978-0-486-24073-2|page=162|url=https://books.google.com/books?id=drnY3Vjix3kC&pg=PA162}}. Reprint of original 1921 publication with corrected errata. Heath uses the Latinized spelling "Aristophonus" for the vase painter's name.</ref><ref>http://en.museicapitolini.org/collezioni/percorsi_per_sale/museo_del_palazzo_dei_conservatori/sale_castellani/cratere_con_l_accecamento_di_polifemo_e_battaglia_navale Cratere with the blinding of Polyphemus and a naval battle] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131112080845/http://en.museicapitolini.org/collezioni/percorsi_per_sale/museo_del_palazzo_dei_conservatori/sale_castellani/cratere_con_l_accecamento_di_polifemo_e_battaglia_navale |date=2013-11-12 }}, Castellani Halls, Capitoline Museum, accessed 2013-11-11. Two pentagrams are visible near the center of the image,</ref> |
|||
Pada tahun 1952, [[Geoffrey Colin Shephard]] memperumum gagasan tentang poligon bidang kompleks, dengan masing-masing dimensi [[Bilangan riil|real]] disertai dengan dimensi [[Bilangan imajiner|imaginer]], untuk membangun [[Politipe kompleks|poligon kompleks]].<ref>Shephard, G.C.; "Regular complex polytopes", ''Proc. London Math. Soc.'' Series 3 Volume 2, 1952, pp 82-97</ref> |
|||
Poligon tak-cembung secara umumnya belum dipelajari secara teratur sampai abas ke-14 oleh Thomas Bradwardine.<ref>Coxeter, H.S.M.; ''Regular Polytopes'', 3rd Edn, Dover (pbk), 1973, p.114</ref> |
|||
{{Clear}} |
|||
Tahun 1952, Geoffrey Colin Shephard merampatkan idea tentang polygons ke bidang kompleks, di mana tiap dimensi real is disertai dengan dimensi imaginer, untuk membangun [[complex polytope|complex polygons]].<ref>Shephard, G.C.; "Regular complex polytopes", ''Proc. London Math. Soc.'' Series 3 Volume 2, 1952, pp 82-97</ref> |
|||
== Referensi == |
== Referensi == |
||
{{Wiktionary}} |
|||
{{Commons category}} |
|||
{{Reflist}} |
{{Reflist}} |
||
Revisi terkini sejak 2 Februari 2023 03.40
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Assorted_polygons.svg/400px-Assorted_polygons.svg.png)
Dalam geometri, poligon atau segi banyak adalah bangun datar yang digambarkan dengan jumlah terhingga dari garis lurus yang terhubung, sehingga membentuk sebuah rantai poligonal (atau sirkuit poligonal) yang tertutup.
Ruas garis dari sirkuit poligonal disebut sebagai sisi. Perpotongan dari dua sisi pada poligon dikenal sebagai titik sudut. Segi-n adalah sebuah poligon yang mempunyai sisi, contohnya, segi-3 (segitiga).
Poligon sederhana adalah sebuah poligon yang tidak saling berpotongan diri. Akan tetapi, para matematikawan seringkali hanya melibatkan rantai poligonal terbatas dari poligon sederhana, dan karena itu mereka seringkali mendefinisikannya sebagai poligon. Sebuah batas poligonal dapat diperbolehkan untuk berpotongan terhadap dirinya, sehingga mengakibatkan terbentuknya poligon bintang dan poligon yang saling berpotongan diri lainnya.
Poligon merupakan contoh bangun dimensi dua dari politop yang lebih umum dalam sebarang dimensi. Banyak perumumannya yang didefinisikan untuk tujuan lain.
Etimologi
[sunting | sunting sumber]Kata poligon berasal dari kata sifat Yunani, πολύς (polús), berarti "banyak", dan γωνία (gōnía), berarti "sudut". Akan tetapi, ada yang mengatakan bahwa kata Yunani γόνυ (gónu), berarti "kaki", dapat berawal dari kata gon.[1]
Penggolongan
[sunting | sunting sumber]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/Polygon_types.svg/300px-Polygon_types.svg.png)
Jumlah sisi
[sunting | sunting sumber]Poligon digolongkan berdasarkan jumlah sisinya. Lihat tabel di bawah.
Konveksitas dan non-konveksitas
[sunting | sunting sumber]Poligon dapat dicirikan berdasarkan jenis konveksitas (kecembungan) atau non-konveksitas:
- Poligon konveks atau cembung: sebarang garis yang ditarik melalui poligon (dan tidak menyinggung sisi atau titik sudut) akan bertemu ke batas poligon, tepatnya dua. Akibatnya, semua sudut dalam kurang dari 180°. Dengan kata lain, untuk sebarang ruas garis dengan titik akhir di batas poligon, hanya akan melewati titik dalam di sekitar titik akhir.
- Poligon non-cembung: sebuah garis dapat ditemukan ketika bertemu ke batasnya lebih dari dua kali. Dengan kata lain, terdapat sebuah ruas garis di antara dua titik batas yang melalui poligon.
- Poligon sederhana: batas poligon tidak menyilang dirinya sendiri. Semua poligon cembung berbentuk sederhana.
- Poligon cekung: poligon yang non-cembung (tidak cembung) dan sederhana. Pada poligon ini, setidaknya ada satu buah sudut dalam yang lebih besar dari 180°.
- Poligon berbentuk bintang: seluruh titik dalam terlihat dan setidaknya ada satu buah, tanpa melewati sebarang sisi. Poligon harus berbentuk sederhana, serta dapat berbentuk cembung atau cekung. Selain itu, semua poligon cembung juga berbentuk bintang.
- Poligon tak berpotongan diri: batas poligon yang tidak memotong diri.
- Poligon bintang: poligon tidak beraturan secara teratur. Poligon ini tidak boleh berbentuk bintang.
Kesetaraan dan simetri
[sunting | sunting sumber]- Poligon sama sudut: semua sudut di titik sudut adalah sama.
- Poligon sama sisi: semua sisi memiliki panjang yang sama.
- Poligon beraturan: sebuah poligon berarti mempunyai sudut dan sisi yang sama.
- Poligon siklik: semua sudut yang terletak di sebuah lingkaran yang disebut lingkaran luar.
- Poligon singgung: semua sisi bersinggungan dengan lingkaran bertuliskan.
- Isogonal: semua sudut berada di dalam orbit simetri yang sama. Poligon ini juga berbentuk siklik dan mempunyai sisi yang sama.
- Isotoksal: semua sisi berada di dalam orbit simetri yang sama. Poligon ini juga merupakan poligon singgung dan mempunyai sisi yang sama.
Lain-lain
[sunting | sunting sumber]- Poligon rektilinear: sisi-sisi poligon bertemu di sudut siku-siku, dalam artian bahwa semua sudut dalam bernilai 90° atau 270°.
- Poligon monoton terhadap garis yang diketahui: setiap garis ortogonal ke memotong poligon setidaknya dua kali.
Sifat-sifat dan rumus
[sunting | sunting sumber]Sudut
[sunting | sunting sumber]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Winkelsumme-polygon.svg/220px-Winkelsumme-polygon.svg.png)
Sebarang poligon memiliki banyak sudut yang sama dengan banyaknya sisi. Masing-masing sudut di poligon memiliki beberapa sudut. Dua sudut yang terpenting, di antaranya:
- Sudut dalam: Jumlah dari sudut dalam segi- sederhana sama dengan radian (atau dalam bentuk derajat, ). Ini dikarenakan sebarang segi- sederhana (poligon yang memiliki sisi) dapat dipandang mempunyai segitiga, sehingga jumlah dari masing-masing sudut sama dengan π radian atau 180 derajat. Ukuran dari sebarang sudut dalam dari segi- beraturan cembung bernilai radian atau derajat. Sudut dalam dari poligon bintang beraturan pertama kali dipelajari oleh Poinsot. Pada makalah tersebut, Poinsot menjelaskan empat polihedron bintang beraturan sebagai berikut: untuk sebuah segi- (sebuah segi- dengan kepadatan pusat ), maka masing-masing sudut dalam bernilai radian atau derajat.[2]
- Sudut luar: Sudut luar adalah suplemen dari sudut dalam. Ketika menggambar garis di suatu sisi segi- cembung, maka sudut "berputar" ke suatu titik sudut yang merupakan sudut luar. Dengan menggambarnya di seluruh sisi poligon akan membentuk satu putaran penuh, sehingga jumlah sudut luar harus bernilai 360°. Argumen ini dapat diperumum untuk poligon sederhana cekung, jika sudut luar yang berputar ke arah berlawanan dikurangi dari total putaran. Dengan menggambarkannya di keliling segi-, maka jumlah dari sudut luar (dalam artian, jumlah total yang berputar di titik sudut) sama dengan kelipatan bilangan bulat dari 360°, sebagai contoh: 720° untuk pentagram dan 0° untuk antiparallelogram, dengan adalah densitas atau turning number dari poligon. Lihat pula orbit (dinamika).
Luas
[sunting | sunting sumber]Misalkan titik sudut dari poligon dinyatakan sebagai . Penggunaan notasi (xn, yn) = (x0, y0) juga akan dipakai.
Poligon sederhana
[sunting | sunting sumber]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/42/Polygon_vertex_labels.svg/320px-Polygon_vertex_labels.svg.png)
Jika poligon tidak berpotongan diri (atau dengan kata lain, poligon tersebut sederhana), maka luas bertanda dirumuskan sebagai
dengan dan . Luas dari poligon tersebut juga dapat menggunakan determinan
dengan adalah jarak kuadrat di antara titik dan [3][4]
Luas bertanda bergantung pada orde dari titik sudut dan orde dari orientasi bidang. Secara umum, orientasi bernilai positif didefinisikan dengan memutar (ke lawan arah jarum jam) yang memetakan sumbu- positif ke sumbu- positif. Luas bertanda akan positif jika titik sudut diorde ke lawan arah jarum jam (dalam artian, berdasarkan orientasi bernilai positif), dan begitupula untuk kebalikannya, sehingga dengan demikian, rumus untuk luas poligon benar dalam nilai mutlak. Rumus ini umum dikenal sebagai rumus tali sepatu atau surveyor's formula (bahasa Indonesia: rumus surveyor).[5]
Luas dari poligon sederhana juga dapat dihitung jika diketahui panjang sisi dan sudut luar , dari
Rumus ini dijelaskan oleh Lopshits pada tahun 1963.[6]
Jika poligon dapat digambarkan di sebuah kisi yang berjarak sama, sehingga semua titik sudut adalah titik kisi, maka teorema Pick memberikan rumus sederhana untuk luas poligon berdasarkan jumlah titik kisi di dalam maupun di batas poligon, yang mengatakan: luas poligon sama dengan jumlah titik bilangan bulat di dalam poligon ditambah dengan setengah dari jumlah titik bilangan bulat di batas poligon, yang kemudian dikurangi 1.
Setiap poligon dengan keliling dan luas , berlaku pertidaksamaan isoperimetrik .[7]
Untuk dua poligon sederhana yang luasnya sama, teorema Bolyai–Gerwien mengatakan bahwa poligon pertama dapat dipotong menjadi potongan poligonal yang dapat disatukan kembali untuk membentuk poligon kedua.
Poligon beraturan
[sunting | sunting sumber]Terdapat banyak rumus khusus yang dipakai untuk luas poligon beraturan. Sebagai contoh, luas poligon beraturan dirumuskan dengan menggunakan jari-jari (atau lebih tepatnya, apotema) dari lingkaran dalam dan keliling poligonLuas segi- beraturan dengan jari-jari dari lingkaran luar dapat dinyatakan dengan menggunakan trigonometri:[8][9]Luas segi- beraturan di dalam lingkaran berjari-jari satuan, dengan sisi dan sudut dalam , juga dapat dinyatakan dengan menggunakan trigonometri:
Pusat massa
[sunting | sunting sumber]Dengan menggunakan konvensi yang sama untuk koordinat titik sudut seperti di bagian sebelumnya, koordinat dari pusat massa dari poligon sederhana padat dirumuskan sebagai
Pada kedua rumus tersebut, nilai bertanda dari luas harus digunakan.
Perumuman
[sunting | sunting sumber]Gagasan dari poligon diperumum melalui berbagai cara. Ada beberapa perumuman dari poligon yang lebih penting, di antaranya:
- Poligon bola adalah poligon yang mempunyai sirkuit dari busur lingkaran besar (yakni, sisi) dan titik sudut pada permukaan bola. Hal ini memungkinkan digon, poligon yang hanya memiliki dua sisi dan dua titik sudut, yang tidak mungkin dilakukan pada bidang datar. Poligon bola memainkan peran penting dalam kartografi (pembuatan peta) dan dalam konstruksi Wythoff dari polihedron seragam.
- Poligon pencong tidak terletak di bidang datar, melainkan di garis zigzag dalam dimensi tiga atau lebih. Poligon Petrie dari politop beraturan adalah contoh yang terkenal.
- Apeirogon adalah sebuah poligon yang mempunyai barisan tak hingga dari sisi dan sudut. Barisan tersebut tidak tertutup tetapi tidak punyai titik akhir, sebab barisan tersebut secara tak langsung memperluas ke dua arah.
- Apeirogon pencong adalah sebuah poligon yang mempunyai barisan tak hingga dari sisi dan sudut yang tidak terletak di sebuah bidang datar.
- Poligon kompleks adalah sebuah konfigurasi yang mirip seperti poligon biasa. Yang membedakannya adalah poligon ini berada di bidang kompleks dari dua dimensi bilangan real dan dua dimensi bilangan imajiner.
- Poligon abstrak adalah himpunan terurut parsial aljabar yang mewakili berbagai elemen (seperti sisi, titik sudut, dsb.) serta keterhubungannya. Sebuah poligon geometri real dikatakan sebagai realisasi dari poligon abstrak iring.
- Polihedron adalah benda padat dimensi tiga yang dibatasi oleh muka poligonal datar, mirip seperti poligon dalam dimensi dua yang dibatasi oleh sisi, Bentuk yang korespondensi dalam dimensi empat atau lebih disebut sebagai politop.[10]
Penamaan
[sunting | sunting sumber]Kata poligon diambil dari bahasa Latin polygōnum, bahasa Yunani πολύγωνον (polygōnon/polugōnon, yang berarti "sudut banyak". Pemberian nama pada masing-masing poligon disesuaikan dengan jumlah sisi, dan gabungan dari awalan bilangan dalam bahasa Yunani dan akhiran -gon, sebagai contoh pentagon (mempunyai lima sisi), dodekagon (mempunyai dua belas sisi). Akan tetapi, terdapat pengecualian untuk penamaan tersebut seperti nonagon.
Penamaan ini juga dilakukan tanpa menggunakan kata serapan dari bahasa Latin maupun bahasa Yunani. Pemberian nama pada masing-masing poligon ditulis dari kata "segi-" dan jumlah sisi melalui angka. Sebagai contoh, segitiga (mempunyai tiga sisi), segi empat (mempunyai empat sisi).
Untuk bilangan yang lebih besar, matematikawan biasanya menulis dengan menggunakan notasi numerik, atau dalam artian menggunakan angka. Sebagai contoh, segi-17 (atau segi tujuh belas) dan segi-257.
Penamaan dengan menggunakan kata awalan "segi-" | Penamaan dengan menggunakan kata serapan | Jumlah sisi |
---|---|---|
- | henagon (atau monogon) | 1 |
- | digon | 2 |
segitiga | trigon | 3 |
segi empat | tetragon | 4 |
segi lima | pentagon | 5 |
segi enam | heksagon (atau seksagon) | 6 |
segi tujuh | heptagon (atau septagon) | 7 |
segi delapan | oktagon | 8 |
segi sembilan | nonagon (atau enneagon) | 9 |
segi sepuluh | dekagon | 10 |
segi sebelas | hendekagon atau undekagon | 11 |
segi dua belas | dodekagon atau (duodekagon) | 12 |
tridekagon atau triskaidekagon | 13 | |
tetradekagon atau tetrakaidekagon | 14 | |
pentadekagon (atau kuindekagon, pentakaidekagon) | 15 | |
heksadekagon atau heksakaidekagon | 16 | |
heptadekagon atau heptakaidekagon | 17 | |
oktadekagon atau oktakaidekagon | 18 | |
enneadekagon (atau enneakaidekagon, nonadekagon) | 19 | |
ikosagon | 20 | |
triakontagon | 30 | |
tetrakontagon | 40 | |
pentakontagon | 50 | |
heksakontagon | 60 | |
heptakontagon | 70 | |
oktakontagon | 80 | |
nonakontagon | 90 | |
hektagon (juga hektogon) | 100 | |
kiliagon | 1000 | |
miriagon | 10,000 | |
megagon | 1,000,000 |
Poligon yang mempunyai jumlah sisi yang lebih dari 20 dan kurang dari 100 dinamakan dengan menggunakan awalan kata nama.[11] Kata "kai" dapat dipakai untuk segi-13 dan poligon yang lebih tinggi darinya. Penggunaan kata "kai" dipakai oleh Kepler, dan kemudian Conway memperkenalkan penggunaan kata tersebut untuk menjelaskan awalan bilangan yang digabungkan dalam penamaan polihedron kuasiberaturan.[12] Meskipun demikian, banyak sumber yang tidak memakai kata tersebut.
Angka puluhan | dan | Angka satuan | Imbuhan akhir | ||
---|---|---|---|---|---|
-kai- | 1 | -hena- | -gon | ||
20 | icosa- | 2 | -di- | ||
30 | triaconta- | 3 | -tri- | ||
40 | tetraconta- | 4 | -tetra- | ||
50 | pentaconta- | 5 | -penta- | ||
60 | hexaconta- | 6 | -hexa- | ||
70 | heptaconta- | 7 | -hepta- | ||
80 | octaconta- | 8 | -octa- | ||
90 | enneaconta- | 9 | -ennea- |
Sejarah
[sunting | sunting sumber]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/26/Fotothek_df_tg_0003352_Geometrie_%5E_Dreieck_%5E_Viereck_%5E_Vieleck_%5E_Winkel.jpg/220px-Fotothek_df_tg_0003352_Geometrie_%5E_Dreieck_%5E_Viereck_%5E_Vieleck_%5E_Winkel.jpg)
Poligon telah lama dikenal sejak zaman dahulu. Poligon beraturan dipelajari orang Yunani kuno. Pentagram, sebuah poligon beraturan non-cembung (poligon bintang), ditemukan di krater Aristophonus, sebuah wadah yang ditemukan Caere, dan saat ini berada di Museum Capitolini.[13][14]
Kajian tentang poligon non-cembung dimulai oleh Thomas Bradwardine yang hidup pada abad ke-14.[15]
Pada tahun 1952, Geoffrey Colin Shephard memperumum gagasan tentang poligon bidang kompleks, dengan masing-masing dimensi real disertai dengan dimensi imaginer, untuk membangun poligon kompleks.[16]
Referensi
[sunting | sunting sumber]- ^ Craig, John (1849). A new universal etymological technological, and pronouncing dictionary of the English language. Oxford University. hlm. 404.
- ^ Kappraff, Jay (2002). Beyond measure: a guided tour through nature, myth, and number. World Scientific. hlm. 258. ISBN 978-981-02-4702-7.
- ^ B.Sz. Nagy, L. Rédey: Eine Verallgemeinerung der Inhaltsformel von Heron. Publ. Math. Debrecen 1, 42–50 (1949)
- ^ Bourke, Paul (Juli 1988). "Calculating The Area And Centroid Of A Polygon" (PDF). Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2012-09-16. Diakses tanggal 6 Feb 2013.
- ^ Bart Braden (1986). "The Surveyor's Area Formula" (PDF). The College Mathematics Journal. 17 (4): 326–337. doi:10.2307/2686282. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2012-11-07.
- ^ A.M. Lopshits (1963). Computation of areas of oriented figures. D C Heath and Company: Boston, MA.
- ^ Dergiades, Nikolaos, "An elementary proof of the isoperimetric inequality", Forum Mathematicorum 2, 2002, 129–130.
- ^ Area of a regular polygon - derivation from Math Open Reference.
- ^ Sebuah poligon beraturan yang mempunyai jumlah sisi yang tak terhingga merupakan sebuah lingkaran:
- ^ Coxeter (3rd Ed 1973)
- ^ Salomon, David (2011). The Computer Graphics Manual. Springer Science & Business Media. hlm. 88–90. ISBN 978-0-85729-886-7.
- ^ "Naming Polygons and Polyhedra". Ask Dr. Math. The Math Forum–Drexel University. Diakses tanggal 3 May 2015.
- ^ Heath, Sir Thomas Little (1981), A History of Greek Mathematics, Volume 1, Courier Dover Publications, hlm. 162, ISBN 978-0-486-24073-2. Reprint of original 1921 publication with corrected errata. Heath uses the Latinized spelling "Aristophonus" for the vase painter's name.
- ^ Cratere with the blinding of Polyphemus and a naval battle Diarsipkan 2013-11-12 di Wayback Machine., Castellani Halls, Capitoline Museum, accessed 2013-11-11. Terdapat dua pentagram yang terlihat di dekat pusat gambar.
- ^ Coxeter, H.S.M.; Regular Polytopes, 3rd Edn, Dover (pbk), 1973, p.114
- ^ Shephard, G.C.; "Regular complex polytopes", Proc. London Math. Soc. Series 3 Volume 2, 1952, pp 82-97