Bilangan asli: Perbedaan antara revisi
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) →Penulisan: ce Tag: Suntingan visualeditor-wikitext |
Fitur saranan suntingan: 2 pranala ditambahkan. |
||
(7 revisi perantara oleh 2 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1: | Baris 1: | ||
[[Berkas:Three Baskets with Apples.svg|ka|jmpl|Bilangan asli dapat digunakan untuk menghitung (satu apel, dua apel, tiga apel, ...).]] |
|||
{{under construction}} |
|||
{{Periksa terjemahan|en|Natural number}} |
|||
Dalam [[matematika]], terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan '''bilangan asli'''. Yang pertama definisi menurut matematikawan tradisional, yaitu himpunan '''bilangan bulat positif''' yang bukan nol {1, 2, 3, 4, ...}. Sedangkan yang kedua definisi oleh logikawan dan ilmuwan komputer, adalah himpunan [[nol]] dan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3, ...}. Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yg paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukkan beberapa jenis kera juga bisa menangkapnya. |
Dalam [[matematika]], terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan '''bilangan asli'''. Yang pertama definisi menurut matematikawan tradisional, yaitu himpunan '''bilangan bulat positif''' yang bukan nol {1, 2, 3, 4, ...}. Sedangkan yang kedua definisi oleh logikawan dan ilmuwan komputer, adalah himpunan [[nol]] dan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3, ...}. Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yg paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukkan beberapa jenis kera juga bisa menangkapnya. |
||
Baris 9: | Baris 8: | ||
Konsep bilangan-bilangan yg lebih umum dan lebih luas memerlukan pembahasan lebih jauh, bahkan kadang-kadang memerlukan kedalaman logika untuk bisa memahami dan mendefinisikannya. Misalnya dalam teori matematika, himpunan semua [[bilangan rasional]] bisa dibangun secara bertahap, diawali dari himpunan bilangan-bilangan asli. |
Konsep bilangan-bilangan yg lebih umum dan lebih luas memerlukan pembahasan lebih jauh, bahkan kadang-kadang memerlukan kedalaman logika untuk bisa memahami dan mendefinisikannya. Misalnya dalam teori matematika, himpunan semua [[bilangan rasional]] bisa dibangun secara bertahap, diawali dari himpunan bilangan-bilangan asli. |
||
[[Berkas:Three apples.svg|ka|jmpl|Bilangan asli dapat digunakan untuk menghitung (satu apel, dua apel, tiga apel, ...).]] |
|||
== Sejarah bilangan asli == |
== Sejarah bilangan asli == |
||
Baris 18: | Baris 15: | ||
Kemajuan besar pertama dalam abstraksi adalah penggunaan [[sistem bilangan]] untuk melambangkan angka-angka. Ini memungkinkan pencatatan bilangan besar. Sebagai contoh, orang-orang [[Babylonia]] mengembangkan sistem berbasis posisi untuk angka 1 dan 10. Orang [[Mesir]] kuno memiliki sistem bilangan dengan [[hieroglif]] berbeda untuk 1, 10, dan semua pangkat 10 sampai pada satu juta. Sebuah ukuran batu dari [[Karnak]], tertanggal sekitar [[1500]] SM dan sekarang berada di Louvre, Paris, melambangkan 276 sebagai 2 ratusan, 7 puluhan dan 6 satuan; hal yang sama dilakukan untuk angka 4622. |
Kemajuan besar pertama dalam abstraksi adalah penggunaan [[sistem bilangan]] untuk melambangkan angka-angka. Ini memungkinkan pencatatan bilangan besar. Sebagai contoh, orang-orang [[Babylonia]] mengembangkan sistem berbasis posisi untuk angka 1 dan 10. Orang [[Mesir]] kuno memiliki sistem bilangan dengan [[hieroglif]] berbeda untuk 1, 10, dan semua pangkat 10 sampai pada satu juta. Sebuah ukuran batu dari [[Karnak]], tertanggal sekitar [[1500]] SM dan sekarang berada di Louvre, Paris, melambangkan 276 sebagai 2 ratusan, 7 puluhan dan 6 satuan; hal yang sama dilakukan untuk angka 4622. |
||
Kemajuan besar lainnya adalah pengembangan gagasan angka nol sebagai bilangan dengan lambangnya tersendiri. Nol telah digunakan dalam [[notasi]] posisi sedini 700 SM oleh orang-orang Babylon, namun mereka melepaskan bila menjadi lambang terakhir pada bilangan tersebut. |
Kemajuan besar lainnya adalah pengembangan gagasan angka nol sebagai bilangan dengan lambangnya tersendiri. Nol telah digunakan dalam [[notasi]] posisi sedini 700 SM oleh orang-orang Babylon, namun mereka melepaskan bila menjadi lambang terakhir pada bilangan tersebut.{{efn|A tablet found at Kish ... thought to date from around 700 BC, uses three hooks to denote an empty place in the positional notation. Other tablets dated from around the same time use a single hook for an empty place.<ref>{{cite web |title=A history of Zero |website=MacTutor History of Mathematics |url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Zero.html |url-status=live |access-date=23 January 2013 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130119083234/http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Zero.html |archive-date=19 January 2013}}</ref>}} Konsep nol pada masa modern berasal dari matematikawan [[India]], [[Brahmagupta]]. |
||
Pada abad ke-[[19]] dikembangkan definisi bilangan asli menggunakan [[teori himpunan]]. Dengan definisi ini, dirasakan lebih mudah memasukkan nol (berkorespondensi dengan [[himpunan kosong]]) sebagai bilangan asli, dan sekarang menjadi konvensi dalam bidang teori himpunan, [[logika]] dan [[ilmu komputer]].<ref>{{cite web |author=Michael L. Gorodetsky |url=http://hbar.phys.msu.ru/gorm/chrono/paschata.htm |title=Cyclus Decemnovennalis Dionysii - Nineteen year cycle of Dionysius |publisher=Hbar.phys.msu.ru |date=2003-08-25 |accessdate=2012-02-13 |archive-date=2019-01-15 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190115083618/http://hbar.phys.msu.ru/gorm/chrono/paschata.htm |dead-url=yes }}</ref> Matematikawan lain, seperti dalam bidang [[teori bilangan]], bertahan pada tradisi lama dan tetap menjadikan 1 sebagai bilangan asli pertama.<ref> |
Pada abad ke-[[19]] dikembangkan definisi bilangan asli menggunakan [[teori himpunan]]. Dengan definisi ini, dirasakan lebih mudah memasukkan nol (berkorespondensi dengan [[himpunan kosong]]) sebagai bilangan asli, dan sekarang menjadi konvensi dalam bidang teori himpunan, [[logika]] dan [[ilmu komputer]].<ref>{{cite web |author=Michael L. Gorodetsky |url=http://hbar.phys.msu.ru/gorm/chrono/paschata.htm |title=Cyclus Decemnovennalis Dionysii - Nineteen year cycle of Dionysius |publisher=Hbar.phys.msu.ru |date=2003-08-25 |accessdate=2012-02-13 |archive-date=2019-01-15 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190115083618/http://hbar.phys.msu.ru/gorm/chrono/paschata.htm |dead-url=yes }}</ref> Matematikawan lain, seperti dalam bidang [[teori bilangan]], bertahan pada tradisi lama dan tetap menjadikan 1 sebagai bilangan asli pertama.<ref>Ini umum di dalam buku ajar mengenai [[analisis real]]. Sebagai contoh, lihat {{harvp|Carothers|2000}}, hlm. 3; atau {{harvp|Thomson|Bruckner|Bruckner|2008}}, hlm. 2.</ref> |
||
== Penulisan == |
== Penulisan == |
||
Baris 33: | Baris 30: | ||
|page=25}}</ref> |
|page=25}}</ref> |
||
Karena bilangan asli dapat mengandung {{math|0}} atau tidak, adakala pentingnya untuk mengetahui versi manakah yang dimaksud. Ini sering kali dinyatakan berdasarkan konteks, tetapi juga dapat dinyatakan melalui penggunaan subskrip atau superskrip di notasinya, seperti:<ref |
Karena bilangan asli dapat mengandung {{math|0}} atau tidak, adakala pentingnya untuk mengetahui versi manakah yang dimaksud. Ini sering kali dinyatakan berdasarkan konteks, tetapi juga dapat dinyatakan melalui penggunaan subskrip atau superskrip di notasinya, seperti:<ref>{{cite book |title=ISO 80000-2:2019 |chapter-url=https://cdn.standards.iteh.ai/samples/64973/329519100abd447ea0d49747258d1094/ISO-80000-2-2019.pdf#page=10 |publisher=[[International Organization for Standardization]]| chapter = Standard number sets and intervals | date=19 May 2020 |page=4|url=https://www.iso.org/standard/64973.html|ref={{harvid|International Organization for Standardization|2020}}}} |
||
</ref><ref>{{cite book |last1=Grimaldi |first1=Ralph P. |title=Discrete and Combinatorial Mathematics: An applied introduction |publisher=Pearson Addison Wesley |isbn=978-0-201-72634-3 |edition=5 |year=2004}}</ref> |
|||
* Bilangan asli tanpa adanya nol: <math>\{1,2,...\}=\mathbb{N}^*= \mathbb N^+=\mathbb{N}_0\smallsetminus\{0\} = \mathbb{N}_1</math> |
* Bilangan asli tanpa adanya nol: <math>\{1,2,...\}=\mathbb{N}^*= \mathbb N^+=\mathbb{N}_0\smallsetminus\{0\} = \mathbb{N}_1</math> |
||
* Bilangan asli dengan nol: <math>\;\{0,1,2,...\}=\mathbb{N}_0=\mathbb N^0=\mathbb{N}^*\cup\{0\}</math> |
* Bilangan asli dengan nol: <math>\;\{0,1,2,...\}=\mathbb{N}_0=\mathbb N^0=\mathbb{N}^*\cup\{0\}</math> |
||
Baris 55: | Baris 53: | ||
=== Hubungan antara penjumlahan dan perkalian === |
=== Hubungan antara penjumlahan dan perkalian === |
||
Penambahan dan perkalian adalah kompatibel, yang dinyatakan dalam [[hukum distribusi|distribusi]]: {{math|''a'' × (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'')}}. Sifat penjumlahan dan perkalian ini membuat bilangan asli sebagai turunan dari [[komutatif]] [[semiring]]. Semiring adalah generalisasi aljabar dari bilangan asli dengan perkalian tidak seharusnya komutatif. Kurangnya aditif invers, yang ekuivalen dengan fakta bahwa <math> \N </math> tidak [[Ketertutupan (matematika)|tertutup]] di bawah pengurangan (yaitu, mengurangkan satu bilangan asli dari bilangan asli yang lain tidak selalu menghasilkan bilangan asli), berarti bahwa <math> \N </math> ''bukanlah'' [[gelanggang (matematika)|gelanggang]]; melainkan [[semiring]]. |
Penambahan dan perkalian adalah kompatibel, yang dinyatakan dalam [[hukum distribusi|distribusi]]: {{math|''a'' × (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'')}}. Sifat penjumlahan dan perkalian ini membuat bilangan asli sebagai turunan dari [[komutatif]] [[semiring]]. Semiring adalah generalisasi aljabar dari bilangan asli dengan perkalian tidak seharusnya komutatif. Kurangnya [[Invers aditif|aditif invers]], yang ekuivalen dengan fakta bahwa <math> \N </math> tidak [[Ketertutupan (matematika)|tertutup]] di bawah pengurangan (yaitu, mengurangkan satu bilangan asli dari bilangan asli yang lain tidak selalu menghasilkan bilangan asli), berarti bahwa <math> \N </math> ''bukanlah'' [[gelanggang (matematika)|gelanggang]]; melainkan [[semiring]]. |
||
Bila bilangan asli diambil sebagai "tidak termasuk 0", dan "mulai dari 1", definisi dari + dan × dinyatakan seperti di atas, kecuali diawali dengan {{math|''a'' + 1 {{=}} ''S''(''a'')}} and {{math|''a'' × 1 {{=}} ''a''}}. |
Bila bilangan asli diambil sebagai "tidak termasuk 0", dan "mulai dari 1", definisi dari + dan × dinyatakan seperti di atas, kecuali diawali dengan {{math|''a'' + 1 {{=}} ''S''(''a'')}} and {{math|''a'' × 1 {{=}} ''a''}}. |
||
Baris 67: | Baris 65: | ||
| title = Mathematics with Understanding |
| title = Mathematics with Understanding |
||
| publisher = Elsevier |
| publisher = Elsevier |
||
| isbn = 978-1-4832-8079-0 |
|||
| page = 116 |
| page = 116 |
||
| isbn = 978-1-4832-8079-0 |
|||
| lang = en |
| lang = en |
||
| url = https://books.google.com/books?id=7cPSBQAAQBAJ&pg=PA116 |
| url = https://books.google.com/books?id=7cPSBQAAQBAJ&pg=PA116 |
||
| quote = ...the set of natural numbers is closed under addition... set of natural numbers is closed under multiplication}}</ref> |
| quote = ...the set of natural numbers is closed under addition... set of natural numbers is closed under multiplication" [...himpunan bilangan asli tertutup di bawah penambahan... himpunan bilangan asli tertutup di bawah perkalian}}</ref> |
||
* [[Sifat asosiatif|Pengelompokan]]: untuk semua bilangan asli {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, dan {{math|''c''}}, maka {{math|''a'' + (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' + ''b'') + ''c''}} dan {{math|''a'' × (''b'' × ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') × ''c''}}.<ref>{{cite book |
* [[Sifat asosiatif|Pengelompokan]]: untuk semua bilangan asli {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, dan {{math|''c''}}, maka {{math|''a'' + (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' + ''b'') + ''c''}} dan {{math|''a'' × (''b'' × ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') × ''c''}}.<ref>{{cite book |
||
| last = Davisson | first = Schuyler Colfax |
| last = Davisson | first = Schuyler Colfax |
||
| title = College Algebra |
| title = College Algebra |
||
| date = 1910 |
| date = 1910 |
||
| publisher = Macmillian Company |
|||
| page = 2 |
| page = 2 |
||
| publisher = Macmillian Company |
|||
| lang = en |
| lang = en |
||
| url = https://books.google.com/books?id=E7oZAAAAYAAJ&pg=PA2 |
| url = https://books.google.com/books?id=E7oZAAAAYAAJ&pg=PA2 |
||
| quote = Addition of natural numbers is associative.}}</ref> |
| quote = Addition of natural numbers is associative. [Penambahan dari bilangan asli adalah asosiatif (pengelompokan).]}}</ref> |
||
* [[Sifat komutatif|Pertukaran]]: untuk semu bilangan asli {{math|''a''}} dan {{math|''b''}}, maka {{math|''a'' + ''b'' {{=}} ''b'' + ''a''}} dan {{math|''a'' × ''b'' {{=}} ''b'' × ''a''}}.<ref>{{cite book |
* [[Sifat komutatif|Pertukaran]]: untuk semu bilangan asli {{math|''a''}} dan {{math|''b''}}, maka {{math|''a'' + ''b'' {{=}} ''b'' + ''a''}} dan {{math|''a'' × ''b'' {{=}} ''b'' × ''a''}}.<ref>{{cite book |
||
| last1 = Brandon | first1 = Bertha (M.) |
| last1 = Brandon | first1 = Bertha (M.) |
||
Baris 87: | Baris 85: | ||
| last4 = Cooke | first4 = Ralph J. |
| last4 = Cooke | first4 = Ralph J. |
||
| date = 1962 |
| date = 1962 |
||
| page = 25 |
|||
| title = Laidlaw mathematics series |
| title = Laidlaw mathematics series |
||
| publisher = Laidlaw Bros. |
| publisher = Laidlaw Bros. |
||
| volume = 8 |
| volume = 8 |
||
| page = 25 |
|||
| lang = en |
| lang = en |
||
| url = https://books.google.com/books?id=xERMAQAAIAAJ&newbks=0&printsec=frontcover&dq=Natural+numbers+commutative&q=Natural+numbers+commutative&hl=en}}</ref> |
| url = https://books.google.com/books?id=xERMAQAAIAAJ&newbks=0&printsec=frontcover&dq=Natural+numbers+commutative&q=Natural+numbers+commutative&hl=en}}</ref> |
||
Baris 98: | Baris 96: | ||
=== Ketakhinggaan === |
=== Ketakhinggaan === |
||
Himpunan bilangan asli adalah [[himpunan tak hingga]]. Menurut definisi, jenis [[tak hingga]] ini disebut ''countably infinite''. Semua himpunan yang dapat dimasukkan ke dalam relasi [[Bijeksi|bijektif]] dengan bilangan asli dikatakan memiliki jenis ketakhinggaan ini. Hal ini juga diungkapkan dengan mengatakan bahwa [[bilangan kardinal]] dari himpunan tersebut adalah [[Bilangan alef#Alef-nol|alef-nol]] ({{math|ℵ<sub>0</sub>}}).<ref>{{MathWorld |
Himpunan bilangan asli adalah [[himpunan tak hingga]]. Menurut definisi, jenis [[tak hingga]] ini disebut ''countably infinite''. Semua himpunan yang dapat dimasukkan ke dalam relasi [[Bijeksi|bijektif]] dengan bilangan asli dikatakan memiliki jenis ketakhinggaan ini. Hal ini juga diungkapkan dengan mengatakan bahwa [[bilangan kardinal]] dari himpunan tersebut adalah [[Bilangan alef#Alef-nol|alef-nol]] ({{math|ℵ<sub>0</sub>}}).<ref>{{MathWorld|mode=cs1|urlname=CardinalNumber|title=Cardinal Number}}</ref> |
||
== Lihat pula == |
== Lihat pula == |
||
{{Portal|Matematika}} |
{{Portal|Matematika}} |
||
* [[Bilangan#Klasifikasi]] untuk sistem bilangan lain (seperti bilangan rasional, bilangan real, bilangan kompleks, dan lain sebagainya.) |
* [[Bilangan#Klasifikasi]] untuk sistem bilangan lain (seperti bilangan rasional, bilangan real, [[bilangan kompleks]], dan lain sebagainya.) |
||
* [[Himpunan terhitung]] |
* [[Himpunan terhitung]] |
||
* [[Masalah identifikasi Benacerraf]] |
* [[Masalah identifikasi Benacerraf]] |
||
Baris 108: | Baris 106: | ||
== Catatan == |
== Catatan == |
||
{{notelist}} |
|||
== Referensi == |
|||
{{reflist}} |
{{reflist}} |
||
== |
== Bibliografi == |
||
{{refbegin}} |
{{refbegin|2}} |
||
* {{cite book |
|||
|last=Bluman |first=Allan |
|||
|year=2010 |edition=Second |
|||
|title=Pre-Algebra DeMYSTiFieD |
|||
|publisher=McGraw-Hill Professional |
|||
|isbn=978-0-07-174251-1 |
|||
|url=https://books.google.com/books?id=oRLc9r4bmSgC |
|||
|via=Google Books |
|||
}} |
|||
* {{cite book |
* {{cite book |
||
|last=Carothers |first=N.L. |
|last=Carothers |first=N.L. |
||
Baris 129: | Baris 121: | ||
|via=Google Books |
|via=Google Books |
||
|url=https://books.google.com/books?id=4VFDVy1NFiAC&q=natural+numbers#v=onepage&q=%22natural%20numbers%22&f=false |
|url=https://books.google.com/books?id=4VFDVy1NFiAC&q=natural+numbers#v=onepage&q=%22natural%20numbers%22&f=false |
||
|ref = {{harvid|Carothers|2000}} |
|||
}} |
}} |
||
* {{cite book |
|||
|last1=Clapham |first1=Christopher |
|||
|last2=Nicholson |first2=James |
|||
|year=2014 |edition=Fifth |
|||
|title=The Concise Oxford Dictionary of Mathematics |
|||
|publisher=Oxford University Press |
|||
|isbn=978-0-19-967959-1 |
|||
|via=Google Books |
|||
|url=https://books.google.com/books?id=c69GBAAAQBAJ |
|||
}} |
|||
* {{cite book |
|||
|last=Dedekind |first=Richard |author-link=Richard Dedekind |
|||
|translator-last=Beman |translator-first=Wooster Woodruff |
|||
|orig-year=1901 |year=1963 |edition=reprint |
|||
|title=Essays on the Theory of Numbers |
|||
|publisher=Dover Books |
|||
|isbn=978-0-486-21010-0 |
|||
|via=Archive.org |
|||
|url=https://archive.org/details/essaysontheoryof0000dede |
|||
}} |
|||
** {{cite book |
|||
|author-first=Richard |author-last=Dedekind |author-link=Richard Dedekind |
|||
|translator-first=Wooster Woodruff |translator-last=Beman |
|||
|year=1901 |
|||
|title=Essays on the Theory of Numbers |
|||
|publisher=Open Court Publishing Company |
|||
|place=Chicago, IL |
|||
|via=Project Gutenberg |
|||
|url=https://www.gutenberg.org/ebooks/21016 |
|||
|access-date=2020-08-13 |
|||
}} |
|||
** {{cite book |
|||
|last=Dedekind |first=Richard |author-link=Richard Dedekind |
|||
|orig-year=1901 |year=2007 |
|||
|title=Essays on the Theory of Numbers |
|||
|publisher=Kessinger Publishing, LLC |
|||
|isbn=978-0-548-08985-9 |
|||
}} |
|||
* {{cite book |
|||
|last=Eves |first=Howard |author-link=Howard Eves |
|||
|year=1990 |edition=6th |
|||
|title=An Introduction to the History of Mathematics |
|||
|publisher=Thomson |
|||
|isbn=978-0-03-029558-4 |
|||
|via=Google Books |
|||
|url=https://books.google.com/books?id=PXvwAAAAMAAJ |
|||
}} |
|||
* {{cite book |
|||
|last=Halmos |first=Paul |author-link=Paul Halmos |
|||
|year=1960 |edition= |
|||
|title=Naive Set Theory |
|||
|publisher=Springer Science & Business Media |
|||
|isbn=978-0-387-90092-6 |
|||
|via=Google Books |
|||
|url=https://books.google.com/books?id=x6cZBQ9qtgoC&lpg=PP1&pg=PP1#v=onepage&q=peano%20axioms&f=false |
|||
}} |
|||
* {{cite book |
|||
|last=Hamilton |first=A.G. |
|||
|year=1988 |edition=Revised |
|||
|title=Logic for Mathematicians |
|||
|publisher=Cambridge University Press |
|||
|isbn=978-0-521-36865-0 |
|||
|via=Google Books |
|||
|url=https://books.google.com/books?id=TO098EjWT38C&q=peano%27s+postulates#v=snippet&q=peano%27s%20postulates&f=false |
|||
}} |
|||
* {{cite book |
|||
|last1=James |first1=Robert C. |
|||
|last2=James |first2=Glenn |
|||
|year=1992 |edition=Fifth |
|||
|title=Mathematics Dictionary |
|||
|publisher=Chapman & Hall |
|||
|isbn=978-0-412-99041-0 |
|||
|via=Google Books |
|||
|url=https://books.google.com/books?id=UyIfgBIwLMQC |
|||
}} |
|||
* {{cite book |
|||
|last=Landau |first=Edmund |authorlink=Edmund Landau |
|||
|year=1966 |edition=Third |
|||
|title=Foundations of Analysis |
|||
|publisher=Chelsea Publishing |
|||
|isbn=978-0-8218-2693-5 |
|||
|via=Google Books |
|||
|url=https://books.google.com/books?id=DvIJBAAAQBAJ |
|||
}} |
|||
* {{cite book |
|||
|last1=Mac Lane |first1=Saunders |author1-link=Saunders Mac Lane |
|||
|last2=Birkhoff |first2=Garrett |author2-link=Garrett Birkhoff |
|||
|year=1999 |edition=3rd |
|||
|title=Algebra |
|||
|publisher=American Mathematical Society |
|||
|isbn=978-0-8218-1646-2 |
|||
|via=Google Books |
|||
|url=https://books.google.com/books?id=L6FENd8GHIUC&lpg=PA15&vq=natural%20numbers&pg=PA15#v=onepage&q=%22the%20natural%20numbers%22&f=false |
|||
}} |
|||
* {{cite book |
|||
|last=Mendelson |first=Elliott |authorlink=Elliott Mendelson |
|||
|orig-year=1973 |year=2008 |
|||
|title=Number Systems and the Foundations of Analysis |
|||
|publisher=Dover Publications |
|||
|isbn=978-0-486-45792-5 |
|||
|via=Google Books |
|||
|url=https://books.google.com/books?id=3domViIV7HMC |
|||
}} |
|||
* {{cite book |
|||
|last=Morash |first=Ronald P. |
|||
|year=1991 |edition=Second |
|||
|title=Bridge to Abstract Mathematics: Mathematical proof and structures |
|||
|publisher=Mcgraw-Hill College |
|||
|isbn=978-0-07-043043-3 |
|||
|via=Google Books |
|||
|url=https://books.google.com/books?id=fH9YAAAAYAAJ |
|||
}} |
|||
* {{cite book |
|||
|last=Musser |first=Gary L. |
|||
|last2=Peterson |first2=Blake E. |
|||
|last3=Burger |first3=William F. |
|||
|year=2013 |edition=10th |
|||
|title=Mathematics for Elementary Teachers: A contemporary approach |
|||
|publisher=[[Wiley Global Education]] |
|||
|isbn=978-1-118-45744-3 |
|||
|via=Google Books |
|||
|url=https://books.google.com/books?id=b3dbAgAAQBAJ |
|||
}} |
|||
* {{cite book |
|||
|last1=Szczepanski |first1=Amy F. |
|||
|last2=Kositsky |first2=Andrew P. |
|||
|year=2008 |
|||
|title=The Complete Idiot's Guide to Pre-algebra |
|||
|publisher=Penguin Group |
|||
|isbn=978-1-59257-772-9 |
|||
|via=Google Books |
|||
|url=https://books.google.com/books?id=wLA2tlR_LYYC |
|||
}} |
|||
* {{cite book |
* {{cite book |
||
|last1=Thomson |first1=Brian S. |
|last1=Thomson |first1=Brian S. |
||
|last2=Bruckner |first2=Judith B. |
|last2=Bruckner |first2=Judith B. |
||
|last3=Bruckner |first3=Andrew M. |
|last3=Bruckner |first3=Andrew M. |
||
|year=2008 |edition= |
|year=2008 |edition=2 |
||
|title=Elementary Real Analysis |
|title=Elementary Real Analysis |
||
|publisher=ClassicalRealAnalysis.com |
|publisher=ClassicalRealAnalysis.com |
||
Baris 273: | Baris 134: | ||
|via=Google Books |
|via=Google Books |
||
|url=https://books.google.com/books?id=vA9d57GxCKgC |
|url=https://books.google.com/books?id=vA9d57GxCKgC |
||
|ref = {{harvid|Thomson|Bruckner|Bruckner|2008}} |
|||
}} |
}} |
||
* {{cite book |
|||
|last=von Neumann |first=John |author-link=John von Neumann |
|||
|year=1923 |
|||
|title=Zur Einführung der transfiniten Zahlen |
|||
|trans-title=On the Introduction of the Transfinite Numbers |
|||
|journal=Acta Litterarum AC Scientiarum Ragiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, Sectio Scientiarum Mathematicarum |
|||
|volume=1 |pages=199–208 |
|||
|url=http://acta.fyx.hu/acta/showCustomerArticle.action?id=4981&dataObjectType=article&returnAction=showCustomerVolume&sessionDataSetId=39716d660ae98d02&style= |
|||
|url-status=dead |access-date=2013-09-15 |
|||
|archive-url=https://web.archive.org/web/20141218090535/http://acta.fyx.hu/acta/showCustomerArticle.action?id=4981&dataObjectType=article&returnAction=showCustomerVolume&sessionDataSetId=39716d660ae98d02&style= |
|||
|archive-date=2014-12-18 |
|||
}} |
|||
* {{cite book |
|||
|author-last=von Neumann |author-first=John |author-link=John von Neumann |
|||
|editor-first=Jean |editor-last=van Heijenoort |
|||
|orig-year=1923 |date=January 2002 |edition=3rd |
|||
|title=From Frege to Gödel: A source book in mathematical logic, 1879–1931 |
|||
|chapter=On the introduction of transfinite numbers |pages=346–354 |
|||
|isbn=978-0-674-32449-7 |
|||
|publisher=Harvard University Press |
|||
|chapter-url=http://www.hup.harvard.edu/catalog.php?isbn=978-0674324497 |
|||
}} – English translation of {{Harvnb|von Neumann|1923}}. |
|||
{{refend}} |
{{refend}} |
||
Revisi terkini sejak 11 Juni 2024 00.42
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/10/Three_Baskets_with_Apples.svg/220px-Three_Baskets_with_Apples.svg.png)
Dalam matematika, terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan bilangan asli. Yang pertama definisi menurut matematikawan tradisional, yaitu himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol {1, 2, 3, 4, ...}. Sedangkan yang kedua definisi oleh logikawan dan ilmuwan komputer, adalah himpunan nol dan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3, ...}. Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yg paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukkan beberapa jenis kera juga bisa menangkapnya.
Wajar apabila bilangan asli adalah jenis pertama dari bilangan yang digunakan untuk membilang, menghitung, dsb. Sifat yang lebih dalam tentang bilangan asli, termasuk kaitannya dengan bilangan prima, dipelajari dalam teori bilangan. Untuk matematika lanjut, bilangan asli dapat dipakai untuk mengurutkan dan mendefinisikan sifat hitungan suatu himpunan.
Setiap bilangan, misalnya bilangan 1, adalah konsep abstrak yg tak bisa tertangkap oleh indra manusia, tetapi bersifat universal. Salah satu cara memperkenalkan konsep himpunan semua bilangan asli sebagai sebuah struktur abstrak adalah melalui aksioma Peano (sebagai ilustrasi, lihat aritmetika Peano Diarsipkan 2007-08-19 di Wayback Machine.).
Konsep bilangan-bilangan yg lebih umum dan lebih luas memerlukan pembahasan lebih jauh, bahkan kadang-kadang memerlukan kedalaman logika untuk bisa memahami dan mendefinisikannya. Misalnya dalam teori matematika, himpunan semua bilangan rasional bisa dibangun secara bertahap, diawali dari himpunan bilangan-bilangan asli.
Sejarah bilangan asli
[sunting | sunting sumber]Bilangan asli memiliki asal dari kata-kata yang digunakan untuk menghitung benda-benda, dimulai dari bilangan satu.
Kemajuan besar pertama dalam abstraksi adalah penggunaan sistem bilangan untuk melambangkan angka-angka. Ini memungkinkan pencatatan bilangan besar. Sebagai contoh, orang-orang Babylonia mengembangkan sistem berbasis posisi untuk angka 1 dan 10. Orang Mesir kuno memiliki sistem bilangan dengan hieroglif berbeda untuk 1, 10, dan semua pangkat 10 sampai pada satu juta. Sebuah ukuran batu dari Karnak, tertanggal sekitar 1500 SM dan sekarang berada di Louvre, Paris, melambangkan 276 sebagai 2 ratusan, 7 puluhan dan 6 satuan; hal yang sama dilakukan untuk angka 4622.
Kemajuan besar lainnya adalah pengembangan gagasan angka nol sebagai bilangan dengan lambangnya tersendiri. Nol telah digunakan dalam notasi posisi sedini 700 SM oleh orang-orang Babylon, namun mereka melepaskan bila menjadi lambang terakhir pada bilangan tersebut.[a] Konsep nol pada masa modern berasal dari matematikawan India, Brahmagupta.
Pada abad ke-19 dikembangkan definisi bilangan asli menggunakan teori himpunan. Dengan definisi ini, dirasakan lebih mudah memasukkan nol (berkorespondensi dengan himpunan kosong) sebagai bilangan asli, dan sekarang menjadi konvensi dalam bidang teori himpunan, logika dan ilmu komputer.[2] Matematikawan lain, seperti dalam bidang teori bilangan, bertahan pada tradisi lama dan tetap menjadikan 1 sebagai bilangan asli pertama.[3]
Penulisan
[sunting | sunting sumber]Himpunan bilangan asli umumnya dilambangkan atau . Ada sumber yang terkadang melambangkan himpunan bilangan asli sebagai .[4]
Karena bilangan asli dapat mengandung 0 atau tidak, adakala pentingnya untuk mengetahui versi manakah yang dimaksud. Ini sering kali dinyatakan berdasarkan konteks, tetapi juga dapat dinyatakan melalui penggunaan subskrip atau superskrip di notasinya, seperti:[5][6]
- Bilangan asli tanpa adanya nol:
- Bilangan asli dengan nol:
Karena bilangan asli membentuk subhimpunan dari bilangan bulat (sering kali dilambangkan ), bilangan asli dapat disebut sebagai bilangan bulat positif atau bilangan bulat non-negatif. Untuk menghindari kerancuan apakah nol termasuk ke dalam himpunan bilangan atau tidak, sering kali dalam penulisan ditambahkan indeks (superskrip). Indeks "0" digunakan untuk memasukkan angka 0 kedalam himpunan, dan indeks "" atau "" ditambahkan untuk tidak memasukkan angka 0 kedalam himpunan.
Sifat
[sunting | sunting sumber]Penambahan
[sunting | sunting sumber]Diberikan suatu himpunan bilangan asli dan fungsi penerus yang mengirim bilangan asli kepada bilangan selanjutnya, penambahan dari himpunan bilangan asli dapat didefinisikan secara rekursif dengan menetaplan dan untuk semua dan . Maka, adalah monoid komutatif dengan elemen identitas 0, yang disebut monoid bebas dengan satu generator. Monoid komutatif ini memenuhi sifat pembatalan, dan dapat dimasukkan ke dalam suatu grup. Grup terkecil yang berisi bilangan asli adalah bilangan bulat.
Bila 1 didefinisikan sebagai , maka . Itu berarti, adalah penerus dari .
Perkalian
[sunting | sunting sumber]Secara analogi, diberikan bahwa penambahan himpunan bilangan asli didefinisikan di atas (lihat § Penambahan), operator perkalian dapat didefinisikan melalui dan . Ini mengubah menjadi monoid komutatif bebas dengan elemen identitas 1; generator set untuk monoid ini adalah himpunan bilangan prima.
Hubungan antara penjumlahan dan perkalian
[sunting | sunting sumber]Penambahan dan perkalian adalah kompatibel, yang dinyatakan dalam distribusi: a × (b + c) = (a × b) + (a × c). Sifat penjumlahan dan perkalian ini membuat bilangan asli sebagai turunan dari komutatif semiring. Semiring adalah generalisasi aljabar dari bilangan asli dengan perkalian tidak seharusnya komutatif. Kurangnya aditif invers, yang ekuivalen dengan fakta bahwa tidak tertutup di bawah pengurangan (yaitu, mengurangkan satu bilangan asli dari bilangan asli yang lain tidak selalu menghasilkan bilangan asli), berarti bahwa bukanlah gelanggang; melainkan semiring.
Bila bilangan asli diambil sebagai "tidak termasuk 0", dan "mulai dari 1", definisi dari + dan × dinyatakan seperti di atas, kecuali diawali dengan a + 1 = S(a) and a × 1 = a.
Sifat aljabar yang dipenuhi bilangan asli
[sunting | sunting sumber]Operasi penambahan (+) dan perkalian (×) pada bilangan asl, seperti yang didefinisikan sebelumnya, memiliki beberapa sifat-sifat aljabar:
- Ketertutupan di bawah penambahan dan perkalian: untuk semua bilangan asli a dan b, maka a + b dan a × b adalah bilangan asli.[7]
- Pengelompokan: untuk semua bilangan asli a, b, dan c, maka a + (b + c) = (a + b) + c dan a × (b × c) = (a × b) × c.[8]
- Pertukaran: untuk semu bilangan asli a dan b, maka a + b = b + a dan a × b = b × a.[9]
- Keberadaan elemen identitas: untuk setiap bilangan asli a, a + 0 = a dan a × 1 = a.
- Distribusi dari perkalian atas penambahan untuk semua bilangan asli a, b, dan c, a × (b + c) = (a × b) + (a × c).
- Tidak ada pembagi nol tak-nol: bila a dan b adalah bilangan asli sehingga a × b = 0, maka a = 0 atau b = 0 (atau kedua-duanya).
Ketakhinggaan
[sunting | sunting sumber]Himpunan bilangan asli adalah himpunan tak hingga. Menurut definisi, jenis tak hingga ini disebut countably infinite. Semua himpunan yang dapat dimasukkan ke dalam relasi bijektif dengan bilangan asli dikatakan memiliki jenis ketakhinggaan ini. Hal ini juga diungkapkan dengan mengatakan bahwa bilangan kardinal dari himpunan tersebut adalah alef-nol (ℵ0).[10]
Lihat pula
[sunting | sunting sumber]- Bilangan#Klasifikasi untuk sistem bilangan lain (seperti bilangan rasional, bilangan real, bilangan kompleks, dan lain sebagainya.)
- Himpunan terhitung
- Masalah identifikasi Benacerraf
- Representasi kanonik bilangan bulat positif
Catatan
[sunting | sunting sumber]Referensi
[sunting | sunting sumber]- ^ "A history of Zero". MacTutor History of Mathematics. Diarsipkan dari versi asli tanggal 19 January 2013. Diakses tanggal 23 January 2013.
- ^ Michael L. Gorodetsky (2003-08-25). "Cyclus Decemnovennalis Dionysii - Nineteen year cycle of Dionysius". Hbar.phys.msu.ru. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2019-01-15. Diakses tanggal 2012-02-13.
- ^ Ini umum di dalam buku ajar mengenai analisis real. Sebagai contoh, lihat Carothers (2000), hlm. 3; atau Thomson, Bruckner & Bruckner (2008), hlm. 2.
- ^ Rudin, W. (1976). Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill. hlm. 25. ISBN 978-0-07-054235-8.
- ^ "Standard number sets and intervals" (PDF). ISO 80000-2:2019. International Organization for Standardization. 19 May 2020. hlm. 4.
- ^ Grimaldi, Ralph P. (2004). Discrete and Combinatorial Mathematics: An applied introduction (edisi ke-5). Pearson Addison Wesley. ISBN 978-0-201-72634-3.
- ^ Fletcher, Harold; Howell, Arnold A. (2014-05-09). Mathematics with Understanding (dalam bahasa Inggris). Elsevier. hlm. 116. ISBN 978-1-4832-8079-0.
...the set of natural numbers is closed under addition... set of natural numbers is closed under multiplication" [...himpunan bilangan asli tertutup di bawah penambahan... himpunan bilangan asli tertutup di bawah perkalian
- ^ Davisson, Schuyler Colfax (1910). College Algebra (dalam bahasa Inggris). Macmillian Company. hlm. 2.
Addition of natural numbers is associative. [Penambahan dari bilangan asli adalah asosiatif (pengelompokan).]
- ^ Brandon, Bertha (M.); Brown, Kenneth E.; Gundlach, Bernard H.; Cooke, Ralph J. (1962). Laidlaw mathematics series (dalam bahasa Inggris). 8. Laidlaw Bros. hlm. 25.
- ^ (Inggris) Weisstein, Eric W. "Cardinal Number". MathWorld.
Bibliografi
[sunting | sunting sumber]- Carothers, N.L. (2000). Real Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-49756-5 – via Google Books.
- Thomson, Brian S.; Bruckner, Judith B.; Bruckner, Andrew M. (2008). Elementary Real Analysis (edisi ke-2). ClassicalRealAnalysis.com. ISBN 978-1-4348-4367-8 – via Google Books.
Pranala luar
[sunting | sunting sumber]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png)
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Natural number", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
- "Axioms and construction of natural numbers". apronus.com.