Bilangan asli: Perbedaan antara revisi
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) →Perkalian: diterjemahkan dari en:Natural number oldid:1163750098 Tag: Suntingan visualeditor-wikitext |
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) →Hubungan penjumlahan dan perkalian: diterjemahkan dari en:Natural number oldid:1163750098 Tag: Suntingan visualeditor-wikitext |
||
Baris 46: | Baris 46: | ||
Secara analogi, diberikan bahwa penambahan himpunan bilangan asli didefinisikan di atas (lihat {{slink||Penambahan}}), operator [[perkalian]] <math>\times</math> dapat didefinisikan melalui <math> a \times 0 = 0 </math> dan <math> a \times S(b) = (a \times b) + a </math>. Ini mengubah <math> (\N^\star, \times) </math> menjadi monoid komutatif bebas dengan elemen identitas 1; generator set untuk monoid ini adalah himpunan [[bilangan prima]]. |
Secara analogi, diberikan bahwa penambahan himpunan bilangan asli didefinisikan di atas (lihat {{slink||Penambahan}}), operator [[perkalian]] <math>\times</math> dapat didefinisikan melalui <math> a \times 0 = 0 </math> dan <math> a \times S(b) = (a \times b) + a </math>. Ini mengubah <math> (\N^\star, \times) </math> menjadi monoid komutatif bebas dengan elemen identitas 1; generator set untuk monoid ini adalah himpunan [[bilangan prima]]. |
||
=== Hubungan penjumlahan dan perkalian === |
=== Hubungan antara penjumlahan dan perkalian === |
||
Penambahan dan perkalian adalah kompatibel, yang dinyatakan dalam [[hukum distribusi|distribusi]]: {{math|''a'' × (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'')}}. Sifat penjumlahan dan perkalian ini membuat bilangan asli sebagai turunan dari [[komutatif]] [[semiring]]. Semiring adalah generalisasi aljabar dari bilangan asli dengan perkalian tidak seharusnya komutatif. Kurangnya aditif invers, yang ekuivalen dengan fakta bahwa <math> \N </math> tidak [[Ketertutupan (matematika)|tertutup]] di bawah pengurangan (yaitu, mengurangkan satu bilangan asli dari bilangan asli yang lain tidak selalu menghasilkan bilangan asli), berarti bahwa <math> \N </math> ''bukanlah'' [[gelanggang (matematika)|gelanggang]]; melainkan [[semiring]]. |
|||
''gelanggang'') |
|||
Bila bilangan asli diambil sebagai "tidak termasuk 0", dan "mulai dari 1", definisi dari + dan × |
Bila bilangan asli diambil sebagai "tidak termasuk 0", dan "mulai dari 1", definisi dari + dan × dinyatakan seperti di atas, kecuali diawali dengan {{math|''a'' + 1 {{=}} ''S''(''a'')}} and {{math|''a'' × 1 {{=}} ''a''}}. |
||
<!-- |
|||
===Order=== |
|||
In this section, juxtaposed variables such as {{math|''ab''}} indicate the product {{math|''a'' × ''b''}},<ref>{{Cite web |last=Weisstein |first=Eric W. |title=Multiplication |url=https://mathworld.wolfram.com/Multiplication.html |access-date=2020-07-27 |website=mathworld.wolfram.com |lang=en}}</ref> and the standard [[order of operations]] is assumed. |
|||
=== Sifat aljabar yang dipenuhi bilangan asli=== |
|||
A [[total order]] on the natural numbers is defined by letting {{math|''a'' ≤ ''b''}} if and only if there exists another natural number {{math|''c''}} where {{math|''a'' + ''c'' {{=}} ''b''}}. This order is compatible with the [[arithmetical operations]] in the following sense: if {{math|''a''}}, {{math|''b''}} and {{math|''c''}} are natural numbers and {{math|''a'' ≤ ''b''}}, then {{math|''a'' + ''c'' ≤ ''b'' + ''c''}} and {{math|''ac'' ≤ ''bc''}}. |
|||
Operasi penambahan (+) dan perkalian (×) pada bilangan asl, seperti yang didefinisikan sebelumnya, memiliki beberapa sifat-sifat aljabar: |
|||
* [[Ketertutupan (matematika)|Ketertutupan]] di bawah penambahan dan perkalian: untuk semua bilangan asli {{math|''a''}} dan {{math|''b''}}, maka {{math|''a'' + ''b''}} dan {{math|''a'' × ''b''}} adalah bilangan asli.<ref>{{cite book |
|||
An important property of the natural numbers is that they are [[well-order]]ed: every non-empty set of natural numbers has a least element. The rank among well-ordered sets is expressed by an [[ordinal number]]; for the natural numbers, this is denoted as [[omega (ordinal)|{{math|''ω''}}]] (omega). |
|||
| last1 = Fletcher | first1 = Harold |
|||
| last2 = Howell | first2 = Arnold A. |
|||
===Division=== |
|||
| date = 2014-05-09 |
|||
In this section, juxtaposed variables such as {{math|''ab''}} indicate the product {{math|''a'' × ''b''}}, and the standard [[order of operations]] is assumed. |
|||
| title = Mathematics with Understanding |
|||
| publisher = Elsevier |
|||
While it is in general not possible to divide one natural number by another and get a natural number as result, the procedure of ''[[Division (mathematics)|division]] with remainder'' is available as a substitute: for any two natural numbers {{math|''a''}} and {{math|''b''}} with {{math|''b'' ≠ 0}} there are natural numbers {{math|''q''}} and {{math|''r''}} such that |
|||
| isbn = 978-1-4832-8079-0 |
|||
:{{math|''a'' {{=}} ''bq'' + ''r''}} and {{math|''r'' < ''b''}}. |
|||
| page = 116 |
|||
| lang = en |
|||
The number {{math|''q''}} is called the ''[[quotient]]'' and {{math|''r''}} is called the ''[[remainder]]'' of the division of {{math|''a''}} by {{math|''b''}}. The numbers {{math|''q''}} and {{math|''r''}} are uniquely determined by {{math|''a''}} and {{math|''b''}}. This [[Euclidean division]] is key to several other properties ([[divisibility]]), algorithms (such as the [[Euclidean algorithm]]), and ideas in number theory. |
|||
| url = https://books.google.com/books?id=7cPSBQAAQBAJ&pg=PA116 |
|||
| quote = ...the set of natural numbers is closed under addition... set of natural numbers is closed under multiplication}}</ref> |
|||
===Algebraic properties satisfied by the natural numbers=== |
|||
⚫ | |||
The addition (+) and multiplication (×) operations on natural numbers as defined above have several algebraic properties: |
|||
| last = Davisson | first = Schuyler Colfax |
|||
* [[Closure (mathematics)|Closure]] under addition and multiplication: for all natural numbers {{math|''a''}} and {{math|''b''}}, both {{math|''a'' + ''b''}} and {{math|''a'' × ''b''}} are natural numbers.<ref>{{cite book |last1=Fletcher |first1=Harold |last2=Howell |first2=Arnold A. |date=2014-05-09 |title=Mathematics with Understanding |publisher=Elsevier |isbn=978-1-4832-8079-0 |page=116 |lang=en |url=https://books.google.com/books?id=7cPSBQAAQBAJ&newbks=0&printsec=frontcover&pg=PA116&dq=Natural+numbers+closed&hl=en |quote=...the set of natural numbers is closed under addition... set of natural numbers is closed under multiplication}}</ref> |
|||
| title = College Algebra |
|||
* [[Associativity]]: for all natural numbers {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, and {{math|''c''}}, {{math|''a'' + (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' + ''b'') + ''c''}} and {{math|''a'' × (''b'' × ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') × ''c''}}.<ref>{{cite book |last=Davisson |first=Schuyler Colfax |title=College Algebra |date=1910 |publisher=Macmillian Company |page=2 |lang=en |url=https://books.google.com/books?id=E7oZAAAAYAAJ&newbks=0&printsec=frontcover&pg=PA2&dq=Natural+numbers+associative&hl=en |quote=Addition of natural numbers is associative.}}</ref> |
|||
| date = 1910 |
|||
* [[Commutativity]]: for all natural numbers {{math|''a''}} and {{math|''b''}}, {{math|''a'' + ''b'' {{=}} ''b'' + ''a''}} and {{math|''a'' × ''b'' {{=}} ''b'' × ''a''}}.<ref>{{cite book |last1=Brandon |first1=Bertha (M.) |last2=Brown |first2=Kenneth E. |last3=Gundlach |first3=Bernard H. |last4=Cooke |first4=Ralph J. |date=1962 |title=Laidlaw mathematics series |publisher=Laidlaw Bros. |volume=8 |page=25 |lang=en |url=https://books.google.com/books?id=xERMAQAAIAAJ&newbks=0&printsec=frontcover&dq=Natural+numbers+commutative&q=Natural+numbers+commutative&hl=en}}</ref> |
|||
| publisher = Macmillian Company |
|||
⚫ | |||
| page = 2 |
|||
⚫ | |||
| lang = en |
|||
⚫ | |||
| url = https://books.google.com/books?id=E7oZAAAAYAAJ&pg=PA2 |
|||
| quote = Addition of natural numbers is associative.}}</ref> |
|||
* [[Sifat komutatif|Pertukaran]]: untuk semu bilangan asli {{math|''a''}} dan {{math|''b''}}, maka {{math|''a'' + ''b'' {{=}} ''b'' + ''a''}} dan {{math|''a'' × ''b'' {{=}} ''b'' × ''a''}}.<ref>{{cite book |
|||
| last1 = Brandon | first1 = Bertha (M.) |
|||
| last2 = Brown | first2 = Kenneth E. |
|||
| last3 = Gundlach | first3 = Bernard H. |
|||
| last4 = Cooke | first4 = Ralph J. |
|||
| date = 1962 |
|||
| title = Laidlaw mathematics series |
|||
| publisher = Laidlaw Bros. |
|||
| volume = 8 |
|||
| page = 25 |
|||
| lang = en |
|||
| url = https://books.google.com/books?id=xERMAQAAIAAJ&newbks=0&printsec=frontcover&dq=Natural+numbers+commutative&q=Natural+numbers+commutative&hl=en}}</ref> |
|||
⚫ | |||
* [[Sifat distributif|Distribusi]] dari perkalian atas penambahan untuk semua bilangan asli {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, dan {{math|''c''}}, {{math|''a'' × (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'')}}. |
|||
⚫ | |||
=== Ketakhinggaan === |
=== Ketakhinggaan === |
Revisi per 9 Juli 2023 15.30
Halaman ini sedang dipersiapkan dan dikembangkan sehingga mungkin terjadi perubahan besar. Anda dapat membantu dalam penyuntingan halaman ini. Halaman ini terakhir disunting oleh Dedhert.Jr (Kontrib • Log) 477 hari 38 menit lalu. Jika Anda melihat halaman ini tidak disunting dalam beberapa hari, mohon hapus templat ini. |
Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Natural number di en.wiki-indonesia.club. Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan. (Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula: panduan penerjemahan artikel) |
Dalam matematika, terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan bilangan asli. Yang pertama definisi menurut matematikawan tradisional, yaitu himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol {1, 2, 3, 4, ...}. Sedangkan yang kedua definisi oleh logikawan dan ilmuwan komputer, adalah himpunan nol dan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3, ...}. Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yg paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukkan beberapa jenis kera juga bisa menangkapnya.
Wajar apabila bilangan asli adalah jenis pertama dari bilangan yang digunakan untuk membilang, menghitung, dsb. Sifat yang lebih dalam tentang bilangan asli, termasuk kaitannya dengan bilangan prima, dipelajari dalam teori bilangan. Untuk matematika lanjut, bilangan asli dapat dipakai untuk mengurutkan dan mendefinisikan sifat hitungan suatu himpunan.
Setiap bilangan, misalnya bilangan 1, adalah konsep abstrak yg tak bisa tertangkap oleh indra manusia, tetapi bersifat universal. Salah satu cara memperkenalkan konsep himpunan semua bilangan asli sebagai sebuah struktur abstrak adalah melalui aksioma Peano (sebagai ilustrasi, lihat aritmetika Peano Diarsipkan 2007-08-19 di Wayback Machine.).
Konsep bilangan-bilangan yg lebih umum dan lebih luas memerlukan pembahasan lebih jauh, bahkan kadang-kadang memerlukan kedalaman logika untuk bisa memahami dan mendefinisikannya. Misalnya dalam teori matematika, himpunan semua bilangan rasional bisa dibangun secara bertahap, diawali dari himpunan bilangan-bilangan asli.
Sejarah bilangan asli
Bilangan asli memiliki asal dari kata-kata yang digunakan untuk menghitung benda-benda, dimulai dari bilangan satu.
Kemajuan besar pertama dalam abstraksi adalah penggunaan sistem bilangan untuk melambangkan angka-angka. Ini memungkinkan pencatatan bilangan besar. Sebagai contoh, orang-orang Babylonia mengembangkan sistem berbasis posisi untuk angka 1 dan 10. Orang Mesir kuno memiliki sistem bilangan dengan hieroglif berbeda untuk 1, 10, dan semua pangkat 10 sampai pada satu juta. Sebuah ukuran batu dari Karnak, tertanggal sekitar 1500 SM dan sekarang berada di Louvre, Paris, melambangkan 276 sebagai 2 ratusan, 7 puluhan dan 6 satuan; hal yang sama dilakukan untuk angka 4622.
Kemajuan besar lainnya adalah pengembangan gagasan angka nol sebagai bilangan dengan lambangnya tersendiri. Nol telah digunakan dalam notasi posisi sedini 700 SM oleh orang-orang Babylon, namun mereka melepaskan bila menjadi lambang terakhir pada bilangan tersebut.[1] Konsep nol pada masa modern berasal dari matematikawan India, Brahmagupta.
Pada abad ke-19 dikembangkan definisi bilangan asli menggunakan teori himpunan. Dengan definisi ini, dirasakan lebih mudah memasukkan nol (berkorespondensi dengan himpunan kosong) sebagai bilangan asli, dan sekarang menjadi konvensi dalam bidang teori himpunan, logika dan ilmu komputer.[2] Matematikawan lain, seperti dalam bidang teori bilangan, bertahan pada tradisi lama dan tetap menjadikan 1 sebagai bilangan asli pertama.[3]
Penulisan
Himpunan bilangan asli umumnya dilambangkan atau untuk menuliskan himpunan seluruh bilangan asli. Ada sumber yang terkadang melambangkan himpunan bilangan asli sebagai .[4]
Karena bilangan asli dapat mengandung 0 atau tidak, adakala pentingnya untuk mengetahui versi manakah yang dimaksud. Ini sering kali dinyatakan berdasarkan konteks, tetapi juga dapat dinyatakan melalui penggunaan subskrip atau superskrip di notasinya, seperti:[5][6]
- Bilangan asli tanpa adanya nol:
- Bilangan asli dengan nol:
Karena bilangan asli membentuk subhimpunan dari bilangan bulat (sering kali dilambangkan denoted ), bilangan asli dapat disebut sebagai bilangan bulat positif atau bilangan bulat non-negatif. Untuk menghindari kerancuan apakah nol termasuk ke dalam himpunan bilangan atau tidak, sering kali dalam penulisan ditambahkan indeks (superscript). Indeks "0" digunakan untuk memasukkan angka 0 kedalam himpunan, dan indeks "" atau "" ditambahkan untuk tidak memasukkan angka 0 kedalam himpunan.
Sifat
Penambahan
Diberikan suatu himpunan bilangan asli dan fungsi penerus yang mengirim bilangan asli kepada bilangan selanjutnya, penambahan dari himpunan bilangan asli dapat didefinisikan secara rekursif dengan menetaplan dan untuk semua dan . Maka, adalah monoid komutatif dengan elemen identitas 0, yang disebut monoid bebas dengan satu generator. Monoid komutatif ini memenuhi sifat pembatalan, dan dapat dimasukkan ke dalam suatu grup. Grup terkecil yang berisi bilangan asli adalah bilangan bulat.
Bila 1 didefinisikan sebagai , maka . Itu berarti, adalah penerus dari .
Perkalian
Secara analogi, diberikan bahwa penambahan himpunan bilangan asli didefinisikan di atas (lihat § Penambahan), operator perkalian dapat didefinisikan melalui dan . Ini mengubah menjadi monoid komutatif bebas dengan elemen identitas 1; generator set untuk monoid ini adalah himpunan bilangan prima.
Hubungan antara penjumlahan dan perkalian
Penambahan dan perkalian adalah kompatibel, yang dinyatakan dalam distribusi: a × (b + c) = (a × b) + (a × c). Sifat penjumlahan dan perkalian ini membuat bilangan asli sebagai turunan dari komutatif semiring. Semiring adalah generalisasi aljabar dari bilangan asli dengan perkalian tidak seharusnya komutatif. Kurangnya aditif invers, yang ekuivalen dengan fakta bahwa tidak tertutup di bawah pengurangan (yaitu, mengurangkan satu bilangan asli dari bilangan asli yang lain tidak selalu menghasilkan bilangan asli), berarti bahwa bukanlah gelanggang; melainkan semiring.
Bila bilangan asli diambil sebagai "tidak termasuk 0", dan "mulai dari 1", definisi dari + dan × dinyatakan seperti di atas, kecuali diawali dengan a + 1 = S(a) and a × 1 = a.
Sifat aljabar yang dipenuhi bilangan asli
Operasi penambahan (+) dan perkalian (×) pada bilangan asl, seperti yang didefinisikan sebelumnya, memiliki beberapa sifat-sifat aljabar:
- Ketertutupan di bawah penambahan dan perkalian: untuk semua bilangan asli a dan b, maka a + b dan a × b adalah bilangan asli.[7]
- Pengelompokan: untuk semua bilangan asli a, b, dan c, maka a + (b + c) = (a + b) + c dan a × (b × c) = (a × b) × c.[8]
- Pertukaran: untuk semu bilangan asli a dan b, maka a + b = b + a dan a × b = b × a.[9]
- Keberadaan elemen identitas: untuk setiap bilangan asli a, a + 0 = a dan a × 1 = a.
- Distribusi dari perkalian atas penambahan untuk semua bilangan asli a, b, dan c, a × (b + c) = (a × b) + (a × c).
- Tidak ada pembagi nol tak-nol: bila a dan b adalah bilangan asli sehingga a × b = 0, maka a = 0 atau b = 0 (atau kedua-duanya).
Ketakhinggaan
Himpunan bilangan asli adalah himpunan tak hingga. Menurut definisi, jenis tak hingga ini disebut tak hingga. Semua himpunan yang dapat dimasukkan ke dalam relasi bijektif dengan bilangan asli dikatakan memiliki jenis tak terhingga ini. Hal ini juga diungkapkan dengan mengatakan bahwa bilangan pokok dari himpunan tersebut adalah aleph-naught (ℵ0).[10]
Lihat pula
- Masalah identifikasi Benacerraf
- Wakilan kanonik dari bilangan bulat positif
- Himpunan yang dapat dihitung
- Bilangan#Klasifikasi untuk sistem bilangan lain (rasional, nyata, kompleks, dll.)
- Bilangan ordinal
- Definisi himpunan-teoretik dari bilangan asli
- Bilangan bulat
- Bilangan cacah
- Bilangan imajiner
- Bilangan kompleks
- Bilangan riil
- Bilangan rasional
- Bilangan irasional
- Bilangan prima
- Bilangan komposit
- Pecahan
Catatan
Referensi
- ^ "... a tablet found at Kish ... thought to date from around 700 BC, uses three hooks to denote an empty place in the positional notation. Other tablets dated from around the same time use a single hook for an empty place."
- ^ Michael L. Gorodetsky (2003-08-25). "Cyclus Decemnovennalis Dionysii - Nineteen year cycle of Dionysius". Hbar.phys.msu.ru. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2019-01-15. Diakses tanggal 2012-02-13.
- ^ This is common in texts about Real analysis. See, for example, Carothers (2000) p.3 or Thomson, Bruckner and Bruckner (2000), p.2.
- ^ Rudin, W. (1976). Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill. hlm. 25. ISBN 978-0-07-054235-8.
- ^ Kesalahan pengutipan: Tag
<ref>
tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernamaISO80000
- ^ Grimaldi, Ralph P. (2004). Discrete and Combinatorial Mathematics: An applied introduction (edisi ke-5th). Pearson Addison Wesley. ISBN 978-0-201-72634-3.
- ^ Fletcher, Harold; Howell, Arnold A. (2014-05-09). Mathematics with Understanding (dalam bahasa Inggris). Elsevier. hlm. 116. ISBN 978-1-4832-8079-0.
...the set of natural numbers is closed under addition... set of natural numbers is closed under multiplication
- ^ Davisson, Schuyler Colfax (1910). College Algebra (dalam bahasa Inggris). Macmillian Company. hlm. 2.
Addition of natural numbers is associative.
- ^ Brandon, Bertha (M.); Brown, Kenneth E.; Gundlach, Bernard H.; Cooke, Ralph J. (1962). Laidlaw mathematics series (dalam bahasa Inggris). 8. Laidlaw Bros. hlm. 25.
- ^ (Inggris) Weisstein, Eric W. "Cardinal Number". MathWorld.
Bibliografi
- Bluman, Allan (2010). Pre-Algebra DeMYSTiFieD (edisi ke-Second). McGraw-Hill Professional. ISBN 978-0-07-174251-1 – via Google Books.
- Carothers, N.L. (2000). Real Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-49756-5 – via Google Books.
- Clapham, Christopher; Nicholson, James (2014). The Concise Oxford Dictionary of Mathematics (edisi ke-Fifth). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-967959-1 – via Google Books.
- Dedekind, Richard (1963) [1901]. Essays on the Theory of Numbers. Diterjemahkan oleh Beman, Wooster Woodruff (edisi ke-reprint). Dover Books. ISBN 978-0-486-21010-0 – via Archive.org.
- Dedekind, Richard (1901). Essays on the Theory of Numbers. Diterjemahkan oleh Beman, Wooster Woodruff. Chicago, IL: Open Court Publishing Company. Diakses tanggal 2020-08-13 – via Project Gutenberg.
- Dedekind, Richard (2007) [1901]. Essays on the Theory of Numbers. Kessinger Publishing, LLC. ISBN 978-0-548-08985-9.
- Eves, Howard (1990). An Introduction to the History of Mathematics (edisi ke-6th). Thomson. ISBN 978-0-03-029558-4 – via Google Books.
- Halmos, Paul (1960). Naive Set Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90092-6 – via Google Books.
- Hamilton, A.G. (1988). Logic for Mathematicians (edisi ke-Revised). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-36865-0 – via Google Books.
- James, Robert C.; James, Glenn (1992). Mathematics Dictionary (edisi ke-Fifth). Chapman & Hall. ISBN 978-0-412-99041-0 – via Google Books.
- Landau, Edmund (1966). Foundations of Analysis (edisi ke-Third). Chelsea Publishing. ISBN 978-0-8218-2693-5 – via Google Books.
- Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999). Algebra (edisi ke-3rd). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1646-2 – via Google Books.
- Mendelson, Elliott (2008) [1973]. Number Systems and the Foundations of Analysis. Dover Publications. ISBN 978-0-486-45792-5 – via Google Books.
- Morash, Ronald P. (1991). Bridge to Abstract Mathematics: Mathematical proof and structures (edisi ke-Second). Mcgraw-Hill College. ISBN 978-0-07-043043-3 – via Google Books.
- Musser, Gary L.; Peterson, Blake E.; Burger, William F. (2013). Mathematics for Elementary Teachers: A contemporary approach (edisi ke-10th). Wiley Global Education. ISBN 978-1-118-45744-3 – via Google Books.
- Szczepanski, Amy F.; Kositsky, Andrew P. (2008). The Complete Idiot's Guide to Pre-algebra. Penguin Group. ISBN 978-1-59257-772-9 – via Google Books.
- Thomson, Brian S.; Bruckner, Judith B.; Bruckner, Andrew M. (2008). Elementary Real Analysis (edisi ke-Second). ClassicalRealAnalysis.com. ISBN 978-1-4348-4367-8 – via Google Books.
- von Neumann, John (1923). Zur Einführung der transfiniten Zahlen [On the Introduction of the Transfinite Numbers]. Acta Litterarum AC Scientiarum Ragiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, Sectio Scientiarum Mathematicarum. 1. hlm. 199–208. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2014-12-18. Diakses tanggal 2013-09-15.
- von Neumann, John (January 2002) [1923]. "On the introduction of transfinite numbers". Dalam van Heijenoort, Jean. From Frege to Gödel: A source book in mathematical logic, 1879–1931 (edisi ke-3rd). Harvard University Press. hlm. 346–354. ISBN 978-0-674-32449-7. – English translation of von Neumann 1923.
Pranala luar
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Natural number", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
- "Axioms and construction of natural numbers". apronus.com.