Trigonometri

Semua fungsi trigonometrik dari sudut θ dapat dibangun secara geometri dalam lingkaran satuan yang berpusat pada O.

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = "tiga sudut" dan metron = "mengukur") adalah sebuah cabang matematika yang mempelajari hubungan yang meliputi panjang dan sudut segitiga. Bidang ini muncul di masa Helenistik pada abad ke-3 SM dari penggunaan geometri untuk mempelajari astronomi.

Trigonometri mudah dikaitkan dalam bidang segitiga siku-siku (dengan hasil jumlah besar kedua sudut lancip sama dengan besar sudut siku-siku). Peranan untuk selain segitiga siku-siku juga ada. Sejak segitiga yang bukan siku-siku dapat dibagi menjadi dua segitiga siku-siku, banyak masalah yang dapat diatasi dengan penghitungan segitiga siku-siku. Karena itu, sebagian besar penggunaan trigonometri berhubungan dengan segitiga siku-siku. Satu pengecualian untuk spherical trigonometry, yakni pelajaran trigonometri dalam sphere atau permukaan dari curvature relatif positif dalam elips geometri (bagian yang berperan dalam menemukan astronomi dan navigasi). Trigonometri dalam curvature negatif merupakan bagian dari geometri hiperbola.

Sejarah awal

Artikel utama: Sejarah trigonometri

Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Lagadha adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India.

Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segitiga.

Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut.

Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Prancis.

Konsep

Jika salah satu satu sudut 90 derajat dan sudut lainnya diketahui, dengan demikian sudut ketiga dapat ditemukan, karena tiga sudut segitiga bila dijumlahkan menjadi 180 derajat. Karena itu dua sudut (yang kurang dari 90 derajat) bila dijumlahkan menjadi 90 derajat: ini sudut komplementer.

Kegunaan

Animasi Voyager 2 lintasan dari Agustus 20, 1977 hingga Desember 30, 2000
       Voyager 2  ·       Bumi ·       Jupiter  ·       Saturnus ·       Uranus  ·       Neptunus  ·       Matahari . Trigonometri salah satu perhitungan yang harus digunakan dalam bidang astronomi

Ada banyak aplikasi trigonometri. Terutama adalah teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintang terdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistem navigasi satelit.

Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi (dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik, akustik, optik, analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi, pencitraan medis/medical imaging (CAT scan dan ultrasound), farmasi, kimia, teori angka (dan termasuk kriptologi), seismologi, meteorologi, oseanografi, berbagai cabang dalam ilmu fisika, survei darat dan geodesi, arsitektur, fonetika, ekonomi, teknik listrik, teknik mekanik, teknik sipil, grafik komputer, kartografi, kristalografi.

Pada abad ke-3 Masehi, astronom pertama kali mencatat panjang sisi-sisi dan sudut-sudut dari segitiga siku-siku antara masing-masing sisi yang memiliki hubungan: ini dia, jika setidaknya salah satu panjang sisi dan salah satu nilai sudut diketahui, lalu semua sudut dan panjang dapat ditentukan secara algoritme. Penghitungan ini didefiniskan menjadi fungsi trigonometrik dan saat ini menjadi dalam bagian matematika murni dan terapan: contohnya untuk menganalisis metode dasar seperti transformasi fourier atau gelombang persamaan, menggunakan fungsi trigonometrik untuk memahami fenomena hal yang berhubungan dengan lingkaran melalui banyak penggunaan dibidang yang berbeda seperti fisika, teknik mesin dan listrik, musik dan akustik, astronomi, dan biologi. Trigonometri juga memiliki peranan dalam menemukan surveying.

Ada pengembangan modern trigonometri yang melibatkan "penyebaran" dan "quadrance", bukan sudut dan panjang. Pendekatan baru ini disebut trigonometri rasional dan merupakan hasil kerja dari Dr. Norman Wildberger dari Universitas New South Wales. Informasi lebih lanjut bisa dilihat di situs webnya [1].

Fungsi trigonometri

Segitiga siku-siku $ABC$ dimana $AC=b$ dan $BC=a$ adalah sisi segitiga dan $AB=c$ adalah hipotenusa.

Definisi dasar

Fungsi trigonometri dapat didefinisikan melalui segitiga siku-siku, dimana $ABC$ adalah segitiga siku-siku, $a$ dan $b$ adalah sisi-sisi segitiga beserta $c$ adalah hipotenusa atau sisi miring segitiga. Misalkan $A$ adalah sudut yang diketahui.

• Fungsi sin didefinisikan sebagai rasio sisi depan dengan hipotenusa.

$\sin A={\frac {\text{sisi depan}}{\text{hipotenusa}}}={\frac {a}{c}}$.

• Fungsi cos didefinisikan sebagai rasio sisi samping dengan hipotenusa.

$\cos A={\frac {\text{sisi samping}}{\text{hipotenusa}}}={\frac {b}{c}}$.

• Fungsi tan didefinisikan sebagai rasio sisi depan dengan sisi samping.

$\tan A={\frac {\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}}}={\frac {a}{b}}$

Fungsi tan juga didefinisikan sebagai rasio fungsi sinus dengan kosinus

$\tan A={\frac {\sin A}{\cos A}}$.

Ketiga fungsi di atas merupakan salah satu fungsi trigonometri paling dasar. Kita dapat mencari suatu panjang maupun sudut segitiga sembarang dengan fungsi sinus dan kosinus melalui hukum sinus dan kosinus. Beberapa fungsi trigonometri lainnya, antara lain, kosekan (csc), sekan (sec), dan kotangen (cot).

$\cot A={\frac {1}{\tan A}}={\frac {\cos A}{\sin A}}={\frac {b}{a}}$.

$\sec A={\frac {1}{\cos A}}={\frac {c}{b}}$.

$\csc A={\frac {1}{\sin A}}={\frac {c}{a}}$.

Grafik fungsi trigonometri

Berikut adalah grafik mengenai fungsi trigonometri.

Fungsi	Periode	Ranah/Domain	Kisaran/Range	Grafik
sinus	$2\pi$	$(-\infty ,\infty )$	$[-1,1]$
kosinus	$2\pi$	$(-\infty ,\infty )$	$[-1,1]$
tangen	$\pi$	$x\neq n\pi$	$(-\infty ,\infty )$
sekan	$2\pi$	$x\neq \pi /2+n\pi$	$(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )$
kosekan	$2\pi$	$x\neq \pi /2+n\pi$	$(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )$
kotangen	$\pi$	$x\neq n\pi$	$(-\infty ,\infty )$

Identitas trigonometri

Identitas Pythagoras

Artikel utama: Identitas Pythagoras

Identitas Pythagoras adalah identitas trigonometri yang diturunkan dari identitas Pythagoras. Dengan kata lain, identitas Pythagoras merupakan konsep teorema Pythagoras melalui fungsi trigonometri. Berikut adalah identitas Pythagoras, antara lain:

$\sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1$

Klik "tampil" 'tuk melihat bukti
Dengan menggunakan definisi dari fungsi sinus dan kosinus, maka $\sin ^{2}A+\cos ^{2}A=\left({\frac {b}{c}}\right)^{2}+\left({\frac {a}{c}}\right)^{2}={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}$ Karena berupa segitiga siku-siku, maka menurut teorema Pythagoras, $a^{2}+b^{2}=c^{2}$. Jadi, $\sin ^{2}A+\cos ^{2}A={\frac {c^{2}}{c^{2}}}=1$. $\blacksquare$

$1+\tan ^{2}A=\sec ^{2}A$

Klik "tampil" 'tuk melihat bukti
$1+\tan ^{2}A={\frac {\cos ^{2}A}{\cos ^{2}A}}+{\frac {\sin ^{2}A}{\cos ^{2}A}}={\frac {1}{\cos ^{2}A}}=\sec ^{2}A$. $\blacksquare$

$1+\cot ^{2}A=\csc ^{2}A$

Klik "tampil" 'tuk melihat bukti
$1+\cot ^{2}A={\frac {\sin ^{2}A}{\sin ^{2}A}}+{\frac {\cos ^{2}A}{\sin ^{2}A}}={\frac {1}{\sin ^{2}A}}=\csc ^{2}A$. $\blacksquare$

Kesamaan nilai trigonometri

$\sin A=\cos(90-A){\text{atau}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)$

$\tan A=\cot(90-A){\text{atau}}\cot \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)$

$\sec A=\csc(90-A){\text{atau}}\csc \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)$

Rumus jumlah dan selisih sudut

$\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$

$\sin(A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B$

$\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$

$cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B$

$\tan(A+B)={\frac {\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}}$

$\tan(A-B)={\frac {\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B}}$

Rumus perkalian trigonometri

$2\sin A\cos B=\sin(A+B)+\sin(A-B)$

$2\cos A\sin B=\sin(A+B)-\sin(A-B)$

$2\cos A\cos B=\cos(A+B)+\cos(A-B)$

$2\sin A\sin B=-\cos(A+B)+\cos(A-B)$

Rumus jumlah dan selisih trigonometri

$\sin A+\sin B=2\sin \left({\frac {A+B}{2}}\right)\cos \left({\frac {A-B}{2}}\right)$

$\sin A-\sin B=2\cos \left({\frac {A+B}{2}}\right)\sin \left({\frac {A-B}{2}}\right)$

$\cos A+\cos B=2\cos \left({\frac {A+B}{2}}\right)\cos \left({\frac {A-B}{2}}\right)$

$\cos A-\cos B=-2\sin \left({\frac {A+B}{2}}\right)\sin \left({\frac {A-B}{2}}\right)$

$\tan A+\tan B=\tan(A+B)\cdot (1-\tan A\tan B)$

$\tan A-\tan B=\tan(A-B)\cdot (1+\tan A\tan B)$

$\sin A+\sin B+\sin C=4\cos \left({\frac {A}{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {B}{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {C}{2}}\right)$

$\cos A+\cos B+\cos C=1+4\sin \left({\frac {A}{2}}\right)\cdot \sin \left({\frac {B}{2}}\right)\cdot \sin \left({\frac {C}{2}}\right)$

$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\cdot \tan B\cdot \tan C$

Rumus sudut rangkap dua

$\sin 2A=2\sin A\cos A$

$\cos 2A=\cos ^{2}A-\sin ^{2}A=1-2\sin ^{2}A=2\cos ^{2}A-1$

$\tan 2A={\frac {2\tan A}{1-\tan ^{2}A}}={\frac {2\cot A}{\cot ^{2}A-1}}={\frac {2}{\cot A-\tan A}}$

Rumus sudut rangkap tiga

$\sin 3A=3\sin A-4\sin ^{3}A$

$\cos 3A=4\cos ^{3}A-3\cos A$

$\tan 3A={\frac {3\tan A-\tan ^{3}A}{1-3\tan ^{2}A}}$

Rumus setengah sudut

$\sin \left({\frac {A}{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos A}{2}}}$

$\cos \left({\frac {A}{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos A}{2}}}$

$\tan \left({\frac {A}{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos A}{1+\cos A}}}={\frac {\sin A}{1+\cos A}}={\frac {1-\cos A}{\sin A}}$

Persamaan trigonometri

Jika $\sin x=\sin \alpha$, maka $x=\alpha +k\cdot 360^{\circ }{\text{ atau }}x=(180^{\circ }-\alpha )+k\cdot 360^{\circ }$ serta $x=\alpha +k\cdot 2\pi {\text{ atau }}x=(2\pi -\alpha )+k\cdot 2\pi$

Jika $\cos x=\cos \alpha$, maka $x=\pm \alpha +k\cdot 360^{\circ }$ serta $x=\pm \alpha +k\cdot 2\pi$

Jika $\tan x=\tan \alpha$, maka $x=\alpha +k\cdot 180^{\circ }$ serta $x=\alpha +k\cdot \pi$

Persamaan $a\cos x+b\sin x=c$ dapat diubah menjadi $k\cos(x-\alpha )=c$, maka $k={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$, $\tan \alpha ={\frac {b}{a}}$ serta $a^{2}+b^{2}\geq c^{2}$

Lihat pula

• Sinus
• Cosinus
• Tangen
• Secan
• Cosecan
• Cotangen
• Trigonometri umum
• Daftar topik segitiga
• Fungsi trigonometri
• Tabel sin Aryabhata
• Daftar identitas trigonometri
• Trigonometri rasional
• Trigonometri di bidang Galois
• Lingkaran satuan
• Pemanfaatan trigonometri
• Perkiraan sudut kecil
• Segitiga kurus
• Bola Lenart

Referensi

Pustaka

• Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (edisi ke-Second Edition). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-54397-7. Pemeliharaan CS1: Teks tambahan (link)
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Trigonometric functions", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Christopher M. Linton (2004). From Eudoxus to Einstein: A History of Mathematical Astronomy . Cambridge University Press.
• Kristanto, Yosep Dwi (2016). Matematika Langkah Demi Langkah untuk SMA/MA Kelas X. Grasindo. ISBN 9786023756506. 
• Weisstein, Eric W. "Trigonometric Addition Formulas". Wolfram MathWorld. Weiner.
• Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 1B Untuk Kelas X Semester 2. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-501-7.  (Indonesia)
• Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 2A Untuk Kelas XI Semester 1 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-502-5.  (Indonesia)

Pranala luar

• Khan Academy: Trigonometry, free online micro lectures
• Trigonometric Delights Diarsipkan 2006-04-14 di Wayback Machine., by Eli Maor, Princeton University Press, 1998. Ebook version, in PDF format, full text presented.
• Trigonometry Diarsipkan 2007-11-04 di Wayback Machine. by Alfred Monroe Kenyon and Louis Ingold, The Macmillan Company, 1914. In images, full text presented.
• Benjamin Banneker's Trigonometry Puzzle at
• Dave's Short Course in Trigonometry by David Joyce of Clark University
• Trigonometry, by Michael Corral, Covers elementary trigonometry, Distributed under GNU Free Documentation License Diarsipkan 2013-07-29 di Wayback Machine.
• Detailed knowledge of Trigonometry formulas Diarsipkan 2021-05-11 di Wayback Machine.