Poligon
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Assorted_polygons.svg/220px-Assorted_polygons.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/Polygon_types.svg/220px-Polygon_types.svg.png)
Poligon atau segi -n beraturan (/ˈpɒlɪɡɒn/)(secara literal "banyak sudut", dari Bahasa Yunani Kuno "poly" banyak + "gon" sudut) merupakan bangun datar yang terdiri dari garis lurus yang bergabung untuk membentuk rantai tertutup atau sirkuit.
Etimologi
Kata poligon berasal dari kata sifat Yunani πολύς (polús) "banyak", "banyak" dan γωνία (gōnía) "sudut" atau "sudut ". Hal itu telah disarankan γόνυ (gónu) "knee" mungkin asal dari gon.[1]
Klasifikasi
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/Polygon_types.svg/300px-Polygon_types.svg.png)
Jumlah sisi
Poligon diklasifikasikan berdasarkan jumlah sisinya. Lihat tabel di bawah.
Konveksitas dan non-konveksitas
Poligon dapat dicirikan oleh konveksitas atau jenis non-konveksitasnya:
- Cembung: garis apa pun yang ditarik melalui poligon (dan tidak bersinggungan dengan tepi atau sudut) memenuhi batasnya tepat dua kali. Akibatnya, semua sudut interiornya kurang dari 180°. Secara ekivalen, setiap segmen garis dengan titik-titik ujung pada batas hanya melewati titik-titik interior di antara titik-titik ujungnya.
- Non-cembung: sebuah garis dapat ditemukan yang memenuhi batasnya lebih dari dua kali. Secara ekivalen, terdapat ruas garis antara dua titik batas yang melewati poligon.
- Sederhana: batas poligon tidak memotong dirinya sendiri. Semua poligon cembung sederhana.
- Cekung: Tidak cembung dan sederhana. Setidaknya ada satu sudut interior yang lebih besar dari 180°.
- Berbentuk bintang: keseluruhan interior terlihat dari setidaknya satu titik, tanpa melewati tepi apa pun. Poligon harus sederhana, dan mungkin cembung atau cekung. Semua poligon cembung berbentuk bintang.
- Tidak beraturan: batas poligon tidak beraturan. Istilah kompleks terkadang digunakan berbeda dengan sederhana, tetapi penggunaan ini berisiko menimbulkan kebingungan dengan gagasan poligon kompleks sebagai salah satu yang ada di bidang kompleks Hilbert yang terdiri dari dua kompleks.
- Poligon bintang: poligon tidak beraturan secara teratur. Poligon tidak boleh berbentuk bintang dan bintang.
Kesetaraan dan simetri
- Equiangular: semua sudut sudut sama.
- Berhubung dgn putaran: semua sudut terletak pada satu lingkaran, yang disebut sirkit.
- Isogonal atau simpul-transitif: semua sudut berada dalam orbit simetri yang sama. Poligon juga berbentuk siklik dan sama.
- Sama sisi: semua sisi memiliki panjang yang sama. Poligon tidak harus cembung.
- Tangensial: semua sisi bersinggungan dengan lingkaran bertuliskan.
- Isotoksal atau tepi-transitif: semua sisi berada dalam orbit simetri yang sama. Poligon juga sama sisi dan tangensial.
- Reguler: poligon tersebut adalah isogonal dan isotoxal. Secara ekuivalen, ini adalah siklik dan sama sisi, atau keduanya sama sisi dan sama dengan. Reguler non-cembung.
Miscellaneous
- Bujursangkar: sisi-sisi poligon bertemu pada sudut siku-siku, yaitu semua sudut interiornya 90 atau 270 derajat.
- Monoton terhadap garis tertentu L: setiap garis ortogonal ke L memotong poligon tidak lebih dari dua kali.
Properti dan rumus
Geometri euklides diasumsikan seluruhnya.
Sudut
Poligon apa pun memiliki banyak sudut karena memiliki banyak sisi. Setiap sudut memiliki beberapa sudut. Dua hal terpenting adalah:
- Sudut dalam – Jumlah dari sudut interior huruf n-gon adalah (n−2) π radian atau (n−2) × 180 derajat. Hal ini karena setiap sederhana n-gon (memiliki sisi n) dapat dianggap terdiri dari (n-2) segitiga, masing-masing memiliki jumlah sudut π radian atau 180 derajat. Ukuran setiap sudut interior cembung biasa n-gon adalah radian atau derajat. Sudut interior poligon bintang beraturan pertama kali dipelajari oleh Poinsot, dalam makalah yang sama di mana ia menjelaskan empat polihedra bintang biasa: sebagai -gon (a p-gon dengan kepadatan pusat q), setiap sudut interior radian atau derajat.[2]
- Sudut luar – Sudut eksterior adalah sudut tambahan ke sudut interior. Menelusuri sekitar cembung n-gon, sudut "belok" di suatu sudut adalah sudut luar atau luar. Menelusuri seluruh poligon membuat satu putaran penuh, jadi jumlah sudut luar harus 360 °. Argumen ini dapat digeneralisasikan menjadi poligon sederhana yang cekung, bila sudut luar yang berbelok ke arah berlawanan dikurangi dari total putaran. Menelusuri sekitar n-gon secara umum, jumlah dari sudut luar (jumlah total yang berputar pada simpul) dapat berupa kelipatan bilangan bulat d dari 360°, misalnya 720° untuk pentagram dan 0° untuk sudut "delapan" atau antiparallelogram, dengan d adalah massa jenis atau sifat poligon bintang. Lihat juga orbit (dinamika).
Luas
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/42/Polygon_vertex_labels.svg/320px-Polygon_vertex_labels.svg.png)
Pada bagian ini, simpul dari poligon yang sedang dipertimbangkan akan diambil dalam urutan. Untuk kemudahan dalam beberapa rumus, notasi (xn, yn) = (x0, y0) juga akan digunakan.
Jika poligon tidak berpotongan sendiri (yaitu, sederhana), tanda luas adalah
atau, menggunakan determinan
dimana adalah jarak kuadrat antara dan [3][4]
Luas bertanda tergantung pada urutan simpul dan orientasi dari bidang. Biasanya, orientasi positif ditentukan oleh rotasi (berlawanan arah jarum jam) yang memetakan positif x-sumbu ke positif y-sumbu. Jika simpul diurutkan berlawanan arah jarum jam (yaitu, menurut orientasi positif), luas yang ditandatangani positif; jika tidak, itu negatif. Dalam kedua kasus tersebut, rumus luasnya benar di nilai absolut. Hal tersebut biasanya disebut rumus tali sepatu atau rumus Surveyor.[5]
Luas L poligon sederhana juga dapat dihitung jika panjang sisinya, a1, a2, …, an dan sudut eksterior, θ1, θ2, …, θn diketahui, dari:
Rumusnya dijelaskan oleh Lopshits pada tahun 1963.[6]
Bila poligon dapat digambar pada grid yang berjarak sama sehingga semua simpulnya adalah titik grid, Teorema Pilih memberikan rumus sederhana untuk luas poligon berdasarkan jumlah interior: angka sebelumnya ditambah setengah angka terakhir, minus 1.
In every polygon with perimeter p and area A , the isoperimetric inequality holds.[7]
Untuk dua poligon sederhana yang luasnya sama, Teorema Bolyai–Gerwien menyatakan bahwa poligon pertama dapat dipotong menjadi potongan poligonal yang dapat dipasang kembali untuk membentuk poligon kedua.
Panjang sisi poligon secara umum tidak menentukan luasnya.[8] Namun, jika poligonnya siklik maka sisi menentukan luasnya.[9] .[10]
Poligon beraturan
Banyak rumus khusus yang diterapkan pada bidang poligon beraturan.
Luas poligon beraturan diberikan dalam radius r dari lingkaran tertulis dan kelilingnya p oleh
Jari-jari ini juga disebut apotema dan sering direpresentasikan sebagai a.
Luas beraturan n-gon dengan sisi yang tertulis dalam lingkaran satuan tersebut
Luas sebuah n-gon dalam hal jari-jari R dari lingkaran berbatas dan kelilingnya p diberikan oleh
Luas sebuah n beraturan-gon tertulis dalam lingkaran jari-jari satuan, dengan sisi s dan sudut interior juga dapat dinyatakan secara trigonometri sebagai
Centroid
Menggunakan konvensi yang sama untuk koordinat puncak seperti pada bagian sebelumnya, koordinat dari pusat massa dari poligon sederhana yang solid adalah
Dalam rumus ini, nilai area yang ditandatangani harus digunakan.
Generalisasi
Ide penemuan poligon telah digeneralisasikan dengan berbagai cara. Beberapa yang lebih penting termasuk:
- Poligon bola adalah rangkaian lingkaran besar (sisi) dan titik sudut pada permukaan bola. Hal ini memungkinkan digon, poligon yang hanya memiliki dua sisi dan dua sudut, yang tidak mungkin dilakukan pada bidang datar. Poligon bola memainkan peran penting dalam kartografi (pembuatan peta) dan dalam konstruksi Wythoff dari polihedra seragam.
- Poligon miring tidak terletak pada bidang datar, tetapi zigzag dalam tiga dimensi. Poligon Petrie dari politop biasa adalah contoh yang terkenal.
- Apeirogon adalah urutan sisi dan sudut tak hingga, yang tidak tertutup tetapi tidak memiliki ujung karena memanjang tanpa batas di kedua arah.
- Apeirogon miring adalah barisan sisi dan sudut tak hingga yang tidak terletak pada bidang datar.
- poligon kompleks adalah konfigurasi analog dengan poligon biasa, hanya ada dalam bidang kompleks dari dua bilangan riil.
- Poligon abstrak adalah bagian dari aljabar himpunan berurutan sebagian yang mewakili berbagai elemen (sisi, simpul, dll.) Dan konektivitasnya. Sebuah poligon geometris nyata dikatakan sebagai Deka-5-top dari poligon abstrak. Bergantung pada pemetaan, semua generalisasi yang dijelaskan di sini dapat direalisasikan.
- Polihedra adalah benda padat tiga dimensi yang dibatasi oleh permukaan poligonal datar, dianalogikan dengan poligon dalam dua dimensi. Bentuk yang sesuai dalam empat atau lebih dimensi disebut politop.[11] (Dalam konvensi lain, kata polyhedron dan politop digunakan dalam dimensi apa pun, dengan perbedaan antara keduanya bahwa sebuah politop harus dibatasi.[12])
Nama dan jenis
Poligon adalah dinamakan sesuai dengan jumlah tepi, bergabung satu dengan awalan angka dalam bahasa Yunani dengan akhiran -gon. Contoh pentagon, dodekagon. Segitiga, sisi empat, dan nonagon adalah pengecualian-pengecualian. Untuk nomor-nomor lebih besar, ahli matematika menulis angka sendiri, contoh 17-gon. Satu variabel dapat juga digunakan, biasanya n-gon. Ini adalah jika jumlah berguna untuk tepi adalah digunakan dalam satu rumus.
Artikel ini perlu diterjemahkan ke bahasa Indonesia. |
Nama | Bilangan sisi |
---|---|
henagon (atau monogon) | 1 |
digon | 2 |
segi tiga (atau trigon) | 3 |
segi empat (atau tetragon) | 4 |
segi lima (atau pentagon) | 5 |
heksagon (atau seksagon) | 6 |
heptagon (elakkan "septagon" = Latin [sept-] + Greek) | 7 |
oktagon | 8 |
nonagon (atau enneagon) | 9 |
dekagon | 10 |
hendekagon (elakkan "undekagon" = Latin [un-] + Greek) | 11 |
dodekagon (elakkan "duodekagon" = Latin [duo-] + Greek) | 12 |
tridekagon atau triskaidekagon (MathWorld) | 13 |
tetradekagon atau tetrakaidekagon interal angle approx 154.2857 degrees.(MathWorld) | 14 |
pentadekagon (atau quindekagon) atau pentakaidekagon | 15 |
heksadekagon atau heksakaidekagon | 16 |
heptadekagon atau heptakaidekagon | 17 |
oktadekagon atau oktakaidekagon | 18 |
enneadekagon atau enneakaidekagon atau nonadekagon | 19 |
ikosagon | 20 |
triakontagon | 30 |
tetrakontagon | 40 |
pentakontagon | 50 |
heksakontagon (MathWorld) | 60 |
heptakontagon | 70 |
oktakontagon | 80 |
nonakontagon | 90 |
hektagon (juga hektogon) (elakkan "sentagon" = Latin [cent-] + Greek) | 100 |
kiliagon | 1000 |
miriagon | 10,000 |
dekemiriagon | 100,000 |
hekatommiragon (atau dekatommiriagon) | 1,000,000 |
Penamaan poligon
Poligon yang memiliki sisi lebih dari 20 sisi dan kurang dari 100 sisi dinamakan dengan menggunakan kombinasi kata nama berikut:
Angka Puluh | dan | Angka Sa | Imbuhan Akhir | ||
---|---|---|---|---|---|
-kai- | 1 | -hena- | -gon | ||
20 | icosa- | 2 | -di- | ||
30 | triaconta- | 3 | -tri- | ||
40 | tetraconta- | 4 | -tetra- | ||
50 | pentaconta- | 5 | -penta- | ||
60 | hexaconta- | 6 | -hexa- | ||
70 | heptaconta- | 7 | -hepta- | ||
80 | octaconta- | 8 | -octa- | ||
90 | enneaconta- | 9 | -ennea- |
Contohnya, untuk poligon bersisi 42 akan dinamakan seperti berikut:
Angka puluh | dan | Angka sa | Imbuhan akhir | Nama penuh Poligon |
---|---|---|---|---|
tetraconta- | -kai- | -di- | -gon | tetracontakaidigon |
dan untuk objek bersisi 50
Angka Puluh | dan | Angka Sa | Imbuhan akhir | Nama penuh Poligon |
---|---|---|---|---|
pentaconta- | -gon | pentacontagon |
Namun begitu, poligon yang melebihi nonagons dan decagons, pakar matematika lebih gemar menggunakan angka notasi tersebut (misalnya, MathWorld memiliki artikel tentang 17-gons dan 257-gons).
Sejarah
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/26/Fotothek_df_tg_0003352_Geometrie_%5E_Dreieck_%5E_Viereck_%5E_Vieleck_%5E_Winkel.jpg/220px-Fotothek_df_tg_0003352_Geometrie_%5E_Dreieck_%5E_Viereck_%5E_Vieleck_%5E_Winkel.jpg)
Poligon telah dikenal sejak zaman dahulu. Poligon reguler diketahui orang sejak zaman Yunani kuno, dan pentagram, poligon beraturan yang tidak cembung (poligon bintang), muncul pada vas bunga Aristophonus, Caere, tertanggal abad-ke 7 Sebelum Masehi.[13][14]
Poligon tak-cembung secara umumnya belum dipelajari secara teratur sampai abas ke-14 oleh Thomas Bradwardine.[15]
Tahun 1952, Geoffrey Colin Shephard merampatkan idea tentang polygons ke bidang kompleks, di mana tiap dimensi real is disertai dengan dimensi imaginer, untuk membangun poligon kompleks.[16]
Referensi
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f8/Wiktionary-logo-en.svg/37px-Wiktionary-logo-en.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png)
- ^ Craig, John (1849). Sebuah teknologi etimologi universal baru, dan kamus pengucapan bahasa Inggris. Oxford University. hlm. 404. Extract of p. 404
- ^ Kappraff, Jay (2002). Luar biasa: tur berpemandu melintasi alam, mitos, dan angka. World Scientific. hlm. 258. ISBN 978-981-02-4702-7.
- ^ B.Sz. Nagy, L. Rédey: Eine Verallgemeinerung der Inhaltsformel von Heron. Publ. Math. Debrecen 1, 42–50 (1949)
- ^ Bourke, Paul (Juli 1988). "Menghitung Luas Dan Sentroid Poligon" (PDF). Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2012-09-16. Diakses tanggal 6 Feb 2013.
- ^ Bart Braden (1986). "Formula Luas Surveyor" (PDF). The College Mathematics Journal. 17 (4): 326–337. doi:10.2307/2686282. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2012-11-07.
- ^ A.M. Lopshits (1963). Perhitungan bidang angka berorientasi. translators: J Massalski and C Mills, Jr. D C Heath and Company: Boston, MA.
- ^ Dergiades, Nikolaos, "An elementary proof of the isoperimetric inequality", Forum Mathematicorum 2, 2002, 129–130.
- ^ Robbins, "Poligon tertulis dalam lingkaran," American Mathematical Monthly 102, June–July 1995.
- ^ Pak, Igor (2005). "Area poligon siklik: kemajuan terbaru pada dugaan Robbins". Advances in Applied Mathematics. 34 (4): 690–696. arXiv:math/0408104
. doi:10.1016/j.aam.2004.08.006. MR 2128993.
- ^ Chakerian, G. D. "Tampilan Geometri yang Terdistorsi." Ch. 7 in Plum Matematika (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Asosiasi Matematika Amerika, 1979: 147.
- ^ Coxeter (3rd Ed 1973)
- ^ Günter Ziegler (1995). "Kuliah tentang Politop". Springer Teks Pascasarjana dalam Matematika, ISBN 978-0-387-94365-7. p. 4.
- ^ Heath, Sir Thomas Little (1981), A History of Greek Mathematics, Volume 1, Courier Dover Publications, hlm. 162, ISBN 978-0-486-24073-2. Reprint of original 1921 publication with corrected errata. Heath uses the Latinized spelling "Aristophonus" for the vase painter's name.
- ^ http://en.museicapitolini.org/collezioni/percorsi_per_sale/museo_del_palazzo_dei_conservatori/sale_castellani/cratere_con_l_accecamento_di_polifemo_e_battaglia_navale Cratere with the blinding of Polyphemus and a naval battle] Diarsipkan 2013-11-12 di Wayback Machine., Castellani Halls, Capitoline Museum, accessed 2013-11-11. Two pentagrams are visible near the center of the image,
- ^ Coxeter, H.S.M.; Regular Polytopes, 3rd Edn, Dover (pbk), 1973, p.114
- ^ Shephard, G.C.; "Regular complex polytopes", Proc. London Math. Soc. Series 3 Volume 2, 1952, pp 82-97