Poligon

Berbagai macam poligon

Dalam geometri, poligon, segi banyak atau segi-n beraturan (secara literal "banyak sudut", dari Bahasa Yunani Kuno "poly" banyak + "gon" sudut) adalah bangun datar yang digambarkan dengan jumlah terhingga dari garis lurus yang terhubung, sehingga membentuk sebuah rantai poligonal (atau sirkuit poligonal) yang tertutup.

Etimologi

Kata poligon berasal dari kata sifat Yunani, πολύς (polús), berarti "banyak", dan γωνία (gōnía), berarti "sudut". Akan tetapi, ada yang mengatakan bahwa kata Yunani γόνυ (gónu), berarti "kaki", dapat berawal dari kata gon.

Penggolongan

Beberapa macam poligon yang lain

Jumlah sisi

Poligon digolongkan berdasarkan jumlah sisinya. Lihat tabel di bawah.

Konveksitas dan non-konveksitas

Poligon dapat dicirikan berdasarkan jenis konveksitas (kecembungan) atau non-konveksitas:

• Poligon konveks atau cembung: sebarang garis yang ditarik melalui poligon (dan tidak menyinggung sisi atau titik pojok) akan bertemu ke batas poligon, tepatnya dua. Akibatnya, semua sudut dalam kurang dari 180°. Dengan kata lain, untuk sebarang ruas garis dengan titik akhir di batas poligon, hanya akan melewati titik dalam di sekitar titik akhir.
• Poligon non-cembung: sebuah garis dapat ditemukan ketika bertemu ke batasnya lebih dari dua kali. Dengan kata lain, terdapat sebuah ruas garis di antara dua titik batas yang melalui poligon.
• Poligon sederhana: batas poligon tidak menyilang dirinya sendiri. Semua poligon cembung berbentuk sederhana.
• Poligon cekung: poligon yang non-cembung (tidak cembung) dan sederhana. Pada poligon ini, setidaknya ada satu buah sudut dalam yang lebih besar dari 180°.
• Poligon berbentuk bintang: seluruh titik dalam terlihat dan setidaknya ada satu buah, tanpa melewati sebarang sisi. Poligon harus berbentuk sederhana, serta dapat berbentuk cembung atau cekung. Selain itu, semua poligon cembung juga berbentuk bintang.
• Poligon tak berpotongan diri: batas poligon yang tidak memotong diri.
• Poligon bintang: poligon tidak beraturan secara teratur. Poligon tidak boleh berbentuk bintang dan bintang.

Kesetaraan dan simetri

• Poligon sama sudut: semua sudut di titik pojok adalah sama.
• Poligon sama sisi: semua sisi memiliki panjang yang sama.
• Poligon beraturan: sebuah poligon berarti mempunyai sudut dan sisi yang sama.
• Poligon siklik: semua sudut yang terletak di sebuah lingkaran yang disebut lingkaran luar.
• Poligon singgung: semua sisi bersinggungan dengan lingkaran bertuliskan.
• Isogonal: semua sudut berada di dalam orbit simetri yang sama. Poligon ini juga berbentuk siklik dan mempunyai sisi yang sama.
• Isotoksal: semua sisi berada di dalam orbit simetri yang sama. Poligon ini juga merupakan poligon singgung dan mempunyai sisi yang sama.

Lain-lain

• Poligon rektilinear: sisi-sisi poligon bertemu di sudut siku-siku, dalam artian bahwa semua sudut dalam bernilai 90° atau 270°.
• Poligon monoton terhadap garis $L$ yang diketahui: setiap garis ortogonal ke $L$ memotong poligon setidaknya dua kali.

Sifat-sifat dan rumus

Sudut

Segi-$n$ dibagi menjadi $n-2$ segitiga.

Sebarang poligon memiliki banyak sudut yang sama dengan banyaknya sisi. Masing-masing sudut di poligon memiliki beberapa sudut. Dua sudut yang terpenting, di antaranya:

• Sudut dalam – Jumlah dari sudut dalam segi-$n$ sederhana sama dengan $(n-2)\times \pi$ radian (atau dalam bentuk derajat, $(n-2)\times 180^{\circ }$). Ini dikarenakan sebarang segi-$n$ sederhana (poligon yang memiliki $n$ sisi) dapat dipandang mempunyai $n-2$ segitiga, sehingga jumlah dari masing-masing sudut sama dengan π radian atau 180 derajat. Ukuran dari sebarang sudut dalam dari segi-$n$ beraturan cembung bernilai $\left(1-{\tfrac {2}{n}}\right)\pi$ radian atau $180-{\tfrac {360}{n}}$ derajat. Sudut dalam dari poligon bintang beraturan pertama kali dipelajari oleh Poinsot. Pada makalah tersebut, Poinsot menjelaskan empat polihedron bintang beraturan sebagai berikut: untuk sebuah segi-${\tfrac {p}{q}}$(sebuah segi-$p$ dengan kepadatan pusat $q$), maka masing-masing sudut dalam bernilai ${\tfrac {\pi (p-2q)}{p}}$ radian atau ${\tfrac {180(p-2q)}{p}}$ derajat.
• Sudut luar – Sudut luar adalah sudut komplemen ke sudut dalam. Sudut luar adalah sebuah sudut yang "diputar" ketika menggambar garis di sekitar segi-$n$ cembung. Menelusuri seluruh poligon membuat satu putaran penuh, jadi jumlah sudut luar harus 360 °. Argumen ini dapat digeneralisasikan menjadi poligon sederhana yang cekung, bila sudut luar yang berbelok ke arah berlawanan dikurangi dari total putaran. Menelusuri sekitar segi-n secara umum, jumlah dari sudut luar (jumlah total yang berputar pada simpul) dapat berupa kelipatan bilangan bulat d dari 360°, misalnya 720° untuk pentagram dan 0° untuk sudut "delapan" atau antiparallelogram, dengan d adalah massa jenis atau sifat poligon bintang. Lihat juga orbit (dinamika).

Luas

Misalkan titik pojok dari poligon dinyatakan sebagai $(x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n-1},y_{n-1})$. Penggunaan notasi (x_n, y_n) = (x₀, y₀) juga akan dipakai.

Poligon sederhana

Artikel utama: Rumus tali sepatu

Koordinat dari poligon non-cembung.

Jika poligon tidak berpotongan diri (atau dengan kata lain, poligon tersebut sederhana), maka luas bertanda dirumuskan sebagai

$$A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})$$

dengan $x_{n}=x_{0}$ dan $y_{n}=y_{0}$. Luas dari poligon tersebut juga dapat menggunakan determinan$$16L^{2}=\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{n-1}{\begin{vmatrix}Q_{i,j}&Q_{i,j+1}\\Q_{i+1,j}&Q_{i+1,j+1}\end{vmatrix}},$$

dengan $Q_{i,j}$ adalah jarak kuadrat di antara titik $(x_{i},y_{i})$ dan $(x_{j},y_{j}).$

Luas bertanda bergantung pada orde dari titik pojok dan orde dari orientasi bidang. Secara umum, orientasi bernilai positif didefinisikan dengan memutar (ke lawan arah jarum jam) yang memetakan sumbu-$x$ positif ke sumbu-$y$ positif. Luas bertanda akan positif jika titik pojok diorde ke lawan arah jarum jam (dalam artian, berdasarkan orientasi bernilai positif), dan begitupula untuk kebalikannya, sehingga dengan demikian, rumus untuk luas poligon benar dalam nilai mutlak. Rumus ini umum dikenal sebagai rumus tali sepatu atau surveyor's formula (bahasa Indonesia: rumus surveyor).

Luas $L$ dari poligon sederhana juga dapat dihitung jika diketahui panjang sisi $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ dan sudut luar $\theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{n}$, dari

$$A={\frac {1}{2}}(a_{1}[a_{2}\sin(\theta _{1})+a_{3}\sin(\theta _{1}+\theta _{2})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]{}+a_{2}[a_{3}\sin(\theta _{2})+a_{4}\sin(\theta _{2}+\theta _{3})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]{}+\cdots +a_{n-2}[a_{n-1}\sin(\theta _{n-2})]).$$

Rumus ini dijelaskan oleh Lopshits pada tahun 1963.

Jika poligon dapat digambarkan di sebuah kisi yang berjarak sama, sehingga semua titik pojok adalah titik kisi, maka teorema Pick memberikan rumus sederhana untuk luas poligon berdasarkan jumlah titik kisi di dalam maupun di batas poligon, yang mengatakan: luas poligon sama dengan jumlah titik bilangan bulat di dalam poligon ditambah dengan setengah dari jumlah titik bilangan bulat di batas poligon, yang kemudian dikurangi 1.

Setiap poligon dengan keliling $p$ dan luas $A$, berlaku pertidaksamaan isoperimetrik $p^{2}>4\pi A$.

Untuk dua poligon sederhana yang luasnya sama, teorema Bolyai–Gerwien mengatakan bahwa poligon pertama dapat dipotong menjadi potongan poligonal yang dapat disatukan kembali untuk membentuk poligon kedua.

Poligon beraturan

Banyak rumus khusus yang diterapkan pada bidang poligon beraturan.

Luas poligon beraturan diberikan dalam radius r dari lingkaran tertulis dan kelilingnya p oleh

$L={\tfrac {1}{2}}\cdot p\cdot r.$

Jari-jari ini juga disebut apotema dan sering direpresentasikan sebagai a.

Luas beraturan n-gon dengan sisi yang tertulis dalam lingkaran satuan tersebut

$L={\frac {ns}{4}}{\sqrt {4-s^{2}}}.$

Luas sebuah n-gon dalam hal jari-jari R dari lingkaran berbatas dan kelilingnya p diberikan oleh

$L={\frac {R}{2}}\cdot p\cdot {\sqrt {1-{\tfrac {p^{2}}{4n^{2}R^{2}}}}}.$

Luas sebuah n beraturan-gon tertulis dalam lingkaran jari-jari satuan, dengan sisi s dan sudut interior $\alpha ,$ juga dapat dinyatakan secara trigonometri sebagai

$L={\frac {ns^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}={\frac {ns^{2}}{4}}\cot {\frac {\alpha }{n-2}}=n\cdot \sin {\frac {\pi }{n}}\cdot \cos {\frac {\pi }{n}}=n\cdot \sin {\frac {\alpha }{n-2}}\cdot \cos {\frac {\alpha }{n-2}}.$

Centroid

Menggunakan konvensi yang sama untuk koordinat puncak seperti pada bagian sebelumnya, koordinat dari pusat massa dari poligon sederhana yang solid adalah

$C_{x}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}),$

$C_{y}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}).$

Dalam rumus ini, nilai area yang ditandatangani $L$ harus digunakan.

Generalisasi

Ide penemuan poligon telah digeneralisasikan dengan berbagai cara. Beberapa yang lebih penting termasuk:

• Poligon bola adalah rangkaian lingkaran besar (sisi) dan titik sudut pada permukaan bola. Hal ini memungkinkan digon, poligon yang hanya memiliki dua sisi dan dua sudut, yang tidak mungkin dilakukan pada bidang datar. Poligon bola memainkan peran penting dalam kartografi (pembuatan peta) dan dalam konstruksi Wythoff dari polihedra seragam.
• Poligon miring tidak terletak pada bidang datar, tetapi zigzag dalam tiga dimensi. Poligon Petrie dari politop biasa adalah contoh yang terkenal.
• Apeirogon adalah urutan sisi dan sudut tak hingga, yang tidak tertutup tetapi tidak memiliki ujung karena memanjang tanpa batas di kedua arah.
• Apeirogon miring adalah barisan sisi dan sudut tak hingga yang tidak terletak pada bidang datar.
• poligon kompleks adalah konfigurasi analog dengan poligon biasa, hanya ada dalam bidang kompleks dari dua bilangan riil.
• Poligon abstrak adalah bagian dari aljabar himpunan berurutan sebagian yang mewakili berbagai elemen (sisi, simpul, dll.) Dan konektivitasnya. Sebuah poligon geometris nyata dikatakan sebagai Deka-5-top dari poligon abstrak. Bergantung pada pemetaan, semua generalisasi yang dijelaskan di sini dapat direalisasikan.
• Polihedra adalah benda padat tiga dimensi yang dibatasi oleh permukaan poligonal datar, dianalogikan dengan poligon dalam dua dimensi. Bentuk yang sesuai dalam empat atau lebih dimensi disebut politop. (Dalam konvensi lain, kata polyhedron dan politop digunakan dalam dimensi apa pun, dengan perbedaan antara keduanya bahwa sebuah politop harus dibatasi.)

Nama dan jenis

Poligon adalah dinamakan sesuai dengan jumlah tepi, bergabung satu dengan awalan angka dalam bahasa Yunani dengan akhiran -gon. Contoh pentagon, dodekagon. Segitiga, sisi empat, dan nonagon adalah pengecualian-pengecualian. Untuk nomor-nomor lebih besar, ahli matematika menulis angka sendiri, contoh 17-gon. Satu variabel dapat juga digunakan, biasanya n-gon. Ini adalah jika jumlah berguna untuk tepi adalah digunakan dalam satu rumus.

Nama poligon

Nama	Bilangan sisi
henagon (atau monogon)	1
digon	2
segi tiga (atau trigon)	3
segi empat (atau tetragon)	4
segi lima (atau pentagon)	5
heksagon (atau seksagon)	6
heptagon (elakkan "septagon" = Latin [sept-] + Greek)	7
oktagon	8
nonagon (atau enneagon)	9
dekagon	10
hendekagon (elakkan "undekagon" = Latin [un-] + Greek)	11
dodekagon (elakkan "duodekagon" = Latin [duo-] + Greek)	12
tridekagon atau triskaidekagon (MathWorld)	13
tetradekagon atau tetrakaidekagon interal angle approx 154.2857 degrees.(MathWorld)	14
pentadekagon (atau quindekagon) atau pentakaidekagon	15
heksadekagon atau heksakaidekagon	16
heptadekagon atau heptakaidekagon	17
oktadekagon atau oktakaidekagon	18
enneadekagon atau enneakaidekagon atau nonadekagon	19
ikosagon	20
triakontagon	30
tetrakontagon	40
pentakontagon	50
heksakontagon (MathWorld)	60
heptakontagon	70
oktakontagon	80
nonakontagon	90
hektagon (juga hektogon) (elakkan "sentagon" = Latin [cent-] + Greek)	100
kiliagon	1000
miriagon	10,000
dekemiriagon	100,000
hekatommiragon (atau dekatommiriagon)	1,000,000

Penamaan poligon

Poligon yang memiliki sisi lebih dari 20 sisi dan kurang dari 100 sisi dinamakan dengan menggunakan kombinasi kata nama berikut:

Angka Puluh		dan	Angka Sa		Imbuhan Akhir
		-kai-	1	-hena-	-gon
20	icosa-		2	-di-
30	triaconta-		3	-tri-
40	tetraconta-		4	-tetra-
50	pentaconta-		5	-penta-
60	hexaconta-		6	-hexa-
70	heptaconta-		7	-hepta-
80	octaconta-		8	-octa-
90	enneaconta-		9	-ennea-

Contohnya, untuk poligon bersisi 42 akan dinamakan seperti berikut:

Angka puluh	dan	Angka sa	Imbuhan akhir	Nama penuh Poligon
tetraconta-	-kai-	-di-	-gon	tetracontakaidigon

dan untuk objek bersisi 50

Angka Puluh	dan	Angka Sa	Imbuhan akhir	Nama penuh Poligon
pentaconta-			-gon	pentacontagon

Namun begitu, poligon yang melebihi nonagons dan decagons, pakar matematika lebih gemar menggunakan angka notasi tersebut (misalnya, MathWorld memiliki artikel tentang 17-gons dan 257-gons).

Sejarah

Gambar kuno poligon. (1699)

Poligon telah dikenal sejak zaman dahulu. Poligon reguler diketahui orang sejak zaman Yunani kuno, dan pentagram, poligon beraturan yang tidak cembung (poligon bintang), muncul pada vas bunga Aristophonus, Caere, tertanggal abad-ke 7 Sebelum Masehi.

Poligon tak-cembung secara umumnya belum dipelajari secara teratur sampai abas ke-14 oleh Thomas Bradwardine.

Tahun 1952, Geoffrey Colin Shephard merampatkan idea tentang polygons ke bidang kompleks, di mana tiap dimensi real is disertai dengan dimensi imaginer, untuk membangun poligon kompleks.