Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 01.4

$e$ alias bilangan Euler, adalah konstanta matematika yang nilai-nilainya kira-kira sama dengan 2,71828; dan dapat dicirikan dalam banyak cara. $e$ merupakan basis dari logaritma alami. Nilainya merupakan limit dari ${\textstyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$ ketika $n$ menuju takhingga, sebuah bentuk yang muncul dalam studi bunga majemuk. $e$ juga dapat dihitung sebagai jumlah deret takhingga:

e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots

$e$ juga merupakan bilangan positif tunggal $a$ sehingga grafik fungsi $y=a^{x}$ memiliki kemiringan 1 di $x=0$

Fungsi eksponensial (alami) $f(x)=e^{x}$ merupakan fungsi yang unik, dengan $f$ adalah turunan darinya sendiri dan memenuhi persamaan $f(0)=1$ ; karena itu $e$ juga didefinisikan sebagai $f(1)$ . Logaritma alami atau logaritma basis $e$ merupakan fungsi invers dari fungsi eksponensial alami. Logaritma alami dapat didefinisikan secara langsung sebagai luas di bawah kurva ${\textstyle y={\frac {1}{x}}}$ di antara $x=1$ dan $x=k$ (untuk $k>1$ ), dengan $e$ merupakan nilai dari $k$ sehingga luasnya sama dengan 1 (lihat gambar di samping). Ada berbagai pencirian lainnya.

$e$ terkadang disebut bilangan Euler (jangan bingun dengan konstanta Euler atau tetapan Euler), dinamai dari matematikawan Swiss Leonhard Euler, atau konstanta Napier atau tetapan Napier.^[1] Konstanta tersebut ditemukan oleh matematikawan Swiss Jacob Bernoulli saat sedang mempelajari bunga majemuk.^[2]^[3]

$e$ merupakan bilangan yang sangat penting dalam matematika, sama pentingnya dengan 0, 1, $π$ , dan $i$ .^[4] Kelima bilangan tersebut muncul dalam sebuah rumus yang disebut identitas Euler, memainkan serta mengulangi perannya dalam matematika.^[5]^[6] Sama seperti $π$ , $e$ adalah bilangan irasional (yaitu, bilangan yang tidak dapat direpresentasikan sebagai rasio bilangan bulat) dan bilangan transendental (yaitu, bilangan yang bukan merupakan akar dari suku banyak taknol dengan koefisien bilangan rasional).^[1] 50 digit dari nilai $e$ adalah:

2,71828182845904523536028747135266249775724709369995... (barisan A001113 pada OEIS).

Sejarah

Konstanta $e$ pertama kali berasal dari tabel apendiks yang memuat karya tentang logaritma oleh John Napier, yang diterbitkan pada tahun 1618. Namun tabel tersebut tidak memuat konstanta itu sendiri, melainkan hanya memuat sebuah daftar logaritma yang dihitung dari konstanta tersebut. Hal ini diasumsikan bahwa tabel apendiks tersebut ditulis oleh William Oughtred.^[3]

Penemuan konstanta itu sendiri dikaitkan dengan Jacob Bernoulli pada tahun 1683,^[7]^[8] yang mencoba mencari nilai dari bentuk ekspresi berikut (yang sama dengan $e$ ):

\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.

Penggunaan konstanta pertama kali ini, yang diwakili melalui huruf $b$ , merupakan isi surat dari Gottfried Leibniz kepada Christiaan Huygens pada tahun 1690 dan 1691.^[9] Leonhard Euler memperkenalkan huruf $e$ sebagai bilangan pokok logaritma alami, yang ditulis dalam surat kepada Christian Goldbach pada 25 November 1731.^[10]^[11] Euler mulai menggunakan huruf $e$ sebagai konstanta dalam sebuah makalah yang tidak diterbikan tentang gaya ledakan pada meriam pada akhir tahun 1727 atau awal tahun 1728,^[12] sementara $e$ pertama kali muncul dalam terbitan makalah Euler yang berjudul Mechanica (1736).^[13]

Penerapan

Bunga majemuk

Jacob Bernoulli menemukan konstanta ini pada tahun 1683, saat ia mempelajari pertanyaan tentang bunga majemuk:^[14]

Sebuah akun dimulai dengan $1.00 dan membayar 100 persen bunga per tahun. Jika bunganya dikredit sekali pada akhir tahun, maka harga akun pada akhir tahun akan bernilai $2.00. Apa yang terjadi jika bunganya dihitung dan dikreditkan lebih sering selama setahun?

Jika dianalisa bahwa bunga dikreditkan dua kali dalam setahun, maka kelajuan bunga selama 6 bulan adalah 50%, sehingga akun yang dimulai dengan $1 yang dikalikan dengan 1,5 sebanyak dua kali, menghasilkan $1.00 × 1.5² = $2.25 pada akhir tahun. Bunga majemuk triwulanan menghasilkan $1.00 × 1.25⁴ = $2.4414..., dan bunga majemuk bulanan menghasilkan $1.00 × (1 + 1/12)¹² = $2.613035… Jadi, jika ada $n$ interval pemajemukkan, maka bunga untuk setiap interval akan mencapai $100%/ n$ dan nilai pada akhir tahun akan mencapai $1.00 × $(1 + 1/ n) n$ .

Bernoulli memperhatikan bahwa barisan ini mendekati sebuah batas (laju bunga) dengan bilangan yang lebih besar $n$ dan interval pemajemukkan menjadi lebih kecil. Bunga majemuk mingguan ( $n = 52$ ) menghasilkan $2.692597..., sedangkan bunga majemuk harian ( $n = 365$ ) menghasilkan $2.714567... (kira-kira dua sen lebih). Ketika $n$ tumbuh menjadi besar, maka limit merupakan bilangan yang dikenal sebagai $e$ . Artinya, saat pemajemukan berlanjut, nilai akunnya akan mencapai $2.718281828.... Lebih umumnya, akun yang dimulai dari $1 dan menawarkan laju bunga tahunan $R$ setelah $t$ tahun akan menghasilkan $e Rt$ dolar dengan memajemukan berlanjut, dengan $R$ adalah bilangan ekuivalen desimal dari kelajuan bunga yang dinyatakan sebagai persentase; jadi untuk bunga 5%, $R = 5/100 = 0.05$ .

Percobaan Bernoulli

Bilangan $e$ juga mempunyai penerapan dalam teori probabilitas, namun agak berkaitan dengan pertumbuhan eksponensial. Misalkan ada seorang penjudi bermain mesin slot that pays out with a probability of one in $n$ and plays it $n$ times. Maka, peluang seorang penjudi akan kalah setiap bertaruh untuk bilangan besar $n$ kira-kira sama dengan $1/ e$ . Untuk $n = 20$ , peluangnya kira-kira sudah sama dengan 12,79.

Contoh di atas merupakan proses percobaan Bernoulli. Setiap kali penjudi bermain mesin slot, maka peluang untuk menang adalah satu per $n$ . Memainkan sebanyak $n$ kali dimodelkan dengan distribusi binomial, yang sangat berkaitan dengan teorema binomial dan segitiga Pascal. The probability of winning $k$ times out of n trials is:

{\binom {n}{k}}\left({\frac {1}{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n-k}.

Secara khusus, peluang menang sebanyak nol kali, dengan kata lain, $k = 0$ , sama dengan

\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}.

Limit dari ekspresi di atas, ketika $n$ menuju ke takhingga, tepat bernilai $1/ e$ .

Sebaran normal baku

Sebaran normal dengan rata-rata dan simpangan baku satuan bernilai nol dikenal sebagai sebaran normal baku, dinyatakan dengan fungsi kepadatan probabilitas

\phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.

Batas dari varians satuan (dan juga simpangan bakuan standar) menghaslikan $e$ yang dipangkatkan dengan 12, dan batas dari luas total satuan terhadap kurva $\phi (x)$ menghasilkan faktor dari $\textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}$ .^[bukti] Fungsi tersebut simetrik di sekitar $x = 0$ , yang mencapai nilai maksimum $\textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}$ serta mempunyai titik infleksi di $x = \pm1$ .

Peracakan

Asimtotik

Bilangan $e$ seringkali berhubungan dengan banyak masalah yang melibatkan asimtotik. Contohnya adalah rumus Stirling, rumus yang melibatkan fungsi faktorial secara asimotitk, dengan bilangan $e$ dan $π$ muncul pada rumus:

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.

Akibatnya,

e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}.

Dalam kalkulus

Nilai dari fungsi logaritma alami dari $e$ , yaitu $ln e$ , sama dengan $1.$

Alasan utama dalam memperkenalkan $e$ , khususnya dalam kalkulus, adalah menghitung kalkulus diferensial dari fungsi eksponensial dan integral dari logaritma.^[15] Umumnya, fungsi eksponensial $y=a^{x}$ memiliki turunan yang didefinisikan melalui limit:

{\frac {d}{dx}}a^{x}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}a^{h}-a^{x}}{h}}=a^{x}\cdot \left(\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}\right)

.

Limit yang dikurung pada ruas kanan bebas terhadap variabel $x$ . Nilai tersebut menjadi logaritma dari $a$ dengan basis $e$ . Jadi, ketika nilai $a$ adalah $e$ , nilai limitnya sama dengan 1, sehingga diperoleh identitas sederhana berikut:

{\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}

.

Karena itu, fungsi eksponensial dengan basis $e$ sangat cocok dalam kalkulus. Dengan memilih $e$ (sebagai lawan bilangan-bilangan lainnya yang merupakan basis fungsi eksponensial) dapat membuat perhitungan yang melibatkan turunan semakin lebih mudah.

Alasan lainnya berasal dari meninjau turunan dari logaritma basis $a$ (yaitu, $^{a}\!\log x$ ),^[16] untuk $x>0$ :

{\frac {d}{dx}}\,^{a}\!\log x=\lim _{h\to 0}{\frac {^{a}\!\log(x+h)-\,^{a}\!\log(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {^{a}\!\log(1+{\frac {h}{x}})}{x\cdot {\frac {h}{x}}}}={\frac {1}{x}}\,^{a}\!\log \left(\lim _{u\to 0}(1+u)^{\frac {1}{u}}\right)={\frac {1}{x}}\,^{a}\!\log e,

dengan ${\textstyle u={\frac {h}{x}}}$ . Logaritma basis $a$ dari $e$ sama dengan 1, bila $a$ sama dengan $e$ . Jadi secara simbolis,

{\frac {d}{dx}}\,^{e}\!\log x={\frac {1}{x}}

.

Logaritma dengan basis khusus ini disebut logaritma alami. Logaritma yang dilambangkan sebagai $ln$ ini berperilaku baik terhadap diferensiasi karena ia tidak mempunyai batas yang tidak menentukan saat melakukan perhitungan.

Jadi, ada dua cara dalam memilih bilangan khusus $a$ . Yang pertama adalah mencari solusi $a$ pada persamaan turunan dari fungsi eksponensial $a x$ sama dengan $a x$ , dan yang kedua adalah mencari solusi $a$ pada persamaan turunan dari logaritma basis $a$ sama dengan ${\textstyle {\frac {1}{x}}}$ . In each case, one arrives at a convenient choice of base for doing calculus. It turns out that these two solutions for $a$ are actually the same: the number $e$ .

Pencirian alternatif

Lima daerah yang berwarna merupakan luas yang sama. Lima daerah tersebut mendefinisikan satuan sudut hiperbolik di sepanjang grafik hiperbola $xy = 1$ .

Pencirian $e$ lainnya juga dapat berupa limit barisan, jumlah deret takhingga, dan pula berkaitan dengan kalkulus integral. Hingga kini, dua sifat (ekuivalen) berikut telah diperkenalkan:

Bilangan $e$ merupakan bilangan real positif tunggal sehingga ${\frac {d}{dt}}e^{t}=e^{t}$ .
Bilangan $e$ merupakan bilangan real positif tunggal sehingga ${\frac {d}{dt}}\,^{e}\!\log t={\frac {1}{t}}$ .

Empat pencirian lainnnya dapat dibuktikan menjadi setara:

Bilangan $e$ merupakan limit
$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

Atau (dengan misalkan $t={\tfrac {1}{n}})$ :

$e=\lim _{t\to 0}\left(1+t\right)^{\frac {1}{t}}$
Bilangan $e$ merupakan jumlah deret takhingga
$e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots$ ,
dimana $n!$ adalah faktorial dari $n$ .
Bilangan $e$ merupakan bilangan real positif tunggal sehingga
$\int _{1}^{e}{\frac {1}{t}}\,dt=1$ .
Jika $f(t)$ adalah fungsi eksponesial, maka kuantitas $\tau ={\tfrac {f(t)}{f'(t)}}$ adalah waktu konstanta (konstanta ini merupakan timbal-balik dari pertumbuhan eksponensial atau konstanta peluruhan). The time constant is the time it takes for the exponential function to increase by a factor of $e$ : <.

Sifat

Kalkulus

Seperti yang dijelaskan alasannya, fungsi eksponensial $e x$ merupakan bagian terpenting karena fungsi ini merupakan fungsi taktrivial tunggal. Fungsi ini merupakan turunan dari fungsi dari dirinya sendiri (beserta juga dengan perkalian konstanta):

{\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}

Oleh karena itu, fungsi eksponensial juga merupakan antiturunan dari fungsi dari dirinya sendiri:

\int e^{x}\,dx=e^{x}+C

.

Pertidaksamaan

Bilangan $e$ merupakan bilangan real tunggal sehingga

\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}<e<\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x+1}

untuk semua bilangan positif $x$ .^[17] Selain, terdapat pertidaksamaan

e^{x}\geq x+1

untuk semua bilangan real $x$ , dengan persamaan jika dan hanya jika $x = 0$ . Lebih lanjut, $e$ adalah bilangan pokok tunggal dari eksponensial dengan pertidaksamaan $a x \geq x + 1$ berlaku untuk semua $x$ .^[18] Pertidaksamaan ini merupakan kasus pembatasan dari pertidaksamaan Bernoulli.

Fungsi berupa eksponensial

Masalah Steiner adalah masalah yang bertanya mengenai pencarian nilai maksimum global untuk fungsi ${\textstyle f(x)=x^{\frac {1}{x}}}$ . Jawaban dari masalah tersebut adalah bahwa nilai maksimumnya tepat berada di $x = e$ , dengan nilai maksimumnya berupa bilangan yang tepat 20 angka desimal, yaitu 1,4446 6786 1009 7661 3365....

Pembuktiannya dimulai dari pertidaksamaan $e^{y}\geq y+1$ , yang dihitung di $y=(x-e)/e$ dan kemudian dengan menyederhanakannya memberikan pertidaksamaan $e^{x/e}\geq x$ . Jadi, $e^{1/e}\geq x^{1/x}$ untuk semua bilangan positif x.^[19]

Mirip dengan tadi, $x = 1/ e$ adalah nilai maksimum global yang terdapat di fungsi $f(x)=x^{x}$ , yang didefinisikan untuk bilangan positif $x$ . Lebih umumnya, untuk fungsi

f(x)=x^{x^{n}},

nilai maksimum global untuk bilangan positif $x$ terdapat di $x = 1/ e$ untuk setiap $n < 0$ , dan nilai minimum global terdapat di $x = e -1/ n$ untuk setiap $n > 0$ .

Selain itu, terdapat fungsi berupa eksponensial lainnya, yaitu tetrasi takhingga

x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}

atau

{^{\infty }}x

konvergen jika dan hanya jika $e - e \leq x \leq e 1/ e$ (atau kira-kira di antara nilai 0,0660 dan 1,4447), karena teorema Euler.^[20]

Teori bilangan

Bilangan real $e$ adalah bilangan irasional. Hal ini dibuktikan oleh Euler dengan memperlihatkan bahwa perluasan dari pecahan berlanjut sederhananya adalah takhingga.^[21] Adapula bukti Fourier bahwa $e$ adalah irasional.

Lebih lanjut, menurut teorema Lindemann–Weierstrass, $e$ adalah transendental, yang berarti bahwa bilangan tersebut tidak mempunyai solusi dari setiap persamaan polinomial takkonstan dengan koefisien bilangna rasional. Bilangan ini pertama kali terbukti transendental tanpa dibangun secara spesifik (bandingkan dengan bilangan Liouville); buktinya diberikan oleh Charles Hermite pada 1873.

$e$ diduga berupa bilangan normal, yang mengartikan bahwa ketika $e$ dinyatakan dalam basis manapun, maka digit di basis tersebut dapat tersebar secara menyeragam (occur with equal probability in any sequence of given length).

Bilangan kompleks

Fungsi eksponensial $e x$ dapat ditulis sebagai deret Taylor

e^{x}=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}

Karena deret Taylor konvergen untuk setiap nilai kompleks dari $x$ , biasanya deret tersebut dipakai untuk memperluas definisi $e x$ hingga bilangan kompleks. Melalui deret Taylor untuk fungsi sinus dan kosinus dari $x$ , hal ini memungkinkan bahwa rumus Euler diturunkan sebagai $e^{ix}=\cos x+i\sin x,$ yang berlaku untuk setiap kompleks $x$ . Adapun identitas Euler, sebuah kasus istimewa ketika $x = π$ :

e^{i\pi }+1=0,

from which it follows that, in the principal branch of the logarithm,

\ln(-1)=i\pi .

Furthermore, using the laws for exponentiation,

(\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx),

which is de Moivre's formula.

The expression

\cos x+i\sin x

is sometimes referred to as $cis(x)$ .

The expressions of $sin x$ and $cos x$ in terms of the exponential function can be deduced:

\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.

Persamaan diferensial

Representasi

Catatan

^ ^a ^b Weisstein, Eric W. "e". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-10.
^ Pickover, Clifford A. (2009). The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics (edisi ke-illustrated). Sterling Publishing Company. hlm. 166. ISBN 978-1-4027-5796-9. Extract of page 166
^ ^a ^b O'Connor, J J; Robertson, E F. "The number e". MacTutor History of Mathematics.
^ Kopp, Ekkehard (2020-10-23). Making up Numbers: A History of Invention in Mathematics (dalam bahasa Inggris). Open Book Publishers. hlm. 128. ISBN 978-1-80064-097-9.
^ Wilson, Robinn (2018). Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics (edisi ke-illustrated). Oxford University Press. hlm. (preface). ISBN 978-0-19-251405-9.
^ Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2004). Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number (edisi ke-illustrated). Prometheus Books. hlm. 68. ISBN 978-1-59102-200-8.
^ Jacob Bernoulli considered the problem of continuous compounding of interest, which led to a series expression for e. See: Jacob Bernoulli (1690) "Quæstiones nonnullæ de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum, propositi in Ephem. Gall. A. 1685" (Some questions about interest, with a solution of a problem about games of chance, proposed in the Journal des Savants (Ephemerides Eruditorum Gallicanæ), in the year (anno) 1685.**), Acta eruditorum, pp. 219–23. On page 222, Bernoulli poses the question: "Alterius naturæ hoc Problema est: Quæritur, si creditor aliquis pecuniæ summam fænori exponat, ea lege, ut singulis momentis pars proportionalis usuræ annuæ sorti annumeretur; quantum ipsi finito anno debeatur?" (This is a problem of another kind: The question is, if some lender were to invest [a] sum of money [at] interest, let it accumulate, so that [at] every moment [it] were to receive [a] proportional part of [its] annual interest; how much would he be owed [at the] end of [the] year?) Bernoulli constructs a power series to calculate the answer, and then writes: " … quæ nostra serie [mathematical expression for a geometric series] &c. major est. … si a=b, debebitur plu quam 2½a & minus quam 3a." ( … which our series [a geometric series] is larger [than]. … if a=b, [the lender] will be owed more than 2½a and less than 3a.) If a=b, the geometric series reduces to the series for a × e, so 2.5 < e < 3. (** The reference is to a problem which Jacob Bernoulli posed and which appears in the Journal des Sçavans of 1685 at the bottom of page 314.)
^ Carl Boyer; Uta Merzbach (1991). A History of Mathematics (edisi ke-2nd). Wiley. hlm. 419. ISBN 978-0-471-54397-8.
^ Leibniz, Gottfried Wilhelm (2003). "Sämliche Schriften Und Briefe" (PDF) (dalam bahasa Jerman). look for example letter nr. 6
^ Lettre XV. Euler à Goldbach, dated November 25, 1731 in: P.H. Fuss, ed., Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle … (Mathematical and physical correspondence of some famous geometers of the 18th century), vol. 1, (St. Petersburg, Russia: 1843), pp. 56–60, see especially p. 58. From p. 58: " … ( e denotat hic numerum, cujus logarithmus hyperbolicus est = 1), … " ( … (e denotes that number whose hyperbolic [i.e., natural] logarithm is equal to 1) … )
^ Remmert, Reinhold (1991). Theory of Complex Functions. Springer-Verlag. hlm. 136. ISBN 978-0-387-97195-7.
^ Euler, Meditatio in experimenta explosione tormentorum nuper instituta. Scribatur pro numero cujus logarithmus est unitas, e, qui est 2,7182817… (English: Written for the number of which the logarithm has the unit, e, that is 2,7182817...")
^ Leonhard Euler, Mechanica, sive Motus scientia analytice exposita (St. Petersburg (Petropoli), Russia: Academy of Sciences, 1736), vol. 1, Chapter 2, Corollary 11, paragraph 171, p. 68. From page 68: Erit enim ${\frac {dc}{c}}={\frac {dyds}{rdx}}$ seu $c=e^{\int {\frac {dyds}{rdx}}}$ ubi e denotat numerum, cuius logarithmus hyperbolicus est 1. (So it [i.e., c, the speed] will be ${\frac {dc}{c}}={\frac {dyds}{rdx}}$ or $c=e^{\int {\frac {dyds}{rdx}}}$ , where e denotes the number whose hyperbolic [i.e., natural] logarithm is 1.)
^ Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama OConnor2
^ Kline, M. (1998) Calculus: An intuitive and physical approach, section 12.3 "The Derived Functions of Logarithmic Functions.", pp. 337 ff, Courier Dover Publications, 1998, ISBN 0-486-40453-6
^ This is the approach taken by Kline (1998).
^ Dorrie, Heinrich (1965). 100 Great Problems of Elementary Mathematics. Dover. hlm. 44–48.
^ A standard calculus exercise using the mean value theorem; see for example Apostol (1967) Calculus, § 6.17.41.
^ Dorrie, Heinrich (1965). 100 Great Problems of Elementary Mathematics. Dover. hlm. 359.
^ Euler, L. "De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus." Acta Acad. Scient. Petropol. 2, 29–51, 1783. Reprinted in Euler, L. Opera Omnia, Series Prima, Vol. 6: Commentationes Algebraicae. Leipzig, Germany: Teubner, pp. 350–369, 1921. (facsimile)
^ Sandifer, Ed (Feb 2006). "How Euler Did It: Who proved $e$ is Irrational?" (PDF). MAA Online. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2014-02-23. Diakses tanggal 2010-06-18.

[:1-1] Weisstein, Eric W. "e". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-10.

[Pickover-2] Pickover, Clifford A. (2009). The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics (edisi ke-illustrated). Sterling Publishing Company. hlm. 166. ISBN 978-1-4027-5796-9. Extract of page 166

[OConnor-3] O'Connor, J J; Robertson, E F. "The number e". MacTutor History of Mathematics.

[4] Kopp, Ekkehard (2020-10-23). Making up Numbers: A History of Invention in Mathematics (dalam bahasa Inggris). Open Book Publishers. hlm. 128. ISBN 978-1-80064-097-9.

[5] Wilson, Robinn (2018). Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics (edisi ke-illustrated). Oxford University Press. hlm. (preface). ISBN 978-0-19-251405-9.

[6] Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2004). Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number (edisi ke-illustrated). Prometheus Books. hlm. 68. ISBN 978-1-59102-200-8.

[Bernoulli,_1690-7] Jacob Bernoulli considered the problem of continuous compounding of interest, which led to a series expression for e. See: Jacob Bernoulli (1690) "Quæstiones nonnullæ de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum, propositi in Ephem. Gall. A. 1685" (Some questions about interest, with a solution of a problem about games of chance, proposed in the Journal des Savants (Ephemerides Eruditorum Gallicanæ), in the year (anno) 1685.**), Acta eruditorum, pp. 219–23. On page 222, Bernoulli poses the question: "Alterius naturæ hoc Problema est: Quæritur, si creditor aliquis pecuniæ summam fænori exponat, ea lege, ut singulis momentis pars proportionalis usuræ annuæ sorti annumeretur; quantum ipsi finito anno debeatur?" (This is a problem of another kind: The question is, if some lender were to invest [a] sum of money [at] interest, let it accumulate, so that [at] every moment [it] were to receive [a] proportional part of [its] annual interest; how much would he be owed [at the] end of [the] year?) Bernoulli constructs a power series to calculate the answer, and then writes: " … quæ nostra serie [mathematical expression for a geometric series] &c. major est. … si a=b, debebitur plu quam 2½a & minus quam 3a." ( … which our series [a geometric series] is larger [than]. … if a=b, [the lender] will be owed more than 2½a and less than 3a.) If a=b, the geometric series reduces to the series for a × e, so 2.5 < e < 3. (** The reference is to a problem which Jacob Bernoulli posed and which appears in the Journal des Sçavans of 1685 at the bottom of page 314.)

[8] Carl Boyer; Uta Merzbach (1991). A History of Mathematics (edisi ke-2nd). Wiley. hlm. 419. ISBN 978-0-471-54397-8.

[9] Leibniz, Gottfried Wilhelm (2003). "Sämliche Schriften Und Briefe" (PDF) (dalam bahasa Jerman). look for example letter nr. 6

[10] Lettre XV. Euler à Goldbach, dated November 25, 1731 in: P.H. Fuss, ed., Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle … (Mathematical and physical correspondence of some famous geometers of the 18th century), vol. 1, (St. Petersburg, Russia: 1843), pp. 56–60, see especially p. 58. From p. 58: " … ( e denotat hic numerum, cujus logarithmus hyperbolicus est = 1), … " ( … (e denotes that number whose hyperbolic [i.e., natural] logarithm is equal to 1) … )

[11] Remmert, Reinhold (1991). Theory of Complex Functions. Springer-Verlag. hlm. 136. ISBN 978-0-387-97195-7.

[Meditatio-12] Euler, Meditatio in experimenta explosione tormentorum nuper instituta. Scribatur pro numero cujus logarithmus est unitas, e, qui est 2,7182817… (English: Written for the number of which the logarithm has the unit, e, that is 2,7182817...")

[13] Leonhard Euler, Mechanica, sive Motus scientia analytice exposita (St. Petersburg (Petropoli), Russia: Academy of Sciences, 1736), vol. 1, Chapter 2, Corollary 11, paragraph 171, p. 68. From page 68: Erit enim ${\frac {dc}{c}}={\frac {dyds}{rdx}}$ seu $c=e^{\int {\frac {dyds}{rdx}}}$ ubi e denotat numerum, cuius logarithmus hyperbolicus est 1. (So it [i.e., c, the speed] will be ${\frac {dc}{c}}={\frac {dyds}{rdx}}$ or $c=e^{\int {\frac {dyds}{rdx}}}$ , where e denotes the number whose hyperbolic [i.e., natural] logarithm is 1.)

[OConnor2-14] Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama OConnor2

[15] Kline, M. (1998) Calculus: An intuitive and physical approach, section 12.3 "The Derived Functions of Logarithmic Functions.", pp. 337 ff, Courier Dover Publications, 1998, ISBN 0-486-40453-6

[16] This is the approach taken by Kline (1998).

[17] Dorrie, Heinrich (1965). 100 Great Problems of Elementary Mathematics. Dover. hlm. 44–48.

[18] A standard calculus exercise using the mean value theorem; see for example Apostol (1967) Calculus, § 6.17.41.

[19] Dorrie, Heinrich (1965). 100 Great Problems of Elementary Mathematics. Dover. hlm. 359.

[20] Euler, L. "De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus." Acta Acad. Scient. Petropol. 2, 29–51, 1783. Reprinted in Euler, L. Opera Omnia, Series Prima, Vol. 6: Commentationes Algebraicae. Leipzig, Germany: Teubner, pp. 350–369, 1921. (facsimile)

[21] Sandifer, Ed (Feb 2006). "How Euler Did It: Who proved $e$ is Irrational?" (PDF). MAA Online. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2014-02-23. Diakses tanggal 2010-06-18.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]