Pengguna:Klasüo/bak pasir/khusus/1: Perbedaan antara revisi

Konten dihapus Konten ditambahkan

Sebaris

Revisi terkini sejak 18 April 2022 16.45

Dua kelompok sampai dua belas titik, menunjukkan bahwa bilangan komposit titik (4, 6, 8, 9, 10, dan 12) disusun menjadi persegi panjang sedangkan bilangan prima tidak — Bilangan komposit yang disusun menjadi persegi panjang sedangkan bilangan prima tidak

Sebuah bilangan prima (atau prima) adalah bilangan besar dari 1 yang bukan bagian produk dari dua bilangan kecil. Bilangan besar dari 1 bukanlah prima yang disebut bilangan gabungan. Misalnya, 5 adalah prima karena satu-satunya cara untuk menulisnya sebagai produk, $1\times 5$ atau $5\times 1$ , melibatkan 5 itu sendiri. Namun, 4 juga termasuk komposit karena merupakan produk ( $2\times 2$ ) yang dimana kedua bilangan tersebut adalah kecil dari 4. Bilangan prima adalah pusat dalam teori bilangan karena termasuk dalam teorema dasar aritmetika: setiap bilangan besar dari 1 adalah bilangan prima itu sendiri atau melakukan faktorisasi sebagai perkalian bilangan prima unik hingga pada urutannya.

Sifat yang menjadikan sebuah prima disebut primalitas. Metode sederhana namun lambat untuk memeriksa primalitas dari bilangan tertentu yaitu $n$ , disebut pembagian percobaan, menguji apakah $n$ adalah kelipatan dari sembarang bilangan bulat antara 2 dan ${\sqrt {n}}$ . Algoritma yang mencakup uji primalitas Miller–Rabin, yang cepat tetapi memiliki peluang kesalahan yang kecil, dan uji primalitas AKS, yang selalu menghasilkan jawaban yang benar dalam waktu polinomial tetapi sangat lambat untuk praktis. Metode yang cepat tersedia untuk sejumlah bentuk khusus, seperti bilangan Mersenne. Hingga Desember 2018^[update] Bilangan prima terbesar diketahui adalah bilangan prima Mersenne dengan 24.862.048 digit desimal.^[1]

Terdapat bilangan prima secara tak hingga, seperti yang ditunjukkan oleh Euklides sekitar 300 SM. Tidak ada rumus sederhana yang diketahui memisahkan bilangan prima dari bilangan komposit. Namun, distribusi bilangan prima dalam bilangan asli dalam jumlah besar dimodelkan secara statistik. Hasil pertama dari arah tersebut adalah teorema bilangan prima yang telah dibuktikan pada akhir abad ke-19, yang menyatakan bahwa probabilitas dari bilangan prima dipilih secara acak adalah proporsional berbanding balik dengan jumlah digitnya, yaitu logaritma.

Beberapa pertanyaan sejarah tentang bilangan prima masih belum terpecahkan. Hal ini termasuk dalam konjektur Goldbach, bahwa setiap bilangan bulat genap yang lebih besar dari 2 dapat dinyatakan sebagai jumlah dari dua bilangan prima, dan konjektur prima kembar, bahwa terdapat lebih pasangan bilangan prima yang memiliki satu bilangan genap diantara mereka. Pertanyaan-pertanyaan seperti itu mendorong pengembangan berbagai cabang teori bilangan, dengan fokus pada analitik atau aljabar aspek bilangan. Bilangan prima digunakan dalam beberapa rutinitas dalam teknologi informasi, seperti kriptografi kunci publik, yang bergantung pada kesulitan faktor bilangan besar menjadi faktor primanya. Dalam aljabar abstrak, objek yang berjalan secara umum seperti bilangan prima termasuk elemen prima dan ranah prima.

Definisi dan contoh-contohnya

Bilangan asli (1, 2, 3, 4, 5, 6, dll.) disebut juga bilangan prima (atau prima) jika bilangan tersebut lebih besar dari 1 dan tidak ditulis sebagai produk dari dua bilangan asli yang lebih kecil. Bilangan yang lebih besar dari 1 bukanlah prima yang disebut bilangan gabungan.^[2] Dengan kata lain, $n$ adalah prima jika $n$ yang tidak dapat dibagi menjadi kelompok-kelompok yang lebih kecil dengan ukuran yang sama dari satu item,^[3] atau jika tidak memungkinkan untuk menyusun $n$ pada titik menjadi kotak persegi panjang yang lebarnya lebih dari satu titik dan tingginya lebih dari satu titik.^[4] Misalnya, antara bilangan 1 sampai 6, bilangan 2, 3, dan 5 adalah bilangan prima,^[5] karena tidak ada bilangan lain yang membagi secara merata (tanpa sisa). 1 bukan prima, karena secara khusus dikecualikan dalam definisi. $4=2\times 2$ dan $6=2\times 3$ keduanya adalah komposit.

Pembagi dari bilangan asli $n$ adalah bilangan asli yang membagi $n$ secara merata. Setiap bilangan asli memiliki 1 dan dirinya sendiri sebagai pembagi. Jika memiliki pembagi lain, maka itu tidak bisa sebagai prima. Ide ini mengarah ke definisi yang berbeda tetapi setara dari bilangan prima: mereka adalah bilangan dengan tepat dua pembagi positif, 1, dan bilangan itu sendiri.^[6] Cara lain untuk menyatakan hal yang sama adalah bahwa suatu bilangan $n$ adalah prima jika lebih besar dari satu dan jika tidak satupun dari bilangan $2,3,\dots ,n-1$ membagi $n$ secara merata.^[7]

25 bilangan prima pertama (semua bilangan prima kurang dari 100) adalah:^[8]

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 (barisan A000040 pada OEIS).

Tidak, bilangan genap $n$ yang lebih besar dari 2 adalah prima karena bilangan sembarang dapat dinyatakan sebagai hasil kali $2\times n/2$ . Oleh karena itu, setiap bilangan prima selain 2 adalah bilangan ganjil, dan disebut sebagai prima ganjil.^[9] Demikian pula, ketika ditulis dalam sistem desimal biasa, semua bilangan prima yang lebih besar dari 5 diakhiri dengan 1, 3, 7, atau 9. Angka-angka yang diakhiri dengan digit lain semuanya komposit: bilangan desimal dengan hasil 0, 2, 4, 6, atau 8 adalah genap, dan bilangan desimal dengan hasil 0 atau 5 habis dibagi 5.^[10]

Himpunan dari semua bilangan prima terkadang dilambangkan dengan $\mathbf {P}$ (dengan huruf tebal kapital P)^[11] atau dengan $\mathbb {P}$ (dengan papan tulis tebal kapital P).^[12]

Sejarah

Papirus Matematika Rhind dari sekitar tahun 1550 SM, memiliki pecahan Mesir ekspansi bentuk yang berbeda untuk bilangan prima dan komposit.^[13] Namun, catatan pertama kali yang bertahan studi eksplisit bilangan prima berasal dari matematika Yunani kuno. Elemen dari Euklides (300 SM) membuktikan bilangan prima tak-hingga dan teorema dasar aritmetika, dan menunjukkan cara membuat bilangan sempurna dari prima Mersenne.^[14] Penemuan Yunani lainnya yaitu tapis Eratosthenes masih digunakan untuk menyusun daftar bilangan prima.^[15]^[16]

Sekitar 1000 M, matematikawan Islam Ibn al-Haytham (Alhazen) menemukan teorema Wilson dengan mencirikan bilangan prima sebagai bilangan $n$ yang membagi rata $(n-1)!+1$ . Ia juga menduga bahwa semua bilangan sempurna genap berasal dari konstruksi Euklides yang menggunakan bilangan prima Mersenne, tetapi tidak dapat membuktikannya.^[17] Matematikawan Islam lainnya, Ibn al-Banna' al-Marrakushi mengamati bahwa pitas Eratosthenes dapat dipercepat dengan menguji hanya pembagi hingga akar kuadrat dari bilangan terbesar yang akan diuji. Fibonacci membawa inovasi dari matematika Islam kembali ke Eropa. Liber Abaci (1202) dalam bukunya yang pertama mendeskripsikan pembagian percobaan untuk menguji primalitas, sekali lagi menggunakan pembagi hanya akar kuadrat hingga.^[16]

Pada tahun 1640 Pierre de Fermat menyatakan (tanpa pembuktian) teorema kecil Fermat, kemudian dibuktikan dengan Leibniz dan Euler).^[18] Fermat juga menyelidiki primalitas bilangan Fermat $2^{2^{n}}+1$ ,^[19] dan Marin Mersenne mempelajari prima Mersenne, bilangan prima dari bentuk $2^{p}-1$ dengan $p$ sendiri adalah bilangan prima.^[20] Christian Goldbach merumuskan konjektur Goldbach, bahwa setiap bilangan genap adalah jumlah dari dua bilangan prima, dalam surat tahun 1742 untuk Euler.^[21] Euler membuktikan konjektur Alhazen (yang saat ini teorema Euklides–Euler) bahwa semua bilangan sempurna genap dapat dibangun dari bilangan prima Mersenne.^[14] Ia memperkenalkan metode dari analisis matematis ke area ini dalam buktinya tentang ketakhinggaan bilangan prima dan divergensi jumlah kebalikan dari bilangan prima ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+\cdots$ .^[22] Pada awal abad ke-19, Legendre dan Gauss menduga bahwa sebagai $x$ cenderung tak-hingga, jumlah bilangan prima hingga $x$ adalah asimptotik hingga $x/\log x$ , dimana $\log x$ adalah logaritma alami dari $x$ . Konsekuensi lemah dari kerapatan bilangan prima tinggi adalah postulat Bertrand, bahwa untuk setiap $n>1$ terdapat bilangan prima diantara $n$ dan $2n$ yang dibuktikan pada tahun 1852 oleh Pafnuty Chebyshev.^[23] Gagasan Bernhard Riemann dalam karyanya 1859 makalah tentang fungsi-zeta membuat sketsa garis besar untuk membuktikan konjektur Legendre dan Gauss. Meskipun hipotesis Riemann yang terkait erat tetap tidak terbukti, garis besar Riemann diselesaikan pada tahun 1896 oleh Hadamard dan de la Vallée Poussin, dan hasilnya sekarang dikenal sebagai teorema bilangan prima.^[24] Hasil terpenting abad ke-19 lainnya adalah Teorema Dirichlet tentang barisan aritmetika, bahwa barisan aritmetika tertentu mengandung banyak bilangan prima ketakhinggaan.^[25]

Beberapa matematikawan telah melakukan uji primalitas untuk bilangan lebih besar dari bilangan penerapan uji pembagian. Metode batasan untuk bentuk bilangan tertentu termasuk uji Pépin untuk bilangan Fermat (1877),^[26] Proth's theorem (c. 1878),^[27] uji primalitas Lucas–Lehmer (dari tahun 1856), dan generalisasi uji primalitas Lucas.^[16]

Sejak tahun 1951, semua bilangan prima terbesar yang diketahui telah ditemukan menggunakan tes ini pada komputer.^[a] Pencarian bilangan prima besar telah membangkitkan minat pada luar lingkaran matematika, melalui Pencarian Utama Mersenne Internet Hebat dan proyek komputasi distribusi lainnya.^[8]^[29] Gagasan bahwa bilangan prima memiliki beberapa aplikasi diluar matematika murni,^[b] sekitar tahun 1970-an ketika kriptografi kunci publik dan RSA sistem kripto ditemukan dengan menggunakan bilangan prima sebagai basisnya.^[32]

Meningkatnya kepentingan praktis dari pengujian dan faktorisasi primalitas terkomputerisasi menyebabkan pengembangan metode menjadi lebih baik yang mampu menangani sejumlah besar bentuk ketakhinggaan.^[15]^[33]^[34] Teori matematika bilangan prima juga terus berkembang dengan teorema Green-Tao (2004) bahwa barisan aritmetika panjang yang cenderung dari bilangan prima, dan pembuktian pada tahun 2013 Yitang Zhang bahwa memiliki banyak uji celah prima ketakhinggaan.^[35]

Sifat dasar

Faktorisasi unik

Menulis bilangan sebagai produk bilangan prima disebut faktorisasi prima dari bilangan tersebut. Misalnya:

{\begin{aligned}34866&=2\cdot 3\cdot 3\cdot 13\cdot 149\\&=2\cdot 3^{2}\cdot 13\cdot 149.\end{aligned}}

istilah dalam produk tersebut disebut juga sebagai faktor prima. Faktor prima yang sama dapat muncul lebih dari sekali; contoh ini memiliki dua salinan faktor prima $3.$ Ketika bilangan prima muncul beberapa kali, eksponensial digunakan untuk pengelompokkan beberapa salinan dari bilangan prima yang sama: misalnya, dalam cara kedua penulisan produk atas, $3^{2}$ menunjukkan persegi atau pangkat kedua dari $3.$

Pentingnya pusat bilangan prima untuk teori bilangan dan matematika secara umum berasal dari teorema dasar aritmetika.^[36] Teorema ini menyatakan bahwa setiap bilangan bulat yang lebih besar dari 1 ditulis sebagai produk dari satu atau lebih bilangan prima. Secara sederhana, produk ini adalah unik dalam arti bahwa dua faktorisasi prima dari bilangan yang sama akan memiliki jumlah salinan yang sama dari bilangan prima yang sama, meskipun urutannya mungkin berbeda.^[37] Jadi, meskipun terdapat berbagai banyak cara yang berbeda untuk menemukan faktorisasi menggunakan algoritma faktorisasi bilangan bulat, semuanya adalah hasil yang sama. Dengan demikian bilangan prima menganggap sebagai "blok bangunan dasar" dari bilangan asli.^[38]

Beberapa bukti keunikan faktorisasi prima didasarkan pada lemma Euklides: Jika $p$ adalah bilangan prima dan $p$ membagi hasil kali $ab$ dari bilangan bulat $a$ dan $b,$ maka $p$ membagi $a$ atau $p$ membagi $b$ (atau keduanya).^[39] Sebaliknya, jika suatu bilangan $p$ memiliki sifat bahwa ketika membagi produk selalu membagi setidaknya satu faktor dari produk, maka $p$ adalah prima.^[40]

Jumlah tak hingga

Cara lain untuk mengatakan urutannya adalah

2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

bilangan prima tak-akhir. Pernyataan ini disebut sebagai teorema Euklides untuk menghormati matematikawan Yunani kuno Euklides, sejak bukti pertama yang diketahui untuk pernyataan yang dikaitkan dengan dia. Banyak lagi bukti bilangan prima tak hingga yang diketahui, termasuk bukti analitis oleh Euler, bukti Goldbach berdasarkan bilangan Fermat,^[41] bukti menggunakan topologi umum Furstenberg,^[42] and Kummer's elegant proof.^[43]

Bukti Euclid^[44] menunjukkan bahwa setiap daftar hingga dari bilangan prima tak-lengkap. Ide kuncinya adalah mengalikan bilangan prima dalam daftar yang diberikan dan menambahkan $1.$ Jika daftar tersebut terdiri dari bilangan prima $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n},$ maka diberikan bilangan

N=1+p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{n}.

Berdasarkan teorema dasar, $N$ memiliki faktorisasi prima

N=p'_{1}\cdot p'_{2}\cdots p'_{m}

dengan satu atau lebih dari faktor prima. Maka, $N$ habis dibagi nilai rata-rata oleh faktor ini, tetapi $N$ memiliki sisa satu ketika dibagi dengan salah satu bilangan prima dalam daftar yang diberikan, jadi tidak ada faktor prima $N$ yang ada pada daftar yang diberikan. Karena tidak ada daftar hingga dari semua bilangan prima, pasti ada banyak bilangan prima.

Bilangan yang dibentuk dengan menjumlahkan satu ke hasil kali bilangan prima terkecil disebut bilangan Euklides.^[45] Lima bagian pertama adalah bilangan prima, namun untuk bagian keenam

1+{\big (}2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13{\big )}=30031=59\cdot 509,

adalah bilangan komposit.

Rumus bilangan prima

Tidak ada rumus efisien yang diketahui untuk bilangan prima. Misalnya, tidak ada polinomial non-konstan, bahkan dalam beberapa variabel mengambil hanya bilangan prima.^[46] Namun, ada banyak ekspresi yang mengkodekan semua bilangan prima atau hanya bilangan prima. Satu rumus yang mungkin didasarkan pada teorema Wilson dan menghasilkan angka 2 berkali-kali dan semua bilangan prima lainnya tepat.^[47] Ada pula satu himpunan persamaan Diophantine dalam sembilan variabel dan satu parameter dengan sifat berikut: parameter bilangan prima jika dan hanya jika sistem persamaan yang dihasilkan memiliki solusi atas bilangan asli. Hal ini digunakan untuk mendapatkan rumus tunggal dengan sifat bahwa semua nilai "positif" adalah prima.^[46]

Contoh lain dari rumus pembangkit-prima berasal dari teorema Mills dan teorema Wright. Maka ini menegaskan bahwa terdapat konstanta real $A>1$ dan $\mu$ sedemikian rupa, sehingga

\left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor {\text{ dan }}\left\lfloor 2^{\cdots ^{2^{2^{\mu }}}}\right\rfloor

adalah prima untuk sembarang bilangan asli $n$ dalam rumus pertama, dan sembarang bilangan eksponen dalam rumus kedua.^[48] Sehingga $\lfloor {}\cdot {}\rfloor$ mewakili fungsi lantai, bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan bilangan yang dimaksud. Namun, hal ini justru tidak berguna untuk menghasilkan bilangan prima, karena bilangan prima harus dibangkitkan terlebih dahulu untuk menghitung nilai $A$ atau $\mu .$ ^[46]

Pertanyaan terbuka

Banyak konjektur tentang bilangan prima telah diajukan. Seringkali memiliki rumus dasar, banyak dari konjektur ini telah bertahan selama beberapa dekade: keempat masalah Landau dari tahun 1912 masih belum terpecahkan.^[49] Salah satunya adalah konjektur Goldbach yang menyatakan bahwa setiap bilangan bulat genap $n$ lebih besar dari 2 ditulis sebagai jumlah dari dua bilangan prima.^[50] Hingga 2014^[update], Konjektur ini telah diverifikasi untuk semua bilangan hingga $n=4\cdot 10^{18}.$ ^[51] Pernyataan yang lebih lemah dari ini telah dibuktikan, misalnya teorema Vinogradov yang menyatakan bahwa setiap bilangan bulat ganjil besar dapat ditulis sebagai jumlah dari tiga bilangan prima.^[52] Teorema Chen menyatakan bahwa setiap bilangan genap besar dapat dinyatakan sebagai jumlah dari suatu bilangan prima dan semiprima (perkalian dari dua bilangan prima).^[53] Juga, bilangan bulat genap lebih besar dari 10 dapat ditulis sebagai jumlah dari enam bilangan prima.^[54] Cabang teori bilangan yang mempelajari pertanyaan semacam itu disebut teori bilangan aditif.^[55]

Jenis masalah lain menyangkut celah prima, perbedaan antara bilangan prima berurutan. Adanya celah prima besar secara sembarang dapat dilihat dengan memperhatikan bahwa barisan $n!+2,n!+3,\dots ,n!+n$ terdiri dari $n-1$ bilangan komposit, untuk sembarang bilangan asli $n.$ ^[56] However, large prime gaps occur much earlier than this argument shows.^[57] Misalnya, celah prima pertama dengan panjang 8 adalah antara bilangan prima 89 dan 97,^[58] jauh lebih kecil dari $8!=40320.$ Diduga ada banyak sekali prima kembars, pasangan bilangan prima dengan selisih 2; ini adalah konjektur prima kembar. Konjektur Polignac menyatakan secara lebih umum bahwa untuk setiap bilangan bulat positif $k,$ ada tak hingga banyak pasangan bilangan prima berurutan yang berbeda $2k.$ ^[59] Konjektur Andrica,^[59] Brocard's conjecture,^[60] Legendre's conjecture,^[61] and Oppermann's conjecture^[60] semua menyarankan bahwa jarak terbesar antara bilangan prima dari $1$ hingga $n$ paling banyak kira-kira ${\sqrt {n}},$ hasil yang diketahui mengikuti hipotesis Riemann, sedangkan konjektur Cramér lebih bertahan menetapkan ukuran celah terbesar pada $O((\log n)^{2}).$ ^[59] Celah prima digeneralisasikan ke rangkap- $k$ prima, pola selisih antara lebih dari dua bilangan prima. Ketakhinggaan dan kepadatan mereka adalah subjek dari konjektur Hardy–Littlewood, yang dapat dimotivasi oleh heuristik bahwa bilangan prima berperilaku serupa dengan barisan bilangan acak dengan kerapatan yang diberikan oleh teorema bilangan prima.^[62]

Sifat analitik

Teori bilangan analitik mempelajari teori bilangan melalui lensa fungsi kontinu, limit, deret tak hingga, dan matematika terkait dari tak hingga dan infinitesimal.

Bidang studi ini dimulai dengan Leonhard Euler dan hasil besar pertamanya, solusi untuk masalah Basel. Soal menanyakan nilai jumlah tak hingga $1+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{16}}+\dots ,$ yang biasanya dikenali sebagai nilai $\zeta (2)$ dari fungsi Riemann zeta. Fungsi ini terkait erat dengan bilangan prima dan salah satu masalah paling signifikan yang belum terpecahkan dalam matematika, hipotesis Riemann. Euler menunjukkan bahwa $\zeta (2)=\pi ^{2}/6$ .^[63] Kebalikan dari bilangan $6/\pi ^{2}$ adalah peluang limit bahwa dua bilangan acak yang dipilih secara seragam dari rentang yang besar adalah relatif prima (tidak memiliki faktor).^[64]

Distribusi bilangan prima dalam besar, seperti pertanyaan berapa banyak bilangan prima lebih kecil dari ambang besar yang diberikan, dijelaskan oleh teorema bilangan prima, tetapi tidak ada rumus untuk bilangan prima ke- $n$ yang memiliki efisien yang diketahui. Teorema Dirichlet pada barisan aritmetika dalam bentuk dasarnya menyatakan bahwa polinomial linear

p(n)=a+bn

dengan bilangan bulat relatif prima $a$ dan $b$ mengambil banyak nilai prima tak-hingga. Bentuk teorema lebih bertahan menyatakan bahwa jumlah kebalikan dari nilai-nilai prima ini adalah pembagian, dan polinomial linear berbeda dengan $b$ yang sama memiliki proporsi bilangan prima yang kira-kira sama. Meskipun konjektur telah dirumuskan tentang proporsi bilangan prima dalam polinomial tingkat tinggi mereka tetap tidak terbukti, dan tidak diketahui apakah polinomial kuadrat (untuk argumen bilangan bulat) adalah bilangan prima tak-hingga.

Bukti analitik teorema Euklides

Bukti Euler bahwa ada banyak bilangan prima yang mempertimbangkan jumlah kebalikan dari bilangan prima

{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {1}{p}}.

Euler menunjukkan bahwa untuk nilai sembarang bilangan real $x$ , menunjukkan sebuah bilangan prima $p$ yang jumlahnya lebih besar dari $x$ . ^[65] Hal tersebut menunjukkan bahwa ada banyak bilangan prima karena ada banyak bilangan prima, jumlah tersebut akan mencapai nilai maksimumnya pada bilangan prima terbesar dari setiap melewati $x$ . Tingkat pertumbuhan jumlah dapat dijelaskan lebih tepat oleh teorema kedua Mertens.^[66] Sebagai perbandingan, jumlah

{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}

tidak tumbuh secara ketakhinggaan apabila $n$ menjadi sebagai ketakhinggaan (lihat masalah Basel). Dalam pengertian ini, bilangan prima sering muncul dibandingkan bilangan kuadrat asli, meskipun kedua himpunan tersebut adalah ketakhinggaan.^[67] Teorema Brun menyatakan bahwa jumlah kebalikan dari prima kembar

\left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots

merupakan berhingga, karena teorema Brun tidak mungkin menggunakan metode Euler untuk menyelesaikan konjektur prima kembar, bahwa masih ada banyak bilangan prima kembar ketakhinggaan.^[67]

Jumlah bilangan prima bawah batas yang diberikan

Fungsi pencacahan prima $\pi (n)$ didefinisikan sebagai jumlah bilangan prima tidak lebih besar dari $n$ .^[68] Misalnya $\pi (11)=5$ , karena ada lima bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan 11. Metode yang seperti algoritma Meissel–Lehmer menghitung nilai eksak $\pi (n)$ lebih cepat dibandingkan untuk membuat daftar setiap bilangan prima hingga $n$ .^[69] Teorema bilangan prima menyatakan bahwa $\pi (n)$ adalah asimtotik pada $n/\log n$ yang dinotasikan sebagai

\pi (n)\sim {\frac {n}{\log n}},

dan berarti rasio $\pi (n)$ terhadap pecahan kanan pendekatan 1 ketika $n$ bertambah secara ketakhinggaan.^[70] Hal ini disebutkan bahwa kemungkinan bahwa bilangan yang dipilih secara acak kurang dari $n$ adalah bilangan prima (kurang-lebih) berbanding kebalikan dengan jumlah digit dalam $n$ .^[71] Hal tersebut juga menyebutkan bahwa bilangan prima ke- $n$ berbanding dengan $n\log n$ ^[72] dan oleh karena itu ukuran rata-rata celah prima berbanding dengan $\log n$ .^[57] Estimasi yang akurat untuk $\pi (n)$ diberikan oleh ofset logaritmik integral^[70]

\pi (n)\sim \operatorname {Li} (n)=\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\log t}}.

Barisan aritmetika

Sebuah barisan aritmetika adalah barisan bilangan berhingga atau ketakhinggaan sehingga bilangan-bilangan berurutan dalam barisan tersebut semuanya memiliki selisih yang sama.^[73] Perbedaan ini disebut modulus dari barisan.^[74] Misalnya,

3, 12, 21, 30, 39, ...,

yang adalah barisan aritmetika ketakhinggaan dengan modulus 9. Dalam barisan aritmetika, semua bilangan memiliki sisa yang sama jika dibagi dengan modulus; contohnya, sisanya adalah 3. Karena modulus 9 dan sisanya 3 adalah kelipatan 3, demikian pula setiap elemen dalam barisan. Oleh karena itu, barisan ini hanya berisi satu bilangan prima, 3 itu sendiri. Secara umum, barisan ketakhinggaan-nya

a,a+q,a+2q,a+3q,\dots

memiliki lebih dari satu bilangan prima hanya bila sisa $a$ dan modulus $q$ relatif prima. Apabila mereka relatif prima, teorema Dirichlet tentang barisan aritmatika menyatakan bahwa barisan tersebut memiliki banyak bilangan prima.^[75]

Bilangan prima dalam barisan aritmetika mod 9.

Bilangan prima dalam barisan aritmetika modulo 9. Setiap baris pita horizontal tipis menunjukkan salah satu dari sembilan kemungkinan barisan mod 9 dengan bilangan prima ditandai dengan warna merah. Barisan bilangan 0, 3, atau 6 mod 9 mengandung paling banyak satu bilangan prima (bilangan 3); sisa barisan bilangan 2, 4, 5, 7, dan 8 mod 9 memiliki banyak bilangan prima, dengan bilangan prima yang sama pada setiap barisannya

Teorema Green–Tao menunjukkan bahwa ada barisan aritmetika berhingga yang panjangnya terdiri dari bilangan prima.^[35]^[76]

Nilai bilangan prima polinomial pada kuadrat

Euler mencatat bahwa fungsi

n^{2}-n+41

menghasilkan bilangan prima untuk $1\leq n\leq 40$ , meskipun bilangan komposit muncul antara nilai-nilai selanjutnya.^[77]^[78] Pencarian penjelasan untuk fenomena ini mengarah pada teori bilangan aljabar yang mendalam dari bilangan Heegner dan masalah bilangan kelas.^[79] Konjektur F Hardy-Littlewood memprediksi kerapatan bilangan prima antara nilai-nilai polinomial kuadrat dengan bilangan bulat koefisien dalam hal integral logaritmik dan polinomial. Tidak ada polinomial kuadrat yang terbukti memiliki banyak nilai prima secara ketakhinggaan.^[80]

Spiral Ulam mengatur bilangan asli dalam kisi dua dimensi, berputar dalam kotak konsentris biasanya mengelilingi asal dengan bilangan prima yang disorot. Secara visual, bilangan prima tampak mengelompokkan pada diagonal tertentu dan bukan pada diagonal lainnya, hal itu menunjukkan bahwa beberapa polinomial kuadrat mengambil nilai prima lebih sering dibanding yang lainnya.^[80]

Fungsi Zeta dan hipotesis Riemann

Salah satu pertanyaan tak terpecahkan paling terkenal dalam matematika berasal dari tahun 1859, dan salah satunya dari Masalah Hadiah Milenium adalah Hipotesis Riemann yang dimana nol dari fungsi Riemann zeta $\zeta (s)$ berada. Fungsi ini adalah fungsi analitik pada bilangan kompleks. Untuk bilangan kompleks $s$ dengan bagian real lebih besar dari satu sama dengan jumlah ketakhinggaan pada semua bilangan bulat dan darab ketakhinggaan atas bilangan prima

\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prima}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}.

Kesetaraan antara jumlah dan darab ditemukan oleh Euler yang disebut juga darab Euler.^[81] Darab Euler dapat ditentukan dari teorema dasar aritmetika dan menunjukkan relasi erat antara fungsi zeta dan bilangan prima.^[82] Hal ini pula mengarah pada bukti lain bahwa banyak bilangan prima berhingga: jikalau memiliki banyak berhingga, maka persamaan jumlah-darb juga akan berlaku pada $s=1$ , tetapi jumlahnya akan berbeda (deret harmonik $1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\dots$ ) ketika darab berhingga kontradiksi.^[83]

Hipotesis Riemann menyebutkan bahwa fungsi-zeta nol dari semua adalah bilangan genap negatif atau bilangan kompleks dengan bagian real sama dengan 1/2.^[84] Bukti sebenarnya dari teorema bilangan prima pada dasarnya adalah bentuk lemah dari hipotesis, namun tidak ada nol dengan bagian real sama dengan 1,^[85]^[86] meskipun bukti lain yang lebih mendasar telah ditemukan.^[87] Fungsi hitung bilangan prima disebutkan dengan rumus eksplisit Riemann sebagai jumlah yang dimana setiap suku berasal dari salah satu nol dari fungsi zeta, suku utama dari jumlah ini adalah integral logaritma dan suku-suku tersebut lainnya menghasilkan jumlah berfluktuasi atas dan bawah suku utama.^[88] Dalam pengertian ini, nol mengontrol beberapa bilangan prima reguler distribusi. Apabila hipotesis Riemann tersebut benar, maka fluktuasi akan kecil dan distribusi asimtotik bilangan prima yang diberikan oleh teorema bilangan prima juga bertahan pada interval yang jauh lebih pendek (panjangnya sekitar akar kuadrat dari $x$ untuk interval yang dekat dengan bilangan $x$ ).^[86]

Abstract algebra

Aritmetika modular dan Medan berhingga

Aritmetika modular memodifikasi aritmetika biasa, hanya saja dengan menggunakan bilangan $\{0,1,2,\dots ,n-1\}$ untuk bilangan asli $n$ yang disebut modulus. Bilangan asli lainnya dapat dipetakan ke dalam sistem ini dengan menggantinya dengan sisa setelah pembagian dengan $n$ .^[89] Jumlah, pembeda, dan darab modular dihitung dengan melakukan penggantian yang sama dengan sisa hasil penjumlahan, selisih, atau perkalian bilangan bulat biasa.^[90] Kesamaan bilangan bulat sesuai dengan kongruensi dalam aritmetika modular: $x$ dan $y$ adalah kongruen (ditulis $x\equiv y$ mod $n$ ) ketika mereka memiliki sisa yang sama setelah dibagi dengan $n$ .^[91] Namun, dalam sistem bilangan ini, pembagian dengan semua bilangan bukan nol dimungkinkan jika dan hanya jika modulusnya adalah prima. Misalnya, dengan bilangan prima $7$ sebagai modulus, pembagian dengan $3$ adalah dimungkinkan: $2/3\equiv 3{\bmod {7}}$ karena kemungkinan menghapus penyebut dengan mengalikan kedua ruas dengan $3$ diberikan rumus yang valid $2\equiv 9{\bmod {7}}$ . Namun, dengan modulus komposit $6$ , pembagian dengan $3$ adalah hal mustahil. Tidak ada solusi yang valid untuk $2/3\equiv x{\bmod {6}}$ : menghapus penyebut dengan mengalikan dengan $3$ menyebabkan ruas kiri menjadi $2$ sedangkan ruas kanan menjadi $0$ atau $3$ . Dalam terminologi aljabar abstrak, kemampuan untuk melakukan pembagian berarti bahwa modulo aritmatika modular bilangan prima membentuk medan atau medan berhingga, sedangkan modulus lainnya hanya memberikan gelanggang tetapi bukan sebuah medan.^[92]

Beberapa teorema tentang bilangan prima dirumuskan menggunakan aritmetika modular. Misalnya, teorema kecil Fermat menyatakan bahwa jika $a\not \equiv 0$ (mod $p$ ), maka $a^{p-1}\equiv 1$ (mod $p$ ).^[93] Menjumlahkan dari semua pilihan $a$ diberikan persamaan

\sum _{a=1}^{p-1}a^{p-1}\equiv (p-1)\cdot 1\equiv -1{\pmod {p}},

valid jika $p$ adalah bilangan prima. Konjektur Giuga menyebutkan bahwa persamaan ini juga merupakan syarat yang cukup untuk $p$ menjadi prima.^[94] Teorema Wilson menyebutkan bahwa sebuah bilangan bulat $p>1$ adalah bilangan prima jika dan hanya jika faktorial $(p-1)!$ kongruen dengan $-1$ mod $p$ . Untuk bilangan $\;n=r\cdot s\;$ ini tidak berlaku, karena salah satu faktornya membagi $n$ dan $(n-1)!$ , dan jadi $(n-1)!\equiv -1{\pmod {n}}$ adalah hal mustahil.^[95]

Bilangan p-adik

Urutan $p$ -adik $\nu _{p}(n)$ dari sebuah bilangan bulat $n$ adalah jumlah salinan dari $p$ dalam faktorisasi prima dari $n$ . Konsep yang sama diperluas dari bilangan bulat ke bilangan rasional dengan mendefinisikan urutan $p$ -adik dari pecahan $m/n$ menjadi $\nu _{p}(m)-\nu _{p}(n)$ . Nilai absolut $p$ -adik $|q|_{p}$ dari sembarang bilangan rasional $q$ kemudian didefinisikan sebagai $|q|_{p}=p^{-\nu _{p}(q)}$ . Mengalikan bilangan bulat dengan nilai absolut $p$ -adik-nya akan membatalkan faktor $p$ dalam faktorisasinya, dan hanya menyisakan bilangan prima lainnya. Sama seperti jarak antara dua bilangan real yang dapat diukur dengan nilai absolut jaraknya, jarak antara dua bilangan rasional dapat diukur dengan jarak $p$ -adik-nya, nilai absolut $p$ -adik dari selisihnya. Untuk definisi jarak ini, dua bilangan dikatakan berdekatan (memiliki jarak yang kecil) ketika selisihnya habis dibagi dengan pangkat $p$ yang tinggi. Dengan cara yang sama bahwa bilangan real dapat dibentuk dari bilangan rasional dan jaraknya, dengan menambahkan nilai pembatas ekstra untuk membentuk medan lengkap, bilangan rasional dengan jarak $p$ -adik diperluas ke medan lengkap yang berbeda.^[96]^[97]

Urutan dari sebuah gambar, nilai absolut, dan medan lengkap yang diturunkan dari bilangan $p$ -adik digeneralisasikan ke medan bilangan aljabar dan penilaian-penilaian tersebut (pemetaan tertentu dari Medan grup perkalian ke grup aditif terurut total disebut juga sebagai urutan), nilai absolut (pemetaan perkalian tertentu dari medan ke bilangan real disebut juga sebagai norma),^[96] dan tempat (ekstensi ke medan lengkap dimana medan yang diberikan adalah himpunan rapat disebut juga sebagai pelengkapan).^[98] Perluasan dari bilangan rasional ke bilangan real, misalnya adalah tempat dimana jarak antara bilangan adalah nilai absolut biasa dari perbedaannya. Pemetaan yang sesuai ke grup aditif akan menjadi logaritma dari nilai absolut, meskipun ini tidak memenuhi semua persyaratan penilaian. Menurut teorema Ostrowski, gagasan ekuivalen alami berhingga, bilangan real dan bilangan $p$ -adik dengan urutan dan nilai absolutnya adalah satu-satunya penilaian, nilai absolut, dan tempat pada bilangan rasional.^[96] Prinsip lokal-global memungkinkan masalah tertentu atas bilangan rasional untuk diselesaikan dengan menyatukan solusi dari masing-masing tempat, sekali lagi menggarisbawahi pentingnya bilangan prima untuk teori bilangan.^[99]

Prime elements in rings

A commutative ring is an algebraic structure where addition, subtraction and multiplication are defined. The integers are a ring, and the prime numbers in the integers have been generalized to rings in two different ways, prime elements and irreducible elements. An element $p$ of a ring $R$ is called prime if it is nonzero, has no multiplicative inverse (that is, it is not a unit), and satisfies the following requirement: whenever $p$ divides the product $xy$ of two elements of $R$ , it also divides at least one of $x$ or $y$ . An element is irreducible if it is neither a unit nor the product of two other non-unit elements. In the ring of integers, the prime and irreducible elements form the same set,

\{\dots ,-11,-7,-5,-3,-2,2,3,5,7,11,\dots \}\,.

In an arbitrary ring, all prime elements are irreducible. The converse does not hold in general, but does hold for unique factorization domains.^[100]

The fundamental theorem of arithmetic continues to hold (by definition) in unique factorization domains. An example of such a domain is the Gaussian integers $\mathbb {Z} [i]$ , the ring of complex numbers of the form $a+bi$ where $i$ denotes the imaginary unit and $a$ and $b$ are arbitrary integers. Its prime elements are known as Gaussian primes. Not every number that is prime among the integers remains prime in the Gaussian integers; for instance, the number 2 can be written as a product of the two Gaussian primes $1+i$ and $1-i$ . Rational primes (the prime elements in the integers) congruent to 3 mod 4 are Gaussian primes, but rational primes congruent to 1 mod 4 are not.^[101] This is a consequence of Fermat's theorem on sums of two squares, which states that an odd prime $p$ is expressible as the sum of two squares, $p=x^{2}+y^{2}$ , and therefore factorizable as $p=(x+iy)(x-iy)$ , exactly when $p$ is 1 mod 4.^[102]

Ideal prima

Tidak semua gelanggang merupakan ranah faktorisasi unik. Misalnya, dalam bilangan gelanggang $a+b{\sqrt {-5}}$ (untuk bilangan bulat $a$ dan $b$ ) angka $21$ memiliki dua faktorisasi $21=3\cdot 7=(1+2{\sqrt {-5}})(1-2{\sqrt {-5}})$ , tidak satu pun dari keempat faktor tersebut bisa direduksi lebih jauh, sehingga tidak memiliki faktorisasi unik. Untuk memperluas faktorisasi unik pada kelas gelanggang terbesar, gagasan tentang bilangan bisa diganti dengan ideal, sebuah himpunan bagian dari elemen gelanggang yang memuat semua jumlah pasangan elemennya, dan semua hasil kali elemennya dengan elemen gelanggang. Ideal prima yang dimana generalisasi elemen prima dalam arti bahwa ideal utama yang dihasilkan oleh elemen prima adalah ideal prima adalah alat dan objek studi penting dalam aljabar komutatif, teori bilangan aljabar dan geometri aljabar. Ideal prima dari gelanggang bilangan bulat adalah ideal (0), (2), (3), (5), (7), (11), ... Teorema dasar aritmetika digeneralisasikan ke teorema Lasker–Noether disebutkan setiap ideal dalam gelanggang komutatif Noetherian sebagai perpotongan ideal prima yang merupakan generalisasi yang tepat dari prima kuasa.^[103]

Spektrum gelanggang adalah ruang geometris yang titik-titiknya merupakan ideal prima dari gelanggang tersebut.^[104] Geometri aritmetika juga mendapat manfaat dari gagasan ini, dan banyak konsep yang ada, baik dalam geometri maupun teori bilangan. Misalnya, faktorisasi atau percabangan dari ideal prima ketika diangkat sebagai medan perluasan, masalah dasar teori bilangan aljabar memiliki beberapa kemiripan dengan percabangan dalam geometri. Konsep-konsep ini bahkan dapat membantu dalam pertanyaan teori bilangan yang hanya berkaitan dengan bilangan bulat. Misalnya, ideal prima dalam gelanggang bilangan bulat dari medan bilangan kuadrat dapat digunakan untuk penggunaan ketimbalbalikan kuadrat, pernyataan yang menyangkut keberadaan akar kuadrat modulo bilangan prima bilangan bulat.^[105] Upaya awal untuk membuktikan Teorema Terakhir Fermat menyebabkan pengenalan Kummer dari prima regular, bilangan prima bilangan bulat terhubung dengan kegagalan faktorisasi unik pada bilangan bulat siklotomi.^[106] Pertanyaan tentang berapa banyak bilangan prima bilangan bulat faktor menjadi darab dari beberapa ideal prima dalam medan bilangan aljabar ditangani oleh teorema kerapatan Chebotarev, yang (bila diterapkan pada bilangan bulat siklotomi) mana memiliki teorema Dirichlet pada bilangan prima dalam deret aritmatika sebagai kasus khusus.^[107]

Group theory

In the theory of finite groups the Sylow theorems imply that, if a power of a prime number $p^{n}$ divides the order of a group, then the group has a subgroup of order $p^{n}$ . By Lagrange's theorem, any group of prime order is a cyclic group, and by Burnside's theorem any group whose order is divisible by only two primes is solvable.^[108]

Computational methods

For a long time, number theory in general, and the study of prime numbers in particular, was seen as the canonical example of pure mathematics, with no applications outside of mathematics^[b] other than the use of prime numbered gear teeth to distribute wear evenly.^[109] In particular, number theorists such as British mathematician G. H. Hardy prided themselves on doing work that had absolutely no military significance.^[110]

This vision of the purity of number theory was shattered in the 1970s, when it was publicly announced that prime numbers could be used as the basis for the creation of public-key cryptography algorithms.^[32] These applications have led to significant study of algorithms for computing with prime numbers, and in particular of primality testing, methods for determining whether a given number is prime. The most basic primality testing routine, trial division, is too slow to be useful for large numbers. One group of modern primality tests is applicable to arbitrary numbers, while more efficient tests are available for numbers of special types. Most primality tests only tell whether their argument is prime or not. Routines that also provide a prime factor of composite arguments (or all of its prime factors) are called factorization algorithms. Prime numbers are also used in computing for checksums, hash tables, and pseudorandom number generators.

Trial division

The most basic method of checking the primality of a given integer $n$ is called trial division. This method divides $n$ by each integer from 2 up to the square root of $n$ . Any such integer dividing $n$ evenly establishes $n$ as composite; otherwise it is prime. Integers larger than the square root do not need to be checked because, whenever $n=a\cdot b$ , one of the two factors $a$ and $b$ is less than or equal to the square root of $n$ . Another optimization is to check only primes as factors in this range.^[111] For instance, to check whether 37 is prime, this method divides it by the primes in the range from 2 to ${\sqrt {37}}$ , which are 2, 3, and 5. Each division produces a nonzero remainder, so 37 is indeed prime.

Although this method is simple to describe, it is impractical for testing the primality of large integers, because the number of tests that it performs grows exponentially as a function of the number of digits of these integers.^[112] However, trial division is still used, with a smaller limit than the square root on the divisor size, to quickly discover composite numbers with small factors, before using more complicated methods on the numbers that pass this filter.^[113]

Sieves

Animation of the sieve of Eratosthenes — The sieve of Eratosthenes starts with all numbers unmarked (gray). It repeatedly finds the first unmarked number, marks it as prime (dark colors) and marks its square and all later multiples as composite (lighter colors). After marking the multiples of 2 (red), 3 (green), 5 (blue), and 7 (yellow), all primes up to the square root of the table size have been processed, and all remaining unmarked numbers (11, 13, etc.) are marked as primes (magenta).

Before computers, mathematical tables listing all of the primes or prime factorizations up to a given limit were commonly printed.^[114] The oldest method for generating a list of primes is called the sieve of Eratosthenes.^[115] The animation shows an optimized variant of this method.^[116] Another more asymptotically efficient sieving method for the same problem is the sieve of Atkin.^[117] In advanced mathematics, sieve theory applies similar methods to other problems.^[118]

Primality testing versus primality proving

Some of the fastest modern tests for whether an arbitrary given number $n$ is prime are probabilistic (or Monte Carlo) algorithms, meaning that they have a small random chance of producing an incorrect answer.^[119] For instance the Solovay–Strassen primality test on a given number $p$ chooses a number $a$ randomly from $2$ through $p-2$ and uses modular exponentiation to check whether $a^{(p-1)/2}\pm 1$ is divisible by $p$ .^[c] If so, it answers yes and otherwise it answers no. If $p$ really is prime, it will always answer yes, but if $p$ is composite then it answers yes with probability at most 1/2 and no with probability at least 1/2.^[120] If this test is repeated $n$ times on the same number, the probability that a composite number could pass the test every time is at most $1/2^{n}$ . Because this decreases exponentially with the number of tests, it provides high confidence (although not certainty) that a number that passes the repeated test is prime. On the other hand, if the test ever fails, then the number is certainly composite.^[121] A composite number that passes such a test is called a pseudoprime.^[120]

In contrast, some other algorithms guarantee that their answer will always be correct: primes will always be determined to be prime and composites will always be determined to be composite. For instance, this is true of trial division. The algorithms with guaranteed-correct output include both deterministic (non-random) algorithms, such as the AKS primality test,^[122] and randomized Las Vegas algorithms where the random choices made by the algorithm do not affect its final answer, such as some variations of elliptic curve primality proving.^[119] When the elliptic curve method concludes that a number is prime, it provides primality certificate that can be verified quickly.^[123] The elliptic curve primality test is the fastest in practice of the guaranteed-correct primality tests, but its runtime analysis is based on heuristic arguments rather than rigorous proofs. The AKS primality test has mathematically proven time complexity, but is slower than elliptic curve primality proving in practice.^[124] These methods can be used to generate large random prime numbers, by generating and testing random numbers until finding one that is prime; when doing this, a faster probabilistic test can quickly eliminate most composite numbers before a guaranteed-correct algorithm is used to verify that the remaining numbers are prime.^[d]

The following table lists some of these tests. Their running time is given in terms of $n$ , the number to be tested and, for probabilistic algorithms, the number $k$ of tests performed. Moreover, $\varepsilon$ is an arbitrarily small positive number, and log is the logarithm to an unspecified base. The big O notation means that each time bound should be multiplied by a constant factor to convert it from dimensionless units to units of time; this factor depends on implementation details such as the type of computer used to run the algorithm, but not on the input parameters $n$ and $k$ .

Test	Developed in	Type	Running time	Notes	References
AKS primality test	2002	deterministic	$O((\log n)^{6+\varepsilon })$		^[122]^[125]
Elliptic curve primality proving	1986	Las Vegas	$O((\log n)^{4+\varepsilon })$ heuristically		^[124]
Baillie–PSW primality test	1980	Monte Carlo	$O((\log n)^{2+\varepsilon })$		^[126]^[127]
Miller–Rabin primality test	1980	Monte Carlo	$O(k(\log n)^{2+\varepsilon })$	error probability $4^{-k}$	^[128]
Solovay–Strassen primality test	1977	Monte Carlo	$O(k(\log n)^{2+\varepsilon })$	error probability $2^{-k}$	^[128]

Special-purpose algorithms and the largest known prime

In addition to the aforementioned tests that apply to any natural number, some numbers of a special form can be tested for primality more quickly. For example, the Lucas–Lehmer primality test can determine whether a Mersenne number (one less than a power of two) is prime, deterministically, in the same time as a single iteration of the Miller–Rabin test.^[129] This is why since 1992 (hingga Desember 2018^[update]) the largest known prime has always been a Mersenne prime.^[130] It is conjectured that there are infinitely many Mersenne primes.^[131]

The following table gives the largest known primes of various types. Some of these primes have been found using distributed computing. In 2009, the Great Internet Mersenne Prime Search project was awarded a US$100,000 prize for first discovering a prime with at least 10 million digits.^[132] The Electronic Frontier Foundation also offers $150,000 and $250,000 for primes with at least 100 million digits and 1 billion digits, respectively.^[133]

Type	Prime	Number of decimal digits	Date	Found by
Mersenne prime	2^82,589,933 − 1	24,862,048	December 7, 2018^[1]	Patrick Laroche, Great Internet Mersenne Prime Search
Proth prime	10,223 × 2^31,172,165 + 1	9,383,761	October 31, 2016^[134]	Péter Szabolcs, PrimeGrid^[135]
factorial prime	208,003! − 1	1,015,843	July 2016	Sou Fukui^[136]
primorial prime^[e]	1,098,133# − 1	476,311	March 2012	James P. Burt, PrimeGrid^[138]
twin primes	2,996,863,034,895 × 2^1,290,000 ± 1	388,342	September 2016	Tom Greer, PrimeGrid^[139]

Integer factorization

Given a composite integer $n$ , the task of providing one (or all) prime factors is referred to as factorization of $n$ . It is significantly more difficult than primality testing,^[140] and although many factorization algorithms are known, they are slower than the fastest primality testing methods. Trial division and Pollard's rho algorithm can be used to find very small factors of $n$ ,^[113] and elliptic curve factorization can be effective when $n$ has factors of moderate size.^[141] Methods suitable for arbitrary large numbers that do not depend on the size of its factors include the quadratic sieve and general number field sieve. As with primality testing, there are also factorization algorithms that require their input to have a special form, including the special number field sieve.^[142] Hingga Desember 2019^[update] the largest number known to have been factored by a general-purpose algorithm is RSA-240, which has 240 decimal digits (795 bits) and is the product of two large primes.^[143]

Shor's algorithm can factor any integer in a polynomial number of steps on a quantum computer.^[144] However, current technology can only run this algorithm for very small numbers. Hingga Oktober 2012^[update] the largest number that has been factored by a quantum computer running Shor's algorithm is 21.^[145]

Other computational applications

Several public-key cryptography algorithms, such as RSA and the Diffie–Hellman key exchange, are based on large prime numbers (2048-bit primes are common).^[146] RSA relies on the assumption that it is much easier (that is, more efficient) to perform the multiplication of two (large) numbers $x$ and $y$ than to calculate $x$ and $y$ (assumed coprime) if only the product $xy$ is known.^[32] The Diffie–Hellman key exchange relies on the fact that there are efficient algorithms for modular exponentiation (computing $a^{b}{\bmod {c}}$ ), while the reverse operation (the discrete logarithm) is thought to be a hard problem.^[147]

Prime numbers are frequently used for hash tables. For instance the original method of Carter and Wegman for universal hashing was based on computing hash functions by choosing random linear functions modulo large prime numbers. Carter and Wegman generalized this method to $k$ -independent hashing by using higher-degree polynomials, again modulo large primes.^[148] As well as in the hash function, prime numbers are used for the hash table size in quadratic probing based hash tables to ensure that the probe sequence covers the whole table.^[149]

Some checksum methods are based on the mathematics of prime numbers. For instance the checksums used in International Standard Book Numbers are defined by taking the rest of the number modulo 11, a prime number. Because 11 is prime this method can detect both single-digit errors and transpositions of adjacent digits.^[150] Another checksum method, Adler-32, uses arithmetic modulo 65521, the largest prime number less than $2^{16}$ .^[151] Prime numbers are also used in pseudorandom number generators including linear congruential generators^[152] and the Mersenne Twister.^[153]

Other applications

Prime numbers are of central importance to number theory but also have many applications to other areas within mathematics, including abstract algebra and elementary geometry. For example, it is possible to place prime numbers of points in a two-dimensional grid so that no three are in a line, or so that every triangle formed by three of the points has large area.^[154] Another example is Eisenstein's criterion, a test for whether a polynomial is irreducible based on divisibility of its coefficients by a prime number and its square.^[155]

The concept of a prime number is so important that it has been generalized in different ways in various branches of mathematics. Generally, "prime" indicates minimality or indecomposability, in an appropriate sense. For example, the prime field of a given field is its smallest subfield that contains both 0 and 1. It is either the field of rational numbers or a finite field with a prime number of elements, whence the name.^[156] Often a second, additional meaning is intended by using the word prime, namely that any object can be, essentially uniquely, decomposed into its prime components. For example, in knot theory, a prime knot is a knot that is indecomposable in the sense that it cannot be written as the connected sum of two nontrivial knots. Any knot can be uniquely expressed as a connected sum of prime knots.^[157] The prime decomposition of 3-manifolds is another example of this type.^[158]

Beyond mathematics and computing, prime numbers have potential connections to quantum mechanics, and have been used metaphorically in the arts and literature. They have also been used in evolutionary biology to explain the life cycles of cicadas.

Constructible polygons and polygon partitions

Construction of a regular pentagon using straightedge and compass. This is only possible because 5 is a Fermat prime.

Fermat primes are primes of the form

F_{k}=2^{2^{k}}+1,

with $k$ a nonnegative integer.^[159] They are named after Pierre de Fermat, who conjectured that all such numbers are prime. The first five of these numbers – 3, 5, 17, 257, and 65,537 – are prime,^[160] but $F_{5}$ is composite and so are all other Fermat numbers that have been verified as of 2017.^[161] A regular $n$ -gon is constructible using straightedge and compass if and only if the odd prime factors of $n$ (if any) are distinct Fermat primes.^[160] Likewise, a regular $n$ -gon may be constructed using straightedge, compass, and an angle trisector if and only if the prime factors of $n$ are any number of copies of 2 or 3 together with a (possibly empty) set of distinct Pierpont primes, primes of the form $2^{a}3^{b}+1$ .^[162]

It is possible to partition any convex polygon into $n$ smaller convex polygons of equal area and equal perimeter, when $n$ is a power of a prime number, but this is not known for other values of $n$ .^[163]

Quantum mechanics

Beginning with the work of Hugh Montgomery and Freeman Dyson in the 1970s, mathematicians and physicists have speculated that the zeros of the Riemann zeta function are connected to the energy levels of quantum systems.^[164]^[165] Prime numbers are also significant in quantum information science, thanks to mathematical structures such as mutually unbiased bases and symmetric informationally complete positive-operator-valued measures.^[166]^[167]

Biology

The evolutionary strategy used by cicadas of the genus Magicicada makes use of prime numbers.^[168] These insects spend most of their lives as grubs underground. They only pupate and then emerge from their burrows after 7, 13 or 17 years, at which point they fly about, breed, and then die after a few weeks at most. Biologists theorize that these prime-numbered breeding cycle lengths have evolved in order to prevent predators from synchronizing with these cycles.^[169]^[170] In contrast, the multi-year periods between flowering in bamboo plants are hypothesized to be smooth numbers, having only small prime numbers in their factorizations.^[171]

Arts and literature

Prime numbers have influenced many artists and writers. The French composer Olivier Messiaen used prime numbers to create ametrical music through "natural phenomena". In works such as La Nativité du Seigneur (1935) and Quatre études de rythme (1949–50), he simultaneously employs motifs with lengths given by different prime numbers to create unpredictable rhythms: the primes 41, 43, 47 and 53 appear in the third étude, "Neumes rythmiques". According to Messiaen this way of composing was "inspired by the movements of nature, movements of free and unequal durations".^[172]

In his science fiction novel Contact, scientist Carl Sagan suggested that prime factorization could be used as a means of establishing two-dimensional image planes in communications with aliens, an idea that he had first developed informally with American astronomer Frank Drake in 1975.^[173] In the novel The Curious Incident of the Dog in the Night-Time by Mark Haddon, the narrator arranges the sections of the story by consecutive prime numbers as a way to convey the mental state of its main character, a mathematically gifted teen with Asperger syndrome.^[174] Prime numbers are used as a metaphor for loneliness and isolation in the Paolo Giordano novel The Solitude of Prime Numbers, in which they are portrayed as "outsiders" among integers.^[175]

Notes

^ Sebuah bilangan prima 44-digit yang ditemukan pada tahun 1951 oleh Aimé Ferrier dengan kalkulator mekanik tetap merupakan bilangan prima terbesar yang tidak ditemukan dengan bantuan komputer elektronik.^[28]
^ ^a ^b Misalnya, Beiler menulis bahwa ahli teori bilangan Ernst Kummer menyukai bilangan ideal miliknya, yang terkait erat dengan bilangan prima, "karena mereka tidak mengotori diri mereka dengan aplikasi praktis apa pun",^[30] bahkan Katz menulis bahwa Edmund Landau yang dikenal karena karyanya tentang distribusi bilangan prima yaitu "loathed practical applications of mathematics" dan untuk alasan tersebut untuk menghindari subjek seperti geometri yang telah terbukti berguna.^[31]
^ In this test, the $\pm 1$ term is negative if $a$ is a square modulo the given (supposed) prime $p$ , and positive otherwise. More generally, for non-prime values of $p$ , the $\pm 1$ term is the (negated) Jacobi symbol, which can be calculated using quadratic reciprocity.
^ Indeed, much of the analysis of elliptic curve primality proving is based on the assumption that the input to the algorithm has already passed a probabilistic test.^[123]
^ The primorial function of $n$ , denoted by $n\#$ , yields the product of the prime numbers up to $n$ , and a primorial prime is a prime of one of the forms $n\#\pm 1$ .^[137]

References

^ ^a ^b "GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2^82,589,933-1". Mersenne Research, Inc. 21 December 2018. Diakses tanggal 21 December 2018.
^ Gardiner, Anthony (1997). The Mathematical Olympiad Handbook: An Introduction to Problem Solving Based on the First 32 British Mathematical Olympiads 1965–1996. Oxford University Press. hlm. 26. ISBN 978-0-19-850105-3.
^ Henderson, Anne (2014). Dyslexia, Dyscalculia and Mathematics: A practical guide (edisi ke-2nd). Routledge. hlm. 62. ISBN 978-1-136-63662-2.
^ Adler, Irving (1960). The Giant Golden Book of Mathematics: Exploring the World of Numbers and Space. Golden Press. hlm. 16. OCLC 6975809.
^ Leff, Lawrence S. (2000). Math Workbook for the SAT I. Barron's Educational Series. hlm. 360. ISBN 978-0-7641-0768-9.
^ Dudley, Underwood (1978). "Section 2: Unique factorization". Elementary number theory (edisi ke-2nd). W.H. Freeman and Co. hlm. 10. ISBN 978-0-7167-0076-0.
^ Sierpiński, Wacław (1988). Elementary Theory of Numbers. North-Holland Mathematical Library. 31 (edisi ke-2nd). Elsevier. hlm. 113. ISBN 978-0-08-096019-7.
^ ^a ^b Ziegler, Günter M. (2004). "The great prime number record races". Notices of the American Mathematical Society. 51 (4): 414–416. MR 2039814.
^ Stillwell, John (1997). Numbers and Geometry. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. hlm. 9. ISBN 978-0-387-98289-2.
^ Sierpiński, Wacław (1964). A Selection of Problems in the Theory of Numbers. New York: Macmillan. hlm. 40. MR 0170843.
^ Nathanson, Melvyn B. (2000). "Notations and Conventions". Elementary Methods in Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. 195. Springer. ISBN 978-0-387-22738-2. MR 1732941.
^ Faticoni, Theodore G. (2012). The Mathematics of Infinity: A Guide to Great Ideas. Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts. 111 (edisi ke-2nd). John Wiley & Sons. hlm. 44. ISBN 978-1-118-24382-4.
^ Bruins, Evert Marie, review in Mathematical Reviews of Gillings, R.J. (1974). "The recto of the Rhind Mathematical Papyrus. How did the ancient Egyptian scribe prepare it?". Archive for History of Exact Sciences. 12 (4): 291–298. doi:10.1007/BF01307175. MR 0497458.
^ ^a ^b Stillwell, John (2010). Mathematics and Its History. Undergraduate Texts in Mathematics (edisi ke-3rd). Springer. hlm. 40. ISBN 978-1-4419-6052-8.
^ ^a ^b Pomerance, Carl (December 1982). "The Search for Prime Numbers". Scientific American. 247 (6): 136–147. Bibcode:1982SciAm.247f.136P. doi:10.1038/scientificamerican1282-136. JSTOR 24966751.
^ ^a ^b ^c Mollin, Richard A. (2002). "A brief history of factoring and primality testing B. C. (before computers)". Mathematics Magazine. 75 (1): 18–29. doi:10.2307/3219180. JSTOR 3219180. MR 2107288.
^ John J. O'Connor and Edmund F. Robertson. Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham di MacTutor archive.
^ Sandifer 2007, 8. Fermat's Little Theorem (November 2003), hal. 45
^ Sandifer, C. Edward (2014). How Euler Did Even More. Mathematical Association of America. hlm. 42. ISBN 978-0-88385-584-3.
^ Koshy, Thomas (2002). Elementary Number Theory with Applications. Academic Press. hlm. 369. ISBN 978-0-12-421171-1.
^ Yuan, Wang (2002). Goldbach Conjecture. Series In Pure Mathematics. 4 (edisi ke-2nd). World Scientific. hlm. 21. ISBN 978-981-4487-52-8.
^ Narkiewicz, Wladyslaw (2000). "1.2 Sum of Reciprocals of Primes". The Development of Prime Number Theory: From Euclid to Hardy and Littlewood. Springer Monographs in Mathematics. Springer. hlm. 11. ISBN 978-3-540-66289-1.
^ Tchebychev, P. (1852). "Mémoire sur les nombres premiers" (PDF). Journal de mathématiques pures et appliquées. Série 1 (dalam bahasa Prancis): 366–390. . (Proof of the postulate: 371–382). Lihat pula Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg, vol. 7, hal. 15–33, 1854
^ Apostol, Tom M. (2000). "A centennial history of the prime number theorem". Dalam Bambah, R.P.; Dumir, V.C.; Hans-Gill, R.J. Number Theory. Trends in Mathematics. Basel: Birkhäuser. hlm. 1–14. MR 1764793.
^ Apostol, Tom M. (1976). "7. Dirichlet's Theorem on Primes in Arithmetical Progressions". Introduction to Analytic Number Theory. New York; Heidelberg: Springer-Verlag. hlm. 146–156. MR 0434929.
^ Chabert, Jean-Luc (2012). A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip. Springer. hlm. 261. ISBN 978-3-642-18192-4.
^ Rosen, Kenneth H. (2000). "Theorem 9.20. Proth's Primality Test". Elementary Number Theory and Its Applications (edisi ke-4th). Addison-Wesley. hlm. 342. ISBN 978-0-201-87073-2.
^ Cooper, S. Barry; Hodges, Andrew (2016). The Once and Future Turing. Cambridge University Press. hlm. 37–38. ISBN 978-1-107-01083-3.
^ Rosen 2000, hal. 245.
^ Beiler, Albert H. (1999) [1966]. Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains. Dover. hlm. 2. ISBN 978-0-486-21096-4. OCLC 444171535.
^ Katz, Shaul (2004). "Berlin roots – Zionist incarnation: the ethos of pure mathematics and the beginnings of the Einstein Institute of Mathematics at the Hebrew University of Jerusalem". Science in Context. 17 (1–2): 199–234. doi:10.1017/S0269889704000092. MR 2089305.
^ ^a ^b ^c Kraft, James S.; Washington, Lawrence C. (2014). Elementary Number Theory. Textbooks in mathematics. CRC Press. hlm. 7. ISBN 978-1-4987-0269-0.
^ Bauer, Craig P. (2013). Secret History: The Story of Cryptology. Discrete Mathematics and Its Applications. CRC Press. hlm. 468. ISBN 978-1-4665-6186-1.
^ Klee, Victor; Wagon, Stan (1991). Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory. Dolciani mathematical expositions. 11. Cambridge University Press. hlm. 224. ISBN 978-0-88385-315-3.
^ ^a ^b Neale 2017, pp. 18, 47.
^ Smith, Karl J. (2011). The Nature of Mathematics (edisi ke-12th). Cengage Learning. hlm. 188. ISBN 978-0-538-73758-6.
^ Dudley 1978, Section 2, Theorem 2, p. 16; Neale, Vicky (2017). Closing the Gap: The Quest to Understand Prime Numbers. Oxford University Press. p. 107. ISBN 978-0-19-109243-5.
^ du Sautoy, Marcus (2003). The Music of the Primes: Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathematics. Harper Collins. hlm. 23. ISBN 978-0-06-093558-0.
^ Dudley 1978, Section 2, Lemma 5, p. 15; Higgins, Peter M. (1998). Mathematics for the Curious. Oxford University Press. hlm. 77–78. ISBN 978-0-19-150050-3.
^ Rotman, Joseph J. (2000). A First Course in Abstract Algebra (edisi ke-2nd). Prentice Hall. Problem 1.40, p. 56. ISBN 978-0-13-011584-3.
^ Letter dalam Latin dari Goldbach ke Euler, Juli 1730.
^ Furstenberg, Harry (1955). "On the infinitude of primes". American Mathematical Monthly. 62 (5): 353. doi:10.2307/2307043. JSTOR 2307043. MR 0068566.
^ Ribenboim, Paulo (2004). The little book of bigger primes. Berlin; New York: Springer-Verlag. hlm. 4. ISBN 978-0-387-20169-6.
^ Euclid's Elements, Book IX, Proposition 20. See David Joyce's English translation of Euclid's proof or Williamson, James (1782). The Elements of Euclid, With Dissertations. Oxford: Clarendon Press. hlm. 63. OCLC 642232959.
^ Vardi, Ilan (1991). Computational Recreations in Mathematica. Addison-Wesley. hlm. 82–89. ISBN 978-0-201-52989-0.
^ ^a ^b ^c Matiyasevich, Yuri V. (1999). "Formulas for prime numbers". Dalam Tabachnikov, Serge. Kvant Selecta: Algebra and Analysis. II. American Mathematical Society. hlm. 13–24. ISBN 978-0-8218-1915-9.
^ Mackinnon, Nick (June 1987). "Prime number formulae". The Mathematical Gazette. 71 (456): 113–114. doi:10.2307/3616496. JSTOR 3616496.
^ Wright, E.M. (1951). "A prime-representing function". American Mathematical Monthly. 58 (9): 616–618. doi:10.2307/2306356. JSTOR 2306356.
^ Guy 2013, p. vii.
^ Guy 2013, C1 Goldbach's conjecture, hal. 105–107.
^ Oliveira e Silva, Tomás; Herzog, Siegfried; Pardi, Silvio (2014). "Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to $4\cdot 10^{18}$ ". Mathematics of Computation. 83 (288): 2033–2060. doi:10.1090/S0025-5718-2013-02787-1 . MR 3194140.
^ Tao 2009, 3.1 Structure and randomness in the prime numbers, hal. 239–247. Lihat terutama hal. 239.
^ Guy 2013, hal. 159.
^ Ramaré, Olivier (1995). "On Šnirel'man's constant". Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. 22 (4): 645–706. MR 1375315.
^ Rassias, Michael Th. (2017). Goldbach's Problem: Selected Topics. Cham: Springer. hlm. vii. doi:10.1007/978-3-319-57914-6. ISBN 978-3-319-57912-2. MR 3674356.
^ Koshy 2002, Teorema 2.14, hal. 109. Riesel 1994 diberikan argumen serupa menggunakan primorial sebagai pengganti faktorial.
^ ^a ^b Riesel 1994, "Large gaps between consecutive primes", hal. 78–79.
^ Sloane, N.J.A. (ed.). "Sequence A100964 (Smallest prime number that begins a prime gap of at least 2n)". On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
^ ^a ^b ^c Ribenboim 2004, Gaps between primes, hal. 186–192.
^ ^a ^b Ribenboim 2004, hal. 183.
^ Chan, Joel (February 1996). "Prime time!". Math Horizons. 3 (3): 23–25. doi:10.1080/10724117.1996.11974965. JSTOR 25678057. Perhatikan bahwa Chan mencantumkan konjektur Legendre sebagai "Postulat Sierpinski".
^ Ribenboim 2004, Prime $k$ -tuples conjecture, pp. 201–202.
^ Sandifer 2007, Chapter 35, Memperkirakan masalah Basel, hal. 205–208.
^ Ogilvy, C.S.; Anderson, J.T. (1988). Excursions in Number Theory. Dover Publications Inc. hlm. 29–35. ISBN 978-0-486-25778-5.
^ Apostol 1976, Bagian 1.6, Teorema 1.13
^ Apostol 1976, Bagian 4.8, Teorema 4.12
^ ^a ^b Miller, Steven J.; Takloo-Bighash, Ramin (2006). An Invitation to Modern Number Theory. Princeton University Press. hlm. 43–44. ISBN 978-0-691-12060-7.
^ Crandall & Pomerance 2005, p. 6.
^ Crandall & Pomerance 2005, Section 3.7, Pencacahan prima, ham. 152-162.
^ ^a ^b Crandall & Pomerance 2005, hal. 10.
^ du Sautoy, Marcus (2011). "What are the odds that your telephone number is prime?". The Number Mysteries: A Mathematical Odyssey through Everyday Life. St. Martin's Press. hlm. 50–52. ISBN 978-0-230-12028-0.
^ Apostol 1976, Bagian 4.6, Teorema 4.7
^ Gelfand, I.M.; Shen, Alexander (2003). Algebra. Springer. hlm. 37. ISBN 978-0-8176-3677-7.
^ Mollin, Richard A. (1997). Fundamental Number Theory with Applications. Discrete Mathematics and Its Applications. CRC Press. hlm. 76. ISBN 978-0-8493-3987-5.
^ Crandall & Pomerance 2005, Theorem 1.1.5, p. 12.
^ Green, Ben; Tao, Terence (2008). "The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions". Annals of Mathematics. 167 (2): 481–547. arXiv:math.NT/0404188 . doi:10.4007/annals.2008.167.481.
^ Hua, L.K. (2009) [1965]. Additive Theory of Prime Numbers. Translations of Mathematical Monographs. 13. Providence, RI: American Mathematical Society. hlm. 176–177. ISBN 978-0-8218-4942-2. MR 0194404. OCLC 824812353.
^ Urutan bilangan prima ini, dimulai dari $n=1$ dan bukan $n=0$ , ditulis oleh Lava, Paolo Pietro; Balzarotti, Giorgio (2010). "Chapter 33. Formule fortunate". 103 curiosità matematiche: Teoria dei numeri, delle cifre e delle relazioni nella matematica contemporanea (dalam bahasa Italia). Ulrico Hoepli Editore S.p.A. hlm. 133. ISBN 978-88-203-5804-4.
^ Chamberland, Marc (2015). "The Heegner numbers". Single Digits: In Praise of Small Numbers. Princeton University Press. hlm. 213–215. ISBN 978-1-4008-6569-7.
^ ^a ^b Guy, Richard (2013). "A1 Prime values of quadratic functions". Unsolved Problems in Number Theory. Problem Books in Mathematics (edisi ke-3rd). Springer. hlm. 7–10. ISBN 978-0-387-26677-0.
^ Patterson, S.J. (1988). An introduction to the theory of the Riemann zeta-function. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 14. Cambridge University Press, Cambridge. hlm. 1. doi:10.1017/CBO9780511623707. ISBN 978-0-521-33535-5. MR 0933558.
^ Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea (2008). The Riemann hypothesis: A resource for the afficionado and virtuoso alike. CMS Books in Mathematics/Ouvrages de Mathématiques de la SMC. New York: Springer. hlm. 10–11. doi:10.1007/978-0-387-72126-2. ISBN 978-0-387-72125-5. MR 2463715.
^ Sandifer 2007, hal. 191–193.
^ Borwein et al. 2008, Konjektur 2.7 (hipotesis Riemann), hal. 15.
^ Patterson 1988, p. 7.
^ ^a ^b Borwein et al. 2008, p. 18.
^ Nathanson 2000, Bab 9, Teorema bilangan prima, hal. 289–324.
^ Zagier, Don (1977). "The first 50 million prime numbers". The Mathematical Intelligencer. 1 (S2): 7–19. doi:10.1007/bf03351556. Lihat khususnya hal. 14–16.
^ (Kraft & Washington 2014), Proposisi 5.3, hal. 96.
^ Shahriari, Shahriar (2017). Algebra in Action: A Course in Groups, Rings, and Fields. Pure and Applied Undergraduate Texts. 27. American Mathematical Society. hlm. 20–21. ISBN 978-1-4704-2849-5.
^ Dudley 1978, Teorema 3, hal. 28.
^ Shahriari 2017, hal. 27–28.
^ Ribenboim 2004, Teorema kecil Fermat dan akar primitif modulo a prima, hal. 17–21.
^ Ribenboim 2004, The property of Giuga, hal. 21–22.
^ Ribenboim 2004, The theorem of Wilson, hal. 21.
^ ^a ^b ^c Childress, Nancy (2009). Class Field Theory. Universitext. Springer, New York. hlm. 8–11. doi:10.1007/978-0-387-72490-4. ISBN 978-0-387-72489-8. MR 2462595. Lihat pula hal. 64.
^ Erickson, Marty; Vazzana, Anthony; Garth, David (2016). Introduction to Number Theory. Textbooks in Mathematics (edisi ke-2nd). Boca Raton, FL: CRC Press. hlm. 200. ISBN 978-1-4987-1749-6. MR 3468748.
^ Weil, André (1995). Basic Number Theory. Classics in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag. hlm. 43. ISBN 978-3-540-58655-5. MR 1344916. Namun perhatikan bahwa beberapa penulis seperti (Childress 2009) malah menggunakan "tempat" untuk mengartikan kelas norma yang setara.
^ Koch, H. (1997). Algebraic Number Theory. Berlin: Springer-Verlag. hlm. 136. CiteSeerX 10.1.1.309.8812 . doi:10.1007/978-3-642-58095-6. ISBN 978-3-540-63003-6. MR 1474965.
^ Lauritzen, Niels (2003). Concrete Abstract Algebra: From numbers to Gröbner bases. Cambridge: Cambridge University Press. hlm. 127. doi:10.1017/CBO9780511804229. ISBN 978-0-521-53410-9. MR 2014325.
^ Lauritzen 2003, Corollary 3.5.14, p. 133; Lemma 3.5.18, p. 136.
^ Kraft & Washington 2014, Section 12.1, Sums of two squares, pp. 297–301.
^ Eisenbud, David (1995). Commutative Algebra. Graduate Texts in Mathematics. 150. Berlin; New York: Springer-Verlag. Section 3.3. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 978-0-387-94268-1. MR 1322960.
^ Shafarevich, Igor R. (2013). "Definition of $\operatorname {Spec} A$ ". Basic Algebraic Geometry 2: Schemes and Complex Manifolds (edisi ke-3rd). Springer, Heidelberg. hlm. 5. doi:10.1007/978-3-642-38010-5. ISBN 978-3-642-38009-9. MR 3100288.
^ Neukirch, Jürgen (1999). Algebraic Number Theory. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. 322. Berlin: Springer-Verlag. Section I.8, hal. 50. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859.
^ Neukirch 1999, Bagian I.7, hal. 38
^ Stevenhagen, P.; Lenstra, H.W., Jr. (1996). "Chebotarëv and his density theorem". The Mathematical Intelligencer. 18 (2): 26–37. CiteSeerX 10.1.1.116.9409 . doi:10.1007/BF03027290. MR 1395088.
^ Hall, Marshall (2018). The Theory of Groups. Dover Books on Mathematics. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-81690-6. For the Sylow theorems see p. 43; for Lagrange's theorem, see p. 12; for Burnside's theorem see p. 143.
^ Bryant, John; Sangwin, Christopher J. (2008). How Round is Your Circle?: Where Engineering and Mathematics Meet. Princeton University Press. p. 178. ISBN 978-0-691-13118-4.
^ Hardy, Godfrey Harold (2012) [1940]. A Mathematician's Apology. Cambridge University Press. hlm. 140. ISBN 978-0-521-42706-7. OCLC 922010634. No one has yet discovered any warlike purpose to be served by the theory of numbers or relativity, and it seems unlikely that anyone will do so for many years.
^ Giblin, Peter (1993). Primes and Programming. Cambridge University Press. hlm. 39. ISBN 978-0-521-40988-9.
^ Giblin 1993, p. 54
^ ^a ^b Riesel 1994, p. 220.
^ Bullynck, Maarten (2010). "A history of factor tables with notes on the birth of number theory 1657–1817". Revue d'Histoire des Mathématiques. 16 (2): 133–216.
^ Wagstaff, Samuel S. Jr. (2013). The Joy of Factoring. Student mathematical library. 68. American Mathematical Society. hlm. 191. ISBN 978-1-4704-1048-3.
^ Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005). Prime Numbers: A Computational Perspective (edisi ke-2nd). Springer. hlm. 121. ISBN 978-0-387-25282-7.
^ Farach-Colton, Martín; Tsai, Meng-Tsung (2015). "On the complexity of computing prime tables". Dalam Elbassioni, Khaled; Makino, Kazuhisa. Algorithms and Computation: 26th International Symposium, ISAAC 2015, Nagoya, Japan, December 9-11, 2015, Proceedings. Lecture Notes in Computer Science. 9472. Springer. hlm. 677–688. arXiv:1504.05240 . doi:10.1007/978-3-662-48971-0_57.
^ Greaves, George (2013). Sieves in Number Theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3. Folge). 43. Springer. hlm. 1. ISBN 978-3-662-04658-6.
^ ^a ^b Hromkovič, Juraj (2001). "5.5 Bibliographic Remarks". Algorithmics for Hard Problems. Texts in Theoretical Computer Science. An EATCS Series. Springer-Verlag, Berlin. hlm. 383–385. doi:10.1007/978-3-662-04616-6. ISBN 978-3-540-66860-2. MR 1843669.
^ ^a ^b Koblitz, Neal (1987). "Chapter V. Primality and Factoring". A Course in Number Theory and Cryptography. Graduate Texts in Mathematics. 114. Springer-Verlag, New York. hlm. 112–149. doi:10.1007/978-1-4684-0310-7_5. ISBN 978-0-387-96576-5. MR 0910297.
^ Pieprzyk, Josef; Hardjono, Thomas; Seberry, Jennifer (2013). "2.3.9 Probabilistic Computations". Fundamentals of Computer Security. Springer. hlm. 51–52. ISBN 978-3-662-07324-7.
^ ^a ^b Tao, Terence (2010). "1.11 The AKS primality test". An epsilon of room, II: Pages from year three of a mathematical blog. Graduate Studies in Mathematics. 117. Providence, RI: American Mathematical Society. hlm. 82–86. doi:10.1090/gsm/117. ISBN 978-0-8218-5280-4. MR 2780010.
^ ^a ^b Atkin, A O.L.; Morain, F. (1993). "Elliptic curves and primality proving" (PDF). Mathematics of Computation. 61 (203): 29–68. Bibcode:1993MaCom..61...29A. doi:10.1090/s0025-5718-1993-1199989-x . JSTOR 2152935. MR 1199989.
^ ^a ^b Morain, F. (2007). "Implementing the asymptotically fast version of the elliptic curve primality proving algorithm". Mathematics of Computation. 76 (257): 493–505. arXiv:math/0502097 . Bibcode:2007MaCom..76..493M. doi:10.1090/S0025-5718-06-01890-4. MR 2261033.
^ Lenstra, H. W. Jr.; Pomerance, Carl (2019). "Primality testing with Gaussian periods" (PDF). Journal of the European Mathematical Society. 21 (4): 1229–1269. doi:10.4171/JEMS/861. MR 3941463.
^ Carl Pomerance; John L. Selfridge; Samuel S. Wagstaff, Jr. (July 1980). "The pseudoprimes to 25·10⁹" (PDF). Mathematics of Computation. 35 (151): 1003–1026. doi:10.1090/S0025-5718-1980-0572872-7 . JSTOR 2006210.
^ Robert Baillie; Samuel S. Wagstaff, Jr. (October 1980). "Lucas Pseudoprimes" (PDF). Mathematics of Computation. 35 (152): 1391–1417. doi:10.1090/S0025-5718-1980-0583518-6 . JSTOR 2006406. MR 0583518.
^ ^a ^b Monier, Louis (1980). "Evaluation and comparison of two efficient probabilistic primality testing algorithms". Theoretical Computer Science. 12 (1): 97–108. doi:10.1016/0304-3975(80)90007-9 . MR 0582244.
^ Tao, Terence (2009). "1.7 The Lucas–Lehmer test for Mersenne primes". Poincaré's legacies, pages from year two of a mathematical blog. Part I. Providence, RI: American Mathematical Society. hlm. 36–41. ISBN 978-0-8218-4883-8. MR 2523047.
^ Kraft & Washington 2014, p. 41.
^ For instance see Guy 2013, A3 Mersenne primes. Repunits. Fermat numbers. Primes of shape $k\cdot 2^{n}+1$ . pp. 13–21.
^ "Record 12-Million-Digit Prime Number Nets $100,000 Prize". Electronic Frontier Foundation. October 14, 2009. Diakses tanggal 2010-01-04.
^ "EFF Cooperative Computing Awards". Electronic Frontier Foundation. 2008-02-29. Diakses tanggal 2010-01-04.
^ "PrimeGrid's Seventeen or Bust Subproject" (PDF). Diakses tanggal 2017-01-03.
^ Caldwell, Chris K. "The Top Twenty: Largest Known Primes". The Prime Pages. Diakses tanggal 2017-01-03.
^ Caldwell, Chris K. "The Top Twenty: Factorial". The Prime Pages. Diakses tanggal 2017-01-03.
^ Ribenboim 2004, p. 4.
^ Caldwell, Chris K. "The Top Twenty: Primorial". The Prime Pages. Diakses tanggal 2017-01-03.
^ Caldwell, Chris K. "The Top Twenty: Twin Primes". The Prime Pages. Diakses tanggal 2017-01-03.
^ Kraft & Washington 2014, p. 275.
^ Hoffstein, Jeffrey; Pipher, Jill; Silverman, Joseph H. (2014). An Introduction to Mathematical Cryptography. Undergraduate Texts in Mathematics (edisi ke-2nd). Springer. hlm. 329. ISBN 978-1-4939-1711-2.
^ Pomerance, Carl (1996). "A tale of two sieves". Notices of the American Mathematical Society. 43 (12): 1473–1485. MR 1416721.
^ Emmanuel Thomé, “795-bit factoring and discrete logarithms,” December 2, 2019.
^ Rieffel, Eleanor G.; Polak, Wolfgang H. (2011). "Chapter 8. Shor's Algorithm". Quantum Computing: A Gentle Introduction. MIT Press. hlm. 163–176. ISBN 978-0-262-01506-6.
^ Martín-López, Enrique; Laing, Anthony; Lawson, Thomas; Alvarez, Roberto; Zhou, Xiao-Qi; O'Brien, Jeremy L. (12 October 2012). "Experimental realization of Shor's quantum factoring algorithm using qubit recycling". Nature Photonics. 6 (11): 773–776. arXiv:1111.4147 . Bibcode:2012NaPho...6..773M. doi:10.1038/nphoton.2012.259.
^ Chirgwin, Richard (October 9, 2016). "Crypto needs more transparency, researchers warn". The Register.
^ Hoffstein, Pipher & Silverman 2014, Section 2.3, Diffie–Hellman key exchange, pp. 65–67.
^ Templat:Introduction to Algorithms For $k$ -independent hashing see problem 11–4, p. 251. For the credit to Carter and Wegman, see the chapter notes, p. 252.
^ Goodrich, Michael T.; Tamassia, Roberto (2006). Data Structures & Algorithms in Java (edisi ke-4th). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-73884-8. See "Quadratic probing", p. 382, and exercise C–9.9, p. 415.
^ Kirtland, Joseph (2001). Identification Numbers and Check Digit Schemes. Classroom Resource Materials. 18. Mathematical Association of America. hlm. 43–44. ISBN 978-0-88385-720-5.
^ Deutsch, P. (1996). ZLIB Compressed Data Format Specification version 3.3. Request for Comments. 1950. Network Working Group.
^ Knuth, Donald E. (1998). "3.2.1 The linear congruential model". The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical algorithms (edisi ke-3rd). Addison-Wesley. hlm. 10–26. ISBN 978-0-201-89684-8.
^ Matsumoto, Makoto; Nishimura, Takuji (1998). "Mersenne Twister: A 623-dimensionally equidistributed uniform pseudo-random number generator". ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation. 8 (1): 3–30. CiteSeerX 10.1.1.215.1141 . doi:10.1145/272991.272995.
^ Roth, K.F. (1951). "On a problem of Heilbronn". Journal of the London Mathematical Society. Second Series. 26 (3): 198–204. doi:10.1112/jlms/s1-26.3.198. MR 0041889.
^ Cox, David A. (2011). "Why Eisenstein proved the Eisenstein criterion and why Schönemann discovered it first" (PDF). American Mathematical Monthly. 118 (1): 3–31. CiteSeerX 10.1.1.398.3440 . doi:10.4169/amer.math.monthly.118.01.003.
^ Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. 211. Berlin; New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-0-387-95385-4. MR 1878556. , Section II.1, p. 90
^ Schubert, Horst (1949). "Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Knotens in Primknoten". S.-B Heidelberger Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl. 1949 (3): 57–104. MR 0031733.
^ Milnor, J. (1962). "A unique decomposition theorem for 3-manifolds". American Journal of Mathematics. 84 (1): 1–7. doi:10.2307/2372800. JSTOR 2372800. MR 0142125.
^ (Boklan & Conway 2017) also include $2^{0}+1=2$ , which is not of this form.
^ ^a ^b Křížek, Michal; Luca, Florian; Somer, Lawrence (2001). 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry. CMS Books in Mathematics. 9. New York: Springer-Verlag. hlm. 1–2. doi:10.1007/978-0-387-21850-2. ISBN 978-0-387-95332-8. MR 1866957.
^ Boklan, Kent D.; Conway, John H. (January 2017). "Expect at most one billionth of a new Fermat prime!". The Mathematical Intelligencer. 39 (1): 3–5. arXiv:1605.01371 . doi:10.1007/s00283-016-9644-3.
^ Gleason, Andrew M. (1988). "Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon". American Mathematical Monthly. 95 (3): 185–194. doi:10.2307/2323624. JSTOR 2323624. MR 0935432.
^ Ziegler, Günter M. (2015). "Cannons at sparrows". European Mathematical Society Newsletter (95): 25–31. MR 3330472.
^ Peterson, Ivars (June 28, 1999). "The Return of Zeta". MAA Online. Diarsipkan dari versi asli tanggal October 20, 2007. Diakses tanggal 2008-03-14.
^ Hayes, Brian (2003). "Computing science: The spectrum of Riemannium". American Scientist. 91 (4): 296–300. doi:10.1511/2003.26.3349. JSTOR 27858239.
^ Bengtsson, Ingemar; Życzkowski, Karol (2017). Geometry of quantum states : an introduction to quantum entanglement (edisi ke-Second). Cambridge: Cambridge University Press. hlm. 313–354. ISBN 978-1-107-02625-4. OCLC 967938939.
^ Zhu, Huangjun (2010). "SIC POVMs and Clifford groups in prime dimensions". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 43 (30): 305305. arXiv:1003.3591 . Bibcode:2010JPhA...43D5305Z. doi:10.1088/1751-8113/43/30/305305.
^ Goles, E.; Schulz, O.; Markus, M. (2001). "Prime number selection of cycles in a predator-prey model". Complexity. 6 (4): 33–38. Bibcode:2001Cmplx...6d..33G. doi:10.1002/cplx.1040.
^ Campos, Paulo R.A.; de Oliveira, Viviane M.; Giro, Ronaldo; Galvão, Douglas S. (2004). "Emergence of prime numbers as the result of evolutionary strategy". Physical Review Letters. 93 (9): 098107. arXiv:q-bio/0406017 . Bibcode:2004PhRvL..93i8107C. doi:10.1103/PhysRevLett.93.098107. PMID 15447148.
^ "Invasion of the Brood". The Economist. May 6, 2004. Diakses tanggal 2006-11-26.
^ Zimmer, Carl (May 15, 2015). "Bamboo Mathematicians". Phenomena: The Loom. National Geographic. Diakses tanggal February 22, 2018.
^ Hill, Peter Jensen, ed. (1995). The Messiaen companion. Portland, OR: Amadeus Press. Ex. 13.2 Messe de la Pentecôte 1 'Entrée'. ISBN 978-0-931340-95-6.
^ Pomerance, Carl (2004). "Prime Numbers and the Search for Extraterrestrial Intelligence" (PDF). Dalam Hayes, David F.; Ross, Peter. Mathematical Adventures for Students and Amateurs. MAA Spectrum. Washington, DC: Mathematical Association of America. hlm. 3–6. ISBN 978-0-88385-548-5. MR 2085842.
^ GrrlScientist (September 16, 2010). "The Curious Incident of the Dog in the Night-Time". Science. The Guardian. Diakses tanggal February 22, 2010.
^ Schillinger, Liesl (April 9, 2010). "Counting on Each Other". Sunday Book Review. The New York Times.

External links

Cari tahu mengenai Klasüo/bak pasir/khusus/1 pada proyek-proyek Wikimedia lainnya:
	Definisi dan terjemahan dari Wiktionary
	Gambar dan media dari Commons
	Berita dari Wikinews
	Kutipan dari Wikiquote
	Teks sumber dari Wikisource
	Buku dari Wikibuku

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Prime number", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Caldwell, Chris, The Prime Pages at primes.utm.edu.
Prime Numbers di In Our Time di BBC.
Plus teacher and student package: prime numbers from Plus, the free online mathematics magazine produced by the Millennium Mathematics Project at the University of Cambridge.

Generators and calculators

Prime factors calculator can factorize any positive integer up to 20 digits.
Fast Online primality test with factorization makes use of the Elliptic Curve Method (up to thousand-digits numbers, requires Java).
Huge database of prime numbers
Prime Numbers up to 1 trillion

Templat:Number theory Templat:Divisor classes Templat:Prime number classes Templat:Classes of natural numbers

[29] Sebuah bilangan prima 44-digit yang ditemukan pada tahun 1951 oleh Aimé Ferrier dengan kalkulator mekanik tetap merupakan bilangan prima terbesar yang tidak ditemukan dengan bantuan komputer elektronik.^[28]

[pure-33] Misalnya, Beiler menulis bahwa ahli teori bilangan Ernst Kummer menyukai bilangan ideal miliknya, yang terkait erat dengan bilangan prima, "karena mereka tidak mengotori diri mereka dengan aplikasi praktis apa pun",^[30] bahkan Katz menulis bahwa Edmund Landau yang dikenal karena karyanya tentang distribusi bilangan prima yaitu "loathed practical applications of mathematics" dan untuk alasan tersebut untuk menghindari subjek seperti geometri yang telah terbukti berguna.^[31]

[122] In this test, the $\pm 1$ term is negative if $a$ is a square modulo the given (supposed) prime $p$ , and positive otherwise. More generally, for non-prime values of $p$ , the $\pm 1$ term is the (negated) Jacobi symbol, which can be calculated using quadratic reciprocity.

[128] Indeed, much of the analysis of elliptic curve primality proving is based on the assumption that the input to the algorithm has already passed a probabilistic test.^[123]

[142] The primorial function of $n$ , denoted by $n\#$ , yields the product of the prime numbers up to $n$ , and a primorial prime is a prime of one of the forms $n\#\pm 1$ .^[137]

[GIMPS-2018-1] "GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2^82,589,933-1". Mersenne Research, Inc. 21 December 2018. Diakses tanggal 21 December 2018.

[2] Gardiner, Anthony (1997). The Mathematical Olympiad Handbook: An Introduction to Problem Solving Based on the First 32 British Mathematical Olympiads 1965–1996. Oxford University Press. hlm. 26. ISBN 978-0-19-850105-3.

[3] Henderson, Anne (2014). Dyslexia, Dyscalculia and Mathematics: A practical guide (edisi ke-2nd). Routledge. hlm. 62. ISBN 978-1-136-63662-2.

[4] Adler, Irving (1960). The Giant Golden Book of Mathematics: Exploring the World of Numbers and Space. Golden Press. hlm. 16. OCLC 6975809.

[5] Leff, Lawrence S. (2000). Math Workbook for the SAT I. Barron's Educational Series. hlm. 360. ISBN 978-0-7641-0768-9.

[6] Dudley, Underwood (1978). "Section 2: Unique factorization". Elementary number theory (edisi ke-2nd). W.H. Freeman and Co. hlm. 10. ISBN 978-0-7167-0076-0.

[7] Sierpiński, Wacław (1988). Elementary Theory of Numbers. North-Holland Mathematical Library. 31 (edisi ke-2nd). Elsevier. hlm. 113. ISBN 978-0-08-096019-7.

[ziegler-8] Ziegler, Günter M. (2004). "The great prime number record races". Notices of the American Mathematical Society. 51 (4): 414–416. MR 2039814.

[9] Stillwell, John (1997). Numbers and Geometry. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. hlm. 9. ISBN 978-0-387-98289-2.

[10] Sierpiński, Wacław (1964). A Selection of Problems in the Theory of Numbers. New York: Macmillan. hlm. 40. MR 0170843.

[11] Nathanson, Melvyn B. (2000). "Notations and Conventions". Elementary Methods in Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. 195. Springer. ISBN 978-0-387-22738-2. MR 1732941.

[12] Faticoni, Theodore G. (2012). The Mathematics of Infinity: A Guide to Great Ideas. Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts. 111 (edisi ke-2nd). John Wiley & Sons. hlm. 44. ISBN 978-1-118-24382-4.

[13] Bruins, Evert Marie, review in Mathematical Reviews of Gillings, R.J. (1974). "The recto of the Rhind Mathematical Papyrus. How did the ancient Egyptian scribe prepare it?". Archive for History of Exact Sciences. 12 (4): 291–298. doi:10.1007/BF01307175. MR 0497458.

[stillwell-2010-p40-14] Stillwell, John (2010). Mathematics and Its History. Undergraduate Texts in Mathematics (edisi ke-3rd). Springer. hlm. 40. ISBN 978-1-4419-6052-8.

[pomerance-sciam-15] Pomerance, Carl (December 1982). "The Search for Prime Numbers". Scientific American. 247 (6): 136–147. Bibcode:1982SciAm.247f.136P. doi:10.1038/scientificamerican1282-136. JSTOR 24966751.

[mollin-16] Mollin, Richard A. (2002). "A brief history of factoring and primality testing B. C. (before computers)". Mathematics Magazine. 75 (1): 18–29. doi:10.2307/3219180. JSTOR 3219180. MR 2107288.

[17] John J. O'Connor and Edmund F. Robertson. Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham di MacTutor archive.

[18] Sandifer 2007, 8. Fermat's Little Theorem (November 2003), hal. 45

[19] Sandifer, C. Edward (2014). How Euler Did Even More. Mathematical Association of America. hlm. 42. ISBN 978-0-88385-584-3.

[20] Koshy, Thomas (2002). Elementary Number Theory with Applications. Academic Press. hlm. 369. ISBN 978-0-12-421171-1.

[21] Yuan, Wang (2002). Goldbach Conjecture. Series In Pure Mathematics. 4 (edisi ke-2nd). World Scientific. hlm. 21. ISBN 978-981-4487-52-8.

[22] Narkiewicz, Wladyslaw (2000). "1.2 Sum of Reciprocals of Primes". The Development of Prime Number Theory: From Euclid to Hardy and Littlewood. Springer Monographs in Mathematics. Springer. hlm. 11. ISBN 978-3-540-66289-1.

[23] Tchebychev, P. (1852). "Mémoire sur les nombres premiers" (PDF). Journal de mathématiques pures et appliquées. Série 1 (dalam bahasa Prancis): 366–390. . (Proof of the postulate: 371–382). Lihat pula Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg, vol. 7, hal. 15–33, 1854

[24] Apostol, Tom M. (2000). "A centennial history of the prime number theorem". Dalam Bambah, R.P.; Dumir, V.C.; Hans-Gill, R.J. Number Theory. Trends in Mathematics. Basel: Birkhäuser. hlm. 1–14. MR 1764793.

[25] Apostol, Tom M. (1976). "7. Dirichlet's Theorem on Primes in Arithmetical Progressions". Introduction to Analytic Number Theory. New York; Heidelberg: Springer-Verlag. hlm. 146–156. MR 0434929.

[26] Chabert, Jean-Luc (2012). A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip. Springer. hlm. 261. ISBN 978-3-642-18192-4.

[27] Rosen, Kenneth H. (2000). "Theorem 9.20. Proth's Primality Test". Elementary Number Theory and Its Applications (edisi ke-4th). Addison-Wesley. hlm. 342. ISBN 978-0-201-87073-2.

[28] Cooper, S. Barry; Hodges, Andrew (2016). The Once and Future Turing. Cambridge University Press. hlm. 37–38. ISBN 978-1-107-01083-3.

[30] Rosen 2000, hal. 245.

[31] Beiler, Albert H. (1999) [1966]. Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains. Dover. hlm. 2. ISBN 978-0-486-21096-4. OCLC 444171535.

[32] Katz, Shaul (2004). "Berlin roots – Zionist incarnation: the ethos of pure mathematics and the beginnings of the Einstein Institute of Mathematics at the Hebrew University of Jerusalem". Science in Context. 17 (1–2): 199–234. doi:10.1017/S0269889704000092. MR 2089305.

[ent-7-34] Kraft, James S.; Washington, Lawrence C. (2014). Elementary Number Theory. Textbooks in mathematics. CRC Press. hlm. 7. ISBN 978-1-4987-0269-0.

[35] Bauer, Craig P. (2013). Secret History: The Story of Cryptology. Discrete Mathematics and Its Applications. CRC Press. hlm. 468. ISBN 978-1-4665-6186-1.

[36] Klee, Victor; Wagon, Stan (1991). Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory. Dolciani mathematical expositions. 11. Cambridge University Press. hlm. 224. ISBN 978-0-88385-315-3.

[neale-18-47-37] Neale 2017, pp. 18, 47.

[38] Smith, Karl J. (2011). The Nature of Mathematics (edisi ke-12th). Cengage Learning. hlm. 188. ISBN 978-0-538-73758-6.

[39] Dudley 1978, Section 2, Theorem 2, p. 16; Neale, Vicky (2017). Closing the Gap: The Quest to Understand Prime Numbers. Oxford University Press. p. 107. ISBN 978-0-19-109243-5.

[40] u Sautoy, Marcus (2003). The Music of the Primes: Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathematics. Harper Collins. hlm. 23. ISBN 978-0-06-093558-0.

[41] Dudley 1978, Section 2, Lemma 5, p. 15; Higgins, Peter M. (1998). Mathematics for the Curious. Oxford University Press. hlm. 77–78. ISBN 978-0-19-150050-3.

[42] Rotman, Joseph J. (2000). A First Course in Abstract Algebra (edisi ke-2nd). Prentice Hall. Problem 1.40, p. 56. ISBN 978-0-13-011584-3.

[43] Letter dalam Latin dari Goldbach ke Euler, Juli 1730.

[44] Furstenberg, Harry (1955). "On the infinitude of primes". American Mathematical Monthly. 62 (5): 353. doi:10.2307/2307043. JSTOR 2307043. MR 0068566.

[45] Ribenboim, Paulo (2004). The little book of bigger primes. Berlin; New York: Springer-Verlag. hlm. 4. ISBN 978-0-387-20169-6.

[46] Euclid's Elements, Book IX, Proposition 20. See David Joyce's English translation of Euclid's proof or Williamson, James (1782). The Elements of Euclid, With Dissertations. Oxford: Clarendon Press. hlm. 63. OCLC 642232959.

[47] Vardi, Ilan (1991). Computational Recreations in Mathematica. Addison-Wesley. hlm. 82–89. ISBN 978-0-201-52989-0.

[matiyasevich-48] Matiyasevich, Yuri V. (1999). "Formulas for prime numbers". Dalam Tabachnikov, Serge. Kvant Selecta: Algebra and Analysis. II. American Mathematical Society. hlm. 13–24. ISBN 978-0-8218-1915-9.

[49] Mackinnon, Nick (June 1987). "Prime number formulae". The Mathematical Gazette. 71 (456): 113–114. doi:10.2307/3616496. JSTOR 3616496.

[50] Wright, E.M. (1951). "A prime-representing function". American Mathematical Monthly. 58 (9): 616–618. doi:10.2307/2306356. JSTOR 2306356.

[51] Guy 2013, p. vii.

[52] Guy 2013, C1 Goldbach's conjecture, hal. 105–107.

[53] Oliveira e Silva, Tomás; Herzog, Siegfried; Pardi, Silvio (2014). "Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to $4\cdot 10^{18}$ ". Mathematics of Computation. 83 (288): 2033–2060. doi:10.1090/S0025-5718-2013-02787-1 . MR 3194140.

[54] Tao 2009, 3.1 Structure and randomness in the prime numbers, hal. 239–247. Lihat terutama hal. 239.

[55] Guy 2013, hal. 159.

[56] Ramaré, Olivier (1995). "On Šnirel'man's constant". Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. 22 (4): 645–706. MR 1375315.

[57] Rassias, Michael Th. (2017). Goldbach's Problem: Selected Topics. Cham: Springer. hlm. vii. doi:10.1007/978-3-319-57914-6. ISBN 978-3-319-57912-2. MR 3674356.

[58] Koshy 2002, Teorema 2.14, hal. 109. Riesel 1994 diberikan argumen serupa menggunakan primorial sebagai pengganti faktorial.

[riesel-gaps-59] Riesel 1994, "Large gaps between consecutive primes", hal. 78–79.

[60] Sloane, N.J.A. (ed.). "Sequence A100964 (Smallest prime number that begins a prime gap of at least 2n)". On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[rib-gaps-61] Ribenboim 2004, Gaps between primes, hal. 186–192.

[rib-183-62] Ribenboim 2004, hal. 183.

[chan-63] Chan, Joel (February 1996). "Prime time!". Math Horizons. 3 (3): 23–25. doi:10.1080/10724117.1996.11974965. JSTOR 25678057. Perhatikan bahwa Chan mencantumkan konjektur Legendre sebagai "Postulat Sierpinski".

[64] Ribenboim 2004, Prime $k$ -tuples conjecture, pp. 201–202.

[65] Sandifer 2007, Chapter 35, Memperkirakan masalah Basel, hal. 205–208.

[66] Ogilvy, C.S.; Anderson, J.T. (1988). Excursions in Number Theory. Dover Publications Inc. hlm. 29–35. ISBN 978-0-486-25778-5.

[67] Apostol 1976, Bagian 1.6, Teorema 1.13

[68] Apostol 1976, Bagian 4.8, Teorema 4.12

[mtb-invitation-69] Miller, Steven J.; Takloo-Bighash, Ramin (2006). An Invitation to Modern Number Theory. Princeton University Press. hlm. 43–44. ISBN 978-0-691-12060-7.

[70] Crandall & Pomerance 2005, p. 6.

[71] Crandall & Pomerance 2005, Section 3.7, Pencacahan prima, ham. 152-162.

[cranpom10-72] Crandall & Pomerance 2005, hal. 10.

[73] u Sautoy, Marcus (2011). "What are the odds that your telephone number is prime?". The Number Mysteries: A Mathematical Odyssey through Everyday Life. St. Martin's Press. hlm. 50–52. ISBN 978-0-230-12028-0.

[74] Apostol 1976, Bagian 4.6, Teorema 4.7

[75] Gelfand, I.M.; Shen, Alexander (2003). Algebra. Springer. hlm. 37. ISBN 978-0-8176-3677-7.

[76] Mollin, Richard A. (1997). Fundamental Number Theory with Applications. Discrete Mathematics and Its Applications. CRC Press. hlm. 76. ISBN 978-0-8493-3987-5.

[77] Crandall & Pomerance 2005, Theorem 1.1.5, p. 12.

[78] Green, Ben; Tao, Terence (2008). "The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions". Annals of Mathematics. 167 (2): 481–547. arXiv:math.NT/0404188 . doi:10.4007/annals.2008.167.481.

[79] Hua, L.K. (2009) [1965]. Additive Theory of Prime Numbers. Translations of Mathematical Monographs. 13. Providence, RI: American Mathematical Society. hlm. 176–177. ISBN 978-0-8218-4942-2. MR 0194404. OCLC 824812353.

[80] Urutan bilangan prima ini, dimulai dari $n=1$ dan bukan $n=0$ , ditulis oleh Lava, Paolo Pietro; Balzarotti, Giorgio (2010). "Chapter 33. Formule fortunate". 103 curiosità matematiche: Teoria dei numeri, delle cifre e delle relazioni nella matematica contemporanea (dalam bahasa Italia). Ulrico Hoepli Editore S.p.A. hlm. 133. ISBN 978-88-203-5804-4.

[81] Chamberland, Marc (2015). "The Heegner numbers". Single Digits: In Praise of Small Numbers. Princeton University Press. hlm. 213–215. ISBN 978-1-4008-6569-7.

[guy-a1-82] Guy, Richard (2013). "A1 Prime values of quadratic functions". Unsolved Problems in Number Theory. Problem Books in Mathematics (edisi ke-3rd). Springer. hlm. 7–10. ISBN 978-0-387-26677-0.

[83] Patterson, S.J. (1988). An introduction to the theory of the Riemann zeta-function. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 14. Cambridge University Press, Cambridge. hlm. 1. doi:10.1017/CBO9780511623707. ISBN 978-0-521-33535-5. MR 0933558.

[84] Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea (2008). The Riemann hypothesis: A resource for the afficionado and virtuoso alike. CMS Books in Mathematics/Ouvrages de Mathématiques de la SMC. New York: Springer. hlm. 10–11. doi:10.1007/978-0-387-72126-2. ISBN 978-0-387-72125-5. MR 2463715.

[85] Sandifer 2007, hal. 191–193.

[86] Borwein et al. 2008, Konjektur 2.7 (hipotesis Riemann), hal. 15.

[87] Patterson 1988, p. 7.

[bcrw18-88] Borwein et al. 2008, p. 18.

[89] Nathanson 2000, Bab 9, Teorema bilangan prima, hal. 289–324.

[90] Zagier, Don (1977). "The first 50 million prime numbers". The Mathematical Intelligencer. 1 (S2): 7–19. doi:10.1007/bf03351556. Lihat khususnya hal. 14–16.

[91] (Kraft & Washington 2014), Proposisi 5.3, hal. 96.

[92] Shahriari, Shahriar (2017). Algebra in Action: A Course in Groups, Rings, and Fields. Pure and Applied Undergraduate Texts. 27. American Mathematical Society. hlm. 20–21. ISBN 978-1-4704-2849-5.

[93] Dudley 1978, Teorema 3, hal. 28.

[94] Shahriari 2017, hal. 27–28.

[95] Ribenboim 2004, Teorema kecil Fermat dan akar primitif modulo a prima, hal. 17–21.

[96] Ribenboim 2004, The property of Giuga, hal. 21–22.

[97] Ribenboim 2004, The theorem of Wilson, hal. 21.

[childress-98] Childress, Nancy (2009). Class Field Theory. Universitext. Springer, New York. hlm. 8–11. doi:10.1007/978-0-387-72490-4. ISBN 978-0-387-72489-8. MR 2462595. Lihat pula hal. 64.

[99] Erickson, Marty; Vazzana, Anthony; Garth, David (2016). Introduction to Number Theory. Textbooks in Mathematics (edisi ke-2nd). Boca Raton, FL: CRC Press. hlm. 200. ISBN 978-1-4987-1749-6. MR 3468748.

[100] Weil, André (1995). Basic Number Theory. Classics in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag. hlm. 43. ISBN 978-3-540-58655-5. MR 1344916. Namun perhatikan bahwa beberapa penulis seperti (Childress 2009) malah menggunakan "tempat" untuk mengartikan kelas norma yang setara.

[101] Koch, H. (1997). Algebraic Number Theory. Berlin: Springer-Verlag. hlm. 136. CiteSeerX 10.1.1.309.8812 . doi:10.1007/978-3-642-58095-6. ISBN 978-3-540-63003-6. MR 1474965.

[102] Lauritzen, Niels (2003). Concrete Abstract Algebra: From numbers to Gröbner bases. Cambridge: Cambridge University Press. hlm. 127. doi:10.1017/CBO9780511804229. ISBN 978-0-521-53410-9. MR 2014325.

[103] Lauritzen 2003, Corollary 3.5.14, p. 133; Lemma 3.5.18, p. 136.

[104] Kraft & Washington 2014, Section 12.1, Sums of two squares, pp. 297–301.

[105] Eisenbud, David (1995). Commutative Algebra. Graduate Texts in Mathematics. 150. Berlin; New York: Springer-Verlag. Section 3.3. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 978-0-387-94268-1. MR 1322960.

[106] Shafarevich, Igor R. (2013). "Definition of $\operatorname {Spec} A$ ". Basic Algebraic Geometry 2: Schemes and Complex Manifolds (edisi ke-3rd). Springer, Heidelberg. hlm. 5. doi:10.1007/978-3-642-38010-5. ISBN 978-3-642-38009-9. MR 3100288.

[107] Neukirch, Jürgen (1999). Algebraic Number Theory. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. 322. Berlin: Springer-Verlag. Section I.8, hal. 50. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859.

[108] Neukirch 1999, Bagian I.7, hal. 38

[109] Stevenhagen, P.; Lenstra, H.W., Jr. (1996). "Chebotarëv and his density theorem". The Mathematical Intelligencer. 18 (2): 26–37. CiteSeerX 10.1.1.116.9409 . doi:10.1007/BF03027290. MR 1395088.

[110] Hall, Marshall (2018). The Theory of Groups. Dover Books on Mathematics. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-81690-6. For the Sylow theorems see p. 43; for Lagrange's theorem, see p. 12; for Burnside's theorem see p. 143.

[111] Bryant, John; Sangwin, Christopher J. (2008). How Round is Your Circle?: Where Engineering and Mathematics Meet. Princeton University Press. p. 178. ISBN 978-0-691-13118-4.

[112] Hardy, Godfrey Harold (2012) [1940]. A Mathematician's Apology. Cambridge University Press. hlm. 140. ISBN 978-0-521-42706-7. OCLC 922010634. No one has yet discovered any warlike purpose to be served by the theory of numbers or relativity, and it seems unlikely that anyone will do so for many years.

[113] Giblin, Peter (1993). Primes and Programming. Cambridge University Press. hlm. 39. ISBN 978-0-521-40988-9.

[114] Giblin 1993, p. 54

[p._220-115] Riesel 1994, p. 220.

[116] Bullynck, Maarten (2010). "A history of factor tables with notes on the birth of number theory 1657–1817". Revue d'Histoire des Mathématiques. 16 (2): 133–216.

[117] Wagstaff, Samuel S. Jr. (2013). The Joy of Factoring. Student mathematical library. 68. American Mathematical Society. hlm. 191. ISBN 978-1-4704-1048-3.

[118] Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005). Prime Numbers: A Computational Perspective (edisi ke-2nd). Springer. hlm. 121. ISBN 978-0-387-25282-7.

[119] Farach-Colton, Martín; Tsai, Meng-Tsung (2015). "On the complexity of computing prime tables". Dalam Elbassioni, Khaled; Makino, Kazuhisa. Algorithms and Computation: 26th International Symposium, ISAAC 2015, Nagoya, Japan, December 9-11, 2015, Proceedings. Lecture Notes in Computer Science. 9472. Springer. hlm. 677–688. arXiv:1504.05240 . doi:10.1007/978-3-662-48971-0_57.

[120] Greaves, George (2013). Sieves in Number Theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3. Folge). 43. Springer. hlm. 1. ISBN 978-3-662-04658-6.

[hromkovic-121] Hromkovič, Juraj (2001). "5.5 Bibliographic Remarks". Algorithmics for Hard Problems. Texts in Theoretical Computer Science. An EATCS Series. Springer-Verlag, Berlin. hlm. 383–385. doi:10.1007/978-3-662-04616-6. ISBN 978-3-540-66860-2. MR 1843669.

[koblitz-123] Koblitz, Neal (1987). "Chapter V. Primality and Factoring". A Course in Number Theory and Cryptography. Graduate Texts in Mathematics. 114. Springer-Verlag, New York. hlm. 112–149. doi:10.1007/978-1-4684-0310-7_5. ISBN 978-0-387-96576-5. MR 0910297.

[124] Pieprzyk, Josef; Hardjono, Thomas; Seberry, Jennifer (2013). "2.3.9 Probabilistic Computations". Fundamentals of Computer Security. Springer. hlm. 51–52. ISBN 978-3-662-07324-7.

[tao-aks-125] Tao, Terence (2010). "1.11 The AKS primality test". An epsilon of room, II: Pages from year three of a mathematical blog. Graduate Studies in Mathematics. 117. Providence, RI: American Mathematical Society. hlm. 82–86. doi:10.1090/gsm/117. ISBN 978-0-8218-5280-4. MR 2780010.

[atkin-morain-126] Atkin, A O.L.; Morain, F. (1993). "Elliptic curves and primality proving" (PDF). Mathematics of Computation. 61 (203): 29–68. Bibcode:1993MaCom..61...29A. doi:10.1090/s0025-5718-1993-1199989-x . JSTOR 2152935. MR 1199989.

[morain-127] Morain, F. (2007). "Implementing the asymptotically fast version of the elliptic curve primality proving algorithm". Mathematics of Computation. 76 (257): 493–505. arXiv:math/0502097 . Bibcode:2007MaCom..76..493M. doi:10.1090/S0025-5718-06-01890-4. MR 2261033.

[129] Lenstra, H. W. Jr.; Pomerance, Carl (2019). "Primality testing with Gaussian periods" (PDF). Journal of the European Mathematical Society. 21 (4): 1229–1269. doi:10.4171/JEMS/861. MR 3941463.

[PSW-130] Carl Pomerance; John L. Selfridge; Samuel S. Wagstaff, Jr. (July 1980). "The pseudoprimes to 25·10⁹" (PDF). Mathematics of Computation. 35 (151): 1003–1026. doi:10.1090/S0025-5718-1980-0572872-7 . JSTOR 2006210.

[lpsp-131] Robert Baillie; Samuel S. Wagstaff, Jr. (October 1980). "Lucas Pseudoprimes" (PDF). Mathematics of Computation. 35 (152): 1391–1417. doi:10.1090/S0025-5718-1980-0583518-6 . JSTOR 2006406. MR 0583518.

[monier-132] Monier, Louis (1980). "Evaluation and comparison of two efficient probabilistic primality testing algorithms". Theoretical Computer Science. 12 (1): 97–108. doi:10.1016/0304-3975(80)90007-9 . MR 0582244.

[133] Tao, Terence (2009). "1.7 The Lucas–Lehmer test for Mersenne primes". Poincaré's legacies, pages from year two of a mathematical blog. Part I. Providence, RI: American Mathematical Society. hlm. 36–41. ISBN 978-0-8218-4883-8. MR 2523047.

[134] Kraft & Washington 2014, p. 41.

[135] For instance see Guy 2013, A3 Mersenne primes. Repunits. Fermat numbers. Primes of shape $k\cdot 2^{n}+1$ . pp. 13–21.

[136] "Record 12-Million-Digit Prime Number Nets $100,000 Prize". Electronic Frontier Foundation. October 14, 2009. Diakses tanggal 2010-01-04.

[137] "EFF Cooperative Computing Awards". Electronic Frontier Foundation. 2008-02-29. Diakses tanggal 2010-01-04.

[138] "PrimeGrid's Seventeen or Bust Subproject" (PDF). Diakses tanggal 2017-01-03.

[139] Caldwell, Chris K. "The Top Twenty: Largest Known Primes". The Prime Pages. Diakses tanggal 2017-01-03.

[140] Caldwell, Chris K. "The Top Twenty: Factorial". The Prime Pages. Diakses tanggal 2017-01-03.

[141] Ribenboim 2004, p. 4.

[143] Caldwell, Chris K. "The Top Twenty: Primorial". The Prime Pages. Diakses tanggal 2017-01-03.

[144] Caldwell, Chris K. "The Top Twenty: Twin Primes". The Prime Pages. Diakses tanggal 2017-01-03.

[145] Kraft & Washington 2014, p. 275.

[146] Hoffstein, Jeffrey; Pipher, Jill; Silverman, Joseph H. (2014). An Introduction to Mathematical Cryptography. Undergraduate Texts in Mathematics (edisi ke-2nd). Springer. hlm. 329. ISBN 978-1-4939-1711-2.

[147] Pomerance, Carl (1996). "A tale of two sieves". Notices of the American Mathematical Society. 43 (12): 1473–1485. MR 1416721.

[148] Emmanuel Thomé, “795-bit factoring and discrete logarithms,” December 2, 2019.

[149] Rieffel, Eleanor G.; Polak, Wolfgang H. (2011). "Chapter 8. Shor's Algorithm". Quantum Computing: A Gentle Introduction. MIT Press. hlm. 163–176. ISBN 978-0-262-01506-6.

[150] Martín-López, Enrique; Laing, Anthony; Lawson, Thomas; Alvarez, Roberto; Zhou, Xiao-Qi; O'Brien, Jeremy L. (12 October 2012). "Experimental realization of Shor's quantum factoring algorithm using qubit recycling". Nature Photonics. 6 (11): 773–776. arXiv:1111.4147 . Bibcode:2012NaPho...6..773M. doi:10.1038/nphoton.2012.259.

[151] Chirgwin, Richard (October 9, 2016). "Crypto needs more transparency, researchers warn". The Register.

[152] Hoffstein, Pipher & Silverman 2014, Section 2.3, Diffie–Hellman key exchange, pp. 65–67.

[153] Templat:Introduction to Algorithms For $k$ -independent hashing see problem 11–4, p. 251. For the credit to Carter and Wegman, see the chapter notes, p. 252.

[154] Goodrich, Michael T.; Tamassia, Roberto (2006). Data Structures & Algorithms in Java (edisi ke-4th). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-73884-8. See "Quadratic probing", p. 382, and exercise C–9.9, p. 415.

[155] Kirtland, Joseph (2001). Identification Numbers and Check Digit Schemes. Classroom Resource Materials. 18. Mathematical Association of America. hlm. 43–44. ISBN 978-0-88385-720-5.

[156] Deutsch, P. (1996). ZLIB Compressed Data Format Specification version 3.3. Request for Comments. 1950. Network Working Group.

[157] Knuth, Donald E. (1998). "3.2.1 The linear congruential model". The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical algorithms (edisi ke-3rd). Addison-Wesley. hlm. 10–26. ISBN 978-0-201-89684-8.

[158] Matsumoto, Makoto; Nishimura, Takuji (1998). "Mersenne Twister: A 623-dimensionally equidistributed uniform pseudo-random number generator". ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation. 8 (1): 3–30. CiteSeerX 10.1.1.215.1141 . doi:10.1145/272991.272995.

[159] Roth, K.F. (1951). "On a problem of Heilbronn". Journal of the London Mathematical Society. Second Series. 26 (3): 198–204. doi:10.1112/jlms/s1-26.3.198. MR 0041889.

[160] Cox, David A. (2011). "Why Eisenstein proved the Eisenstein criterion and why Schönemann discovered it first" (PDF). American Mathematical Monthly. 118 (1): 3–31. CiteSeerX 10.1.1.398.3440 . doi:10.4169/amer.math.monthly.118.01.003.

[161] Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. 211. Berlin; New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-0-387-95385-4. MR 1878556. , Section II.1, p. 90

[162] Schubert, Horst (1949). "Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Knotens in Primknoten". S.-B Heidelberger Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl. 1949 (3): 57–104. MR 0031733.

[163] Milnor, J. (1962). "A unique decomposition theorem for 3-manifolds". American Journal of Mathematics. 84 (1): 1–7. doi:10.2307/2372800. JSTOR 2372800. MR 0142125.

[164] (Boklan & Conway 2017) also include $2^{0}+1=2$ , which is not of this form.

[kls-165] Křížek, Michal; Luca, Florian; Somer, Lawrence (2001). 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry. CMS Books in Mathematics. 9. New York: Springer-Verlag. hlm. 1–2. doi:10.1007/978-0-387-21850-2. ISBN 978-0-387-95332-8. MR 1866957.

[166] Boklan, Kent D.; Conway, John H. (January 2017). "Expect at most one billionth of a new Fermat prime!". The Mathematical Intelligencer. 39 (1): 3–5. arXiv:1605.01371 . doi:10.1007/s00283-016-9644-3.

[167] Gleason, Andrew M. (1988). "Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon". American Mathematical Monthly. 95 (3): 185–194. doi:10.2307/2323624. JSTOR 2323624. MR 0935432.

[168] Ziegler, Günter M. (2015). "Cannons at sparrows". European Mathematical Society Newsletter (95): 25–31. MR 3330472.

[169] Peterson, Ivars (June 28, 1999). "The Return of Zeta". MAA Online. Diarsipkan dari versi asli tanggal October 20, 2007. Diakses tanggal 2008-03-14.

[170] Hayes, Brian (2003). "Computing science: The spectrum of Riemannium". American Scientist. 91 (4): 296–300. doi:10.1511/2003.26.3349. JSTOR 27858239.

[171] Bengtsson, Ingemar; Życzkowski, Karol (2017). Geometry of quantum states : an introduction to quantum entanglement (edisi ke-Second). Cambridge: Cambridge University Press. hlm. 313–354. ISBN 978-1-107-02625-4. OCLC 967938939.

[172] Zhu, Huangjun (2010). "SIC POVMs and Clifford groups in prime dimensions". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 43 (30): 305305. arXiv:1003.3591 . Bibcode:2010JPhA...43D5305Z. doi:10.1088/1751-8113/43/30/305305.

[173] Goles, E.; Schulz, O.; Markus, M. (2001). "Prime number selection of cycles in a predator-prey model". Complexity. 6 (4): 33–38. Bibcode:2001Cmplx...6d..33G. doi:10.1002/cplx.1040.

[174] Campos, Paulo R.A.; de Oliveira, Viviane M.; Giro, Ronaldo; Galvão, Douglas S. (2004). "Emergence of prime numbers as the result of evolutionary strategy". Physical Review Letters. 93 (9): 098107. arXiv:q-bio/0406017 . Bibcode:2004PhRvL..93i8107C. doi:10.1103/PhysRevLett.93.098107. PMID 15447148.

[175] "Invasion of the Brood". The Economist. May 6, 2004. Diakses tanggal 2006-11-26.

[176] Zimmer, Carl (May 15, 2015). "Bamboo Mathematicians". Phenomena: The Loom. National Geographic. Diakses tanggal February 22, 2018.

[177] Hill, Peter Jensen, ed. (1995). The Messiaen companion. Portland, OR: Amadeus Press. Ex. 13.2 Messe de la Pentecôte 1 'Entrée'. ISBN 978-0-931340-95-6.

[178] Pomerance, Carl (2004). "Prime Numbers and the Search for Extraterrestrial Intelligence" (PDF). Dalam Hayes, David F.; Ross, Peter. Mathematical Adventures for Students and Amateurs. MAA Spectrum. Washington, DC: Mathematical Association of America. hlm. 3–6. ISBN 978-0-88385-548-5. MR 2085842.

[179] GrrlScientist (September 16, 2010). "The Curious Incident of the Dog in the Night-Time". Science. The Guardian. Diakses tanggal February 22, 2010.

[180] Schillinger, Liesl (April 9, 2010). "Counting on Each Other". Sunday Book Review. The New York Times.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[a]

[29]

[b]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[68]

[69]

[70]

[71]

[72]

[73]

[74]

[75]

[76]

[77]

[78]

[79]

[80]

[81]

[82]

[83]

[84]

[85]

[86]

[87]

[88]

[89]

[90]

[91]

[92]

[93]

[94]

[95]

[96]

[97]

[98]

[99]

[100]

[101]

@@ Baris 38: / Baris 38: @@
 Sekitar 1000 M, matematikawan [[Matematika dalam Islam abad pertengahan|Islam]] [[Ibn al-Haytham]] (Alhazen) menemukan [[teorema Wilson]] dengan mencirikan bilangan prima sebagai bilangan <math>n</math> yang membagi rata <math>(n-1)!+1</math>. Ia juga menduga bahwa semua bilangan sempurna genap berasal dari konstruksi Euklides yang menggunakan bilangan prima Mersenne, tetapi tidak dapat membuktikannya.<ref>{{MacTutor Biography|id=Al-Haytham|title=Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham|mode=cs1}}</ref> Matematikawan Islam lainnya, [[Ibn al-Banna' al-Marrakushi]] mengamati bahwa pitas Eratosthenes dapat dipercepat dengan menguji hanya pembagi hingga akar kuadrat dari bilangan terbesar yang akan diuji. [[Fibonacci]] membawa inovasi dari matematika Islam kembali ke Eropa. ''[[Liber Abaci]]'' (1202) dalam bukunya yang pertama mendeskripsikan [[pembagian percobaan]] untuk menguji primalitas, sekali lagi menggunakan pembagi hanya akar kuadrat hingga.<ref name="mollin"/>
+Pada tahun 1640 [[Pierre de Fermat]] menyatakan (tanpa pembuktian) [[teorema kecil Fermat]], kemudian dibuktikan dengan [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] dan [[Leonhard Euler|Euler]]).<ref>{{harvnb|Sandifer|2007}}, [https://books.google.com/books?id=sohHs7ExOsYC&pg=PA45 8. Fermat's Little Theorem (November 2003), hal. 45]</ref> Fermat juga menyelidiki primalitas [[bilangan Fermat]]
-====...====
+<math>2^{2^n}+1</math>,<ref>{{cite book|title=How Euler Did Even More|first=C. Edward|last=Sandifer|publisher=Mathematical Association of America|year=2014|isbn=978-0-88385-584-3|page=42|url=https://books.google.com/books?id=3c6iBQAAQBAJ&pg=PA42}}</ref> dan [[Marin Mersenne]] mempelajari [[prima Mersenne]], bilangan prima dari bentuk <math>2^p-1</math> dengan <math>p</math> sendiri adalah bilangan prima.<ref>{{cite book|title=Elementary Number Theory with Applications|first=Thomas|last=Koshy|publisher=Academic Press|year=2002|isbn=978-0-12-421171-1|page=369|url=https://books.google.com/books?id=-9pg-4Pa19IC&pg=PA369}}</ref> [[Christian Goldbach]] merumuskan [[konjektur Goldbach]], bahwa setiap bilangan genap adalah jumlah dari dua bilangan prima, dalam surat tahun 1742 untuk Euler.<ref>{{cite book|title=Goldbach Conjecture|edition=2nd|volume=4|series=Series In Pure Mathematics|first=Wang|last=Yuan|publisher=World Scientific|year=2002|isbn=978-981-4487-52-8|page=21|url=https://books.google.com/books?id=g4jVCgAAQBAJ&pg=PA21}}</ref> Euler membuktikan konjektur Alhazen (yang saat ini [[teorema Euklides–Euler]]) bahwa semua bilangan sempurna genap dapat dibangun dari bilangan prima Mersenne.<ref name="stillwell-2010-p40"/> Ia memperkenalkan metode dari [[analisis matematis]] ke area ini dalam buktinya tentang ketakhinggaan bilangan prima dan [[divergensi jumlah kebalikan dari bilangan prima]] <math>\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{7}+\tfrac{1}{11}+\cdots</math>.<ref>{{cite book|title=The Development of Prime Number Theory: From Euclid to Hardy and Littlewood|series=Springer Monographs in Mathematics|first=Wladyslaw|last=Narkiewicz|publisher=Springer|year=2000|isbn=978-3-540-66289-1|page=11|contribution=1.2 Sum of Reciprocals of Primes|contribution-url=https://books.google.com/books?id=VVr3EuiHU0YC&pg=PA11}}</ref>
-In 1640 [[Pierre de Fermat]] stated (without proof) [[Fermat's little theorem]] (later proved by [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] and [[Leonhard Euler|Euler]]).<ref>{{harvnb|Sandifer|2007}}, [https://books.google.com/books?id=sohHs7ExOsYC&pg=PA45 8. Fermat's Little Theorem (November 2003), p. 45]</ref> Fermat also investigated the primality of the [[Fermat number]]s
+Pada awal abad ke-19, Legendre dan Gauss menduga bahwa sebagai <math>x</math> cenderung tak-hingga, jumlah bilangan prima hingga <math>x</math> adalah [[Analisis asimtotik|asimptotik]] hingga <math>x/\log x</math>, dimana <math>\log x</math> adalah [[logaritma alami]] dari <math>x</math>. Konsekuensi lemah dari kerapatan bilangan prima tinggi adalah [[postulat Bertrand]], bahwa untuk setiap <math>n > 1</math> terdapat bilangan prima diantara <math>n</math> dan <math>2n</math> yang dibuktikan pada tahun 1852 oleh [[Pafnuty Chebyshev]].<ref>{{cite journal|first=P. |last=Tchebychev |author-link=Pafnuty Chebyshev |title=Mémoire sur les nombres premiers. |journal=Journal de mathématiques pures et appliquées |series=Série 1 |year=1852 |pages=366–390 |url=http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1852_1_17_A19_0.pdf |language=fr}}. (Proof of the postulate: 371–382). Lihat pula Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg, vol. 7, hal. 15–33, 1854</ref> Gagasan [[Bernhard Riemann]] dalam karyanya [[On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude|1859 makalah tentang fungsi-zeta]] membuat sketsa garis besar untuk membuktikan konjektur Legendre dan Gauss. Meskipun [[hipotesis Riemann]] yang terkait erat tetap tidak terbukti, garis besar Riemann diselesaikan pada tahun 1896 oleh [[Jacques Hadamard|Hadamard]] dan [[Charles Jean de la Vallée-Poussin|de la Vallée Poussin]], dan hasilnya sekarang dikenal sebagai [[teorema bilangan prima]].<ref>{{cite book | last = Apostol | first = Tom M. | author-link = Tom M. Apostol | editor1-last = Bambah | editor1-first = R.P. | editor2-last = Dumir | editor2-first = V.C. | editor3-last = Hans-Gill | editor3-first = R.J. | contribution = A centennial history of the prime number theorem | location = Basel | mr = 1764793 | pages = 1–14 | publisher = Birkhäuser | series = Trends in Mathematics | title = Number Theory | contribution-url = https://books.google.com/books?id=aiDyBwAAQBAJ&pg=PA1 | year = 2000}}</ref> Hasil terpenting abad ke-19 lainnya adalah [[Teorema Dirichlet tentang barisan aritmetika]], bahwa [[barisan aritmetika]] tertentu mengandung banyak bilangan prima ketakhinggaan.<ref>{{cite book | last = Apostol | first = Tom M. | author-link = Tom M. Apostol | contribution = 7. Dirichlet's Theorem on Primes in Arithmetical Progressions | contribution-url = https://books.google.com/books?id=3yoBCAAAQBAJ&pg=PA146 | location = New York; Heidelberg | mr = 0434929 | pages = 146–156 | publisher = Springer-Verlag | title = Introduction to Analytic Number Theory | year = 1976 }}</ref>
-<math>2^{2^n}+1</math>,<ref>{{cite book|title=How Euler Did Even More|first=C. Edward|last=Sandifer|publisher=Mathematical Association of America|year=2014|isbn=978-0-88385-584-3|page=42|url=https://books.google.com/books?id=3c6iBQAAQBAJ&pg=PA42}}</ref> and [[Marin Mersenne]] studied the [[Mersenne prime]]s, prime numbers of the form <math>2^p-1</math> with <math>p</math> itself a prime.<ref>{{cite book|title=Elementary Number Theory with Applications|first=Thomas|last=Koshy|publisher=Academic Press|year=2002|isbn=978-0-12-421171-1|page=369|url=https://books.google.com/books?id=-9pg-4Pa19IC&pg=PA369}}</ref> [[Christian Goldbach]] formulated [[Goldbach's conjecture]], that every even number is the sum of two primes, in a 1742 letter to Euler.<ref>{{cite book|title=Goldbach Conjecture|edition=2nd|volume=4|series=Series In Pure Mathematics|first=Wang|last=Yuan|publisher=World Scientific|year=2002|isbn=978-981-4487-52-8|page=21|url=https://books.google.com/books?id=g4jVCgAAQBAJ&pg=PA21}}</ref> Euler proved Alhazen's conjecture (now the [[Euclid–Euler theorem]]) that all even perfect numbers can be constructed from Mersenne primes.<ref name="stillwell-2010-p40"/> He introduced methods from [[mathematical analysis]] to this area in his proofs of the infinitude of the primes and the [[divergence of the sum of the reciprocals of the primes]] <math>\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{7}+\tfrac{1}{11}+\cdots</math>.<ref>{{cite book|title=The Development of Prime Number Theory: From Euclid to Hardy and Littlewood|series=Springer Monographs in Mathematics|first=Wladyslaw|last=Narkiewicz|publisher=Springer|year=2000|isbn=978-3-540-66289-1|page=11|contribution=1.2 Sum of Reciprocals of Primes|contribution-url=https://books.google.com/books?id=VVr3EuiHU0YC&pg=PA11}}</ref>
-At the start of the 19th century, Legendre and Gauss conjectured that as <math>x</math> tends to infinity, the number of primes up to <math>x</math> is [[Asymptotic analysis|asymptotic]] to <math>x/\log x</math>, where <math>\log x</math> is the [[natural logarithm]] of <math>x</math>. A weaker consequence of this high density of primes was [[Bertrand's postulate]], that for every <math>n > 1</math> there is a prime between <math>n</math> and <math>2n</math>, proved in 1852 by [[Pafnuty Chebyshev]].<ref>{{cite journal|first=P. |last=Tchebychev |author-link=Pafnuty Chebyshev |title=Mémoire sur les nombres premiers. |journal=Journal de mathématiques pures et appliquées |series=Série 1 |year=1852 |pages=366–390 |url=http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1852_1_17_A19_0.pdf |language=fr}}. (Proof of the postulate: 371–382). Also see Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg, vol. 7, pp. 15–33, 1854</ref> Ideas of [[Bernhard Riemann]] in his [[On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude|1859 paper on the zeta-function]] sketched an outline for proving the conjecture of Legendre and Gauss. Although the closely related [[Riemann hypothesis]] remains unproven, Riemann's outline was completed in 1896 by [[Jacques Hadamard|Hadamard]] and [[Charles Jean de la Vallée-Poussin|de la Vallée Poussin]], and the result is now known as the [[prime number theorem]].<ref>{{cite book | last = Apostol | first = Tom M. | author-link = Tom M. Apostol | editor1-last = Bambah | editor1-first = R.P. | editor2-last = Dumir | editor2-first = V.C. | editor3-last = Hans-Gill | editor3-first = R.J. | contribution = A centennial history of the prime number theorem | location = Basel | mr = 1764793 | pages = 1–14 | publisher = Birkhäuser | series = Trends in Mathematics | title = Number Theory | contribution-url = https://books.google.com/books?id=aiDyBwAAQBAJ&pg=PA1 | year = 2000}}</ref> Another important 19th century result was [[Dirichlet's theorem on arithmetic progressions]], that certain [[arithmetic progression]]s contain infinitely many primes.<ref>{{cite book | last = Apostol | first = Tom M. | author-link = Tom M. Apostol | contribution = 7. Dirichlet's Theorem on Primes in Arithmetical Progressions | contribution-url = https://books.google.com/books?id=3yoBCAAAQBAJ&pg=PA146 | location = New York; Heidelberg | mr = 0434929 | pages = 146–156 | publisher = Springer-Verlag | title = Introduction to Analytic Number Theory | year = 1976 }}</ref>
-Many mathematicians have worked on [[primality test]]s for numbers larger than those where trial division is practicably applicable. Methods that are restricted to specific number forms include [[Pépin's test]] for Fermat numbers (1877),<ref>{{cite book|title=A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip|first=Jean-Luc|last=Chabert|publisher=Springer|year=2012|isbn=978-3-642-18192-4|page=261|url=https://books.google.com/books?id=XcDqCAAAQBAJ&pg=PA261}}</ref> [[Proth's theorem]] (c. 1878),<ref>{{cite book|title=Elementary Number Theory and Its Applications|first=Kenneth H.|last=Rosen|edition=4th|publisher=Addison-Wesley|year=2000|isbn=978-0-201-87073-2|contribution=Theorem 9.20. Proth's Primality Test|page=342}}</ref> the [[Lucas–Lehmer primality test]] (originated 1856), and the generalized [[Lucas primality test]].<ref name="mollin"/>
+Beberapa matematikawan telah melakukan [[uji primalitas]] untuk bilangan lebih besar dari bilangan penerapan uji pembagian. Metode batasan untuk bentuk bilangan tertentu termasuk [[uji Pépin]] untuk bilangan Fermat (1877),<ref>{{cite book|title=A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip|first=Jean-Luc|last=Chabert|publisher=Springer|year=2012|isbn=978-3-642-18192-4|page=261|url=https://books.google.com/books?id=XcDqCAAAQBAJ&pg=PA261}}</ref> [[Proth's theorem]] (c. 1878),<ref>{{cite book|title=Elementary Number Theory and Its Applications|first=Kenneth H.|last=Rosen|edition=4th|publisher=Addison-Wesley|year=2000|isbn=978-0-201-87073-2|contribution=Theorem 9.20. Proth's Primality Test|page=342}}</ref> [[uji primalitas Lucas–Lehmer]] (dari tahun 1856), dan generalisasi [[uji primalitas Lucas]].<ref name="mollin"/>
-Since 1951 all the [[largest known prime]]s have been found using these tests on [[computer]]s.{{efn|A 44-digit prime number found in 1951 by Aimé Ferrier with a mechanical calculator remains the largest prime not to have been found with the aid of electronic computers.<ref>{{cite book|title=The Once and Future Turing|first1=S. Barry|last1=Cooper|first2=Andrew|last2=Hodges|publisher=Cambridge University Press|year=2016|isbn=978-1-107-01083-3|pages=37–38|url=https://books.google.com/books?id=h12cCwAAQBAJ&pg=PA37}}</ref>}} The search for ever larger primes has generated interest outside mathematical circles, through the [[Great Internet Mersenne Prime Search]] and other [[distributed computing]] projects.<ref name=ziegler/><ref>{{harvnb|Rosen|2000}}, p. 245.</ref> The idea that prime numbers had few applications outside of [[pure mathematics]]{{efn|name="pure"|For instance, Beiler writes that number theorist [[Ernst Kummer]] loved his [[ideal number]]s, closely related to the primes, "because they had not soiled themselves with any practical applications",<ref>{{cite book|title=Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains|first=Albert H.|last=Beiler|year=1999|publisher=Dover|orig-year=1966|isbn=978-0-486-21096-4|page=2|url=https://books.google.com/books?id=NbbbL9gMJ88C&pg=PA2|oclc=444171535}}</ref> and Katz writes that [[Edmund Landau]], known for his work on the distribution of primes, "loathed practical applications of mathematics", and for this reason avoided subjects such as [[geometry]] that had already shown themselves to be useful.<ref>{{cite journal | last = Katz | first = Shaul | doi = 10.1017/S0269889704000092 | issue = 1–2 | journal = Science in Context | mr = 2089305 | pages = 199–234 | title = Berlin roots&nbsp;– Zionist incarnation: the ethos of pure mathematics and the beginnings of the Einstein Institute of Mathematics at the Hebrew University of Jerusalem | volume = 17 | year = 2004| s2cid = 145575536 }}</ref>}} was shattered in the 1970s when [[public-key cryptography]] and the [[RSA (cryptosystem)|RSA]] cryptosystem were invented, using prime numbers as their basis.<ref name="ent-7">{{cite book|title=Elementary Number Theory|series=Textbooks in mathematics|first1=James S.|last1=Kraft|first2=Lawrence C.|last2=Washington|publisher=CRC Press|year=2014|isbn=978-1-4987-0269-0|page=7|url=https://books.google.com/books?id=4NAqBgAAQBAJ&pg=PA7}}</ref>
+Sejak tahun 1951, semua [[bilangan prima terbesar yang diketahui]] telah ditemukan menggunakan tes ini pada [[komputer]].{{efn|Sebuah bilangan prima 44-digit yang ditemukan pada tahun 1951 oleh Aimé Ferrier dengan kalkulator mekanik tetap merupakan bilangan prima terbesar yang tidak ditemukan dengan bantuan komputer elektronik.<ref>{{cite book|title=The Once and Future Turing|first1=S. Barry|last1=Cooper|first2=Andrew|last2=Hodges|publisher=Cambridge University Press|year=2016|isbn=978-1-107-01083-3|pages=37–38|url=https://books.google.com/books?id=h12cCwAAQBAJ&pg=PA37}}</ref>}} Pencarian bilangan prima besar telah membangkitkan minat pada luar lingkaran matematika, melalui [[Pencarian Utama Mersenne Internet Hebat]] dan proyek [[komputasi distribusi]] lainnya.<ref name=ziegler/><ref>{{harvnb|Rosen|2000}}, hal. 245.</ref> Gagasan bahwa bilangan prima memiliki beberapa aplikasi diluar [[matematika murni]],{{efn|name="pure"|Misalnya, Beiler menulis bahwa ahli teori bilangan [[Ernst Kummer]] menyukai [[bilangan ideal]] miliknya, yang terkait erat dengan bilangan prima, "karena mereka tidak mengotori diri mereka dengan aplikasi praktis apa pun",<ref>{{cite book|title=Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains|first=Albert H.|last=Beiler|year=1999|publisher=Dover|orig-year=1966|isbn=978-0-486-21096-4|page=2|url=https://books.google.com/books?id=NbbbL9gMJ88C&pg=PA2|oclc=444171535}}</ref> bahkan Katz menulis bahwa [[Edmund Landau]] yang dikenal karena karyanya tentang distribusi bilangan prima yaitu "''loathed practical applications of mathematics''" dan untuk alasan tersebut untuk menghindari subjek seperti [[geometri]] yang telah terbukti berguna.<ref>{{cite journal | last = Katz | first = Shaul | doi = 10.1017/S0269889704000092 | issue = 1–2 | journal = Science in Context | mr = 2089305 | pages = 199–234 | title = Berlin roots&nbsp;– Zionist incarnation: the ethos of pure mathematics and the beginnings of the Einstein Institute of Mathematics at the Hebrew University of Jerusalem | volume = 17 | year = 2004| s2cid = 145575536 }}</ref>}} sekitar tahun 1970-an ketika [[kriptografi kunci publik]] dan [[RSA (sistem kripto)|RSA]] sistem kripto ditemukan dengan menggunakan bilangan prima sebagai basisnya.<ref name="ent-7">{{cite book|title=Elementary Number Theory|series=Textbooks in mathematics|first1=James S.|last1=Kraft|first2=Lawrence C.|last2=Washington|publisher=CRC Press|year=2014|isbn=978-1-4987-0269-0|page=7|url=https://books.google.com/books?id=4NAqBgAAQBAJ&pg=PA7}}</ref>
-The increased practical importance of computerized primality testing and factorization led to the development of improved methods capable of handling large numbers of unrestricted form.<ref name="pomerance-sciam"/><ref>{{cite book|title=Secret History: The Story of Cryptology|series=Discrete Mathematics and Its Applications|first=Craig P.|last=Bauer|publisher=CRC Press|year=2013|isbn=978-1-4665-6186-1|page=468|url=https://books.google.com/books?id=EBkEGAOlCDsC&pg=PA468}}</ref><ref>{{cite book|title=Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory|volume=11|series=Dolciani mathematical expositions|first1=Victor|last1=Klee|author1-link=Victor Klee|first2=Stan|last2=Wagon|author2-link=Stan Wagon|publisher=Cambridge University Press|year=1991|isbn=978-0-88385-315-3|page=224|url=https://books.google.com/books?id=tRdoIhHh3moC&pg=PA224}}</ref> The mathematical theory of prime numbers also moved forward with the [[Green–Tao theorem]] (2004) that there are arbitrarily long arithmetic progressions of prime numbers, and [[Yitang Zhang]]'s 2013 proof that there exist infinitely many [[prime gap]]s of bounded size.<ref name="neale-18-47">{{harvnb|Neale|2017}}, pp. 18, 47.</ref>
+Meningkatnya kepentingan praktis dari pengujian dan faktorisasi primalitas terkomputerisasi menyebabkan pengembangan metode menjadi lebih baik yang mampu menangani sejumlah besar bentuk ketakhinggaan.<ref name="pomerance-sciam"/><ref>{{cite book|title=Secret History: The Story of Cryptology|series=Discrete Mathematics and Its Applications|first=Craig P.|last=Bauer|publisher=CRC Press|year=2013|isbn=978-1-4665-6186-1|page=468|url=https://books.google.com/books?id=EBkEGAOlCDsC&pg=PA468}}</ref><ref>{{cite book|title=Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory|volume=11|series=Dolciani mathematical expositions|first1=Victor|last1=Klee|author1-link=Victor Klee|first2=Stan|last2=Wagon|author2-link=Stan Wagon|publisher=Cambridge University Press|year=1991|isbn=978-0-88385-315-3|page=224|url=https://books.google.com/books?id=tRdoIhHh3moC&pg=PA224}}</ref> Teori matematika bilangan prima juga terus berkembang dengan [[teorema Green-Tao]] (2004) bahwa barisan aritmetika panjang yang cenderung dari bilangan prima, dan pembuktian pada tahun 2013 [[Yitang Zhang]] bahwa memiliki banyak [[uji celah prima]] ketakhinggaan.<ref name="neale-18-47">{{harvnb|Neale|2017}}, pp. 18, 47.</ref>
+<!--
 ===Primality of one===
-Most early Greeks did not even consider 1 to be a number,<ref name="crxk-34">{{cite journal | last1 = Caldwell | first1 = Chris K. | last2 = Reddick | first2 = Angela | last3 = Xiong | first3 = Yeng | last4 = Keller | first4 = Wilfrid | issue = 9 | journal = [[Journal of Integer Sequences]] | mr = 3005523 | page = Article 12.9.8 | title = The history of the primality of one: a selection of sources | url = https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Caldwell2/cald6.html | volume = 15 | year = 2012 }} For a selection of quotes from and about the ancient Greek positions on this issue, see in particular pp. 3–4. For the Islamic mathematicians, see p. 6.</ref><ref>{{cite book|title=Speusippus of Athens: A Critical Study With a Collection of the Related Texts and Commentary|volume=39|series=Philosophia Antiqua : A Series of Monographs on Ancient Philosophy|first=Leonardo|last=Tarán|publisher=Brill|year=1981|isbn=978-90-04-06505-5|pages=35–38|url=https://books.google.com/books?id=cUPXqSb7V1wC&pg=PA35}}</ref> so they could not consider its primality. A few mathematicians from this time also considered the prime numbers to be a subdivision of the odd numbers, so they also did not consider 2 to be prime. However, Euclid and a majority of the other Greek mathematicians considered 2 as prime. The [[Mathematics in medieval Islam|medieval Islamic mathematicians]] largely followed the Greeks in viewing 1 as not being a number.<ref name="crxk-34"/>
+Kebanyakan orang Yunani awal bahkan tidak menganggap 1 sebagai angka,<ref name="crxk-34">{{cite journal | last1 = Caldwell | first1 = Chris K. | last2 = Reddick | first2 = Angela | last3 = Xiong | first3 = Yeng | last4 = Keller | first4 = Wilfrid | issue = 9 | journal = [[Journal of Integer Sequences]] | mr = 3005523 | page = Article 12.9.8 | title = The history of the primality of one: a selection of sources | url = https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Caldwell2/cald6.html | volume = 15 | year = 2012 }} For a selection of quotes from and about the ancient Greek positions on this issue, see in particular pp. 3–4. For the Islamic mathematicians, see p. 6.</ref><ref>{{cite book|title=Speusippus of Athens: A Critical Study With a Collection of the Related Texts and Commentary|volume=39|series=Philosophia Antiqua : A Series of Monographs on Ancient Philosophy|first=Leonardo|last=Tarán|publisher=Brill|year=1981|isbn=978-90-04-06505-5|pages=35–38|url=https://books.google.com/books?id=cUPXqSb7V1wC&pg=PA35}}</ref> so they could not consider its primality. A few mathematicians from this time also considered the prime numbers to be a subdivision of the odd numbers, so they also did not consider 2 to be prime. However, Euclid and a majority of the other Greek mathematicians considered 2 as prime. The [[Mathematics in medieval Islam|medieval Islamic mathematicians]] largely followed the Greeks in viewing 1 as not being a number.<ref name="crxk-34"/>
 By the Middle Ages and Renaissance, mathematicians began treating 1 as a number, and some of them included it as the first prime number.<ref>{{harvnb|Caldwell|Reddick|Xiong|Keller|2012}}, pp. 7–13. See in particular the entries for Stevin, Brancker, Wallis, and Prestet.</ref> In the mid-18th century [[Christian Goldbach]] listed 1 as prime in his correspondence with [[Leonhard Euler]]; however, Euler himself did not consider 1 to be prime.<ref>{{harvnb|Caldwell|Reddick|Xiong|Keller|2012}}, p. 15.</ref> In the 19th century many mathematicians still considered 1 to be prime,<ref name="cx"/> and lists of primes that included 1 continued to be published as recently as 1956.<ref>{{cite book | last=Riesel | first=Hans | author-link= Hans Riesel | title=Prime Numbers and Computer Methods for Factorization | publisher=Birkhäuser | location=Basel, Switzerland | isbn=978-0-8176-3743-9 | year=1994|page=36|edition=2nd|mr=1292250|url=https://books.google.com/books?id=ITvaBwAAQBAJ&pg=PA36 | doi=10.1007/978-1-4612-0251-6 }}</ref><ref name="cg-bon-129-130">{{cite book | last1=Conway | first1=John Horton | author1-link=John Horton Conway | last2=Guy | first2=Richard K. | author2-link=Richard K. Guy | title=The Book of Numbers | url=https://archive.org/details/bookofnumbers0000conw | url-access=registration | publisher=Copernicus | location=New York | isbn=978-0-387-97993-9 | year=1996 | pages = [https://archive.org/details/bookofnumbers0000conw/page/129 129–130] | mr=1411676 | doi=10.1007/978-1-4612-4072-3 }}</ref>
-If the definition of a prime number were changed to call 1 a prime, many statements involving prime numbers would need to be reworded in a more awkward way. For example, the fundamental theorem of arithmetic would need to be rephrased in terms of factorizations into primes greater than 1, because every number would have multiple factorizations with different numbers of copies of 1.<ref name="cx">{{cite journal | last1 = Caldwell | first1 = Chris K. | last2 = Xiong | first2 = Yeng | issue = 9 | journal = [[Journal of Integer Sequences]] | mr = 3005530 | page = Article 12.9.7 | title = What is the smallest prime? | url = https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Caldwell1/cald5.pdf | volume = 15 | year = 2012}}</ref> Similarly, the [[sieve of Eratosthenes]] would not work correctly if it handled 1 as a prime, because it would eliminate all multiples of 1 (that is, all other numbers) and output only the single number 1.<ref name="cg-bon-129-130"/> Some other more technical properties of prime numbers also do not hold for the number 1: for instance, the formulas for [[Euler's totient function]] or for the [[Sum-of-divisors function|sum of divisors function]] are different for prime numbers than they are for 1.<ref>For the totient, see {{harvnb|Sierpiński|1988}}, [https://books.google.com/books?id=ktCZ2MvgN3MC&pg=PA245 p. 245]. For the sum of divisors, see {{cite book|title=How Euler Did It|series=MAA Spectrum|first=C. Edward|last=Sandifer|publisher=Mathematical Association of America|year=2007|isbn=978-0-88385-563-8|page=59|url=https://books.google.com/books?id=sohHs7ExOsYC&pg=PA59}}</ref> By the early 20th century, mathematicians began to agree that 1 should not be listed as prime, but rather in its own special category as a "[[Unit (ring theory)|unit]]".<ref name="cx"/>
+If the definition of a prime number were changed to call 1 a prime, many statements involving prime numbers would need to be reworded in a more awkward way. For example, the fundamental theorem of arithmetic would need to be rephrased in terms of factorizations into primes greater than 1, because every number would have multiple factorizations with different numbers of copies of 1.<ref name="cx">{{cite journal | last1 = Caldwell | first1 = Chris K. | last2 = Xiong | first2 = Yeng | issue = 9 | journal = [[Journal of Integer Sequences]] | mr = 3005530 | page = Article 12.9.7 | title = What is the smallest prime? | url = https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Caldwell1/cald5.pdf | volume = 15 | year = 2012}}</ref> Similarly, the [[sieve of Eratosthenes]] would not work correctly if it handled 1 as a prime, because it would eliminate all multiples of 1 (that is, all other numbers) and output only the single number 1.<ref name="cg-bon-129-130"/> Some other more technical properties of prime numbers also do not hold for the number 1: for instance, the formulas for [[Euler's totient function]] or for the [[Sum-of-divisors function|sum of divisors function]] are different for prime numbers than they are for 1.<ref>For the totient, see {{harvnb|Sierpiński|1988}}, [https://books.google.com/books?id=ktCZ2MvgN3MC&pg=PA245 p. 245]. For the sum of divisors, see {{cite book|title=How Euler Did It|series=MAA Spectrum|first=C. Edward|last=Sandifer|publisher=Mathematical Association of America|year=2007|isbn=978-0-88385-563-8|page=59|url=https://books.google.com/books?id=sohHs7ExOsYC&pg=PA59}}</ref> By the early 20th century, mathematicians began to agree that 1 should not be listed as prime, but rather in its own special category as a "[[Unit (ring theory)|unit]]".<ref name="cx"/>-->
 == Sifat dasar ==
@@ Baris 117: / Baris 116: @@
 ===Bukti analitik teorema Euklides===
-[[Bukti bahwa jumlah kebalikan dari bilangan prima divergen|Bukti Euler bahwa ada banyak bilangan prima]] yang mempertimbangkan jumlah [[perkalian invers|kebalikan]] dari bilangan prima,
+[[Bukti bahwa jumlah kebalikan dari bilangan prima divergen|Bukti Euler bahwa ada banyak bilangan prima]] yang mempertimbangkan jumlah [[perkalian invers|kebalikan]] dari bilangan prima
 :<math>\frac 1 2 + \frac 1 3 + \frac 1 5 + \frac 1 7 + \cdots + \frac 1 p.</math>
-Euler menunjukkan bahwa untuk sembarang [[bilangan reall]] <math>x</math>, terdapat sebuah <math>p</math> prima yang jumlahnya lebih besar dari <math>x</math>. <ref>{{harvnb|Apostol|1976}}, Bagian 1.6, Teorema 1.13</ref> Ini menunjukkan bahwa ada banyak bilangan prima karena jika ada banyak bilangan prima, jumlah tersebut akan mencapai nilai maksimumnya pada bilangan prima terbesar dari bertambah melewati setiap <math>x</math>.
+Euler menunjukkan bahwa untuk nilai sembarang [[bilangan real]] <math>x</math>, menunjukkan sebuah bilangan prima <math>p</math> yang jumlahnya lebih besar dari <math>x</math>. <ref>{{harvnb|Apostol|1976}}, Bagian 1.6, Teorema 1.13</ref> Hal tersebut menunjukkan bahwa ada banyak bilangan prima karena ada banyak bilangan prima, jumlah tersebut akan mencapai nilai maksimumnya pada bilangan prima terbesar dari setiap melewati <math>x</math>. Tingkat pertumbuhan jumlah dapat dijelaskan lebih tepat oleh [[Teorema Mertens|teorema kedua Mertens]].<ref>{{harvnb|Apostol|1976}}, Bagian 4.8, Teorema 4.12</ref> Sebagai perbandingan, jumlah
-Tingkat pertumbuhan jumlah ini dijelaskan lebih tepat oleh [[Teorema Mertens|teorema kedua Mertens]].<ref>{{harvnb|Apostol|1976}}, Bagian 4.8, Teorema 4.12</ref> Sebagai perbandingan, jumlah
 :<math>\frac 1 {1^2} + \frac 1 {2^2} + \frac 1 {3^2} + \cdots + \frac 1 {n^2}</math>
-tidak tumbuh secara tak-hingga saat <math>n</math> menjadi tak-hingga (lihat [[masalah Basel]]). Dalam pengertian ini, bilangan prima sering muncul dibandingkan kuadrat bilangan asli, meskipun kedua himpunan tak-hingga.<ref name="mtb-invitation">{{cite book|title=An Invitation to Modern Number Theory|first1=Steven J.|last1=Miller|first2=Ramin|last2=Takloo-Bighash|publisher=Princeton University Press|year=2006|isbn=978-0-691-12060-7|pages=43–44|url=https://books.google.com/books?id=kLz4z8iwKiwC&pg=PA43}}</ref> [[Teorema Brun]] menyatakan bahwa jumlah kebalikan dari [[prima kembar]],
+tidak tumbuh secara ketakhinggaan apabila <math>n</math> menjadi sebagai ketakhinggaan (lihat [[masalah Basel]]). Dalam pengertian ini, bilangan prima sering muncul dibandingkan bilangan kuadrat asli, meskipun kedua himpunan tersebut adalah ketakhinggaan.<ref name="mtb-invitation">{{cite book|title=An Invitation to Modern Number Theory|first1=Steven J.|last1=Miller|first2=Ramin|last2=Takloo-Bighash|publisher=Princeton University Press|year=2006|isbn=978-0-691-12060-7|pages=43–44|url=https://books.google.com/books?id=kLz4z8iwKiwC&pg=PA43}}</ref> [[Teorema Brun]] menyatakan bahwa jumlah kebalikan dari [[prima kembar]]
-:<math> \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{5}} \right) + \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{7}} \right) + \left( {\frac{1}{{11}} + \frac{1}{{13}}} \right) +  \cdots, </math>
+:<math> \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{5}} \right) + \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{7}} \right) + \left( {\frac{1}{{11}} + \frac{1}{{13}}} \right) +  \cdots </math>
-yang merupakan hingga. Karena teorema Brun, tidak mungkin menggunakan metode Euler untuk menyelesaikan [[konjektur prima kembar]], bahwa terdapat banyak bilangan prima kembar tak-hingga.<ref name="mtb-invitation"/>
+merupakan berhingga, karena teorema Brun tidak mungkin menggunakan metode Euler untuk menyelesaikan [[konjektur prima kembar]], bahwa masih ada banyak bilangan prima kembar ketakhinggaan.<ref name="mtb-invitation"/>
 ===Jumlah bilangan prima bawah batas yang diberikan ===
 {{Main|Teorema bilangan prima|Fungsi pencacahan prima}}
-[[Berkas:Prime-counting relative error.svg|thumb|upright=1.6|[[Kesalahan perkiraan|Kesalahan relatif]] dari <math>\tfrac{n}{\log n}</math> dan integral logaritmik <math>\operatorname{Li}(n)</math> sebagai aproksimasi untuk [[fungsi pencacahan prima]]. Kedua kesalahan relatif berkurang menjadi nol saat <math>n</math> tumbuh, tetapi konvergensi ke nol jauh lebih cepat untuk integral logaritmik.]]
+[[Berkas:Prime-counting relative error.svg|thumb|upright=1.6|[[Kesalahan perkiraan|Kesalahan relatif]] dari <math>\tfrac{n}{\log n}</math> dan integral logaritmik <math>\operatorname{Li}(n)</math> sebagai aproksimasi untuk [[fungsi pencacahan prima]]. Kedua kesalahan relatif berkurang menjadi nol ketika <math>n</math> tumbuh, tetapi konvergensi ke nol jauh lebih cepat untuk integral logaritmik.]]
-[[Fungsi pencacahan prima]] <math>\pi(n)</math> didefinisikan sebagai jumlah bilangan prima tidak lebih besar dari <math>n</math>.<ref>{{harvnb|Crandall|Pomerance|2005}}, [https://books.google.com/books?id=RbEz-_D7sAUC&pg=PA6 p.&nbsp;6].</ref> Misalnya, <math>\pi(11)=5</math>, karena ada lima bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan 11. Metode yang seperti [[algoritma Meissel–Lehmer]] menghitung nilai eksak <math>\pi(n)</math> lebih cepat dibandingkan untuk membuat daftar setiap bilangan prima hingga <math>n</math>.<ref>{{harvnb|Crandall|Pomerance|2005}}, [https://books.google.com/books?id=ZXjHKPS1LEAC&pg=PA152 Section 3.7, Pencacahan prima, ham. 152-162].</ref> [[Teorema bilangan prima]] menyatakan bahwa <math>\pi(n)</math> adalah asimtotik terhadap <math>n/\log n</math>, yang dinotasikan sebagai
+[[Fungsi pencacahan prima]] <math>\pi(n)</math> didefinisikan sebagai jumlah bilangan prima tidak lebih besar dari <math>n</math>.<ref>{{harvnb|Crandall|Pomerance|2005}}, [https://books.google.com/books?id=RbEz-_D7sAUC&pg=PA6 p.&nbsp;6].</ref> Misalnya <math>\pi(11)=5</math>, karena ada lima bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan 11. Metode yang seperti [[algoritma Meissel–Lehmer]] menghitung nilai eksak <math>\pi(n)</math> lebih cepat dibandingkan untuk membuat daftar setiap bilangan prima hingga <math>n</math>.<ref>{{harvnb|Crandall|Pomerance|2005}}, [https://books.google.com/books?id=ZXjHKPS1LEAC&pg=PA152 Section 3.7, Pencacahan prima, ham. 152-162].</ref> [[Teorema bilangan prima]] menyatakan bahwa <math>\pi(n)</math> adalah asimtotik pada <math>n/\log n</math> yang dinotasikan sebagai
 : <math>\pi(n) \sim \frac{n}{\log n},</math>
-dan berarti rasio <math>\pi(n)</math> terhadap pecahan kanan [[barisan konvergen|pendekatan]] 1 saat <math>n</math> bertambah secara tak-hingga.<ref name="cranpom10">{{harvnb|Crandall|Pomerance|2005}}, [https://books.google.com/books?id=RbEz-_D7sAUC&pg=PA10 hal. 10].</ref> Ini menyiratkan bahwa kemungkinan bahwa bilangan yang dipilih secara acak kurang dari <math>n</math> adalah prima adalah (kurang-lebih) berbanding kebalikan dengan jumlah digit dalam <math>n</math>.<ref>{{cite book|title=The Number Mysteries: A Mathematical Odyssey through Everyday Life|first=Marcus|last=du Sautoy|author-link=Marcus du Sautoy|publisher=St. Martin's Press|year=2011|isbn=978-0-230-12028-0|pages=50–52|contribution=What are the odds that your telephone number is prime?|contribution-url=https://books.google.com/books?id=snaUbkIb8SEC&pg=PA50}}</ref>
+dan berarti rasio <math>\pi(n)</math> terhadap pecahan kanan [[barisan konvergen|pendekatan]] 1 ketika <math>n</math> bertambah secara ketakhinggaan.<ref name="cranpom10">{{harvnb|Crandall|Pomerance|2005}}, [https://books.google.com/books?id=RbEz-_D7sAUC&pg=PA10 hal. 10].</ref> Hal ini disebutkan bahwa kemungkinan bahwa bilangan yang dipilih secara acak kurang dari <math>n</math> adalah bilangan prima (kurang-lebih) berbanding kebalikan dengan jumlah digit dalam <math>n</math>.<ref>{{cite book|title=The Number Mysteries: A Mathematical Odyssey through Everyday Life|first=Marcus|last=du Sautoy|author-link=Marcus du Sautoy|publisher=St. Martin's Press|year=2011|isbn=978-0-230-12028-0|pages=50–52|contribution=What are the odds that your telephone number is prime?|contribution-url=https://books.google.com/books?id=snaUbkIb8SEC&pg=PA50}}</ref>
-Ini juga menyiratkan bahwa bilangan prima ke <math>n</math> sebanding dengan <math>n\log n</math><ref>{{harvnb|Apostol|1976}}, Bagian 4.6, Teorema 4.7</ref>
+Hal tersebut juga menyebutkan bahwa bilangan prima ke-<math>n</math> berbanding dengan <math>n\log n</math><ref>{{harvnb|Apostol|1976}}, Bagian 4.6, Teorema 4.7</ref>
-dan oleh karena itu ukuran rata-rata celah prima sebanding dengan <math>\log n</math>.<ref name="riesel-gaps">{{harvnb|Riesel|1994}}, "[https://books.google.com/books?id=ITvaBwAAQBAJ&pg=PA78 Large gaps between consecutive primes]", hal. 78–79.</ref>
+dan oleh karena itu ukuran rata-rata celah prima berbanding dengan <math>\log n</math>.<ref name="riesel-gaps">{{harvnb|Riesel|1994}}, "[https://books.google.com/books?id=ITvaBwAAQBAJ&pg=PA78 Large gaps between consecutive primes]", hal. 78–79.</ref>
 Estimasi yang akurat untuk <math>\pi(n)</math> diberikan oleh [[ofset logaritmik integral]]<ref name="cranpom10"/>
 :<math>\pi(n)\sim \operatorname{Li}(n) = \int_2^n \frac{dt}{\log t}.</math>
@@ Baris 144: / Baris 142: @@
 ===Barisan aritmetika===
 {{main|Teorema Dirichlet tentang barisan aritmatika|Teorema Green–Tao}}
-Sebuah [[barisan aritmetika]] adalah barisan bilangan hingga atau tak-hingga sehingga bilangan-bilangan berurutan dalam barisan tersebut semuanya memiliki selisih yang sama.<ref>{{cite book|title=Algebra|first1=I.M.|last1=Gelfand|author1-link=Israel Gelfand|first2=Alexander|last2=Shen|publisher=Springer|year=2003|isbn=978-0-8176-3677-7|page=37|url=https://books.google.com/books?id=Z9z7iliyFD0C&pg=PA37}}</ref> Perbedaan ini disebut [[Aritmetika modular|modulus]] dari barisan.<ref>{{cite book|title=Fundamental Number Theory with Applications|series=Discrete Mathematics and Its Applications|first=Richard A.|last=Mollin|publisher=CRC Press|year=1997|isbn=978-0-8493-3987-5|page=76|url=https://books.google.com/books?id=Fsaa3MUUQYkC&pg=PA76}}</ref> Misalnya,
+Sebuah [[barisan aritmetika]] adalah barisan bilangan berhingga atau ketakhinggaan sehingga bilangan-bilangan berurutan dalam barisan tersebut semuanya memiliki selisih yang sama.<ref>{{cite book|title=Algebra|first1=I.M.|last1=Gelfand|author1-link=Israel Gelfand|first2=Alexander|last2=Shen|publisher=Springer|year=2003|isbn=978-0-8176-3677-7|page=37|url=https://books.google.com/books?id=Z9z7iliyFD0C&pg=PA37}}</ref> Perbedaan ini disebut [[Aritmetika modular|modulus]] dari barisan.<ref>{{cite book|title=Fundamental Number Theory with Applications|series=Discrete Mathematics and Its Applications|first=Richard A.|last=Mollin|publisher=CRC Press|year=1997|isbn=978-0-8493-3987-5|page=76|url=https://books.google.com/books?id=Fsaa3MUUQYkC&pg=PA76}}</ref> Misalnya,
 :3, 12, 21, 30, 39, ...,
-yang adalah barisan aritmetika tak-hingga dengan modulus 9. Dalam barisan aritmetika, semua bilangan memiliki sisa yang sama jika dibagi dengan modulus; contohnya, sisanya adalah 3. Karena modulus 9 dan sisanya 3 adalah kelipatan 3, demikian juga setiap elemen dalam barisan. Oleh karena itu, barisan ini hanya berisi satu bilangan prima, 3 itu sendiri. Secara umum, barisan tak-hingga-nya
+yang adalah barisan aritmetika ketakhinggaan dengan modulus 9. Dalam barisan aritmetika, semua bilangan memiliki sisa yang sama jika dibagi dengan modulus; contohnya, sisanya adalah 3. Karena modulus 9 dan sisanya 3 adalah kelipatan 3, demikian pula setiap elemen dalam barisan. Oleh karena itu, barisan ini hanya berisi satu bilangan prima, 3 itu sendiri. Secara umum, barisan ketakhinggaan-nya
 :<math>a, a+q, a+2q, a+3q, \dots</math>
-dapat memiliki lebih dari satu bilangan prima hanya jika sisa <math>a</math> dan modulus <math>q</math> relatif prima. Jika mereka relatif prima, [[Teorema Dirichlet tentang barisan aritmatika]] menyatakan bahwa barisan tersebut memiliki banyak bilangan prima.<ref>{{harvnb|Crandall|Pomerance|2005}}, [https://books.google.com/books?id=ZXjHKPS1LEAC&pg=PA Theorem 1.1.5, p. 12].</ref>
+memiliki lebih dari satu bilangan prima hanya bila sisa <math>a</math> dan modulus <math>q</math> relatif prima. Apabila mereka relatif prima, [[teorema Dirichlet tentang barisan aritmatika]] menyatakan bahwa barisan tersebut memiliki banyak bilangan prima.<ref>{{harvnb|Crandall|Pomerance|2005}}, [https://books.google.com/books?id=ZXjHKPS1LEAC&pg=PA Theorem 1.1.5, p. 12].</ref>
-{{Wide image|Prime numbers in arithmetic progression mod&nbsp;9 zoom in.png|815px|Bilangan prima dalam barisan aritmetika modulo 9. Setiap baris pita horizontal tipis menunjukkan salah satu dari sembilan kemungkinan barisan mod 9, dengan bilangan prima ditandai dengan warna merah. Barisan bilangan 0, 3, atau 6 mod 9 mengandung paling banyak satu bilangan prima (bilangan 3); sisa barisan bilangan 2, 4, 5, 7, dan 8 mod 9 memiliki banyak bilangan prima, dengan bilangan prima yang sama pada setiap barisannya|alt=Bilangan prima dalam barisan aritmetika mod 9.}}
+{{Wide image|Prime numbers in arithmetic progression mod&nbsp;9 zoom in.png|815px|Bilangan prima dalam barisan aritmetika modulo 9. Setiap baris pita horizontal tipis menunjukkan salah satu dari sembilan kemungkinan barisan mod 9 dengan bilangan prima ditandai dengan warna merah. Barisan bilangan 0, 3, atau 6 mod 9 mengandung paling banyak satu bilangan prima (bilangan 3); sisa barisan bilangan 2, 4, 5, 7, dan 8 mod 9 memiliki banyak bilangan prima, dengan bilangan prima yang sama pada setiap barisannya|alt=Bilangan prima dalam barisan aritmetika mod 9.}}
-[[Teorema Green–Tao]] menunjukkan bahwa ada barisan aritmetika hingga yang panjangnya yang terdiri dari bilangan prima.<ref name="neale-18-47"/><ref>{{cite journal|first1=Ben|last1=Green|author1-link=Ben J. Green|first2=Terence|last2=Tao|author2-link=Terence Tao|title=The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions|journal=[[Annals of Mathematics]]|volume=167|issue=2|year=2008|pages=481–547|doi=10.4007/annals.2008.167.481|arxiv=math.NT/0404188|s2cid=1883951}}</ref>
+[[Teorema Green–Tao]] menunjukkan bahwa ada barisan aritmetika berhingga yang panjangnya terdiri dari bilangan prima.<ref name="neale-18-47"/><ref>{{cite journal|first1=Ben|last1=Green|author1-link=Ben J. Green|first2=Terence|last2=Tao|author2-link=Terence Tao|title=The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions|journal=[[Annals of Mathematics]]|volume=167|issue=2|year=2008|pages=481–547|doi=10.4007/annals.2008.167.481|arxiv=math.NT/0404188|s2cid=1883951}}</ref>
-===Nilai prima polinomial kuadrat===
+===Nilai bilangan prima polinomial pada kuadrat===
-[[Berkas:Ulam 2.png|thumb|upright=1.1|[[Spiral Ulam]]. Bilangan prima (merah) mengelompokkan pada beberapa diagonal dan tidak pada yang lain. Nilai prima dari <math>4n^2 - 2n + 41</math> ditampilkan dengan warna biru.|alt=Spiral Ulam]]
+[[Berkas:Ulam 2.png|thumb|upright=1.1|[[Spiral Ulam]]. Bilangan prima (merah) mengelompokkan pada beberapa diagonal dan tidak pada yang lain. Nilai bilangan prima dari <math>4n^2 - 2n + 41</math> ditampilkan dengan warna biru.|alt=Spiral Ulam]]
 Euler mencatat bahwa fungsi
 :<math>n^2 - n + 41</math>
-menghasilkan bilangan prima untuk <math>1\le n\le 40</math>, meskipun bilangan komposit muncul antara nilai-nilai selanjutnya.<ref>{{cite book|title=Additive Theory of Prime Numbers|last1=Hua|first1=L.K.|publisher=American Mathematical Society|year=2009|isbn=978-0-8218-4942-2|series=Translations of Mathematical Monographs|volume=13|location=Providence, RI|pages=176–177|mr=0194404|oclc=824812353|orig-year=1965}}</ref><ref>Urutan bilangan prima ini, dimulai dari <math>n=1</math> dan bukan <math>n=0</math>, ditulis oleh {{cite book|title=103 curiosità matematiche: Teoria dei numeri, delle cifre e delle relazioni nella matematica contemporanea|language=it|first1=Paolo Pietro|last1=Lava|first2=Giorgio|last2=Balzarotti|publisher=Ulrico Hoepli Editore S.p.A.|year=2010|isbn=978-88-203-5804-4|page=133|contribution-url=https://books.google.com/books?id=YfsSAAAAQBAJ&pg=PA133|contribution=Chapter 33. Formule fortunate}}</ref> Pencarian penjelasan untuk fenomena ini mengarah pada [[teori bilangan aljabar]] yang mendalam dari [[bilangan Heegner]] dan [[masalah bilangan kelas]].<ref>{{cite book|title=Single Digits: In Praise of Small Numbers|first=Marc|last=Chamberland|publisher=Princeton University Press|year=2015|isbn=978-1-4008-6569-7|contribution=The Heegner numbers|pages=213–215|contribution-url=https://books.google.com/books?id=n9iqBwAAQBAJ&pg=PA213}}</ref> [[Konjektur F Hardy-Littlewood ]] memprediksi kerapatan bilangan prima antara nilai-nilai [[polinomial kuadrat]] dengan bilangan bulat [[koefisien]] dalam hal integral logaritmik dan polinomial. Tidak ada polinomial kuadrat yang terbukti memiliki banyak nilai prima secara tak-hingga.<ref name="guy-a1">{{cite book|title=Unsolved Problems in Number Theory|series=Problem Books in Mathematics|edition=3rd|first=Richard|last=Guy|author-link=Richard K. Guy|publisher=Springer|year=2013|isbn=978-0-387-26677-0|pages=7–10|contribution-url=https://books.google.com/books?id=1BnoBwAAQBAJ&pg=PA7|contribution=A1 Prime values of quadratic functions}}</ref>
+menghasilkan bilangan prima untuk <math>1\le n\le 40</math>, meskipun bilangan komposit muncul antara nilai-nilai selanjutnya.<ref>{{cite book|title=Additive Theory of Prime Numbers|last1=Hua|first1=L.K.|publisher=American Mathematical Society|year=2009|isbn=978-0-8218-4942-2|series=Translations of Mathematical Monographs|volume=13|location=Providence, RI|pages=176–177|mr=0194404|oclc=824812353|orig-year=1965}}</ref><ref>Urutan bilangan prima ini, dimulai dari <math>n=1</math> dan bukan <math>n=0</math>, ditulis oleh {{cite book|title=103 curiosità matematiche: Teoria dei numeri, delle cifre e delle relazioni nella matematica contemporanea|language=it|first1=Paolo Pietro|last1=Lava|first2=Giorgio|last2=Balzarotti|publisher=Ulrico Hoepli Editore S.p.A.|year=2010|isbn=978-88-203-5804-4|page=133|contribution-url=https://books.google.com/books?id=YfsSAAAAQBAJ&pg=PA133|contribution=Chapter 33. Formule fortunate}}</ref> Pencarian penjelasan untuk fenomena ini mengarah pada [[teori bilangan aljabar]] yang mendalam dari [[bilangan Heegner]] dan [[masalah bilangan kelas]].<ref>{{cite book|title=Single Digits: In Praise of Small Numbers|first=Marc|last=Chamberland|publisher=Princeton University Press|year=2015|isbn=978-1-4008-6569-7|contribution=The Heegner numbers|pages=213–215|contribution-url=https://books.google.com/books?id=n9iqBwAAQBAJ&pg=PA213}}</ref> [[Konjektur F Hardy-Littlewood]] memprediksi kerapatan bilangan prima antara nilai-nilai [[polinomial kuadrat]] dengan bilangan bulat [[koefisien]] dalam hal integral logaritmik dan polinomial. Tidak ada polinomial kuadrat yang terbukti memiliki banyak nilai prima secara ketakhinggaan.<ref name="guy-a1">{{cite book|title=Unsolved Problems in Number Theory|series=Problem Books in Mathematics|edition=3rd|first=Richard|last=Guy|author-link=Richard K. Guy|publisher=Springer|year=2013|isbn=978-0-387-26677-0|pages=7–10|contribution-url=https://books.google.com/books?id=1BnoBwAAQBAJ&pg=PA7|contribution=A1 Prime values of quadratic functions}}</ref>
-[[Spiral Ulam]] mengatur bilangan asli dalam kisi dua dimensi, berputar dalam kotak konsentris yang mengelilingi asal dengan bilangan prima disorot. Secara visual, bilangan prima tampak mengelompokkan pada diagonal tertentu dan bukan pada diagonal lainnya, menunjukkan bahwa beberapa polinomial kuadrat mengambil nilai prima lebih sering daripada yang lainnya.<ref name="guy-a1"/>
+[[Spiral Ulam]] mengatur bilangan asli dalam kisi dua dimensi, berputar dalam kotak konsentris biasanya mengelilingi asal dengan bilangan prima yang disorot. Secara visual, bilangan prima tampak mengelompokkan pada diagonal tertentu dan bukan pada diagonal lainnya, hal itu menunjukkan bahwa beberapa polinomial kuadrat mengambil nilai prima lebih sering dibanding yang lainnya.<ref name="guy-a1"/>
 ===Fungsi Zeta dan hipotesis Riemann===
 {{Main|Hipotesis Riemann}}
 [[Berkas:Riemann zeta function absolute value.png|thumb|upright=1.5|Plot nilai absolut dari fungsi zeta, menunjukkan beberapa fiturnya|alt=Plot nilai absolut dari fungsi zeta]]
-Salah satu pertanyaan tak terpecahkan paling terkenal dalam matematika yang berasal dari tahun 1859, dan salah satunya dari [[Masalah Hadiah Milenium]] adalah [[Hipotesis Riemann]], yang dimana [[nol fungsi|nol]] dari [[fungsi Riemann zeta]] <math>\zeta(s)</math> berada.
+Salah satu pertanyaan tak terpecahkan paling terkenal dalam matematika berasal dari tahun 1859, dan salah satunya dari [[Masalah Hadiah Milenium]] adalah [[Hipotesis Riemann]] yang dimana [[nol fungsi|nol]] dari [[fungsi Riemann zeta]] <math>\zeta(s)</math> berada.
-Fungsi ini adalah [[fungsi analitik]] pada [[bilangan kompleks]]. Untuk bilangan kompleks <math>s</math> dengan bagian real lebih besar dari satu sama dengan [[deret (matematika)|jumlah tak hingga]] pada semua bilangan bulat, dan [[darab tak hingga]] diatas bilangan prima,
+Fungsi ini adalah [[fungsi analitik]] pada [[bilangan kompleks]]. Untuk bilangan kompleks <math>s</math> dengan bagian real lebih besar dari satu sama dengan [[deret (matematika)|jumlah ketakhinggaan]] pada semua bilangan bulat dan [[darab tak hingga|darab ketakhinggaan]] atas bilangan prima
-:<math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}=\prod_{p \text{ prime}} \frac 1 {1-p^{-s}}.</math>
+:<math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}=\prod_{p \text{ prima}} \frac 1 {1-p^{-s}}.</math>
-This equality between a sum and a product, discovered by Euler, is called an [[Euler product]].<ref>{{cite book | last = Patterson | first = S.J. | doi = 10.1017/CBO9780511623707 | isbn = 978-0-521-33535-5 | mr = 933558 | page = 1 | publisher = Cambridge University Press, Cambridge | series = Cambridge Studies in Advanced Mathematics | title = An introduction to the theory of the Riemann zeta-function | url = https://books.google.com/books?id=IdHLCgAAQBAJ&pg=PA1 | volume = 14 | year = 1988 }}</ref> The Euler product can be derived from the fundamental theorem of arithmetic, and shows the close connection between the zeta function and the prime numbers.<ref>{{cite book | last1 = Borwein | first1 = Peter | author1-link = Peter Borwein | last2 = Choi | first2 = Stephen | last3 = Rooney | first3 = Brendan | last4 = Weirathmueller | first4 = Andrea | doi = 10.1007/978-0-387-72126-2 | isbn = 978-0-387-72125-5 | location = New York | mr = 2463715 | pages = 10–11 | publisher = Springer | series = CMS Books in Mathematics/Ouvrages de Mathématiques de la SMC | title = The Riemann hypothesis: A resource for the afficionado and virtuoso alike | url = https://books.google.com/books?id=Qm1aZA-UwX4C&pg=PA10 | year = 2008 }}</ref>
+Kesetaraan antara jumlah dan darab ditemukan oleh Euler yang disebut juga [[darab Euler]].<ref>{{cite book | last = Patterson | first = S.J. | doi = 10.1017/CBO9780511623707 | isbn = 978-0-521-33535-5 | mr = 933558 | page = 1 | publisher = Cambridge University Press, Cambridge | series = Cambridge Studies in Advanced Mathematics | title = An introduction to the theory of the Riemann zeta-function | url = https://books.google.com/books?id=IdHLCgAAQBAJ&pg=PA1 | volume = 14 | year = 1988 }}</ref> Darab Euler dapat ditentukan dari teorema dasar aritmetika dan menunjukkan relasi erat antara fungsi zeta dan bilangan prima.<ref>{{cite book | last1 = Borwein | first1 = Peter | author1-link = Peter Borwein | last2 = Choi | first2 = Stephen | last3 = Rooney | first3 = Brendan | last4 = Weirathmueller | first4 = Andrea | doi = 10.1007/978-0-387-72126-2 | isbn = 978-0-387-72125-5 | location = New York | mr = 2463715 | pages = 10–11 | publisher = Springer | series = CMS Books in Mathematics/Ouvrages de Mathématiques de la SMC | title = The Riemann hypothesis: A resource for the afficionado and virtuoso alike | url = https://books.google.com/books?id=Qm1aZA-UwX4C&pg=PA10 | year = 2008 }}</ref>
+Hal ini pula mengarah pada bukti lain bahwa banyak bilangan prima berhingga: jikalau memiliki banyak berhingga, maka persamaan jumlah-darb juga akan berlaku pada <math>s=1</math>, tetapi jumlahnya akan berbeda ([[Deret harmonik (matematika)|deret harmonik]] <math>1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\dots</math>) ketika darab berhingga kontradiksi.<ref>{{harvnb|Sandifer|2007}}, [https://books.google.com/books?id=sohHs7ExOsYC&pg=PA191 hal. 191–193].</ref>
-It leads to another proof that there are infinitely many primes: if there were only finitely many,
-then the sum-product equality would also be valid at <math>s=1</math>, but the sum would diverge (it is the [[Harmonic series (mathematics)|harmonic series]] <math>1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\dots</math>) while the product would be finite, a contradiction.<ref>{{harvnb|Sandifer|2007}}, [https://books.google.com/books?id=sohHs7ExOsYC&pg=PA191 pp. 191–193].</ref>
-The Riemann hypothesis states that the [[zero of a function|zeros]] of the zeta-function are all either negative even numbers, or complex numbers with [[real part]] equal to 1/2.<ref>{{harvnb|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}, [https://books.google.com/books?id=Qm1aZA-UwX4C&pg=PA15 Conjecture 2.7 (the Riemann hypothesis), p. 15].</ref>  The original proof of the [[prime number theorem]] was based on a weak form of this hypothesis, that there are no zeros with real part equal to 1,<ref>{{harvnb|Patterson|1988}}, p. 7.</ref><ref name="bcrw18">{{harvnb|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}, [https://books.google.com/books?id=Qm1aZA-UwX4C&pg=PA18 p. 18.]</ref> although other more elementary proofs have been found.<ref>{{harvnb|Nathanson|2000}}, [https://books.google.com/books?id=sE7lBwAAQBAJ&pg=PA289 Chapter 9, The prime number theorem, pp. 289–324].</ref>
+Hipotesis Riemann menyebutkan bahwa fungsi-zeta [[nol fungsi|nol]] dari semua adalah bilangan genap negatif atau bilangan kompleks dengan [[bagian real]] sama dengan 1/2.<ref>{{harvnb|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}, [https://books.google.com/books?id=Qm1aZA-UwX4C&pg=PA15 Konjektur 2.7 (hipotesis Riemann), hal. 15].</ref> Bukti sebenarnya dari [[teorema bilangan prima]] pada dasarnya adalah bentuk lemah dari hipotesis, namun tidak ada nol dengan bagian real sama dengan 1,<ref>{{harvnb|Patterson|1988}}, p. 7.</ref><ref name="bcrw18">{{harvnb|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}, [https://books.google.com/books?id=Qm1aZA-UwX4C&pg=PA18 p. 18.]</ref> meskipun bukti lain yang lebih mendasar telah ditemukan.<ref>{{harvnb|Nathanson|2000}}, [https://books.google.com/books?id=sE7lBwAAQBAJ&pg=PA289 Bab 9, Teorema bilangan prima, hal. 289–324].</ref>
-The prime-counting function can be expressed by [[Riemann's explicit formula]] as a sum in which each term comes from one of the zeros of the zeta function; the main term of this sum is the logarithmic integral, and the remaining terms cause the sum to fluctuate above and below the main term.<ref>{{cite journal | last = Zagier | first = Don | author-link = Don Zagier | doi = 10.1007/bf03351556 | issue = S2 | journal = [[The Mathematical Intelligencer]] | pages = 7–19 | title = The first 50 million prime numbers | volume = 1 | year = 1977| s2cid = 37866599 }} See especially pp. 14–16.</ref>
+Fungsi hitung bilangan prima disebutkan dengan [[rumus eksplisit Riemann]] sebagai jumlah yang dimana setiap suku berasal dari salah satu nol dari fungsi zeta, suku utama dari jumlah ini adalah integral logaritma dan suku-suku tersebut lainnya menghasilkan jumlah berfluktuasi atas dan bawah suku utama.<ref>{{cite journal | last = Zagier | first = Don | author-link = Don Zagier | doi = 10.1007/bf03351556 | issue = S2 | journal = [[The Mathematical Intelligencer]] | pages = 7–19 | title = The first 50 million prime numbers | volume = 1 | year = 1977| s2cid = 37866599 }} Lihat khususnya hal. 14–16.</ref>
+Dalam pengertian ini, nol mengontrol beberapa bilangan prima reguler distribusi. Apabila hipotesis Riemann tersebut benar, maka fluktuasi akan kecil dan [[distribusi asimtotik]] bilangan prima yang diberikan oleh teorema bilangan prima juga bertahan pada interval yang jauh lebih pendek (panjangnya sekitar akar kuadrat dari <math>x</math> untuk interval yang dekat dengan bilangan <math>x</math>).<ref name="bcrw18"/>
-In this sense, the zeros control how regularly the prime numbers are distributed. If the Riemann hypothesis is true, these fluctuations will be small, and the
-[[asymptotic distribution]] of primes given by the prime number theorem will also hold over much shorter intervals (of length about the square root of <math>x</math> for intervals near a number <math>x</math>).<ref name="bcrw18"/>
 ==Abstract algebra==
-===Modular arithmetic and finite fields===
+===Aritmetika modular dan Medan berhingga===
-{{Main|Modular arithmetic}}
+{{Main|Aritmetika modular}}
-Modular arithmetic modifies usual arithmetic by only using the numbers <math>\{0,1,2,\dots,n-1\}</math>, for a natural number <math>n</math> called the modulus.
+Aritmetika modular memodifikasi aritmetika biasa, hanya saja dengan menggunakan bilangan <math>\{0,1,2,\dots,n-1\}</math> untuk bilangan asli <math>n</math> yang disebut modulus.
-Any other natural number can be mapped into this system by replacing it by its remainder after division by <math>n</math>.<ref>{{harvtxt|Kraft|Washington|2014}}, [https://books.google.com/books?id=VG9YBQAAQBAJ&pg=PA96 Proposition 5.3], p. 96.</ref>
+Bilangan asli lainnya dapat dipetakan ke dalam sistem ini dengan menggantinya dengan sisa setelah pembagian dengan <math>n</math>.<ref>{{harvtxt|Kraft|Washington|2014}}, [https://books.google.com/books?id=VG9YBQAAQBAJ&pg=PA96 Proposisi 5.3], hal. 96.</ref>
+Jumlah, pembeda, dan darab modular dihitung dengan melakukan penggantian yang sama dengan sisa hasil penjumlahan, selisih, atau perkalian bilangan bulat biasa.<ref>{{cite book|title=Algebra in Action: A Course in Groups, Rings, and Fields|volume=27|series=Pure and Applied Undergraduate Texts|first=Shahriar|last=Shahriari|author-link= Shahriar Shahriari |publisher=American Mathematical Society|year=2017|isbn=978-1-4704-2849-5|pages=20–21|url=https://books.google.com/books?id=GJwxDwAAQBAJ&pg=PA20}}</ref> Kesamaan bilangan bulat sesuai dengan ''kongruensi'' dalam aritmetika modular:
-Modular sums, differences and products are calculated by performing the same replacement by the remainder
+<math>x</math> dan <math>y</math> adalah kongruen (ditulis <math>x\equiv y</math> mod <math>n</math>) ketika mereka memiliki sisa yang sama setelah dibagi dengan <math>n</math>.<ref>{{harvnb|Dudley|1978}}, [https://books.google.com/books?id=tr7SzBTsk1UC&pg=PA28 Teorema 3, hal. 28].</ref> Namun, dalam sistem bilangan ini, [[Pembagian (matematika)|pembagian]] dengan semua bilangan bukan nol dimungkinkan jika dan hanya jika modulusnya adalah prima. Misalnya, dengan bilangan prima <math>7</math> sebagai modulus, pembagian dengan <math>3</math> adalah dimungkinkan: <math>2/3\equiv 3\bmod{7}</math> karena kemungkinan [[menghapus penyebut]] dengan mengalikan kedua ruas dengan <math>3</math> diberikan rumus yang valid <math>2\equiv 9\bmod{7}</math>. Namun, dengan modulus komposit <math>6</math>, pembagian dengan <math>3</math> adalah hal mustahil. Tidak ada solusi yang valid untuk <math>2/3\equiv x\bmod{6}</math>: menghapus penyebut dengan mengalikan dengan <math>3</math> menyebabkan ruas kiri menjadi <math>2</math> sedangkan ruas kanan menjadi <math>0</math> atau <math>3 </math>. Dalam terminologi [[aljabar abstrak]], kemampuan untuk melakukan pembagian berarti bahwa modulo aritmatika modular bilangan prima membentuk [[medan (matematika)|medan]] atau [[medan berhingga]], sedangkan modulus lainnya hanya memberikan [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] tetapi bukan sebuah medan.<ref>{{harvnb|Shahriari|2017}}, [https://books.google.com/books?id=GJwxDwAAQBAJ&pg=PA27 hal. 27–28].</ref>
-on the result of the usual sum, difference, or product of integers.<ref>{{cite book|title=Algebra in Action: A Course in Groups, Rings, and Fields|volume=27|series=Pure and Applied Undergraduate Texts|first=Shahriar|last=Shahriari|author-link= Shahriar Shahriari |publisher=American Mathematical Society|year=2017|isbn=978-1-4704-2849-5|pages=20–21|url=https://books.google.com/books?id=GJwxDwAAQBAJ&pg=PA20}}</ref> Equality of integers corresponds to ''congruence'' in modular arithmetic:
-<math>x</math> and <math>y</math> are congruent (written <math>x\equiv y</math> mod <math>n</math>) when they have the same remainder after division by <math>n</math>.<ref>{{harvnb|Dudley|1978}}, [https://books.google.com/books?id=tr7SzBTsk1UC&pg=PA28 Theorem 3, p. 28].</ref> However, in this system of numbers, [[Division (mathematics)|division]] by all nonzero numbers is possible if and only if the modulus is prime. For instance, with the prime number <math>7</math> as modulus, division by <math>3</math> is possible: <math>2/3\equiv 3\bmod{7}</math>, because [[clearing denominators]] by multiplying both sides by <math>3</math> gives the valid formula <math>2\equiv 9\bmod{7}</math>. However, with the composite modulus <math>6</math>, division by <math>3</math> is impossible. There is no valid solution to <math>2/3\equiv x\bmod{6}</math>: clearing denominators by multiplying by <math>3</math> causes the left-hand side to become <math>2</math> while the right-hand side becomes either <math>0</math> or <math>3</math>.
-In the terminology of [[abstract algebra]], the ability to perform division means that modular arithmetic modulo a prime number forms a [[field (mathematics)|field]] or, more specifically, a [[finite field]], while other moduli only give a [[ring (mathematics)|ring]] but not a field.<ref>{{harvnb|Shahriari|2017}}, [https://books.google.com/books?id=GJwxDwAAQBAJ&pg=PA27 pp. 27–28].</ref>
+Beberapa teorema tentang bilangan prima dirumuskan menggunakan aritmetika modular. Misalnya, [[teorema kecil Fermat]] menyatakan bahwa jika <math>a\not\equiv 0</math> (mod <math>p</math>), maka <math>a^{p-1}\equiv 1</math> (mod <math>p</math>).<ref>{{harvnb|Ribenboim|2004}}, Teorema kecil Fermat dan akar primitif modulo a prima, hal. 17–21.</ref>
-Several theorems about primes can be formulated using modular arithmetic. For instance, [[Fermat's little theorem]] states that if
+Menjumlahkan dari semua pilihan <math>a</math> diberikan persamaan
-<math>a\not\equiv 0</math> (mod <math>p</math>), then <math>a^{p-1}\equiv 1</math> (mod <math>p</math>).<ref>{{harvnb|Ribenboim|2004}}, Fermat's little theorem and primitive roots modulo a prime, pp. 17–21.</ref>
-Summing this over all choices of <math>a</math> gives the equation
 :<math>\sum_{a=1}^{p-1} a^{p-1} \equiv (p-1) \cdot 1 \equiv -1 \pmod p,</math>
-valid whenever <math>p</math> is prime.
+valid jika <math>p</math> adalah bilangan prima.
-[[Giuga's conjecture]] says that this equation is also a sufficient condition for <math>p</math> to be prime.<ref>{{harvnb|Ribenboim|2004}}, The property of Giuga, pp. 21–22.</ref>
+[[Konjektur Giuga]] menyebutkan bahwa persamaan ini juga merupakan syarat yang cukup untuk <math>p</math> menjadi prima.<ref>{{harvnb|Ribenboim|2004}}, The property of Giuga, hal. 21–22.</ref>
-[[Wilson's theorem]] says that an integer <math>p>1</math> is prime if and only if the [[factorial]] <math>(p-1)!</math> is congruent to <math>-1</math> mod <math>p</math>. For a composite {{nowrap|number <math>\;n = r\cdot s\; </math>}} this cannot hold, since one of its factors divides both {{mvar|n}} and <math>(n-1)!</math>, and so <math>(n-1)!\equiv -1 \pmod{n}</math> is impossible.<ref>{{harvnb|Ribenboim|2004}}, The theorem of Wilson, p. 21.</ref>
+[[Teorema Wilson]] menyebutkan bahwa sebuah bilangan bulat <math>p>1</math> adalah bilangan prima jika dan hanya jika [[faktorial]] <math>(p-1)!</math> kongruen dengan <math>-1</math> mod <math>p</math>. Untuk {{nowrap|bilangan <math>\;n = r\cdot s\; </math>}} ini tidak berlaku, karena salah satu faktornya membagi {{mvar|n}} dan <math>(n-1)!</math>, dan jadi <math>(n-1)!\equiv -1 \pmod{n}</math> adalah hal mustahil.<ref>{{harvnb|Ribenboim|2004}}, The theorem of Wilson, hal. 21.</ref>
-===''p''-adic numbers===
+===Bilangan ''p''-adik===
-{{main|p-adic number}}
+{{main|bilangan P-adik}}
+[[urutan P-adik|Urutan <math>p</math>-adik]] <math>\nu_p(n)</math> dari sebuah bilangan bulat <math>n</math> adalah jumlah salinan dari <math>p</math> dalam faktorisasi prima dari <math>n</math>. Konsep yang sama diperluas dari bilangan bulat ke bilangan rasional dengan mendefinisikan urutan <math>p</math>-adik dari pecahan <math>m/n</math> menjadi <math>\nu_p(m)-\nu_p(n)</math>. Nilai absolut <math>p</math>-adik <math>|q|_p</math> dari sembarang bilangan rasional <math>q</math> kemudian didefinisikan sebagai <math>|q|_p=p^{-\nu_p(q)}</math>. Mengalikan bilangan bulat dengan nilai absolut <math>p</math>-adik-nya akan membatalkan faktor <math>p</math> dalam faktorisasinya, dan hanya menyisakan bilangan prima lainnya. Sama seperti jarak antara dua bilangan real yang dapat diukur dengan nilai absolut jaraknya, jarak antara dua bilangan rasional dapat diukur dengan jarak <math>p</math>-adik-nya, nilai absolut <math>p</math>-adik dari selisihnya. Untuk definisi jarak ini, dua bilangan dikatakan berdekatan (memiliki jarak yang kecil) ketika selisihnya habis dibagi dengan pangkat <math>p</math> yang tinggi. Dengan cara yang sama bahwa bilangan real dapat dibentuk dari bilangan rasional dan jaraknya, dengan menambahkan nilai pembatas ekstra untuk membentuk [[medan lengkap]], bilangan rasional dengan jarak <math>p</math>-adik diperluas ke medan lengkap yang berbeda<!--[[bilangan P-adik|bilangan <math>p</math>-adik]]-->.<ref name="childress"/><ref>{{cite book | last1 = Erickson | first1 = Marty | last2 = Vazzana | first2 = Anthony | last3 = Garth | first3 = David | edition = 2nd | isbn = 978-1-4987-1749-6 | mr = 3468748 | page = 200 | publisher = CRC Press | location = Boca Raton, FL | series = Textbooks in Mathematics | title = Introduction to Number Theory | url = https://books.google.com/books?id=QpLwCgAAQBAJ&pg=PA200 | year = 2016}}</ref>
-The [[p-adic order|<math>p</math>-adic order]] <math>\nu_p(n)</math> of an integer <math>n</math> is the number of copies of <math>p</math> in the prime factorization of <math>n</math>. The same concept can be extended from integers to rational numbers by defining the <math>p</math>-adic order of a fraction <math>m/n</math> to be <math>\nu_p(m)-\nu_p(n)</math>. The <math>p</math>-adic absolute value <math>|q|_p</math> of any rational number <math>q</math> is then defined as
-<math>|q|_p=p^{-\nu_p(q)}</math>. Multiplying an integer by its <math>p</math>-adic absolute value cancels out the factors of <math>p</math> in its factorization, leaving only the other primes. Just as the distance between two real numbers can be measured by the absolute value of their distance, the distance between two rational numbers can be measured by their <math>p</math>-adic distance, the <math>p</math>-adic absolute value of their difference. For this definition of distance, two numbers are close together (they have a small distance) when their difference is divisible by a high power of <math>p</math>. In the same way that the real numbers can be formed from the rational numbers and their distances, by adding extra limiting values to form a [[complete field]], the rational numbers with the <math>p</math>-adic distance can be extended to a different complete field, the [[p-adic number|<math>p</math>-adic numbers]].<ref name="childress"/><ref>{{cite book | last1 = Erickson | first1 = Marty | last2 = Vazzana | first2 = Anthony | last3 = Garth | first3 = David | edition = 2nd | isbn = 978-1-4987-1749-6 | mr = 3468748 | page = 200 | publisher = CRC Press | location = Boca Raton, FL | series = Textbooks in Mathematics | title = Introduction to Number Theory | url = https://books.google.com/books?id=QpLwCgAAQBAJ&pg=PA200 | year = 2016}}</ref>
-This picture of an order, absolute value, and complete field derived from them can be generalized to [[algebraic number field]]s and their [[Valuation (algebra)|valuations]] (certain mappings from the [[multiplicative group]] of the field to a [[totally ordered group|totally ordered additive group]], also called orders), [[Absolute value (algebra)|absolute values]] (certain multiplicative mappings from the field to the real numbers, also called norms),<ref name="childress">{{cite book | last = Childress | first = Nancy | doi = 10.1007/978-0-387-72490-4 | isbn = 978-0-387-72489-8 | mr = 2462595 | pages = 8–11 | publisher = Springer, New York | series = Universitext | title = Class Field Theory | url = https://books.google.com/books?id=RYdy4PCJYosC&pg=PA8 | year = 2009 }} See also p. 64.</ref> and places (extensions to [[complete field]]s in which the given field is a [[dense set]], also called completions).<ref>{{cite book | last = Weil | first = André | author-link = André Weil | isbn = 978-3-540-58655-5 | mr = 1344916 | page = [https://archive.org/details/basicnumbertheor00weil_866/page/n56 43] | publisher = Springer-Verlag | location = Berlin | series = Classics in Mathematics | title = Basic Number Theory | url = https://archive.org/details/basicnumbertheor00weil_866 | url-access = limited | year = 1995}} Note however that some authors such as {{harvtxt|Childress|2009}} instead use "place" to mean an equivalence class of norms.</ref> The extension from the rational numbers to the [[real number]]s, for instance, is a place in which the distance between numbers is the usual [[absolute value]] of their difference. The corresponding mapping to an additive group would be the [[logarithm]] of the absolute value, although this does not meet all the requirements of a valuation. According to [[Ostrowski's theorem]], up to a natural notion of equivalence, the real numbers and <math>p</math>-adic numbers, with their orders and absolute values, are the only valuations, absolute values, and places on the rational numbers.<ref name="childress"/> The [[local-global principle]] allows certain problems over the rational numbers to be solved by piecing together solutions from each of their places, again underlining the importance of primes to number theory.<ref>{{cite book | last = Koch | first = H. | doi = 10.1007/978-3-642-58095-6 | isbn = 978-3-540-63003-6 | mr = 1474965 | page = 136 | publisher = Springer-Verlag | location = Berlin | title = Algebraic Number Theory | url = https://books.google.com/books?id=wt1sCQAAQBAJ&pg=PA136 | year = 1997| citeseerx = 10.1.1.309.8812 }}</ref>
+Urutan dari sebuah gambar, nilai absolut, dan medan lengkap yang diturunkan dari bilangan <math>p</math>-adik digeneralisasikan ke [[medan bilangan aljabar]] dan [[Penilaian (aljabar)|penilaian-penilaian]] tersebut (pemetaan tertentu dari Medan [[grup perkalian]] ke [[grup terurut total|grup aditif terurut total]] disebut juga sebagai urutan), [[Nilai absolut (aljabar)|nilai absolut]] (pemetaan perkalian tertentu dari medan ke bilangan real disebut juga sebagai norma),<ref name="childress">{{cite book | last = Childress | first = Nancy | doi = 10.1007/978-0-387-72490-4 | isbn = 978-0-387-72489-8 | mr = 2462595 | pages = 8–11 | publisher = Springer, New York | series = Universitext | title = Class Field Theory | url = https://books.google.com/books?id=RYdy4PCJYosC&pg=PA8 | year = 2009 }} Lihat pula hal. 64.</ref> dan tempat (ekstensi ke [[medan lengkap]] dimana medan yang diberikan adalah [[himpunan rapat]] disebut juga sebagai pelengkapan).<ref>{{cite book | last = Weil | first = André | author-link = André Weil | isbn = 978-3-540-58655-5 | mr = 1344916 | page = [https://archive.org/details/basicnumbertheor00weil_866/page/n56 43] | publisher = Springer-Verlag | location = Berlin | series = Classics in Mathematics | title = Basic Number Theory | url = https://archive.org/details/basicnumbertheor00weil_866 | url-access = limited | year = 1995}} Namun perhatikan bahwa beberapa penulis seperti {{harvtxt|Childress|2009}} malah menggunakan "tempat" untuk mengartikan kelas norma yang setara.</ref> Perluasan dari bilangan rasional ke [[bilangan real]], misalnya adalah tempat dimana jarak antara bilangan adalah [[nilai absolut]] biasa dari perbedaannya. Pemetaan yang sesuai ke grup aditif akan menjadi [[logaritma]] dari nilai absolut, meskipun ini tidak memenuhi semua persyaratan penilaian. Menurut [[teorema Ostrowski]], gagasan ekuivalen alami berhingga, bilangan real dan bilangan <math>p</math>-adik dengan urutan dan nilai absolutnya adalah satu-satunya penilaian, nilai absolut, dan tempat pada bilangan rasional.<ref name="childress"/> [[Prinsip lokal-global]] memungkinkan masalah tertentu atas bilangan rasional untuk diselesaikan dengan menyatukan solusi dari masing-masing tempat, sekali lagi menggarisbawahi pentingnya bilangan prima untuk teori bilangan.<ref>{{cite book | last = Koch | first = H. | doi = 10.1007/978-3-642-58095-6 | isbn = 978-3-540-63003-6 | mr = 1474965 | page = 136 | publisher = Springer-Verlag | location = Berlin | title = Algebraic Number Theory | url = https://books.google.com/books?id=wt1sCQAAQBAJ&pg=PA136 | year = 1997| citeseerx = 10.1.1.309.8812 }}</ref>
 ===Prime elements in rings===
@@ Baris 211: / Baris 203: @@
 which states that an odd prime <math>p</math> is expressible as the sum of two squares, <math>p=x^2+y^2</math>, and therefore factorizable as <math>p=(x+iy)(x-iy)</math>, exactly when <math>p</math> is 1 mod 4.<ref>{{harvnb|Kraft|Washington|2014}}, [https://books.google.com/books?id=4NAqBgAAQBAJ&pg=PA297 Section 12.1, Sums of two squares, pp. 297–301].</ref>
-===Prime ideals===
+=== Ideal prima ===
-{{Main|Prime ideals}}
+{{Main|Ideal prima}}
-Not every ring is a unique factorization domain. For instance, in the ring of numbers <math>a+b\sqrt{-5}</math> (for integers <math>a</math> and <math>b</math>) the number <math>21</math> has two factorizations <math>21=3\cdot7=(1+2\sqrt{-5})(1-2\sqrt{-5})</math>, where neither of the four factors can be reduced any further, so it does not have a unique factorization. In order to extend unique factorization to a larger class of rings, the notion of a number can be replaced with that of an [[ideal (ring theory)|ideal]], a subset of the elements of a ring that contains all sums of pairs of its elements, and all products of its elements with ring elements.
+Tidak semua gelanggang merupakan ranah faktorisasi unik. Misalnya, dalam bilangan gelanggang <math>a+b\sqrt{-5}</math> (untuk bilangan bulat <math>a</math> dan <math>b</math>) angka <math>21</math> memiliki dua faktorisasi <math>21=3\cdot7=(1+2\sqrt{-5})(1-2\sqrt{-5})</math>, tidak satu pun dari keempat faktor tersebut bisa direduksi lebih jauh, sehingga tidak memiliki faktorisasi unik. Untuk memperluas faktorisasi unik pada kelas gelanggang terbesar, gagasan tentang bilangan bisa diganti dengan [[ideal (teori gelanggang)|ideal]], sebuah himpunan bagian dari elemen gelanggang yang memuat semua jumlah pasangan elemennya, dan semua hasil kali elemennya dengan elemen gelanggang.
-''Prime ideals'', which generalize prime elements in the sense that the [[principal ideal]] generated by a prime element is a prime ideal, are an important tool and object of study in [[commutative algebra]], [[number theory|algebraic number theory]] and [[algebraic geometry]]. The prime ideals of the ring of integers are the ideals (0), (2), (3), (5), (7), (11), ... The fundamental theorem of arithmetic generalizes to the [[Lasker–Noether theorem]], which expresses every ideal in a [[Noetherian ring|Noetherian]] [[commutative ring]] as an intersection of [[primary ideal]]s, which are the appropriate generalizations of [[prime power]]s.<ref>{{cite book | last1=Eisenbud | first1=David | author1-link= David Eisenbud | title=Commutative Algebra | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin; New York | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-94268-1| mr=1322960 | year=1995 | volume=150 | at=Section 3.3| doi=10.1007/978-1-4612-5350-1 }}</ref>
+''Ideal prima'' yang dimana generalisasi elemen prima dalam arti bahwa [[ideal utama]] yang dihasilkan oleh elemen prima adalah ideal prima adalah alat dan objek studi penting dalam [[aljabar komutatif]], [[teori bilangan|teori bilangan aljabar]] dan [[geometri aljabar]]. Ideal prima dari gelanggang bilangan bulat adalah ideal (0), (2), (3), (5), (7), (11), ... Teorema dasar aritmetika digeneralisasikan ke [[teorema Lasker–Noether]] disebutkan setiap ideal dalam [[gelanggang komutatif]] [[gelanggang Noetherian|Noetherian]] sebagai perpotongan [[ideal prima]] yang merupakan generalisasi yang tepat dari [[prima kuasa]].<ref>{{cite book | last1=Eisenbud | first1=David | author1-link= David Eisenbud | title=Commutative Algebra | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin; New York | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-94268-1| mr=1322960 | year=1995 | volume=150 | at=Section 3.3| doi=10.1007/978-1-4612-5350-1 }}</ref>
-The [[spectrum of a ring]] is a geometric space whose points are the prime ideals of the ring.<ref>{{cite book | last = Shafarevich | first = Igor R. | author-link = Igor Shafarevich | doi = 10.1007/978-3-642-38010-5 | edition = 3rd | isbn = 978-3-642-38009-9 | mr = 3100288 | publisher = Springer, Heidelberg | title = Basic Algebraic Geometry 2: Schemes and Complex Manifolds | year = 2013 | contribution = Definition of <math>\operatorname{Spec} A</math> | page = 5 | contribution-url = https://books.google.com/books?id=zDW8BAAAQBAJ&pg=PA5}}</ref> [[Arithmetic geometry]] also benefits from this notion, and many concepts exist in both geometry and number theory. For example, factorization or [[Splitting of prime ideals in Galois extensions|ramification]] of prime ideals when lifted to an [[field extension|extension field]], a basic problem of algebraic number theory, bears some resemblance with [[ramified cover|ramification in geometry]]. These concepts can even assist with in number-theoretic questions solely concerned with integers. For example, prime ideals in the [[ring of integers]] of [[quadratic number field]]s can be used in proving [[quadratic reciprocity]], a statement that concerns the existence of square roots modulo integer prime numbers.<ref>{{cite book | last = Neukirch | first = Jürgen | author-link = Jürgen Neukirch | doi = 10.1007/978-3-662-03983-0 | isbn = 978-3-540-65399-8 | location = Berlin | mr = 1697859 | publisher = Springer-Verlag | series = Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences] | title = Algebraic Number Theory | volume = 322 | year = 1999 | at = Section I.8, p. 50}}</ref>
+[[Spektrum gelanggang]] adalah ruang geometris yang titik-titiknya merupakan ideal prima dari gelanggang tersebut.<ref>{{cite book | last = Shafarevich | first = Igor R. | author-link = Igor Shafarevich | doi = 10.1007/978-3-642-38010-5 | edition = 3rd | isbn = 978-3-642-38009-9 | mr = 3100288 | publisher = Springer, Heidelberg | title = Basic Algebraic Geometry 2: Schemes and Complex Manifolds | year = 2013 | contribution = Definition of <math>\operatorname{Spec} A</math> | page = 5 | contribution-url = https://books.google.com/books?id=zDW8BAAAQBAJ&pg=PA5}}</ref> [[Geometri aritmetika]] juga mendapat manfaat dari gagasan ini, dan banyak konsep yang ada, baik dalam geometri maupun teori bilangan. Misalnya, faktorisasi atau [[Pemisah ideal prima dalam perluasan Galois|percabangan]] dari ideal prima ketika diangkat sebagai [[medan perluasan]], masalah dasar teori bilangan aljabar memiliki beberapa kemiripan dengan [[peliput bercabang|percabangan dalam geometri]]. Konsep-konsep ini bahkan dapat membantu dalam pertanyaan teori bilangan yang hanya berkaitan dengan bilangan bulat. Misalnya, ideal prima dalam [[gelanggang bilangan bulat]] dari [[medan bilangan kuadrat]] dapat digunakan untuk penggunaan [[ketimbalbalikan kuadrat]], pernyataan yang menyangkut keberadaan akar kuadrat modulo bilangan prima bilangan bulat.<ref>{{cite book | last = Neukirch | first = Jürgen | author-link = Jürgen Neukirch | doi = 10.1007/978-3-662-03983-0 | isbn = 978-3-540-65399-8 | location = Berlin | mr = 1697859 | publisher = Springer-Verlag | series = Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences] | title = Algebraic Number Theory | volume = 322 | year = 1999 | at = Section I.8, hal. 50}}</ref>
-Early attempts to prove [[Fermat's Last Theorem]] led to [[Ernst Kummer|Kummer]]'s introduction of [[regular prime]]s, integer prime numbers connected with the failure of unique factorization in the [[cyclotomic field|cyclotomic integers]].<ref>{{harvnb|Neukirch|1999}}, Section I.7, p. 38</ref>
+Upaya awal untuk membuktikan [[Teorema Terakhir Fermat]] menyebabkan pengenalan [[Ernst Kummer|Kummer]] dari [[prima regular]], bilangan prima bilangan bulat terhubung dengan kegagalan faktorisasi unik pada [[medan siklotomi|bilangan bulat siklotomi]].<ref>{{harvnb|Neukirch|1999}}, Bagian I.7, hal. 38</ref>
-The question of how many integer prime numbers factor into a product of multiple prime ideals in an algebraic number field is addressed by [[Chebotarev's density theorem]], which (when applied to the cyclotomic integers) has Dirichlet's theorem on primes in arithmetic progressions as a special case.<ref>{{cite journal | last1 = Stevenhagen | first1 = P. | last2 = Lenstra | first2 = H.W., Jr. | author2-link = Hendrik Lenstra | doi = 10.1007/BF03027290 | issue = 2 | journal = [[The Mathematical Intelligencer]] | mr = 1395088 | pages = 26–37 | title = Chebotarëv and his density theorem | volume = 18 | year = 1996| citeseerx = 10.1.1.116.9409 | s2cid = 14089091 }}</ref>
+Pertanyaan tentang berapa banyak bilangan prima bilangan bulat faktor menjadi darab dari beberapa ideal prima dalam medan bilangan aljabar ditangani oleh [[teorema kerapatan Chebotarev]], yang (bila diterapkan pada bilangan bulat siklotomi) mana memiliki teorema Dirichlet pada bilangan prima dalam deret aritmatika sebagai kasus khusus.<ref>{{cite journal | last1 = Stevenhagen | first1 = P. | last2 = Lenstra | first2 = H.W., Jr. | author2-link = Hendrik Lenstra | doi = 10.1007/BF03027290 | issue = 2 | journal = [[The Mathematical Intelligencer]] | mr = 1395088 | pages = 26–37 | title = Chebotarëv and his density theorem | volume = 18 | year = 1996| citeseerx = 10.1.1.116.9409 | s2cid = 14089091 }}</ref>
 ===Group theory===