Bilangan bulat: Perbedaan antara revisi

← Revisi sebelumnya Revisi selanjutnya →

Konten dihapus Konten ditambahkan

Sebaris

Revisi per 8 Desember 2021 23.35

Bilangan bulat (bahasa Latin: integer, berarti menyeluruh^[1]) adalah bilangan yang terdiri dari $0$ dan bilangan asli, atau bilangan bulat positif $\{1,2,3,4,\dots \}$ , yang disebut sebagai bilangan cacah^[2] beserta invers aditif, bilangan bulat negatif, $\{-1,-2,-3,-4,\dots \}$ ^[3]^[4] dan dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.^[5] Sebagai contoh, $3$ , $128$ , dan $-1289$ adalah bilangan bulat. Walakin, tidak seperti ${\sqrt {5}}$ , ${\tfrac {3}{8}}$ , atau $\pi$ yang merupakan bilangan irasional dan bilangan rasional. Bahkan terlebih lagi, bilangan desimal pun juga bukan merupakan bilangan bulat karena berupa konversi dari pecahan.

Meskipun demikian bahwa pecahan bukan merupakan bilangan bulat, melainkan bilangan rasional, namun kaitan bilangan bulat dengannya sangatlah kuat. Definisi bilangan rasional, yang berbentuk pecahan, dapat dinyatakan pada pembilang dan penyebut berupa bilangan bulat, sebagai eksepsi penyebut adalah bilangan bulat taknol.^[6] Adapun hubungan kuat lainnya, ketika penyebut adalah 1, maka bilangan tersebut berupa bilangan bulat.^[7]

Pada garis bilangan, daerah selang berwarna biru dan hijau masing-masing mewakili daerah bilangan negatif dan bilangan positif.

Himpunan bilangan bulat merupakan subhimpunan dari himpunan bilangan rasional, sekaligus juga dari bilangan real

Dalam teori himpunan, kumpulan-kumpulan mengenai anggota-anggota yang secara keseluruhannya adalah bilangan bulat merupakan himpunan bilangan bulat. Himpunan semua bilangan bulat dalam matematika sering dilambangkan dalam bentuk $\mathbb {Z}$ ,^[8]^{[nb 1]} atau dapat dilambangkan dalam huruf tebal ( $\mathbf {Z}$ ). Huruf kapital Latin, Z, berasal dari Zahlen (bahasa Jerman untuk "bilangan").^[9]^[10]^[11]^[12] $\mathbb {Z}$ merupakan subhimpunan dari himpunan bilangan rasional^[7] dan juga merupakan subhimpunan dari himpunan bilangan real.^[13]

Notasi himpunan bilangan bulat

Notasi $\mathbb {Z}$ sebagai himpunan bilangan bulat memiliki berbagai ragam notasi, di antaranya $\mathbb {Z} ^{+}$ yang melambangkan bilangan bulat positif^[14]. Terdapat notasi lain yang ditulis juga berdasarkan penulis lain, yaitu $\mathbb {Z} _{+}$ atau $\mathbb {Z} ^{>}$ . Notasi $\mathbb {Z} ^{-}$ melambangkan bilangan bulat negatif.^[15] Untuk notasi bilangan bulat taknegatif dapat ditulis sebagai $\mathbb {Z} ^{0+}$ atau $\mathbb {Z} ^{\geq }$ , sementara notasi bilangan bulat taknol ditulis $\mathbb {Z} ^{\neq 0}$ atau $\mathbb {Z} ^{*}$ .^{[nb 2]} Notasi lain, yaitu ${\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z}$ melambangkan setengah bilangan bulat.^[16]

Sebagai notasi adisional yang berkaitan dengan simbol dalam himpunan bilangan bulat di atas, terdapat notasi lain, yaitu $\mathbb {Z} _{n}$ , di mana notasi tersebut melambangkan himpunan bilangan bulat modulo- $n$ , yaitu himpunan dari semua kelas kekongruenan dari bilangan bulat terhadap modulo- $n$ . Berbeda dengan $\mathbb {Z} ^{n}$ yang melambangkan kekisi bilangan bulat.^[17]

Sifat aljabar dan aksioma bilangan bulat

Himpunan bilangan bulat $\mathbb {Z}$ merupakan himpunan bilangan yang merupakan perluasan dari bilangan asli.^[18] Sebagai contoh mengenai salah satu sifat aljabar datau aksioma bilangan bulat, himpunan bilangan bulat tertutup terhadap operasi penambahan.^[19] Artinya, jumlah dua bilangan bulat juga bilangan bulat.^[19]

Sebagai contoh mengenai sifat ketertutupan pada tabel di atas, yaitu penambahan. Dalam gambar di bawah, $3$ , bernilai positif yang ditambahkan oleh $2$ , bernilai positif juga akan menghasilkan bilangan positif, yaitu $5$ . Terdapat contoh dan permisalan lain: ketika $2$ yang bernilai positif dikurangi oleh $6$ , bernilai positif (atau kita tulis $-6$ sebagai bilangan negatif) akan memberikan bilangan bernilai negatif, yaitu $-4$ .

Himpunan bilangan bulat juga tertutup terhadap perkalian.^[20] Artinya, hasil kali dua bilangan bulat adalah bilangan bulat.^[20] Berbeda halnya dengan bilangan asli, $\mathbb {Z}$ juga tertutup terhadap bawah operasi pengurangan. Hasil pembagian dua bilangan bulat belum tentu bilangan bulat pula, karena itu $\mathbb {Z}$ tidak tertutup terhadap pembagian.

Untuk penjelasan lebih lanjut, berikut adalah tabel mengenai sifat-sifat dan aksioma terhadap himpunan bilangan bulat.

	Penambahan	Perkalian
Ketertutupan	$a+b$ adalah bilangan bulat	$a\times b$ adalah bilangan bulat
Asosiatif	$a+(b+c)=(a+b)=c$	$a\times (b\times c)=(a\times b)\times c$
Komutatif	$a+b=b+a$	$a\times b=b\times a$
Elemen identitas	$a+0=a$	$a\times 1=a$
Elemen invers	$a+(-a)=0$	$a\times {\frac {1}{a}}=1$
Distributif	$a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)$

Dalam teori bilangan

Dalam teori bilangan, bilangan bulat sangat interdependensi dengan salah satu topik yang telah dipelajari semenjak di bangku sekolah dasar, yakni faktor persekutuan terbesar dan kelipatan persekutuan terkecil. Kalakian, dilanjutkan ke keterbagian, modulo, fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil, dan fungsi phi Euler.

Faktor persekutuan terbesar

Faktor persekutuan terbesar atau dikenal juga sebagai persekutuan bilangan terbesar (dilambangkan $\operatorname {FPB}$ ^[21] atau $\operatorname {PBT}$ ^[22] dalam bahasa Indonesia, dan $\gcd$ dalam bahasa Inggris, abreviasi dari kata greatest common divisor^[23]) terhadap dua bilangan adalah bilangan bulat terbesar yang membagi setiap bilangan bulat.

Kelipatan persekutuan terkecil

Kelipatan persekutuan terkecil, (disingkat $\operatorname {KPK}$ ^[21] dalam bahasa Indonesia atau $\operatorname {lcm}$ atau $\operatorname {LCM}$ ^[24] dalam bahasa Inggris, abreviasi dari kata least common multiple atau lowest common mulitple^[25]) terhadap dua bilangan adalah bilangan bulat positif terkecil yang dapat dibagi habis oleh kedua bilangan tersebut.

Keterbagian

Keterbagian terjadi dimana bilangan bulat habis membagi bilangan bulat lainnya. Tinjau bilangan bulat $m$ dan $n$ , maka dapat ditulis $m\mid n$ di mana $m$ merupakan pembagi $n$ jika dan hanya jika $n$ merupakan kelipatan dari $m$ . Pernyataan ekuivalen lainnya dapat ditulis dengan

$mk=n$

di mana $k$ merupakan bilangan bulat.

Modulo

Salah satu topik yang berkaitan dengan bilangan bulat, modulo, yakni bilangan bulat yang dibagi oleh bilangan bulat menghasilkan sisa dari hasil bagi tersebut. Kekongruenan pada modulo dapat ekuivalen atau setara dengan algoritma Euklides diperluas:

$ax+bn=1\iff ax\equiv 1{\pmod {n}}$ .^[26]

Fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil

Dalam teori bilangan, fungsi bilangan bulat terbesar (bahasa Inggris: greatest integer function) adalah suatu fungsi dimana ketika suatu bilangan real dipetakan, maka akan berupa bilangan bulat yang lebih kecil atau sama dengan bilangan yang dipetakan. Fungsi bilangan bulat terbesar dapat dinotasikan sebagai $\lfloor x\rfloor$ ^[27]^[28], atau $[|x|]$ ^[29]^[28]. Hal yang serupa dengan fungsi bilangan bulat terkecil (bahasa Inggris: least integer function), yakni suatu fungsi dimana ketika suatu bilangan real dipetakan, maka akan berupa bilangan bulat yang lebih besar atau sama dengan bilangan yang dipetakan. Fungsi tersebut dinotasikan sebagai $\lceil x\rceil$ ^[30], atau $]|x|[$ .^[31]

Terdapat satu fungsi lagi, yaitu fungsi bagian bilangan bulat, dimana nilai akan berupa bilangan bulat sebelum bilangan desimal dari bilangan real ketika dipetakan ke fungsi tersebut. Kita lambangkan $[x]$ sebagai fungsi bilangan bulat. Secara matematis, dirumuskan sebagai^[32]

$[x]={\begin{cases}\lfloor x\rfloor ,&{\text{jika }}x\geq 0\\\lceil x\rceil ,&{\text{jika }}x<0\end{cases}}$ .

Fungsi phi Euler

Sebuah fungsi untuk mencari banyaknya bilangan asli (atau bilangan bulat positif^[34]^[35]) yang kurang dari sama dengan $n$ yang relatif prima terhadap disebut fungsi phi Euler. Dua bilangan disebut relatif prima jika faktor persekutuan terbesar terhadap kedua bilangan tersebut sama dengan 1.^[36] Fungsi yang dikemukakan oleh Leonhard Euler,^[37]^[38]^[39] menggunakan huruf Yunani, $\phi$ atau $\varphi$ (dibaca phi), yang kita lambangkan fungsi phi Euler sebagai $\phi (n)$ atau $\varphi (n)$ .

Kekardinalan himpunan bilangan bulat

Kekardinalan dalam himpunan bilangan bulat adalah tercacahkan, dengan korespondensi ke bijeksi $f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {Z}$ yang didefinisikan sebagai:

$f(n)={\begin{cases}{\frac {n}{2}},&{\text{jika }}n{\text{ genap}}\\-{\frac {n-1}{2}},&{\text{jika }}n{\text{ ganjil}}\end{cases}}$ .^[40]

Beragam bilangan bulat

Bilangan bulat Gauss

Dalam teori bilangan, bilangan bulat Gauss adalah bilangan kompleks, dimana bagian riil dan bagian imajiner adalah bilangan bulat, dengan penambahan dan perkalian biasa terhadap bilangan kompleks akan membentuk ranah integral. Bilangan bulat Gauss dapat dilambangkan sebagai $\mathbf {Z} [i]$ ^[41] dan dapat rumuskan ini sebagai

$\mathbf {Z} [i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb {Z} \}$ .

Rumus di atas memberikan keterangan, di mana $i$ adalah bilangan khayal.

Bilangan bulat Eisenstein

Bilangan bulat Eisenstein, dinamai dari Gotthold Eisenstein, atau dikenal juga sebagai bilangan bulat Eisenstein–Jacobi, adalah bilangan dengan bentuk $a+b\omega$ .^[42] Bilangan bulat Eisenstein dapat dinyatakan sebagai

$\mathbf {Z} [\omega ]=\{a+b\omega \mid a,b\in \mathbb {Z} \}$ .

dimana $\omega ={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}$ .^[42]

Grup bilangan bulat

Dalam aljabar abstrak, bilangan bulat berkaitan dengan grup. Grup dalam himpunan bilangan bulat memenuhi suatu syarat, yaitu ketertutupan, merupakan asosiatif, memiliki identitas 0, dan memiliki invers terhadap penambahan^[43]^[44], dinotasikan dalam bentuk $(\mathbb {Z} ,+)$ ^[45], tetapi tidak tertutup terhadap perkalian karena tidak memiliki invers sehingga tidak memenuhi syarat grup.^[43]

Sifat terurut

Himpunan bilangan bulat dapat diurutkan, baik dimulai dari nilai terbesar hingga terkecil maupun dari nilai terkecil hingga terbesar. Urutan bilangan bulat ditentukan melalui pendekatan garis bilangan dengan angka 0 sebagai nilai tengah di antara bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif. Dua bilangan bulat dibandingkan dengan lambang-lambang yaitu lebih dari, kurang dari, lebih dari atau sama dengan, atau kurang dari atau sama dengan, masing-masing dilambangkan sebagai $>$ , $<$ , $\geq$ , dan $\leq$ .

Perbandingan dilakukan mulai dari bilangan bulat yang berada di sisi kiri lambang. Bilangan bulat dinyatakan positif jika nilainya $>0$ dan dinyatakan negatif jika nilainya $<0$ . Sedangkan penggunaan tanda $\leq$ menyatakan bahwa bilangan tidak positif, dan penggunaan tanda $\geq$ menyatakan bahwa bilangan tidak negatif.^[46]

Aplikasi bilangan bulat

Sebuah termometer yang menunjukkan suhu sekitar $-17^{\circ }{\mbox{C}}$ .

Salah satu aplikasi yang paling umum dan yang paling sering ditemui adalah mengenai pengukuran kuantitatif yang menyatakan panas dan dingin, yang kita namakan sebagai suhu dalam termometer, dimana skalanya dapat bernilai positif maupun negatif.^[47] Sebagai umpama dan permisalannya, terdapat sebuah kota dengan suhu sekitar 23 derajat Celsius. Kita dapat menuliskannya secara matematis, yakni $23^{\circ }{\mbox{C}}$ . Umpama lainnya adalah sebuah pegunungan bersalju yang suhu terdinginnya mencapai titik ekstrem, yaitu sekitar $-1^{\circ }{\mbox{C}}$ . Penerapan bilangan bulat tidak hanya di suhu, tetapi bilangan bulat dapat diterapkan juga dalam bidang ekonomi. Bilangan bulat pada bidang tersebut menerapkan keuntungan dan kerugian pada suatu keuangan.^[48]

Bilangan bulat juga diterapkan dalam cabang bumi yang mempelajari lautan, oseanografi. Salah satunya adalah menghitung kedalaman laut dengan ketinggian negatif, yang lazimnya dipakai untuk para penyelam dan kapten kapal selam laut.^[49]

Dalam ilmu komputer, Integer digunakan untuk merujuk kepada tipe data apapun yang merepresentasikan bilangan bulat, atau beberapa bagian dari bilangan bulat.

Dalam bahasa pemrograman, bilangan bulat juga berkaitan dengan bahasa pemrograman Pascal. Walaupun memiliki ukuran 2 byte (16 bit) karena integer adalah type data signed maka hanya mampu di-assign nilai antara $-2^{15}$ sampai hingga $2^{15}-1$ ,^[50] yaitu $-32768$ sampai $32767$ .^{[nb 3]}

Lihat pula

Catatan kaki

^ Berdasarkan pada awal pengantar, kita tuliskan himpunan bilangan bulat dalam bentuk notasi himpunan, yaitu $\mathbb {Z} =\{\dots ,-2,-1,0,1,2\}$ .
^ Himpunan bilangan bulat taknol, dengan kata lain, dapat dituliskan dalam bentuk himpunan, yaitu $\{\dots ,-2,-1,1,2,\dots \}$ .
^ Halaman ini bersinambung ke Pascal (bahasa pemrograman), sebagai referensi dan bacaan lebih lanjut.

Rujukan

^ "integer di Kamus Indonesia - Latin-Indonesia | Glosbe". id.glosbe.com. Diakses tanggal 2021-11-15.
^ Yakni, gabungan dari 0 dan bilangan asil, dinotasikan secara matematis, $0\cup \mathbb {N}$ .
^ santoso, Kiki Wahyu (2020-07-21). "√ Pengertian Bilangan Bulat dan Contohnya [LENGKAP] ..." Saintif (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-20.
^ Weisstein, Eric W. "Whole Number". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-12.
^ Pasinggi, Yonathan Saba (2019). Kesulitan Memahami Konsep Bilangan Cacah di Sekolah Dasar (PDF). Gowa: Agma. hlm. 17.
^ Jusmawati, S.Pd, M.Pd, Bilangan Rasional, hlm. 6.
^ ^a ^b "Intermediate Algebra, Tutorial 3: Sets of Numbers". www.wtamu.edu. Diakses tanggal 2021-11-15.
^ "Set of Integers Symbol (ℤ)". wumbo.net. Diakses tanggal 2021-11-14.
^ "Compendium of Mathematical Symbols". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2020-03-01. Diakses tanggal 2020-08-19.
^ Weisstein, Eric W. "Integer". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-11.
^ Miller, Jeff (2010-08-29). "Earliest Uses of Symbols of Number Theory". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2010-01-31. Diakses tanggal 2010-09-20.
^ Peter Jephson Cameron (1998). Introduction to Algebra. Oxford University Press. hlm. 4. ISBN 978-0-19-850195-4. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2016-12-08. Diakses tanggal 2016-02-15.
^ "CK12-Foundation". flexbooks.ck12.org. Diakses tanggal 2021-11-15.
^ Weisstein, Eric W. "Positive Integer". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-13.
^ Weisstein, Eric W. "Negative Integer". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-13.
^ Turaev, V. G. (2010). Quantum invariants of knots and 3-manifolds (edisi ke-2nd rev. ed). Berlin: De Gruyter. hlm. 390. ISBN 978-3-11-022184-8. OCLC 650811823. Pemeliharaan CS1: Teks tambahan (link)
^ Daniele Micciancio, Lattice Algorithms and Applications, Introduction to Lattices
^ Setya Budhi, Wono (2006). Langkah Awal Menuju ke Olimpiade, Jil. 1, Ed. 2, Cet. 3. CV RICARDO. hlm. 80. ISBN 978-602-8049-06-1.
^ ^a ^b "Closure Property of Integers CBSE Class 7 Math Notes". edusaksham.com. Diakses tanggal 2021-11-12.
^ ^a ^b Buron, Dozon. "Properties of Multiplication of Integers (Definition and Examples)". BYJUS (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-12.
^ ^a ^b Itsnaini, Faqihah Muharroroh. "Apa Perbedaan KPK dan FPB? Ini Penjelasannya". detikedu. Diakses tanggal 2021-11-14.
^ Suci Yuniati, MENENTUKAN KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK) DAN FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR (FPB) DENGAN MENGGUNAKAN METODE “PEBI”, hlm. 158
^ "Definition of greatest common divisor | Dictionary.com". www.dictionary.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-14.
^ Weisstein, Eric W. "Least Common Multiple". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-14.
^ "Definition of least common multiple | Dictionary.com". www.dictionary.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-14.
^ "Extended Euclidean Algorithm". www-math.ucdenver.edu. Diakses tanggal 2021-11-13.
^ Weisstein, Eric W. "Floor Function". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-14.
^ ^a ^b "Mathwords: Floor Function". www.mathwords.com. Diakses tanggal 2021-11-14.
^ Dale Varberg, Edward Purcell, Steve Rigdon (2006). Kalkulus Edisi Kesembilan, Jilid 1. hlm. 33. (Penerjemah: I Nyoman Susila, Ph. D, Penerbit Erlangga)
^ Weisstein, Eric W. "Ceiling Function". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-14.
^ "Mathwords: Ceiling Function". www.mathwords.com. Diakses tanggal 2021-11-14.
^ "integer part". planetmath.org. Diakses tanggal 2021-11-16.
^ "Euler's totient function". Khan Academy. Diakses tanggal 2016-02-26.
^ "Bilangan Bulat – Pengertian, Garis Bilangan, Perbandingan Bilangan Bulat, Operasi Bilangan Bulat, dan Contoh". Aku Pintar. Diakses tanggal 2021-11-13.
^ Weisstein, Eric W. "Natural Number". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-13.
^ "Fungsi Totient Euler (Euler's Totient Function) | Matematika dan Informatika" (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-13.
^ L. Euler "Theoremata arithmetica nova methodo demonstrata" (An arithmetic theorem proved by a new method), Novi commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae (New Memoirs of the Saint-Petersburg Imperial Academy of Sciences), 8 (1763), 74–104. (The work was presented at the Saint-Petersburg Academy on October 15, 1759. A work with the same title was presented at the Berlin Academy on June 8, 1758). Available on-line in: Ferdinand Rudio, ed., Leonhardi Euleri Commentationes Arithmeticae, volume 1, in: Leonhardi Euleri Opera Omnia, series 1, volume 2 (Leipzig, Germany, B. G. Teubner, 1915), pages 531–555. On page 531, Euler defines $n$ as the number of integers that are smaller than $N$ and relatively prime to $N$ (… aequalis sit multitudini numerorum ipso N minorum, qui simul ad eum sint primi, …), which is the phi function, φ(N).
^ Sandifer, p. 203
^ Graham et al. p. 133 note 111
^ "4.7 Cardinality and Countability". www.whitman.edu. Diakses tanggal 2021-11-15.
^ (Fraleigh 1976, hlm. 286)
^ ^a ^b Weisstein, Eric W. "Eisenstein Integer". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-15.
^ ^a ^b "Groups". www.cwladis.com. Diakses tanggal 2021-11-13.
^ "The Closure Property". www.cwladis.com. Diakses tanggal 2021-11-13.
^ "Definisi Grup: Suatu Bentuk Abstraksi Dari Suatu Sistem Tertentu". Universitas Gajah Mada, Menara Ilmu:Struktur Aljabar.
^ Abdussakir (2014). Matematika dalam Al-Qur'an (PDF). Malang: UIN-Maliki Press. hlm. 83. ISBN 978-602-958-440-0.
^ "Applications of Integers - Math Central". mathcentral.uregina.ca. Diakses tanggal 2021-11-15.
^ "Welcome to CK-12 Foundation | CK-12 Foundation". www.ck12.org. Diakses tanggal 2021-11-15.
^ Wahyudin, Sudrajat (2003). Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia. Tarity Samudra Berlian. hlm. 43. ISBN 979-8855-06-X.
^ "What is an Integer (INT)? - Definition from Techopedia". Techopedia.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-15.

Pranala luar

Brilliant Math and Science – Integers

[9] Berdasarkan pada awal pengantar, kita tuliskan himpunan bilangan bulat dalam bentuk notasi himpunan, yaitu $\mathbb {Z} =\{\dots ,-2,-1,0,1,2\}$ .

[17] Himpunan bilangan bulat taknol, dengan kata lain, dapat dituliskan dalam bentuk himpunan, yaitu $\{\dots ,-2,-1,1,2,\dots \}$ .

[53] Halaman ini bersinambung ke Pascal (bahasa pemrograman), sebagai referensi dan bacaan lebih lanjut.

[1] "integer di Kamus Indonesia - Latin-Indonesia | Glosbe". id.glosbe.com. Diakses tanggal 2021-11-15.

[2] Yakni, gabungan dari 0 dan bilangan asil, dinotasikan secara matematis, $0\cup \mathbb {N}$ .

[3] santoso, Kiki Wahyu (2020-07-21). "√ Pengertian Bilangan Bulat dan Contohnya [LENGKAP] ..." Saintif (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-20.

[4] Weisstein, Eric W. "Whole Number". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-12.

[5] Pasinggi, Yonathan Saba (2019). Kesulitan Memahami Konsep Bilangan Cacah di Sekolah Dasar (PDF). Gowa: Agma. hlm. 17.

[6] Jusmawati, S.Pd, M.Pd, Bilangan Rasional, hlm. 6.

[:6-7] "Intermediate Algebra, Tutorial 3: Sets of Numbers". www.wtamu.edu. Diakses tanggal 2021-11-15.

[8] "Set of Integers Symbol (ℤ)". wumbo.net. Diakses tanggal 2021-11-14.

[10] "Compendium of Mathematical Symbols". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2020-03-01. Diakses tanggal 2020-08-19.

[11] Weisstein, Eric W. "Integer". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-11.

[12] Miller, Jeff (2010-08-29). "Earliest Uses of Symbols of Number Theory". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2010-01-31. Diakses tanggal 2010-09-20.

[Cameron1998-13] Peter Jephson Cameron (1998). Introduction to Algebra. Oxford University Press. hlm. 4. ISBN 978-0-19-850195-4. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2016-12-08. Diakses tanggal 2016-02-15.

[14] "CK12-Foundation". flexbooks.ck12.org. Diakses tanggal 2021-11-15.

[15] Weisstein, Eric W. "Positive Integer". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-13.

[16] Weisstein, Eric W. "Negative Integer". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-13.

[18] Turaev, V. G. (2010). Quantum invariants of knots and 3-manifolds (edisi ke-2nd rev. ed). Berlin: De Gruyter. hlm. 390. ISBN 978-3-11-022184-8. OCLC 650811823. Pemeliharaan CS1: Teks tambahan (link)

[19] Daniele Micciancio, Lattice Algorithms and Applications, Introduction to Lattices

[20] Setya Budhi, Wono (2006). Langkah Awal Menuju ke Olimpiade, Jil. 1, Ed. 2, Cet. 3. CV RICARDO. hlm. 80. ISBN 978-602-8049-06-1.

[:2-21] "Closure Property of Integers CBSE Class 7 Math Notes". edusaksham.com. Diakses tanggal 2021-11-12.

[:3-22] Buron, Dozon. "Properties of Multiplication of Integers (Definition and Examples)". BYJUS (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-12.

[:4-23] Itsnaini, Faqihah Muharroroh. "Apa Perbedaan KPK dan FPB? Ini Penjelasannya". detikedu. Diakses tanggal 2021-11-14.

[24] Suci Yuniati, MENENTUKAN KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK) DAN FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR (FPB) DENGAN MENGGUNAKAN METODE “PEBI”, hlm. 158

[25] "Definition of greatest common divisor | Dictionary.com". www.dictionary.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-14.

[26] Weisstein, Eric W. "Least Common Multiple". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-14.

[27] "Definition of least common multiple | Dictionary.com". www.dictionary.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-14.

[28] "Extended Euclidean Algorithm". www-math.ucdenver.edu. Diakses tanggal 2021-11-13.

[29] Weisstein, Eric W. "Floor Function". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-14.

[:1-30] "Mathwords: Floor Function". www.mathwords.com. Diakses tanggal 2021-11-14.

[31] Dale Varberg, Edward Purcell, Steve Rigdon (2006). Kalkulus Edisi Kesembilan, Jilid 1. hlm. 33. (Penerjemah: I Nyoman Susila, Ph. D, Penerbit Erlangga)

[32] Weisstein, Eric W. "Ceiling Function". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-14.

[33] "Mathwords: Ceiling Function". www.mathwords.com. Diakses tanggal 2021-11-14.

[34] "integer part". planetmath.org. Diakses tanggal 2021-11-16.

[35] "Euler's totient function". Khan Academy. Diakses tanggal 2016-02-26.

[36] "Bilangan Bulat – Pengertian, Garis Bilangan, Perbandingan Bilangan Bulat, Operasi Bilangan Bulat, dan Contoh". Aku Pintar. Diakses tanggal 2021-11-13.

[37] Weisstein, Eric W. "Natural Number". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-13.

[38] "Fungsi Totient Euler (Euler's Totient Function) | Matematika dan Informatika" (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-13.

[39] L. Euler "Theoremata arithmetica nova methodo demonstrata" (An arithmetic theorem proved by a new method), Novi commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae (New Memoirs of the Saint-Petersburg Imperial Academy of Sciences), 8 (1763), 74–104. (The work was presented at the Saint-Petersburg Academy on October 15, 1759. A work with the same title was presented at the Berlin Academy on June 8, 1758). Available on-line in: Ferdinand Rudio, ed., Leonhardi Euleri Commentationes Arithmeticae, volume 1, in: Leonhardi Euleri Opera Omnia, series 1, volume 2 (Leipzig, Germany, B. G. Teubner, 1915), pages 531–555. On page 531, Euler defines $n$ as the number of integers that are smaller than $N$ and relatively prime to $N$ (… aequalis sit multitudini numerorum ipso N minorum, qui simul ad eum sint primi, …), which is the phi function, φ(N).

[Sandifer,_p._203-40] Sandifer, p. 203

[41] Graham et al. p. 133 note 111

[42] "4.7 Cardinality and Countability". www.whitman.edu. Diakses tanggal 2021-11-15.

[Fraleigh_1976_286-43] (Fraleigh 1976, hlm. 286)

[:5-44] Weisstein, Eric W. "Eisenstein Integer". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-15.

[:0-45] "Groups". www.cwladis.com. Diakses tanggal 2021-11-13.

[46] "The Closure Property". www.cwladis.com. Diakses tanggal 2021-11-13.

[47] "Definisi Grup: Suatu Bentuk Abstraksi Dari Suatu Sistem Tertentu". Universitas Gajah Mada, Menara Ilmu:Struktur Aljabar.

[48] Abdussakir (2014). Matematika dalam Al-Qur'an (PDF). Malang: UIN-Maliki Press. hlm. 83. ISBN 978-602-958-440-0.

[49] "Applications of Integers - Math Central". mathcentral.uregina.ca. Diakses tanggal 2021-11-15.

[50] "Welcome to CK-12 Foundation | CK-12 Foundation". www.ck12.org. Diakses tanggal 2021-11-15.

[51] Wahyudin, Sudrajat (2003). Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia. Tarity Samudra Berlian. hlm. 43. ISBN 979-8855-06-X.

[52] "What is an Integer (INT)? - Definition from Techopedia". Techopedia.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-15.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[nb 1]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[nb 2]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[nb 3]

@@ Baris 14: / Baris 14: @@
 == Sifat aljabar dan aksioma bilangan bulat ==
-Himpunan bilangan bulat <math>\Z</math> merupakan himpunan bilangan yang merupakan perluasan dari bilangan asli.<ref>{{Cite book|last=Setya Budhi|first=Wono|date=2006|url=http://perpus.tasikmalayakab.go.id/opac/detail-opac?id=4086|title=Langkah Awal Menuju ke Olimpiade, Jil. 1, Ed. 2, Cet. 3|publisher=CV RICARDO|isbn=978-602-8049-06-1|pages=80|url-status=live}}</ref> Sebagai contoh mengenai salah satu sifat aljabar datau aksioma bilangan bulat, himpunan bilangan bulat tertutup terhadap operasi [[penjumlahan|penambahan]]<ref name=":2">{{Cite web|title=Closure Property of Integers CBSE Class 7 Math Notes|url=https://edusaksham.com/chapters/CBSE-Class-7-Mathematics-Closure-Property-of-Integers.html|website=edusaksham.com|access-date=2021-11-12}}</ref> . Artinya, jumlah dua bilangan bulat juga bilangan bulat.<ref name=":2" />
+Himpunan bilangan bulat <math>\Z</math> merupakan himpunan bilangan yang merupakan perluasan dari bilangan asli.<ref>{{Cite book|last=Setya Budhi|first=Wono|date=2006|url=http://perpus.tasikmalayakab.go.id/opac/detail-opac?id=4086|title=Langkah Awal Menuju ke Olimpiade, Jil. 1, Ed. 2, Cet. 3|publisher=CV RICARDO|isbn=978-602-8049-06-1|pages=80|url-status=live}}</ref> Sebagai contoh mengenai salah satu sifat aljabar datau aksioma bilangan bulat, himpunan bilangan bulat tertutup terhadap operasi [[penjumlahan|penambahan]].<ref name=":2">{{Cite web|title=Closure Property of Integers CBSE Class 7 Math Notes|url=https://edusaksham.com/chapters/CBSE-Class-7-Mathematics-Closure-Property-of-Integers.html|website=edusaksham.com|access-date=2021-11-12}}</ref> Artinya, jumlah dua bilangan bulat juga bilangan bulat.<ref name=":2" />
 Sebagai contoh mengenai sifat ketertutupan pada tabel di atas, yaitu [[penambahan]]. Dalam gambar di bawah, <math>3</math>, bernilai positif yang ditambahkan oleh <math>2</math>, bernilai positif juga akan menghasilkan bilangan positif, yaitu <math>5</math>. Terdapat contoh dan permisalan lain: ketika <math>2</math> yang bernilai positif dikurangi oleh <math>6</math>, bernilai positif (atau kita tulis <math>-6</math> sebagai bilangan negatif) akan memberikan bilangan bernilai negatif, yaitu <math>-4</math>.[[Berkas:Integer addition and subtraction.png|pus|jmpl|480x480px|Dengan memperhatikan bahwa contoh pertama, bilangan bulat yang ditambahkan akan menuju ke kanan, di mana daerah tersebut berupa selang bilangan positif. Sedangkan contoh kedua menuju ke kiri, yang mengarah selang bilangan negatif.]]

l b s Sistem bilangan
Himpunan terhitung	Bilangan asli ( $\scriptstyle \mathbb {N}$ ) Bilangan bulat ( $\scriptstyle \mathbb {Z}$ ) Bilangan rasional ( $\scriptstyle \mathbb {Q}$ ) Bilangan aljabar ( $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ ) Perioda Bilangan terkomputasi Bilangan aritmetis
Bilangan riil dan cabangan	Bilangan riil ( $\scriptstyle \mathbb {R}$ ) Bilangan kompleks ( $\scriptstyle \mathbb {C}$ ) Kuaternion ( $\scriptstyle \mathbb {H}$ ) Oktonion ( $\scriptstyle \mathbb {O}$ ) Sedenion ( $\scriptstyle \mathbb {S}$ ) Aljabar Cayley–Dickson Bilangan rangkap Bilangan kompleks hiperbolik Bilangan hiperkompleks Bilangan superreal Bilangan irasional Bilangan transenden Bilangan hiperreal Bilangan surreal
Sistem lain	Bilangan kardinal Bilangan ordinal Bilangan p-adik Bilangan supernatural