Versi yang bisa dicetak tidak lagi didukung dan mungkin memiliki kesalahan tampilan. Tolong perbarui markah penjelajah Anda dan gunakan fungsi cetak penjelajah yang baku.

{\overset {}{\underset {}{x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}}}

Rumus kuadrat, yang merupakan solusi dari persamaan kuadrat

ax^{2}+bx+c=0

dimana

a\neq 0

. Di sini simbol

a, b, c

mewakili bilangan arbitrer, dan

x

adalah variabel yang mewakili solusi persamaan.

Plot dua dimensi (kurva merah) dari persamaan aljabar $y=x^{2}-x-2$

Aljabar elementer atau aljabar dasar adalah bentuk mendasar (fundamental) dan dasar dari aljabar, yang diajarkan kepada murid yang dianggap sedikit atau tidak memiliki pengetahuan tentang matematika yang lebih jauh daripada aritmetika (berhitung). Bila dalam aritmetika hanya bilangan dan operasi aritmetika (seperti +, -, ×, ÷) yang ditemukan, dalam aljabar kita juga menggunakan simbol (seperti x dan y, atau a dan b) untuk mewakili bilangan. Simbol seperti ini disebut sebagai variabel atau peubah. Penggunaan simbol seperti ini berguna karena:

Memungkinkan perampatan (generalisasi) persamaan dan pertidaksamaan aritmetika untuk dinyatakan sebagai hukum (seperti a + b = b + a untuk semua a dan b), dan karena itu merupakan langkah pertama untuk studi sistematis terhadap sifat-sifat sistem bilangan riil.
Memungkinkan merujuk kepada bilangan yang tidak diketahui. Dalam konteks suatu masalah, variabel mungkin mewakili suatu nilai yang belum diketahui, tetapi dapat ditemukan lewat perumusan dan manipulasi persamaan matematika
Memungkinkan penjelajahan hubungan matematika antara besaran-besaran (misalnya, "bila kamu menjual x karcis, keuntunganmu adalah 3x − 1000 rupiah").

Ketiganya adalah untaian utama dari aljabar elementer, yang mesti dibedakan dari aljabar abstrak, yang merupakan wilayah studi lebih lanjut.

Dalam aljabar elementer, sebuah "pernyataan matematika" boleh terdiri dari bilangan, variabel, dan operasi aritmetika. Ini biasanya ditulis dengan 'pangkat yang lebih tinggi' diletakkan di kiri; contohnya:

x+3\,

y^{2}+2x-3\,

z^{7}+a(b+x^{3})+42/y-\pi .\,

Dalam aljabar yang lebih lanjut, suatu pernyataan juga mungkin memiliki fungsi elementer.

Sebuah "persamaan" adalah klaim bahwa dua pernyataan adalah sama. Sebagian persamaan berlaku untuk semua nilai variabel (seperti a + b = b + a). Persamaan seperti ini dinamakan "identitas". Persamaan "bersyarat" berlaku hanya untuk sebagian nilai variabel yang mungkin: x² − 1 = 4. Nilai-nilai variabel yang membuat persamaan tersebut berlaku disebut pemecahan atau "solusi" persamaan.

Penemu Aljabar

Diophantus

Diophantus menjadi penemu cabang ilmu aljabar yang berasal dari Alexandria, saat itu ilmu ini sudah dikembangkan sejak zaman Babilonia Kuno. Orang-orang masyarakat tersebut sudah melakukan pengembangan terhadap persamaan kuadrat, persamaan linier dan persamaan linier tidak menentu, Diophantus menulis sebuah buku yang berisi suatu pemecahan aljabar.

Selain itu Diophantus juga disebut sebagai Bapak Aljabar karena memberi ilmu pengetahuan mengenai teori bilangan, notasi matematika dan aljabar yang dapat diidentifikasi lewat teori persamaan. Sistem ilmu ini yang diciptakan Diophantus tidak memakai simbol dan dikenal dengan sebutan syncopate.

Al-Khawarizmi

Lahir sekitar 780 masehi, Al-Khawarizmi merupakan seorang yang sangat suka dalam ilmu matematika. Bernama lengkap Muhammad Ibn Musa Al-Khawarizmi, lahir di Bukhara dan lama tinggal di Khawarizmi. Di masa kepemimpinan Al-Ma’mun saat itu perkembangan ilmu pengetahuan sedang ada di puncak-puncaknya atau berada di puncak kejayaan.

Al-Khawarizmi termasuk peneliti yang menemukan aljabar, ditandai adanya perpustakan besar dan pusat penelitian ilmu pengetahuan yang dibuat Harun Al-Rasyid. Al-Khawarizmi dikenal banyak orang Eropa sebagai Algorizm atau kini diketahui dengan julukan konsep algoritma. Konsep algoritma sudah dipakai dalam berbagai jenis ilmu pengetahuan, berkaitan komputer dan engineering.

Unsur Aljabar

Rumus Persamaan

Rumus aljabar persamaan diketahui sebagai salah satu teknik dalam ilmu matematika dan biasanya dipakai untuk menyamakan suatu permasalahan ke dalam bentuk matematika. Yang paling sederhana dan kompleks, artinya persamaan yang ada berfungsi sebagai pembentuk sebuah rumus matematika sesuai dengan masalah.

Variabel

Merupakan sebuah simbol yang berupa huruf, fungsinya adalah untuk pengganti suatu nilai yang sifatnya tidak tetap atau dapat berubah-ubah. Sifat yang bisa berubah ini tergantung pada persamaan yang memuat, sehingga variabel itu sendiri juga disebut sebagai perubah. Simbol huruf pada variabel biasanya seperti a, A, b, B, c, C, untuk simbol x, X, y, Y, z, Z.

Koefisien

Apabila variabel adalah simbol dari suatu nilai, sehingga berbeda dengan koefisien yang memiliki arti sebagai nilai dengan fungsi untuk mengalikan suatu variabel. Secara umum, koefisien hanya memiliki nilai satu dan tidak akan ditulis, termasuk halnya dalam penggunaan kalkulator aljabar.

Konstanta

Yang dimaksud dengan konstanta adalah nilai dalam bentuk aljabar yang sifatnya tidak berubah-ubah atau tetap. Ciri konstanta tidak berhubungan dengan variabel, kemudian dalam beberapa rumus diketahui juga konstanta dapat disimbolkan menggunakan huruf. Dan bisa menggunakan simbol khusus.

Pangkat

Pangkat disebut juga eksponen merupakan variabel yang berada di dalam bentuk aljabar yang bentuknya pangkat. Dalam operasi perhitungan, pangkat mendapat prioritas kedua yang sejajar dengan operasi hitung setelah tanda kurung yang berada di dalam operasi hitung.

Derajat atau pangkat

Derajat merupakan nilai pangkat yang ada dan paling tinggi dalam sebuah variabel berbentuk aljabar, pemahaman secara seksama dapat menjelaskan bagaimana cara kerja dan sifat dari derajat dalam sebuah variabel berbentuk aljabar dan turunan fungsi aljabar.

Suku

Yang dimaksud dengan suku adalah suatu total dari seluruh elemen yang terdapat dalam bentuk aljabar. Suku biasanya dipakai atau digunakan sebagai cara agar bentuk aljabar bisa dibahasakan dengan mudah, biasanya sudah termasuk dalam suatu kalkulator aljabar adalah pemecah soal-soal aljabar.

Bentuk Aljabar

Jika dilihat dari penerapan, bentuk ilmu ini ada beberapa dan setiap bentuknya dipastikan terdiri dari nilai tetap (konstanta) dan nilai peubah (variabel). Bentuk aljabar yang dapat digunakan dalam penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan perpangkatan yang dapat dipahami lebih lanjut lewat contoh seperti 3b, 4x+3, 6y-2 dan lain sebagainya.

Operasi aljabar

Dalam matematika, operasi aljabar dasar adalah salah satu dari operasi aritmetika yang umum, yang mencakup penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, menaikkan menjadi bilangan bulat pangkat, dan mengambil akar (pangkat pecahan).^[1]^[2] Operasi ini dapat dilakukan pada bilangan, dalam hal ini sering disebut operasi aritmetika. Mereka juga dapat dilakukan, dengan cara yang sama, pada variabel, ekspresi aljabar,^[3] dan lebih umum lagi, pada elemen struktur aljabar, seperti grup dan bidang.^[4] Operasi aljabar juga dapat didefinisikan sebagai fungsi dari pangkat Kartesius dari himpunan ke himpunan yang sama.^[5]

Istilah operasi aljabar juga dapat digunakan untuk operasi yang dapat didefinisikan dengan menggabungkan operasi aljabar dasar, seperti produk titik. Dalam kalkulus dan analisis matematika, operasi aljabar juga digunakan untuk operasi yang dapat ditentukan dengan murni metode aljabar. Misalnya, eksponen dengan eksponen bilangan bulat atau rasional adalah operasi aljabar, tetapi bukan eksponen umum dengan eksponen riil atau kompleks. Selain itu, turunan adalah operasi yang tidak bersifat aljabar.

Aritmetika

Aritmetika (dulu disebut ilmu hitung adalah bagian dasar matematika yang mempelajari operasi bilangan seperti penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Dalam pengertian yang lebih luas, aritmetika juga mencakup eksponensiasi, akar bilangan, dan logaritma.

Operasi aritmetika menjadi dasar dari banyak bagian matematika, seperti aljabar, kalkulus, dan statistik. Aritmetika memainkan peran yang sama dalam ilmu pengetahuan, seperti fisika dan ekonomi. Aritmetika hadir dalam banyak aspek kehidupan sehari-hari, misalnya, untuk menghitung uang kembalian saat berbelanja atau mengelola keuangan pribadi. Aritmetika adalah salah satu bentuk pendidikan matematika paling awal yang dipelajari oleh siswa.

Perbedaan Antara Aritmatika dan Aljabar

Aljabar adalah cabang matematika di mana siswa biasanya menggunakan simbol, huruf alfabet untuk mendapatkan solusi dari soal yang diberikan. Berbicara tentang sejarahnya, aljabar dapat dibagi menjadi tiga bagian. Bagian pertama adalah tahap tertulis di mana hanya kata-kata yang digunakan, bagian kedua mencakup tahap yang dipersingkat atau sinkopasi di mana simbol muncul dalam persamaan. Bagian ketiga adalah tahap modern atau simbolik. Selain itu, Aljabar ditemukan pada abad kesembilan oleh seorang matematikawan Persia, Mohammed ibn-Musa al-Khowarizmi. Ia juga mengembangkan metode cepat untuk mengalikan dan membagi angka, yang dikenal sebagai algoritma. Studi aljabar berarti matematikawan memecahkan persamaan dan sistem linear, serta solusi kuadrat.

Aritmatika adalah ilmu yang mempelajari angka, operasi dengan angka (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian), dan sifat dasar dari operasi tersebut. Ilmu ini membentuk keterampilan matematika dasar, seperti berhitung, menghitung, dan bekerja dengan bilangan bulat, pecahan, dan desimal.

Aljabar adalah cabang matematika yang mempelajari variabel, persamaan, fungsi, dan hubungan di antara variabel tersebut. Penalaran aljabar melibatkan penggunaan simbol, seperti huruf, untuk mewakili kuantitas yang tidak diketahui atau variabel dan memanipulasinya sesuai dengan seperangkat aturan dan prinsip.

Singkatnya, aritmatika mempelajari angka dan operasi dasar, sedangkan aljabar berfokus pada studi variabel dan persamaan.

Aritmatika – Angka dan Operasi

Aritmatika adalah salah satu dari beberapa mata pelajaran pertama yang pelajari di kelas dasar. Aritmatika berhubungan dengan angka dan operasi dasar pada angka tersebut. Aritmatika merupakan dasar untuk mempelajari cabang matematika lainnya. Aritmatika berasal dari kata Yunani arithmos, yang merupakan cabang matematika yang terdiri dari studi penghitungan angka dan sifat-sifat operasi tradisional pada angka-angka tersebut seperti penjumlahan (+), pengurangan (-), perkalian (x), dan pembagian (). Aritmatika merupakan bagian dasar dari teori bilangan. Selain operasi dasar, subjek ini juga mencakup operasi yang lebih maju, seperti persentase, akar kuadrat, eksponensial, fungsi logaritma, fungsi trigonometri , dan masih banyak lagi.

Empat operasi dasar yakni penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian secara umum disebut sebagai empat operasi aritmatika. Empat sifat utama operasi adalah:

Sifat Komutatif
Sifat Asosiatif
Properti Distributif
Identitas Aditif

Aturan untuk operasi yang melibatkan +, −, ×, dan ÷. Urutan operasinya adalah:

B:- Tanda kurung
O: -Order
D: -Pembagian
M:- Perkalian
A: -Penambahan
S: -Pengurangan

Aljabar

Aljabar merupakan salah satu cabang Matematika yang membahas variabel dan angka. Gabungan konstanta dan variabel yang dihubungkan dengan tanda operasi dasar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian disebut ekspresi aljabar. Berbagai bagian dari ekspresi aljabar yang dipisahkan oleh tanda + atau - disebut suku-suku ekspresi. Ekspresi aljabar didefinisikan sebagai penjumlahan, selisih, perkalian, atau hasil bagi konstanta dan variabel.

Contoh, 12x + 50 Di sini ekspresi ini disebut ekspresi aljabar di mana x bervariasi nilainya sehingga merupakan variabel dan 50 adalah konstanta. 12x dan 50 adalah suku-suku dan keduanya dipisahkan oleh tanda +. Kita dapat menulis apa saja a, b, c ….z sebagai pengganti variabel.

Aljabar terdiri dari berbagai metode untuk memecahkan sepasang persamaan linear:

Metode eliminasi
Metode Substitusi
Metode perkalian silang

Orang Babilonia lah yang menemukan Aljabar pada tahun 1900 SM. Penggunaan tanda penjumlahan (+) dan pengurangan (-) terbukti bermanfaat dalam mengerjakan persamaan aljabar. Sebelumnya, orang menggunakan kata-kata tertulis untuk menyatakan fungsi penjumlahan dan pengurangan yang merupakan proses yang memakan waktu. Aritmatika adalah sesuatu yang selalu ada di sekitar. Coba lihat nampan es dan ambil dua es batu dari dalamnya, berapa jumlah total yang tersisa? Untuk menemukan jawabannya, kita harus mengurangi jumlah total slot es batu dengan 2. Sejarah matematika sudah ada sejak lama, tetapi sebagian besar simbol matematika baru ditemukan pada abad ke-16 karena persamaan sudah ditulis dalam kata-kata sebelumnya. Dua alat geometri terpenting yang dianggap ampuh karena membantu kemajuan dan konstruksi subjek adalah penggaris dan kompas.

Notasi aljabar

Notasi aljabar menjelaskan aturan dan ketentuan penulisan ekspresi matematika, serta terminologi yang digunakan untuk membicarakan bagian-bagian ekspresi. Misalnya ekspresi $3x^{2}-2xy+c$ memiliki komponen berikut:

Koefisien adalah nilai numerik, atau huruf yang mewakili konstanta numerik, yang mengalikan variabel (operator dihilangkan). A term adalah adend atau penjumlahan, grup koefisien, variabel, konstanta, dan eksponen yang dapat dipisahkan dari suku lain dengan plus dan minus.^[6] Huruf mewakili variabel dan konstanta. Sesuai ketentuan, huruf di awal alfabet (yaitu $a,b,c$ ) biasanya digunakan untuk mewakili konstanta, dan yang mendekati akhir alfabet (misalnya $x,y$ dan $z$ ) digunakan untuk mewakili variabel .^[7] Biasanya ditulis miring.^[8]

Operasi aljabar bekerja dengan cara yang sama seperti operasi aritmetika,^[9] seperti penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan eksponensiasi.^[10] dan diterapkan pada variabel dan suku aljabar. Simbol perkalian biasanya dihilangkan, dan diterapkan ketika tidak ada ruang antara dua variabel atau suku, atau ketika koefisien digunakan. Misalnya, $3\times x^{2}$ ditulis sebagai $3x^{2}$ , dan $2\times x\times y$ ditulis $2xy$ .^[11]

Biasanya suku dengan pangkat tertinggi (eksponen), ditulis di sebelah kiri, misalnya, $x^{2}$ ditulis di sebelah kiri $x$ . Ketika koefisien adalah satu, biasanya dihilangkan (misalnya $1x^{2}$ is written $x^{2}$ ).^[12] Begitu juga saat eksponen (pangkat) adalah satu, (misalnya $3x^{1}$ ditulis $3x$ ).^[13] Jika eksponennya nol, hasilnya selalu 1 (misalnya $x^{0}$ selalu ditulis ulang menjadi $1$ ).^[14] Namun $0^{0}$ , karena tidak terdefinisi, seharusnya tidak muncul dalam ekspresi, dan perhatian harus diberikan dalam menyederhanakan ekspresi di mana variabel mungkin muncul dalam eksponen.

Notasi alternatif

Jenis notasi lain digunakan dalam ekspresi aljabar ketika pemformatan yang diperlukan tidak tersedia, atau tidak dapat tersirat, seperti di mana hanya huruf dan simbol variabel. Sebagai ilustrasi, eksponen biasanya diformat menggunakan superskrip, misalnya $x^{2}$ , dalam teks biasa, dan dalam bahasa markup TeX, simbol tanda sisipan "^" mewakili eksponensiasi, jadi $x^{2}$ ditulis sebagai "x^2".,^[15]^[16] serta beberapa bahasa pemrograman seperti Lua. Dalam bahasa pemrograman seperti Ada,^[17] Fortran,^[18] Perl,^[19] Python ^[20] and Ruby,^[21] tanda bintang ganda digunakan, jadi $x^{2}$ ditulis sebagai "x**2". Banyak bahasa pemrograman dan kalkulator menggunakan tanda bintang tunggal untuk mewakili simbol perkalian,^[22] dan itu harus digunakan secara eksplisit, misalnya, $3x$ ditulis "3*x".

Konsep

Variabel

Aljabar elementer dalam aritmetika^[23] dengan memasukkan huruf yang disebut variabel untuk mewakili angka umum (tidak ditentukan). Ini berguna karena beberapa alasan.

Variabel mungkin mewakili angka yang nilainya belum diketahui. Misalnya, jika suhu hari ini, 20 derajat lebih tinggi dari suhu hari sebelumnya, maka P dari soal tersebut dapat dijelaskan secara aljabar sebagai $C=P+20$ .^[24]
Variabel memungkinkan seseorang untuk menggambarkan masalah umum,^[25] tanpa menentukan nilai kuantitas yang terlibat. Misalnya, dapat dinyatakan secara spesifik bahwa 5 menit sama dengan $60\times 5=300$ detik. Deskripsi yang lebih umum (aljabar) mungkin menyatakan bahwa jumlah detik, $s=60\times m$ , dimana m adalah jumlah menit.
Variabel memungkinkan untuk mendeskripsikan hubungan matematis antara besaran yang mungkin berbeda.^[26] Misalnya, hubungan antara keliling, c, dan diameter, d, dari sebuah lingkaran dijelaskan oleh $\pi =c/d$ .
Variabel memungkinkan untuk mendeskripsikan beberapa properti matematika. Misalnya, sifat dasar penjumlahan adalah komutativitas yang menyatakan bahwa urutan bilangan yang dijumlahkan tidak menjadi masalah. Komutatifitas dinyatakan secara aljabar sebagai $(a+b)=(b+a)$ .^[27]

Menyederhanakan ekspresi

Ekspresi aljabar dapat dievaluasi dan disederhanakan, berdasarkan sifat dasar operasi aritmetika (penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan eksponensiasi). Sebagai contoh,

Suku ditambahkan dan disederhanakan menggunakan koefisien. Misalnya, $x+x+x$ dapat disederhanakan menjadi $3x$ (dengan 3 adalah koefisien numerik).
Suku yang dikalikan disederhanakan menggunakan eksponen. Sebagai contoh, $x\times x\times x$ direpresentasikan sebagai $x^{3}$
Seperti istilah ditambahkan,^[28] sebagai contoh, $2x^{2}+3ab-x^{2}+ab$ ditulis sebagai $x^{2}+4ab$ , karena istilah yang mengandung $x^{2}$ , dan istilah yang mengandung $ab$ .
Tanda kurung dapat "dikalikan", menggunakan sifat distributif. Misalnya, $x(2x+3)$ dapat ditulis sebagai $(x\times 2x)+(x\times 3)$ ditulis sebagai $2x^{2}+3x$
Ekspresi dapat difaktorkan. Misalnya, $6x^{5}+3x^{2}$ , dengan membagi kedua suku dengan $3x^{2}$ dapat ditulis sebagai $3x^{2}(2x^{3}+1)$

Persamaan

Sebuah persamaan menyatakan bahwa dua ekspresi sama dengan menggunakan simbol persamaan, = (tanda sama dengan).^[29] Salah satu persamaan paling terkenal menjelaskan hukum Pythagoras yang berkaitan dengan panjang sisi segitiga sudut siku-siku:^[30]

c^{2}=a^{2}+b^{2}

Persamaan ini digunakan bahwa $c^{2}$ , merepresentasikan kuadrat dari panjang sisi yang merupakan sisi miring, sisi yang berlawanan dengan sudut siku-siku, sama dengan jumlah (penambahan) kuadrat dari dua sisi lainnya yang panjangnya diwakili oleh $a$ dan $b$ .

Persamaan adalah dua ekspresi memiliki nilai yang sama dan sama. Beberapa persamaan benar untuk semua nilai variabel yang terlibat (seperti $a+b=b+a$ ); persamaan disebut identitas. Persamaan kondisional benar hanya untuk beberapa nilai dari variabel yang terlibat, misalnya $x^{2}-1=8$ hanya benar untuk $x=3$ and $x=-3$ . Nilai variabel yang membuat persamaan menjadi benar adalah solusi dari persamaan dan dapat ditemukan melalui pemecah persamaan.

Jenis persamaan lainnya adalah pertidaksamaan. Pertidaksamaan digunakan untuk menunjukkan bahwa satu sisi persamaan lebih besar, atau lebih kecil, dari sisi lainnya. Simbol yang digunakan untuk ini adalah: $a>b$ di mana $>$ mewakili 'lebih besar dari', dan $a<b$ dimana $<$ mewakili 'kurang dari'. Sama seperti persamaan persamaan standar, angka dapat ditambahkan, dikurangi, dikalikan atau dibagi. Satu-satunya pengecualian adalah saat mengalikan atau membagi dengan bilangan negatif, simbol pertidaksamaan harus dibalik.

Substitusi

Substitusi menggantikan suku-suku dalam suatu ekspresi untuk membuat ekspresi baru. Mengganti 3 untuk $a$ dalam ekspresi tersebut $a *5$ membuat ekspresi baru $3*5$ dengan arti $15$ . Mengganti istilah pernyataan membuat pernyataan baru. Jika pernyataan asli benar secara independen dari nilai istilah, pernyataan yang dibuat oleh substitusi juga benar. Oleh karena itu, definisi dapat dibuat dalam istilah simbolik dan ditafsirkan melalui substitusi: jika $a^{2}:=a\times a$ dimaksudkan sebagai definisi dari $a^{2},$ karena produk dari $a$ dengan dirinya sendiri, menggantikan $3$ untuk $a$ menginformasikan kepada pembaca pernyataan ini bahwa $3^{2}$ sebagai $3 \times 3 = 9$ . Seringkali tidak diketahui apakah pernyataan itu benar terlepas dari nilai istilah. Dan, substitusi memungkinkan untuk mendapatkan batasan pada nilai yang mungkin, atau menunjukkan kondisi apa yang dipegang pernyataan itu. Misalnya, pernyataan $x + 1 = 0$ , if $x$ diganti dengan $1$ , ini menyiratkan $1 + 1 = 2 = 0$ , yang salah, yang menyiratkan bahwa jika $x + 1 = 0$ maka $x$ tidak bisa menjadi $1$ .

Penyelesaian Persamaan

Penyelesaian persamaan melibatkan pencarian nilai variabel yang tidak diketahui dalam persamaan yang diberikan. Syarat bahwa kedua ekspresi tersebut sama dipenuhi oleh nilai variabel. Menyelesaikan persamaan linear dalam satu variabel menghasilkan solusi yang unik, sedangkan menyelesaikan persamaan linear yang melibatkan dua variabel menghasilkan dua hasil. Menyelesaikan persamaan kuadrat menghasilkan dua akar. Ada banyak metode dan prosedur yang diikuti dalam menyelesaikan persamaan.

Penyelesaian persamaan berarti menghitung nilai variabel yang tidak diketahui dengan tetap menyeimbangkan persamaan di kedua sisi. Persamaan adalah kondisi pada variabel sedemikian rupa sehingga dua ekspresi dalam variabel tersebut memiliki nilai yang sama. Nilai variabel yang memenuhi persamaan tersebut dikatakan sebagai solusi persamaan. Persamaan tetap sama jika sisi kiri dan sisi kanan dipertukarkan. Variabel yang nilainya akan dicari diisolasi dan solusinya diperoleh. Memecahkan persamaan bergantung pada jenis persamaan yang kita hadapi. Persamaan dapat berupa persamaan linier, persamaan kuadrat, persamaan rasional, atau persamaan radikal.

Langkah-Langkah dalam Penyelesaian Persamaan

Tujuan penyelesaian persamaan adalah untuk menemukan nilai variabel yang memenuhi syarat persamaan benar. Untuk mengisolasi variabel, operasi berikut dilakukan dengan tetap menyeimbangkan persamaan di kedua sisi. Dengan melakukan hal ini, sisi kiri tetap sama dengan sisi kanan, dan akhirnya, keseimbangan tetap tidak terganggu.

Sifat penjumlahan persamaan : Tambahkan bilangan yang sama pada kedua sisi. Jika a = b, maka a + c = b + c
Sifat pengurangan persamaan : Kurangi bilangan yang sama pada kedua ruas. Jika a = b, maka a - c = b - c
Sifat perkalian persamaan: Kalikan bilangan yang sama pada kedua ruas. Jika a = b, maka ac = bc
Sifat pembagian persamaan : Membagi dengan bilangan yang sama pada kedua ruas. Jika a = b, maka a/c = b/c (di mana c ≠ 0)

Setelah melakukan metode penyeimbangan sistematis untuk menyelesaikan persamaan melalui serangkaian operasi aritmatika yang identik pada kedua sisi persamaan, kita pisahkan variabel pada salah satu sisi dan langkah terakhir adalah penyelesaian persamaan.

Penyelesaian Persamaan Satu Variabel

Persamaan linear satu variabel berbentuk ax + b = 0, di mana a, b, c adalah bilangan riil. Langkah-langkah berikut diikuti saat menyelesaikan persamaan yang linear.

Hapus tanda kurung dan gunakan sifat distributif jika diperlukan.
Sederhanakan kedua sisi persamaan dengan menggabungkan suku-suku yang serupa.
Jika terdapat pecahan , kalikan kedua sisi persamaan dengan KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) dari semua pecahan.
Jika ada desimal , kalikan kedua sisi persamaan dengan pangkat 10 terendah untuk mengubahnya menjadi bilangan bulat.
Pindahkan suku-suku variabel ke satu sisi persamaan dan suku-suku konstan ke sisi yang lain dengan menggunakan sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan persamaan.
Jadikan koefisien variabel menjadi 1, dengan menggunakan sifat perkalian atau pembagian persamaan.
mengisolasi variabel dan mendapatkan solusinya.

Perhatikan contoh berikut: $3(x+4)=24+x$

Kami sederhanakan LHS menggunakan sifat distributif.

$3x+12=24+x$

Kelompokkan suku-suku yang sejenis menggunakan metode transposisi. Hasilnya adalah $3x-x=24-12$

Sederhanakan lebih lanjut ⇒ $2x=12$

Gunakan sifat pembagian persamaan, $2x/2=12/2$

mengisolasi variabel x. $x=6$ adalah solusi persamaan.

Gunakan salah satu teknik berikut untuk menyederhanakan persamaan linear dan menyelesaikan variabel yang tidak diketahui. Metode coba-coba, metode penyeimbangan, dan metode transposisi digunakan untuk mengisolasi variabel.

Penyelesaian Persamaan dengan Metode Trial And Error

Perhatikan 12x = 60. Untuk menemukan x, kita secara intuitif mencoba mencari bahwa 12 kali angka berapa yang hasilnya 60. Kita menemukan bahwa 5 adalah angka yang dibutuhkan. Memecahkan persamaan dengan metode coba-coba tidak selalu mudah.

Penyelesaian Persamaan dengan Metode Penyeimbangan

Kita perlu mengisolasi variabel x untuk menyelesaikan persamaan. Mari kita gunakan metode pemisahan variabel atau metode penyeimbangan untuk menyelesaikannya. Perhatikan persamaan $2x+3=17$ .

Pertama-tama kita hilangkan angka 3 pada langkah pertama. Untuk menjaga keseimbangan saat menyelesaikan persamaan, kita kurangi angka 3 dari kedua sisi persamaan.

Jadi $2x+3-3=17-3$

Kita punya $2x=14$

Sekarang untuk mengisolasi x, kita bagi dengan 2 di kedua sisi. (Sifat pembagian persamaan)

$2x/2=14/2$

$x=7$

Jadi, kita mengisolasi variabel menggunakan sifat-sifat kesetaraan saat memecahkan persamaan dalam metode penyeimbangan.

Penyelesaian Persamaan dengan Metode Transposisi

Saat menyelesaikan persamaan, kita mengubah sisi-sisi angka. Proses ini disebut transposisi. Saat mentransposisi angka, kita mengubah tandanya atau membalik operasinya. Perhatikan $5y+2=22$

Kita perlu menemukan y, jadi pisahkan y. Oleh karena itu, kita pindahkan angka 2 ke sisi lainnya. Persamaannya menjadi,

$5y=22-2$

$5y=20$

Sekarang, dengan mengambil 5 ke sisi yang lain, kita membalikkan operasi perkalian menjadi pembagian. $y=20/5=4$

Persamaan linear dua variabel.

Persamaan linear merupakan salah satu konsep matematika terpenting yang digunakan dalam berbagai bidang lain dalam bidang teknik dan sains untuk memperoleh nilai berbagai parameter dan kuantitas. Ada banyak cara untuk menyelesaikan persamaan linear. Mari kita bahas cara-cara tersebut di blog ini.

Ada empat metode utama yang dapat kita gunakan untuk menyelesaikan persamaan linear dua variabel :

Metode grafik - Metode ini melibatkan pembuatan grafik kedua persamaan pada bidang kartesius. Titik perpotongan kedua garis merupakan solusi untuk sistem persamaan tersebut. Metode ini hanya berguna jika solusinya berupa bilangan bulat.
Metode substitusi - Metode ini melibatkan penyelesaian satu persamaan linear dalam satu variabel dan kemudian mensubstitusikan nilai tersebut ke persamaan lain untuk menyelesaikan soal. Misalnya, untuk menyelesaikan sistem persamaan: $x+y=10$ dan $x-y=5$ , pertama-tama kita selesaikan persamaan kedua untuk y, yaitu, $y=x-5$ , lalu substitusikan nilai y ini dalam x ke persamaan pertama untuk memperoleh nilai $x=7,5$ , dan dengan demikian nilai $y=2,5$ .
Metode eliminasi - Dalam metode ini, kita mengeliminasi salah satu variabel untuk menemukan nilai variabel lainnya. Kemudian kita mengganti nilai variabel tersebut ke dalam salah satu persamaan yang diberikan untuk menemukan nilai variabel yang tersisa.
Metode Matriks - Pada metode ini, kedua persamaan direpresentasikan ke dalam matrik berbentuk AX = B, di mana A merupakan matrik koefisien 2x2, X merupakan matrik variabel 2x1, dan B merupakan matrik solusi 2x1. Selanjutnya, kita selesaikan kedua persamaan tersebut dengan mencari invers matrik A.

Perbedaan metode eliminasi dan metode substitusi

Metode eliminasi

Saat menyelesaikan persamaan linear dengan dua atau tiga variabel, metode eliminasi sangat membantu. Menurut definisi metode eliminasi, metode ini melibatkan penghilangan salah satu suku yang mengandung salah satu variabel untuk mempermudah perhitungan. Hal ini dilakukan dengan mengalikan atau membagi angka dalam persamaan hingga kedua koefisien suku variabel sama. Kemudian, untuk menghilangkan atau menghilangkan suku tersebut dari hasil, kita tambahkan atau kurangi kedua persamaan. Metode eliminasi juga dikenal sebagai metode penjumlahan.

Metode Eliminasi adalah proses menghilangkan salah satu variabel dalam suatu sistem persamaan menggunakan penjumlahan atau pengurangan yang disertai perkalian atau pembagian dan menyelesaikan sistem persamaan. Dalam metode eliminasi, menambahkan atau mengurangi persamaan untuk mendapatkan persamaan dalam satu variabel. Awalnya salah satu atau dua persamaan dikalikan atau dibagi sehingga kedua koefiien variabel persamaan menjadi sama.

Bila tanda operator koefisien salah satu variabel berlawanan, Anda menambahkan persamaan untuk mengeliminasi variabel tersebut. Dan bila tanda operator koefisien salah satu variabel sama, Anda mengurangi persamaan untuk mengeliminasi variabel tersebut. Jadi bila kedua persamaan dijumlahkan atau dikurangkamn maka variabel terebut menjadi kosong tereliminai

Metode substitusi

Metode substitusi adalah cara untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan menyatakan persamaan tersebut hanya dalam satu variabel. Metode substitusi untuk menyelesaikan sistem persamaan adalah cara untuk menyederhanakan sistem persamaan dengan menyatakan satu variabel dalam variabel lain, sehingga menghilangkan satu variabel dari persamaan.

Metode penyelesaian "dengan substitusi" bekerja dengan menyelesaikan salah satu persamaan (Anda memilih salah satunya) untuk salah satu variabel (Anda memilih salah satunya), lalu memasukkannya kembali ke persamaan lainnya, "mensubstitusi, tukar ganti" variabel yang dipilih dan menyelesaikan persamaan lainnya. Kemudian Anda menyelesaikan kembali variabel pertama.

Idenya di sini adalah memecahkan salah satu persamaan untuk salah satu variabel, dan memasukkannya ke persamaan lainnya. Tidak masalah persamaan atau variabel mana yang Anda pilih. Tidak ada pilihan yang benar atau salah; jawabannya akan tetap sama. Namun — beberapa pilihan mungkin lebih baik daripada yang lain

Persamaan Kuadrat

Ada persamaan yang menghasilkan lebih dari satu solusi. Polinomial kuadrat berderajat dua dan angka nol dari polinomial kuadrat mewakili persamaan kuadrat.

Perhatikan (x+3) (x+2)= 0. Sifatnya kuadrat. Kita tinggal menyamakan setiap ekspresi di sisi kiri dengan 0.

Entah x+3 = 0 atau x+2 =0.

Kita sampai pada x = -3 dan x = -2.

Persamaan kuadrat berbentuk ax2 ⁺ bx + c = 0. Memecahkan persamaan kuadrat akan menghasilkan dua akar : α dan β.

Langkah-langkah yang terlibat dalam menyelesaikan persamaan kuadrat adalah:

Dengan Metode Melengkapi Kuadrat
Dengan Metode Faktorisasi
Dengan Metode Formula

Dengan Metode Melengkapi Kuadrat

Memecahkan persamaan kuadrat dengan metode melengkapi kuadrat cukup mudah karena kita menerapkan pengetahuan kita tentang identitas aljabar: (a+b) ²

Tulis persamaan dalam bentuk standar $ax^{2}+bx+c=0$
Bagilah kedua sisi persamaan dengan a.
Pindahkan suku konstanta ke sisi lain
Tambahkan kuadrat setengah koefisien x di kedua sisi.
Lengkapi sisi kiri sebagai kuadrat dan sederhanakan sisi kanan.
Ambil akar kuadrat pada kedua sisi dan selesaikan x.

Dengan Metode Faktorisasi

Memecahkan persamaan kuadrat menggunakan metode faktorisasi , ikuti langkah-langkah yang dibahas di sini. Tulis persamaan yang diberikan dalam bentuk standar dan dengan membagi suku-suku di tengah, faktorkan persamaan tersebut. Tulis ulang persamaan yang diperoleh sebagai hasil perkalian dua faktor linier. Samakan setiap faktor linier dengan nol dan selesaikan untuk x. Perhatikan $2x^{2}+19x+30=0$ Ini dalam bentuk standar $ax^{2}+bx+c=0$ .

Pisahkan suku tengah sedemikian rupa sehingga hasil perkalian suku-suku tersebut harus sama dengan hasil perkalian koefisien $x^{2}$ dan c dan jumlah suku-suku tersebut harus b. Di sini hasil perkalian suku-suku tersebut harus 60 dan jumlahnya harus 19. Jadi, bagi 19x menjadi 4x dan 15x (karena jumlah 4 dan 15 adalah 19 dan hasil perkaliannya adalah 60).

$2x^{2}+4x+15x+30=0$

Keluarkan faktor persekutuan dari dua suku pertama, dan faktor persekutuan dari dua suku terakhir.

Rumus untuk mencari $2x(x+2)+15(x+2)=0$

Memfaktorkan (x+2) lagi, kita memperoleh

$(x+2)(2x+15)=0$

$x=-2$ dan $x=-15/2$

Memecahkan persamaan kuadrat melibatkan langkah-langkah seperti membagi suku-suku tengah pada faktorisasi.

Dengan Metode Formula

Memecahkan persamaan kuadrat menggunakan rumus

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

membantu kita menemukan akar persamaan kuadrat ax ² + bx + c = 0. Dengan memasukkan nilai a, b, dan c ke dalam rumus, kita sampai pada penyelesaiannya.

Perhatikan contoh berikut: $9x^{2}-12x+4=0$

a = 9, b = -12 dan c = 4

contoh soal $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

$={\frac {12\pm {\sqrt {{\bigl (}-12{\bigr )}^{2}-{\bigl (}4\times 9\times 4{\bigr )}}}}{2\times 9}}$

$={\frac {12\pm {\sqrt {144-144}}}{18}}$

$={\frac {(12\pm 0)}{18}}$

$x={\frac {12}{18}}={\frac {2}{3}}$

Penyelesaian Persamaan Rasional

Persamaan dengan setidaknya satu ekspresi polinomial dalam penyebutnya dikenal sebagai persamaan rasional. Memecahkan persamaan yang rasional melibatkan langkah-langkah berikut. Sederhanakan pecahan menjadi penyebut yang sama dan kemudian pecahkan persamaan pembilangnya .

Misalkan $x/(x-1)=5/3$

Pada perkalian silang, kita memperoleh

Rumus $3x=5(x-1)$

$3x=5x-5$

$3x-5x=-5$

$-2x=-5$

$x=5/2$

Penyelesaian Persamaan Radikal

Persamaan yang variabelnya berada di bawah radikal disebut persamaan radikal. Memecahkan persamaan yang merupakan radikal melibatkan beberapa langkah. Nyatakan persamaan radikal yang diberikan dalam bentuk indeks radikal dan seimbangkan persamaannya. Pecahkan untuk variabelnya.

Perhatikan $\surd (x+1)=4$

Sekarang kuadratkan kedua sisi untuk menyeimbangkannya. $[{\sqrt {(x+1)}}]^{2}=4^{2}$

$(x+1)=16$

Jadi $x=16-1=15$

Catatan Penting tentang Penyelesaian Persamaan:

Memecahkan persamaan adalah menemukan nilai variabel dalam persamaan.
Penyelesaian suatu persamaan memenuhi syarat persamaan yang diberikan.
Memecahkan persamaan tipe linear juga dapat dilakukan secara grafis .
Jika ruas kanan persamaan sama dengan nol, maka untuk menyelesaikan persamaan tersebut, tinggal gambarkan saja ruas kiri persamaan tersebut, dan titik potong grafik dengan sumbu x (s) akan menjadi penyelesaiannya.

Sistem Persamaan

Dalam matematika, sistem persamaan, yang juga dikenal sebagai sekumpulan persamaan simultan atau sistem persamaan, adalah sekumpulan persamaan terbatas yang dicari solusi umumnya. Dalam sistem persamaan, variabel-variabel saling terkait dengan cara tertentu dalam setiap persamaan. Yaitu, persamaan-persamaan tersebut dapat dipecahkan secara simultan untuk menemukan sekumpulan nilai variabel yang memenuhi setiap persamaan. Sistem persamaan linear dapat diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari dalam pemodelan masalah di mana nilai yang tidak diketahui dapat direpresentasikan dalam bentuk variabel. Penyelesaian sistem persamaan melibatkan berbagai metode seperti substitusi, eliminasi, grafik, dll. Mari kita bahas masing-masing metode secara terperinci. Dalam aljabar, sistem persamaan terdiri dari dua atau lebih persamaan dan mencari solusi umum untuk persamaan tersebut. "Sistem persamaan linear adalah sekumpulan persamaan yang dipenuhi oleh sekumpulan nilai variabel yang sama."

Contoh Sistem Persamaan

Sistem persamaan seperti yang dibahas di atas adalah sekumpulan persamaan yang mencari solusi umum untuk variabel-variabel yang disertakan. Kumpulan persamaan linear berikut adalah contoh dari sistem persamaan tersebut:

Rumus 2x-y = 12
Rumus untuk mencari x-2y adalah 48

Perhatikan bahwa nilai x = -8 dan y = -28 memenuhi masing-masing persamaan ini dan karenanya pasangan (x, y) = (-8, -28) adalah solusi dari sistem persamaan di atas. Namun, bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan tersebut? Mari kita lihat.

Solusi Sistem Persamaan

Penyelesaian sistem persamaan adalah himpunan nilai variabel yang memenuhi setiap persamaan linear dalam sistem tersebut. Alasan utama di balik penyelesaian sistem persamaan adalah untuk menemukan nilai variabel yang memenuhi syarat semua persamaan yang diberikan menjadi benar. Sistem persamaan tersebut diklasifikasikan menjadi 3 jenis tergantung pada jumlah penyelesaiannya:

Sistem Linear dengan "Solusi Unik"
Sistem Linear dengan "Tidak ada solusi"
Sistem Linear dengan "Solusi Tak Terhingga"

Kita tahu bahwa setiap persamaan linear merepresentasikan sebuah garis pada bidang koordinat. Dalam persepsi ini, gambar di atas akan memberikan pemahaman lebih dalam tentang berbagai jenis solusi sistem persamaan.

Solusi Unik dari Sistem Persamaan

Suatu sistem persamaan memiliki solusi unik apabila hanya ada sekumpulan variabel yang memenuhi setiap persamaan dalam sistem tersebut. Dalam bentuk grafik, suatu sistem dengan solusi unik memiliki garis-garis (yang mewakili persamaan) yang berpotongan (pada satu titik).

Tidak Ada Solusi

Suatu sistem persamaan tidak memiliki solusi jika tidak ada himpunan variabel yang memenuhi setiap persamaan linear dalam sistem tersebut. Jika kita menggambar sistem semacam itu, garis-garis yang dihasilkan akan sejajar satu sama lain.

Solusi Tak Terbatas Banyaknya

Suatu sistem persamaan dapat memiliki solusi tak terhingga banyaknya jika terdapat himpunan variabel tak terhingga yang memenuhi setiap persamaan. Dalam kasus seperti itu, garis yang sesuai dengan persamaan linear akan saling tumpang tindih pada grafik. Yaitu, kedua persamaan mewakili garis yang sama. Karena suatu garis memiliki titik tak terhingga, setiap titik pada garis tersebut menjadi solusi sistem.

Penyelesaian Sistem Persamaan

Penyelesaian sistem persamaan berarti menemukan nilai variabel yang digunakan dalam rangkaian persamaan. Setiap sistem persamaan dapat dipecahkan dengan metode yang berbeda.

Metode Substitusi
Metode Eliminasi
Metode Grafis
Metode perkalian silang

Untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan 2 variabel, kita memerlukan setidaknya 2 persamaan. Demikian pula, untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan 3 variabel, kita memerlukan setidaknya 3 persamaan. Mari kita pahami 3 cara untuk menyelesaikan sistem persamaan jika persamaan tersebut merupakan persamaan linear dengan dua variabel.

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dengan Metode Substitusi

Untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan menggunakan metode substitusi, diberikan dua persamaan linear dalam x dan y, pada salah satu persamaan, nyatakan y dalam bentuk x pada salah satu persamaan dan kemudian substitusikan ke persamaan lainnya.

Contoh: Selesaikan sistem persamaan menggunakan metode substitusi.

3x − y = 23 → (1)

4x + 3y = 48 → (2)

Dari (1), kita memperoleh:

Tentukan persamaan y=3x−23→3

Hubungkan y ke (2),

4x + 3 (3x - 23) = 48

13x - 69 = 48

13x = 117

⇒x = 9

Sekarang, masukkan x = 9 ke (1)

kamu = 3 × 9 − 23 = 4

Oleh karena itu, x = 9 dan y = 4 adalah solusi dari sistem persamaan yang diberikan.

Menyelesaikan Sistem Persamaan dengan Metode Eliminasi

Dengan menggunakan metode eliminasi untuk menyelesaikan sistem persamaan, kita menghilangkan salah satu yang tidak diketahui, dengan cara mengalikan persamaan dengan angka yang sesuai, sehingga koefisien salah satu variabel menjadi sama.

Contoh: Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi.

2x + 3y = 4 → (1) dan 3x + 2y = 11 → (2)

Koefisien y adalah 3 dan 2; KPK (3, 2) = 6

Mengalikan Persamaan (1) dengan 2 dan Persamaan (2) dengan 3, kita memperoleh

4x + 6y = 8 → (3)

9x + 6y = 33 → (4)

Dengan mengurangi (3) dari (4), kita memperoleh

5x = 25

⇒x = 5

Dengan memasukkan x = 5 ke (2) kita memperoleh

15 + 2y = 11

⇒y = −2

Oleh karena itu, x = 5, y = −2 adalah penyelesaiannya.

Menyelesaikan Sistem Persamaan dengan Grafik

Dalam metode ini, penyelesaian sistem persamaan linear dilakukan dengan memplot grafiknya. "Titik potong kedua garis tersebut merupakan penyelesaian sistem persamaan dengan menggunakan metode grafik ."

Contoh: x - y = -1 dan -x + y = 9

Temukan setidaknya dua nilai x dan y yang memenuhi persamaan x - y = -1

x	0	2
y	1	3

Memotong sumbu y, x = 0 maka y = 1 Jadi kita punya 2 titik A (0, 1) dan B (2, 3).

Demikian pula, temukan setidaknya dua nilai x dan y yang memenuhi persamaan 3x + y = 9

x	2	3
y	3	0

Memotong sumbu x, y = 0 maka x = 3 Kita memiliki dua titik C(2, 3) dan D(3, 0).

Kita mengamati bahwa kedua garis berpotongan di (2, 3). Jadi, x = 2, y = 3 adalah solusi dari sistem persamaan yang diberikan. Metode I dan II adalah cara aljabar untuk menyelesaikan persamaan simultan dan III adalah metode grafis .

Menyelesaikan Sistem Persamaan Menggunakan Metode Perkalian Silang

Dengan metode ini, kita selesaikan sistem persamaan a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 dan a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 dengan menggunakan rumus perkalian silang:

x / (b1c2 - b2c1) = -y / (a1c2 - a2c1) = 1 / (a1b2 - a2b1)

Aplikasi Sistem Persamaan

Sistem persamaan merupakan alat yang sangat berguna dan dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari untuk memodelkan situasi kehidupan nyata dan menganalisis pertanyaan tentang situasi tersebut.

Untuk menerapkan konsep sistem persamaan, kita perlu menerjemahkan situasi yang diberikan menjadi dua persamaan linear dalam dua variabel , kemudian memecahkannya lebih lanjut untuk menemukan solusi dari masalah pemrograman linear . Metode apa pun untuk menyelesaikan sistem persamaan, metode substitusi, eliminasi, grafik, dll. Ikuti langkah-langkah yang diberikan di bawah ini untuk menerapkan sistem persamaan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan kita sehari-hari,

Untuk menerjemahkan dan merepresentasikan situasi yang diberikan dalam bentuk sistem persamaan, mengidentifikasi besaran yang tidak diketahui dalam suatu masalah dan merepresentasikannya dengan variabel.
Tulislah sistem persamaan yang memodelkan kondisi permasalahan.
Selesaikan sistem persamaan.
Periksa dan nyatakan solusi yang diperoleh berdasarkan konteks yang diberikan.

Faktorisasi

Faktorisasi atau pemfaktoran dalam matematika adalah dekomposisi suatu objek (misalnya, suatu bilangan, polinomial, atau matriks) menjadi suatu produk objek lain, atau faktor, yang ketika dikalikan bersama menghasilkan bilangan asalnya. Contohnya, bilangan 15 difaktorkan menjadi bilangan prima sebagai 3 × 5, dan polinomial x² − 4 difaktorkan menjadi (x − 2)(x + 2). Dalam segala kasus, diperoleh suatu produk dari objek yang lebih sederhana. Dalam matematika, pemfaktoran adalah cara mencari bilangan atau ekspresi yang jika dikalikan akan menghasilkan bilangan atau persamaan yang diberikan. Pemfaktoran adalah keterampilan yang berguna untuk dipelajari untuk menyelesaikan soal-soal aljabar sederhana; kemampuan untuk memfaktorkan dengan baik, menjadi penting saat menghadapi persamaan kuadrat dan bentuk polinomial lainnya. Pemfaktoran dapat digunakan untuk menyederhanakan ekspresi aljabar untuk membuat penyelesaiannya lebih mudah.

Tujuan faktorisasi biasanya untuk mereduksi sesuatu menjadi "blok pembangun dasar" (“basic building blocks”), seperti bilangan-bilangan prima, atau polinomial menjadi polinomial tak tereduksi. Faktorisasi integers diatur oleh teorema dasar aritmetika dan faktorisasi polinomial diatur oleh teorema dasar aljabar. Rumus-rumus Vièta mengkaitkan koefisien-koefisien suatu polinomial pada akar-akarnya. Lawan dari faktorisasi polinomial adalah ekspansi, yaitu perkalian bersama semua faktor polinomial menjadi suatu polinomial “terekspansi”, ditulis sebagai jumlah dari elemen-elemen.

Faktorisasi juga dapat merujuk ke dekomposisi objek matematika lain ke hasil perkalian objek-objek yang lebih kecil atau sederhana. Sebagai contoh, setiap fungsi dapat difaktorkan menjadi komposisi fungsi surjektif dan fungsi injektif. Matriks memiliki banyak jenis faktorisasi. Sebagai contoh, setiap matriks memiliki hasil faktorisasi LUP yang unik, dengan matriks segitiga bawah dengan entri pada diagonal utama bernilai 1, matriks segitiga atas , dan matriks permutasi ; ketiga matriks ini didapatkan dari formulasi eliminasi Gaussian.

Faktorisasi Bilangan dan Ekspresi Aljabar Sederhana

Pemfaktoran adalah konsep yang sederhana, tetapi dalam praktiknya, dapat menjadi sesuatu yang menantang saat diterapkan pada persamaan-persamaan rumit. Oleh karena itu, paling mudah untuk melakukan pendekatan konsep pemfaktoran dengan mulai dari bilangan-bilangan sederhana, kemudian dilanjutkan ke persamaan-persamaan sederhana, sebelum akhirnya melanjutkan ke terapan yang lebih rumit. Faktor-faktor dari sebuah bilangan adalah bilangan-bilangan yang jika dikalikan akan menghasilkan bilangan tersebut.

Misalnya, faktor dari 12 adalah 1, 12, 2, 6, 3, dan 4,

karena 1 × 12, 2 × 6, dan 3 × 4 sama dengan 12.

Contoh lain, faktor dari 60 adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, dan 60.

Sama seperti bilangan-bilangan sendiri yang dapat difaktorkan, variabel dengan koefisien bilangan juga dapat difaktorkan. Untuk melakukannya, carilah saja faktor-faktor koefisien variabelnya. Mengetahui cara memfaktorkan variabel sangat berguna untuk menyederhanakan persamaan-persamaan aljabar yang meliputi variabel tersebut. Misalnya, variabel 12x dapat ditulis sebagai hasil perkalian dari faktor-faktor 12 dan x. Kita dapat menulis 12x sebagai 3(4x), 2(6x), dst., menggunakan faktor-faktor mana pun dari 12 yang paling baik untuk tujuan kita. Kita bahkan dapat memfaktorkan 12x beberapa kali. Dengan kata lain, kita tidak harus berhenti di 3(4x) atau 2(6x) – kita dapat memfaktorkan 4x dan 6x untuk menghasilkan 3(2(2x) dan 2(3(2x). Tentunya, dua ekspresi ini setara.

Menggunakan pengetahuan tentang cara memfaktorkan baik bilangan-bilangan tunggal maupun variabel-variabel dengan koefisien, dapat menyederhanakan persamaan aljabar sederhana dengan mencari faktor-faktor yang dimiliki oleh bilangan-bilangan dan variabel tersebut dalam persamaan alajabar. Biasanya, untuk menyederhanakan suatu persamaan, kita mencoba mencari faktor persekutuan terbesarnya. Proses penyederhanaan persamaan ini mungkin dilakukan karena sifat distributif perkalian, yang berlaku untuk bilangan a, b, dan c apa pun a(b + c) = ab + ac.

Coba sebuah contoh soal. Untuk memfaktorkan persamaan aljabar 12x + 6, pertama, coba cari faktor persekutuan terbesar dari 12x dan 6. 6 adalah bilangan terbesar yang dapat membagi habis 12x dan 6, sehingga kita dapat menyederhanakan persamaannya menjadi 6(2x + 1). Proses ini juga berlaku pada persamaan-persamaan dengan bilangan negatif dan pecahan. Misalnya, x/2 + 4, dapat disederhanakan menjadi 1/2(x + 8), dan -7x + -21 dapat difaktorkan menjadi -7(x + 3).

Faktorisasi Persamaan Kuadrat

Persamaan-persamaan kuadrat memiliki bentuk ax² + bx + c = 0, dengan a, b, dan c sebagai konstanta bilangan dan tidak sama dengan 0 (perhatikan bahwa a dapat sama dengan 1 atau -1). Jika persamaan yang memiliki satu variabel (x) yang memiliki satu suku x pangkat dua atau lebih, biasanya memindahkan suku-suku ini dalam persamaan menggunakan operasi aljabar sederhana untuk mendapatkan 0 di salah satu sisi tanda sama dengan dan ax², dst. di sisi yang lain. Misalnya, persamaan aljabar. 5x² + 7x - 9 = 4x² + x - 18 dapat disederhanakan menjadi x² + 6x + 9 = 0, yang merupakan bentuk kuadrat. Persamaan-persamaan dengan pangkat x yang lebih besar, seperti x³, x⁴, dst. bukanlah persamaan-persamaan kuadrat. Persamaan-persamaan ini adalah persamaan kubik, pangkat empat, dan seterusnya, kecuali persamaannya dapat disederhanakan untuk menghilangkan suku-suku x dengan pangkat lebih besar dari 2 ini.

Jika persamaan kuadrat dalam bentuk x² + bx + c = 0 (dengan kata lain, jika koefisien dari suku x² = 1), mungkin (tetapi tidak menjamin) bahwa cara singkat yang cukup mudah dapat digunakan untuk memfaktorkan persamaan. Carilah dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan c dan dijumlahkan menghasilkan b. Setelah mencari kedua bilangan d dan e ini, letakkan keduanya dalam ekspresi berikut: (x+d)(x+e). Kedua suku ini, jika dikalikan, menghasilkan persamaan kuadrat – dengan kata lain, kedua suku ini adalah faktor-faktor persamaan kuadrat .

Misalnya, persamaan kuadrat x² + 5x + 6 = 0. 3 dan 2 dikalikan menghasilkan 6 dan juga dijumlahkan menghasikan 5, sehingga kita dapat menyederhanakan persamaan ini menjadi (x + 3)(x + 2). Sedikit perbedaan dalam cara singkat dasar ini terdapat pada perbedaan persamaannya sendiri:

Jika persamaan kuadrat dalam bentuk x²-bx+c, jawaban dalam bentuk ini: (x - _)(x - _).
Jika persamaan dalam bentuk x²+bx+c, jawaban tampak seperti ini: (x + _)(x + _).
Jika persamaan dalam bentuk x²-bx-c, jawaban dalam bentuk (x + _)(x - _).Catatan: bilangan-bilangan dalam tempat kosong dapat berupa pecahan atau desimal. Misalnya, persamaan x² + (21/2)x + 5 = 0 difaktorkan menjadi (x + 10)(x + 1/2).

Persamaan kuadrat yang tidak rumit, salah satu cara memfaktorkan yang diperbolehkan adalah dengan memeriksa soal, kemudian mempertimbangkan jawaban-jawaban yang mungkin hingga menemukan jawaban yang benar. Cara ini juga disebut dengan pemfaktoran melalui pemeriksaan. Jika persamaan dalam bentuk ax²+bx+c dan a>1, jawaban faktor dalam bentuk (dx +/- _)(ex +/- _), dengan d dan e adalah konstanta bilangan bukan nol yang jika dikalikan menghasilkan a. Baik d maupun e (atau keduanya) dapat berupa bilangan 1, meskipun tidak harus. Jika keduanya adalah 1, pada dasarnya menggunakan cara singkat yang dideskripsikan di atas.

Contoh soal. 3x² - 8x + 4 awalnya terlihat sulit. Akan tetapi, setelah kita menyadari bahwa 3 hanya memiliki dua faktor (3 dan 1), persamaan ini menjadi lebih mudah karena kita tahu bahwa jawaban kita pasti dalam bentuk (3x +/- _)(x +/- _). Dalam hal ini, menambahkan -2 ke kedua tempat kosong memberikan jawaban yang benar. -2 × 3x = -6x dan -2 × x = -2x. -6x dan -2x dijumlahkan menjadi -8x. -2 × -2 = 4, sehingga kita bisa melihat bahwa suku-suku yang difaktorkan dalam tanda kurung jika dikalikan akan menghasilkan persamaan awal.

Dalam beberapa kasus, persamaan kuadrat dapat dengan cepat dan mudah difaktorkan menggunakan identitas aljabar khusus. Persamaan kuadrat apa pun dalam bentuk x² + 2xh + h² = (x + h)². Jadi, jika dalam persamaan, nilai b dua kali akar kuadrat dari nilai c , persamaan dapat difaktorkan menjadi (x + (akar (c)))².

Misalnya, persamaan x² + 6x + 9 memiliki bentuk ini. 3² adalah 9 dan 3 × 2 adalah 6. Jadi, kita tahu bahwa bentuk faktor persamaan ini adalah (x + 3)(x + 3), atau (x + 3)².

Tanpa memperhatikan cara memfaktorkan persamaan kuadrat, setelah persamaannya difaktorkan, dapat mencari jawaban-jawaban yang mungkin untuk nilai x dengan membuat setiap faktor sama dengan nol dan menyelesaikannya. Karena mencari nilai x yang menyebabkan persamaan sama dengan nol, nilai x yang membuat faktor manapun sama dengan nol, adalah jawaban yang mungkin untuk persamaan kuadrat. Kembali ke persamaan x² + 5x + 6 = 0. Persamaan ini difaktorkan menjadi (x + 3)(x + 2) = 0. Jika salah satu faktor sama dengan 0, semua persamaan sama dengan 0, sehingga jawaban-jawaban kita yang mungkin untuk x adalah bilangan-bilangan yang membuat (x + 3) dan (x + 2) sama dengan 0. Bilangan-bilangan ini masing-masing adalah -3 dan -2.

Saat menemukan jawaban-jawaban yang mungkin untuk x, masukkan kembali ke dalam persamaan awal untuk melihat jika jawabannya benar. Terkadang, jawaban tidak membuat persamaan awalnya sama dengan nol ketika dimasukkan kembali. Kita menyebut jawaban ini menyimpang dan mengabaikannya.

Ayo masukkan -2 dan -3 ke dalam x² + 5x + 6 = 0. Pertama, -2:

(-2)² + 5(-2) + 6 = 0

4 + -10 + 6 = 0 0 = 0. Jawaban ini benar, sehingga -2 adalah jawaban yang benar. Sekarang, coba -3: (-3)² + 5(-3) + 6 = 0

9 + -15 + 6 = 0 0 = 0. Jawaban ini juga benar, sehingga -3 adalah jawaban yang benar.

Faktorisasi Bentuk Persamaan Lain

Jika persamaan dinyatakan dalam bentuk a²-b², faktorkan menjadi (a+b)(a-b). Persamaan-persamaan dengan dua variabel memiliki faktor yang berbeda dengan persamaan kuadrat dasar. Untuk persamaan a²-b² apapun dengan a dan b tidak sama dengan 0, faktor-faktor persamaannya adalah (a+b)(a-b).

Misalnya, persamaan 9x² - 4y² = (3x + 2y)(3x - 2y).

Jika persamaan dinyatakan dalam bentuk a²+2ab+b², faktorkan menjadi (a+b)². Perhatikan bahwa, jika trinomial-nya dalam bentuk a²-2ab+b², bentuk faktornya sedikit berbeda: (a-b)².

Persamaan 4x² + 8xy + 4y² dapat ditulis ulang sebagai 4x² + (2 × 2 × 2)xy + 4y². Sekarang, kita bisa melihat bahwa bentuknya sudah benar, sehingga kita bisa yakin bahwa faktor-faktor persamaan kita adalah (2x + 2y)²

Jika persamaan dinyatakan dalam bentuk a³-b³, faktorkan menjadi (a-b)(a²+ab+b²). Akhirnya, sudah disebutkan bahwa persamaan-persamaan kubik dan bahkan pangkat yang lebih tinggi, dapat difaktorkan, meskipun proses pemfaktorannya dengan cepat berubah menjadi sangat rumit

Misalnya, 8x³ - 27y³ difaktorkan menjadi (2x - 3y)(4x² + ((2x)(3y)) + 9y²)

Tips

a²-b² dapat difaktorkan, a²+b² tidak dapat difaktorkan.
Ingatlah cara memfaktorkan konstanta. Hal ini mungkin membantu.
Hati-hati dengan pecahan dalam proses pemfaktoran dan kerjakan pecahan dengan benar dan hati-hati.
Jika memiliki trinomial dalam bentuk x²+bx+ (b/2)², bentuk faktornya adalah (x+(b/2))². (Anda mungkin akan menemui situasi ini saat melengkapkan kuadrat.)
Ingatlah bahwa a0=0 (sifat hasil perkalian nol).

Lihat pula

Referensi

Leonhard Euler, Elements of Algebra, 1770. English translation Tarquin Press, 2007, ISBN 978-1-899618-79-8, also online digitized editions^[31] 2006,^[32] 1822.
Charles Smith, A Treatise on Algebra, in Cornell University Library Historical Math Monographs.
Redden, John. Elementary Algebra Diarsipkan 2016-06-10 di Wayback Machine.. Flat World Knowledge, 2011

^ "Compendium of Mathematical Symbols: Common Operators". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2020-03-01. Diakses tanggal 2020-08-27.
^ "algebraic operation | Encyclopedia.com". www.encyclopedia.com. Diakses tanggal 2020-08-27.
^ William Smyth, Elementary algebra: for schools and academies, Publisher Bailey and Noyes, 1864, "Operasi Aljabar"
^ Horatio Nelson Robinson, New elementary algebra: containing the rudiments of science for schools and academies, Ivison, Phinney, Blakeman, & Co., 1866, halaman 7
^ "Algebraic operation - Encyclopedia of Mathematics". encyclopediaofmath.org. Diakses tanggal 2020-08-27.
^ Richard N. Aufmann, Joanne Lockwood, Introductory Algebra: An Applied Approach, Publisher Cengage Learning, 2010, ISBN 1439046042, 9781439046043, page 78
^ William L. Hosch (editor), The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry, Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, ISBN 1615302190, 9781615302192, page 71
^ James E. Gentle, Numerical Linear Algebra for Applications in Statistics, Publisher: Springer, 1998, ISBN 0387985425, 9780387985428, 221 halaman, [James E. Gentle halaman 183]
^ Horatio Nelson Robinson, New elementary algebra: containing the rudiments of science for schools and academies, Ivison, Phinney, Blakeman, & Co., 1866, page 7
^ Ron Larson, Robert Hostetler, Bruce H. Edwards, Algebra And Trigonometry: A Graphing Approach, Publisher: Cengage Learning, 2007, ISBN 061885195X, 9780618851959, 1114 pages, page 6
^ Sin Kwai Meng, Chip Wai Lung, Ng Song Beng, "Algebraic notation", in Mathematics Matters Secondary 1 Express Textbook, Publisher Panpac Education Pte Ltd, ISBN 9812738827, 9789812738820, page 68
^ David Alan Herzog, Teach Yourself Visually Algebra, Publisher John Wiley & Sons, 2008, ISBN 0470185597, 9780470185599, 304 halaman, page 72
^ John C. Peterson, Technical Mathematics With Calculus, Publisher Cengage Learning, 2003, ISBN 0766861899, 9780766861893, 1613 halaman, page 31
^ Jerome E. Kaufmann, Karen L. Schwitters, Algebra for College Students, Publisher Cengage Learning, 2010, ISBN 0538733543, 9780538733540, 803 pages, halaman 222
^ Ramesh Bangia, Dictionary of Information Technology, Publisher Laxmi Publications, Ltd., 2010, ISBN 9380298153, 9789380298153, page 212
^ George Grätzer, Langkah Pertama di LaTeX, Publisher Springer, 1999, ISBN 0817641327, 9780817641320, halaman 17
^ S. Tucker Taft, Robert A. Duff, Randall L. Brukardt, Erhard Ploedereder, Pascal Leroy, Ada 2005 Reference Manual, Volume 4348 dari Catatan Kuliah di Ilmu Komputer, Penerbit Springer, 2007, ISBN 3540693351, 9783540693352, halaman 13
^ C. Xavier, Fortran 77 And Numerical Methods, Penerbit New Age International, 1994, ISBN 812240670X, 9788122406702, halaman 20
^ Randal Schwartz, Brian Foy, Tom Phoenix, Learning Perl, Publisher O'Reilly Media, Inc., 2011, ISBN 1449313140, 9781449313142, halaman 24
^ Matthew A. Telles, Python Power!: The Comprehensive Guide, Publisher Course Technology PTR, 2008, ISBN 1598631586, 9781598631586, halaman 46
^ Kevin C. Baird, Ruby by Example: Concepts and Code, Publisher No Starch Press, 2007, ISBN 1593271484, 9781593271480, page 72
^ William P. Berlinghoff, Fernando Q. Gouvêa, Math through the Ages: A Gentle History for Teachers and Others, Publisher MAA, 2004, ISBN 0883857367, 9780883857366, halaman 75
^ Thomas Sonnabend, Mathematics for Teachers: An Interactive Approach for Grades K-8, Penerbit: Cengage Learning, 2009, ISBN 0495561665, 9780495561668, 759 pages, halaman xvii
^ Lewis Hirsch, Arthur Goodman, Understanding Elementary Algebra With Geometry: A Course for College Students, Penerbit: Cengage Learning, 2005, ISBN 0534999727, 9780534999728, 654 halaman, halaman 48
^ Lawrence S. Leff, College Algebra: Barron's Ez-101 Study Keys, Penerbit: Seri Pendidikan Barron, 2005, ISBN 0764129147, 9780764129148, 230 pages, halaman 2
^ Ron Larson, Kimberly Nolting, Elementary Algebra, Publisher: Cengage Learning, 2009, ISBN 0547102275, 9780547102276, 622 halaman, halaman 210
^ Charles P. McKeague, Elementary Algebra, Penerbit: Cengage Learning, 2011, ISBN 0840064217, 9780840064219, 571 halaman, halaman 49
^ Andrew Marx, Shortcut Algebra I: A Quick and Easy Way to Increase Your Algebra I Knowledge and Test Scores, Penerbit Kaplan Publishing, 2007, ISBN 1419552880, 9781419552885, 288 halaman, halaman 51^{[pranala nonaktif permanen]}
^ Mark Clark, Cynthia Anfinson, Beginning Algebra: Connecting Concepts Through Applications, Pembelajaran Cengage Penerbit, 2011, ISBN 0534419380, 9780534419387, 793 pages, halaman 134
^ Alan S. Tussy, R. David Gustafson, Elementary and Intermediate Algebra, Pembelajaran Cengage Penerbit, 2012, ISBN 1111567689, 9781111567682, 1163 pages, halaman 493
^ Euler's Elements of Algebra Diarsipkan 2011-04-13 di Wayback Machine.
^ Euler, Leonhard; Hewlett, John; Horner, Francis; Bernoulli, Jean; Lagrange, Joseph Louis (4 May 2018). "Elements of Algebra". Longman, Orme. Diakses tanggal 4 May 2018 – via Google Books.

Pranala luar

Media tentang Elementary algebra di Wikimedia Commons

[:0-1] "Compendium of Mathematical Symbols: Common Operators". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2020-03-01. Diakses tanggal 2020-08-27.

[2] "algebraic operation | Encyclopedia.com". www.encyclopedia.com. Diakses tanggal 2020-08-27.

[3] William Smyth, Elementary algebra: for schools and academies, Publisher Bailey and Noyes, 1864, "Operasi Aljabar"

[4] Horatio Nelson Robinson, New elementary algebra: containing the rudiments of science for schools and academies, Ivison, Phinney, Blakeman, & Co., 1866, halaman 7

[5] "Algebraic operation - Encyclopedia of Mathematics". encyclopediaofmath.org. Diakses tanggal 2020-08-27.

[6] Richard N. Aufmann, Joanne Lockwood, Introductory Algebra: An Applied Approach, Publisher Cengage Learning, 2010, ISBN 1439046042, 9781439046043, page 78

[7] William L. Hosch (editor), The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry, Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, ISBN 1615302190, 9781615302192, page 71

[8] James E. Gentle, Numerical Linear Algebra for Applications in Statistics, Publisher: Springer, 1998, ISBN 0387985425, 9780387985428, 221 halaman, [James E. Gentle halaman 183]

[9] Horatio Nelson Robinson, New elementary algebra: containing the rudiments of science for schools and academies, Ivison, Phinney, Blakeman, & Co., 1866, page 7

[10] Ron Larson, Robert Hostetler, Bruce H. Edwards, Algebra And Trigonometry: A Graphing Approach, Publisher: Cengage Learning, 2007, ISBN 061885195X, 9780618851959, 1114 pages, page 6

[11] Sin Kwai Meng, Chip Wai Lung, Ng Song Beng, "Algebraic notation", in Mathematics Matters Secondary 1 Express Textbook, Publisher Panpac Education Pte Ltd, ISBN 9812738827, 9789812738820, page 68

[12] David Alan Herzog, Teach Yourself Visually Algebra, Publisher John Wiley & Sons, 2008, ISBN 0470185597, 9780470185599, 304 halaman, page 72

[13] John C. Peterson, Technical Mathematics With Calculus, Publisher Cengage Learning, 2003, ISBN 0766861899, 9780766861893, 1613 halaman, page 31

[14] Jerome E. Kaufmann, Karen L. Schwitters, Algebra for College Students, Publisher Cengage Learning, 2010, ISBN 0538733543, 9780538733540, 803 pages, halaman 222

[15] Ramesh Bangia, Dictionary of Information Technology, Publisher Laxmi Publications, Ltd., 2010, ISBN 9380298153, 9789380298153, page 212

[16] George Grätzer, Langkah Pertama di LaTeX, Publisher Springer, 1999, ISBN 0817641327, 9780817641320, halaman 17

[17] S. Tucker Taft, Robert A. Duff, Randall L. Brukardt, Erhard Ploedereder, Pascal Leroy, Ada 2005 Reference Manual, Volume 4348 dari Catatan Kuliah di Ilmu Komputer, Penerbit Springer, 2007, ISBN 3540693351, 9783540693352, halaman 13

[18] C. Xavier, Fortran 77 And Numerical Methods, Penerbit New Age International, 1994, ISBN 812240670X, 9788122406702, halaman 20

[19] Randal Schwartz, Brian Foy, Tom Phoenix, Learning Perl, Publisher O'Reilly Media, Inc., 2011, ISBN 1449313140, 9781449313142, halaman 24

[20] Matthew A. Telles, Python Power!: The Comprehensive Guide, Publisher Course Technology PTR, 2008, ISBN 1598631586, 9781598631586, halaman 46

[21] Kevin C. Baird, Ruby by Example: Concepts and Code, Publisher No Starch Press, 2007, ISBN 1593271484, 9781593271480, page 72

[22] William P. Berlinghoff, Fernando Q. Gouvêa, Math through the Ages: A Gentle History for Teachers and Others, Publisher MAA, 2004, ISBN 0883857367, 9780883857366, halaman 75

[23] Thomas Sonnabend, Mathematics for Teachers: An Interactive Approach for Grades K-8, Penerbit: Cengage Learning, 2009, ISBN 0495561665, 9780495561668, 759 pages, halaman xvii

[24] Lewis Hirsch, Arthur Goodman, Understanding Elementary Algebra With Geometry: A Course for College Students, Penerbit: Cengage Learning, 2005, ISBN 0534999727, 9780534999728, 654 halaman, halaman 48

[25] Lawrence S. Leff, College Algebra: Barron's Ez-101 Study Keys, Penerbit: Seri Pendidikan Barron, 2005, ISBN 0764129147, 9780764129148, 230 pages, halaman 2

[26] Ron Larson, Kimberly Nolting, Elementary Algebra, Publisher: Cengage Learning, 2009, ISBN 0547102275, 9780547102276, 622 halaman, halaman 210

[27] Charles P. McKeague, Elementary Algebra, Penerbit: Cengage Learning, 2011, ISBN 0840064217, 9780840064219, 571 halaman, halaman 49

[28] Andrew Marx, Shortcut Algebra I: A Quick and Easy Way to Increase Your Algebra I Knowledge and Test Scores, Penerbit Kaplan Publishing, 2007, ISBN 1419552880, 9781419552885, 288 halaman, halaman 51^{[pranala nonaktif permanen]}

[29] Mark Clark, Cynthia Anfinson, Beginning Algebra: Connecting Concepts Through Applications, Pembelajaran Cengage Penerbit, 2011, ISBN 0534419380, 9780534419387, 793 pages, halaman 134

[30] Alan S. Tussy, R. David Gustafson, Elementary and Intermediate Algebra, Pembelajaran Cengage Penerbit, 2012, ISBN 1111567689, 9781111567682, 1163 pages, halaman 493

[31] Euler's Elements of Algebra Diarsipkan 2011-04-13 di Wayback Machine.

[32] Euler, Leonhard; Hewlett, John; Horner, Francis; Bernoulli, Jean; Lagrange, Joseph Louis (4 May 2018). "Elements of Algebra". Longman, Orme. Diakses tanggal 4 May 2018 – via Google Books.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

l b s Aljabar
Bidang	Aljabar abstrak Teori kategori Aljabar elementer Teori-K Aljabar komutatif Aljabar nonkomutatif Teori order Aljabar universal
Struktur aljabar	Grup (teori) Gelanggang (teori) Modul (teori) Medan Gelanggang polinomial (Polinomial) Aljabar komposisi
Aljabar linear	Matriks (teori) Ruang vektor (Vektor) Modul Ruang produk dalam (produk titik) Ruang Hilbert
Aljabar multilinear	Aljabar tensor Aljabar eksterior Aljabar simetris Aljabar geometris (Multivektor)
Daftar topik	Aljabar abstrak Struktur aljabar Teori grup Aljabar linear
Glosarium	Aljabar linear Teori medan Teori gelanggang Teori tatanan
Halaman yang terkait	Matematika Sejarah aljabar
Kategori Portal Matematika Wikibuku Dasar Linear Abstrak Wikiversitas Linear Abstrak

l b s Matematika (Bidang matematika)
Fondasi	Filsafat matematika Logika matematika Teori himpunan Teori informasi Teori kategori Teori tipe
Aljabar	Abstrak Elementer Homologis Komutatif Linear Multilinear Universal Teori grup Teori representasi
Analisis	Kalkulus Analisis fungsional Analisis harmonik Analisis kompleks Analisis real Persamaan diferensial Teori ukuran Teori sistem dinamis
Diskret	Kombinatorika Teori graf Teori order
Geometri	Aljabar Analitis Diferensial Diskrit Euklides Hingga Trigonometri
Komputasi	Analisis numerik (Topik) Ilmu komputer Komputasi simbolik Teori komputasi Teori kompleksitas komputasi Optimisasi matematika
Teori bilangan	Aritmetika Geometri Diophantine Teori bilangan aljabar Teori bilangan analitis
Topologi	Teori homotopi Aljabar Diferensial Geometris Umum
Terapan	Matematika biologi Matematika ekonomi Matematika keuangan Fisika matematis Kimia matematika Psikologi matematis Statistika Statistika matematika Teori peluang Ilmu sistem (Teori kendali, Teori permainan, Riset operasi)
Divisi	Matematika murni Matematika terapan Matematika diskret Matematika komputasi
Topik terkait	Matematika dan seni Matematika rekreasi Pendidikan matematika Sejarah matematika
Kategori Portal matematika Kerangka Daftar