Logika matematika

Logika matematika adalah cabang logika dan matematika yang mengandung kajian logika matematis dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis. Tema utama dalam logika matematika antara lain adalah kekuatan ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal. Logika matematika sering dibagi ke dalam cabang-cabang dari teori himpunan, teori model, teori rekursi, teori pembuktian, serta matematika konstruktif. Bidang-bidang ini memiliki hasil dasar logika yang serupa.

Logika matematika merupakan terjemahan dari symbolic logic yaitu logika modern. Istilah pernyataan dan bukan pernyataan yang menjadi dasar dalam logika matematika satu sama lain dibedakan dengan kalimat-kalimat biasa.

Jenis-jenis logika matematika

Dalam penggunaan logika matematika seringkali ditemukan huruf S dan B atau F dan T. Arti dari keempat huruf tersebut adalah sebagai berikut:

S dan F merupakan dua huruf yang memiliki arti sama dalam logika matematika.

S : Salah

F : False

B dan T merupakan dua huruf yang memiliki arti sama dalam logika matematika.

B : Benar

T : True

1. Negasi (~)

Negasi atau juga dikenal dengan "NOT" dalam pemrograman merupakan logika matematika yang berbentuk membalikkan suatu pernyataan. Negasi dari suatu pernyataan merupakan pernyataan yang mempunyai nilai salah jika pernyataan awalnya bernilai benar, dan bernilai benar jika pernyataan awalnya bernilai salah. contoh penggunaan negasi adalah sebagai berikut:

x = nilai dari 1 + 1 adalah 2 (Benar)

~x = nilai dari 1 + 1 bukanlah 2 (Salah)

Tabel Kebenaran Negasi

x	~x
True (Benar)	False (Salah)
False (Salah)	True (Benar)

2. Konjungsi (^)

Dalam logika matematika operasi konjungsi, yaitu kata dan yang berfungsi sebagai penghubung dua pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk dinotasikan dengan tanda "Λ" atau "." (dot). Sebuah konjungsi benar jika komponen-komponennya benar, tetapi salah jika salah satu komponennya salah atau kedua-duanya salah. Dalam bentuk tabel kebenaran definisi tersebut dapat anda lihat seperti berikut.

Tabel Kebenaran

p	q	pΛq
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Hukum logika

1. Hukum komutatif
   • p ∧ q ≡ q ∧ p
   • p ∨ q ≡ q ∨ p
2. Hukum asosiatif
   • (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
   • (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)
3. Hukum distributif
   • p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
   • p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
4. Hukum identitas
   • p ∧ B ≡ p
   • p ∨ S ≡ p
5. Hukum ikatan
   • p ∧ S ≡ S
   • p ∨ B ≡ B
6. Hukum negasi
   • p ∧ ~p ≡ S
   • p ∨ ~p ≡ B
7. Hukum negasi ganda
   • ~(~p) ≡ p
8. Hukum idempotent
   • p ∧ p ≡ p
   • p ∨ p ≡ p
9. Hukum De Morgan
   • ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
   • ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
10. Hukum penyerapan
    • p ∧ (p ∨ q) ≡ p
    • p ∨ (p ∧ q) ≡ p
11. Negasi B dan S
    • ~B ≡ S
    • ~S ≡ B
12. p → q ≡ ~p ∨ q
13. p → q ≡ ~q → ~p
14. p ↔ q ≡ (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q)

Tabel kebenaran

Artikel utama: Tabel kebenaran

Invers, Konvers dan Kontraposisi

• Invers dari $p\to q$ adalah ~p → ~q
• Konvers dari $p\to q$ adalah q → p
• Kontraposisi dari $p\to q$ adalah ~q → ~p

Penarikan kesimpulan

Modus ponens

premis 1: p → q

premis 2: p

kesimpulan: q

Modus tollens

premis 1: p → q

premis 2: ~q

kesimpulan: ~p

Silogisme

premis 1: p → q

premis 2: q → r

kesimpulan: p → r

Referensi

• Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 1B Untuk Kelas X Semester 2. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-501-7.  (Indonesia)